Metode lokasi akar-akar (Root locus method) Dasar Sistem Kontrol, Kuliah 8

Transkripsi

1 Metode lokasi akar-akar (Root locus method)

2 Pendahuluan Metode lokasi akar-akar 1. Metode lokasi akar-akar dapat digunakan untuk melukiskan secara kualitatif unjuk kerja sistem kontrol jika beberapa parameter diubah. Contoh : efek mengubah gain terhadap %OS, settling time dan peak time 2. Metode ini juga dapat memberikan gambaran mengenai stabilitas sistem kontrol secara grafis

3 Latar Belakang Problem sistem kontrol Representasi bilangan kompleks sebagai vektor Bentuk gelombang tes input yang biasa digunakan

4 Problem sistem kontrol T(s) pole berubah dengan perubahan K N : pembilang D : penyebut

5 Ilustrasi G( s) = H ( s) = ( s+ 1) [ s( s+ 2) ] ( s+ 3) ( s+ 4) Pole dari KG(s)H(s) adalah 0, -2 dan -4 Zero dari KG(s)H(s) adalah -1 dan -3 K( s+ ) ( 6+ K) s + T ( s) = 2 1 ( s+ 4) [ s (8 K) s 3K] Pole dari T(s) tergantung harga K Karena respons transien dan stabilitas tergantung pada pole dari T(s) maka kita harus memfaktorkan penyebut untuk setiap harga K

6 Representasi vektor dari bilangan kompleks Bilangan kompleksσ+jω dapat digambarkan dalam kordinat Cartesian sebagai vektor dan dalam kordinat polar dengan besar M dan sudut q. F(s)=(s+a) F(s)=(σ+a)+jω Translasi dari (b)

7 Representasi secara umum = pembilang faktor kompleks penyebut faktor kompleks m= jumlah zero n=jumlah pole Besar dari F(s) M = panjang dari zero panjang dari pole = Sudut dari F(s) θ = sudut dari zero - sudut dari pole

8 Ilustrasi Carilah F(s) pada titik Zero pada -1 pole pada 0 pole pada -2

9 Latihan carilah di titik

10 Definisi lokasi akar-akar

11 Lokasi akar-akar jika K bervariasi Letak pole dan zero Lokasi akar-akar (root locus)

12 Sifat-sifat root locus Untuk polinom orde 2 pada penyebut fungsi transfer, mudah untuk mencari faktor-faktor (rumus ABC) Untuk polinom orde lebih tinggi (3, 4, 5 atau lebih), sulit untuk memfaktorkan tanpa bantuan komputer (numerik), maka dengan root locus kita dapat menggambarkan secara kualitatif tanpa memfaktorkannya

13 Sifat-sifat root locus Terdapat pole jika penyebutnya =0 atau 1 2

14 Ilustrasi Dari tabel, misalnya untuk K=5 Maka pole berada di -9,47 dan Jika harga-harga ini disubtitusi ke persamaan ini maka akan menghasilkan -1, demikian juga untuk harga K dan pole-pole yang lain

15 Contoh Plot pole dan zero dari G(s) Tinjau titik -2+j3, jika titik ini adalah pole dari sistem jerat tertutup maka Harus memenuhi persamaan-persamaan (1) dan (2) Maka titik ini bukan pole sistem jerat tertutup karena hasil penjumlahan sudutnya bukan kelipatan dari 180 0

16 Contoh Jika dicoba dengan cara yang sama untuk titik Maka akan menghasilkan sudut Harga K adalah Maka titik Adalah titik pada root locus dengan gain=0.33

17 Latihan a. Tentukan sudut G(s) pada titik (-3+j0) dengan menjumlahkan sudut-sudut vektor dari zero dan pole G(s) pada titik tersebut b. Tentukan apakah titik di a adalah berada di root locus c. Jika titik di a adalah root locus, tentukan harga K menggunakan panjang vektor

18 Menggambarkan root locus Aturan penggambaran root locus 1. Jumlah percabangan. Jumlah percabangan root locus sama dengan jumlah pole sistem jerat tertutup 2. Simetri. Root locus simetri terhadap sumbu real 3. Segment sumbu real. Pada sumbu real, untuk K>0 root locus berada di sebelah kiri bilangan ganjil pada sumbu real, pole open loop terhingga dan/atau zero open loop berhingga Root locus pada sumbu real berada antara -1 dan -2 dan antara -3 dan -4

19 Lanjutan 4. Titik awal dan titik akhir. Root locus berawal pada polepole G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga, lalu berakhir di zero dari G(s)H(s) yang berhingga dan tak terhingga. Dari contoh di atas maka root locus adalah

20 Lanjutan 5. Sifat root locus di tak terhingga. Root locus mendekati garis lurus sebagai asimtot pada saat locus mendekati tak terhingga. Persamaan asimtot diberikan oleh perpotongan dengan sumbu real, σ a dan sudutθ a sbb: σ a = pole berhingga - zero berhingga # pole berhingga-# zero berhingga θ a = ( 2k+ 1) π # pole berhingga-# zero berhingga di mana k=0, ±1, ±2, ±3 dan sudut dalam satuan radian thd sumbu positif

21 Ilustrasi Buatlah root locus untuk sistem sbb solusi Karena jumlah pole-jumlah zero =3 Maka ada 3 zero berada di tak berhingga

22 Latihan Sketsalah root locus dari sistem di atas