MAKALAH SISTEM KENDALI CLOSE LOOP

Transkripsi

1 MAKALAH SISTEM KENDALI CLOSE LOOP DISUSUN OLEH : IQBAL FASYA PROGRAM STUDI S-1 TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS JENDRAL AHMAD YANI BANDUNG 2012

2 KATA PENGANTAR Dengan segala puji syukur alhamdulillah kami panjatkan kepada Allah swt, yang telah memberi rahmat, hidayah serta inayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini sebagai salah satu tugas dari mata kuliah sistem kendali. kami selaku penulis berharap, makalah ini selain sebagai salah satu tugas dari mata kuliah system kendali, semoga dapat juga bermanfaat serta menambah ilmu bagi setiap pembaca pada umumnya dan khususnya bagi penulis sendiri. Penulis sadar bahwa dalam penulisan makalah ini mungkin masih banyak kekurangan dan kesalahan, oleh karena itu kritik serta saran saya sebagai penulis mengaharapkan dari pembaca sekalian. Bandung, 30 Desember 2012 Penyusun

3 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Sistem kendali atau sistem kontrol merupakan hal yang penting di era teknologi informasi maupun di dunia industri yang modern ini. Proses produksi dan manufacturing dituntut kestabilannya dan setiap perubahan dapat direspon secara cepat dan real time. Di dalam dunia industri, dituntut suatu proses kerja yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan produk dengan kualitas dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah ditentukan. Kegiatan pengontrolan dan monitoring yang biasa dilakukan manusia bisa digantikan perannya dengan menerapkan prinsip otomasi. Kegiatan kontrol yang dilakukan secara berulang-ulang, kekurang-presisi-an manusia dalam membaca data, serta resiko yang mungkin timbul dari sistem yang dikontrol semakin menguatkan kedudukan alat/mesin untuk melakukan pengontrolan secara otomatis. Piranti-piranti pengontrol otomatis ini sangat berguna bagi manusia. Apalagi jika ditambah dengan suatu kecerdasan melalui program yang ditanamkan dalam sistem tersebut akan semakin meringankan tugas-tugas manusia. Akan tetapi secerdas apapun sebuah mesin tentu masih membutuhkan peranan manusia untuk mengatur dan mengontrol piranti-piranti ini. Otomasi kontrol bukan untuk menggantikan sepenuhnya peranan manusia, tetapi mengurangi peranan dan meringankan tugas-tugas manusia dalam pengontrolan suatu proses. Dengan adanya perkembangan teknologi, maka mata kuliah Analisis Sistem Teknik Kendali (control automatic) memberikan kemudahan dalam : 1. Mendapatkan performansi dari sistem Dinamik, 2. Dapat mempertinggi kualitas produksi 3. Menurunkan biaya produksi, 4. Mempertinggi laju produksi, 5. Dan meniadakan pekerjaan- pekerjaan rutin yang membosankan, yang harus dilakukan oleh manusia.

4 BAB II PEMBAHASAN II.1. Sistem Kontrol Sejarah Perkembangan Teknik Kendali : Perkembangan teknik kendali begitu sangat pesat dimulai dari : 1. Karya pertama dimulai abad 18, control automatic, governor sentrifugal, sebagai pengatur kecepatan mesin uap oleh James Watt 2. Pada tahun 1922, control automatic pengemudi kapal laut oleh Minosky 3. Pada tahun 1932, Kestablilan system loop tertutupdan terbuka terhadap masukkan tunak( steady state ) sinusoidal 4. Pada tahun 1934, Diperkenalkan istilah servomekanis untuk system control posisi, dalam hal ini membicarakan desain servo mekanis relay dengan masukkan yang berubah-ubah. 5. Selama dasawarsa 40 tahun hingga 50 tahun kemudian, metoda dalam system desain system control linear berumpan balik benar-benar telah berkembang. 6. Pada tahun 1960 an, kemudian dikembangkan kedalam bentuk multimasukkan /keluaran karena kompleknya Plant modern dan persyaratan yang keras pada tingkat ketelitian. Sistem kontrol adalah proses pengaturan ataupun pengendalian terhadap satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga berada pada suatu harga atau dalam suatu rangkuman harga (range) tertentu. Di dalam dunia industri, dituntut suatu proses kerja yang aman dan berefisiensi tinggi untuk menghasilkan produk dengan kualitas dan kuantitas yang baik serta dengan waktu yang telah ditentukan. Otomatisasi sangat membantu dalam hal kelancaran operasional, keamanan (investasi, lingkungan), ekonomi (biaya produksi), mutu produk, dll. Ada banyak proses yang harus dilakukan untuk menghasilkan suatu produk sesuai standar, sehingga terdapat parameter yang harus dikontrol atau di kendalikan antara lain tekanan (pressure), aliran (flow), suhu (temperature), ketinggian (level), kerapatan (intensity),dll. Gabungan kerja dari berbagai alat-alat kontrol dalam proses

5 produksi dinamakan sistem pengontrolan proses (process control system). Sedangkan semua peralatan yang membentuk sistem pengontrolan disebut pengontrolan instrumentasi proses (process control instrumentation). Dalam istilah ilmu kendali, kedua hal tersebut berhubungan erat, namun keduanya sangat berbeda hakikatnya. Pembahasan disiplin ilmu Process Control Instrumentation lebih kepada pemahaman tentang kerja alat instrumentasi, sedangkan disiplin ilmu Process Control System mengenai sistem kerja suatu proses produksi. II.2. Prinsip Pengontrolan Proses Ada 3 parameter yang harus diperhatikan sebagai tinjauan pada suatu sistem kontrol proses yaitu : - cara kerja sistem kontrol - keterbatasan pengetahuan operator dalam pengontrolan proses - peran instrumentasi dalam membantu operator pada pengontrolan proses Empat langkah yang harus dikerjakan operator yaitu mengukur, membandingkan, menghitung, mengkoreksi. Pada waktu operator mengamati ketinggian level, yang dikerjakan sebenarnya adalah mengukur process variable (besaran parameter proses yang dikendalikan). Contohnya proses pengontrolan temperatur line fuel gas secara manual, proses variabelnya adalah suhu. Lalu operator membandingkan apakah hasil pengukuran tersebut sesuai dengan apa yang diinginkan. Besar proses variabel yang diinginkan tadi disebut desired set point. Perbedaan antara process variabel dan desired set point disebut error. Dalam sistem kontrol suhu di atas dapat dirumuskan secara matematis: Error = Set Point Process Variabel Process variabel bisa lebih besar atau bisa juga lebih kecil daripada desired set point. Oleh karena itu error bisa diartikan negatif dan juga bisa positif. II.3. Sistem Kontrol Otomatis Suatu sistem kontrol otomatis dalam suatu proses kerja berfungsi mengendalikan proses tanpa adanya campur tangan manusia (otomatis). Ada dua sistem kontrol pada sistem kendali/kontrol otomatis yaitu :

6 A. Open Loop (Loop Terbuka) Suatu sistem kontrol yang keluarannya tidak berpengaruh terhadap aksi pengontrolan. Dengan demikian pada sistem kontrol ini, nilai keluaran tidak di umpan-balikkan ke parameter pengendalian. Gambar II.3.1. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Terbuka Adapun keunggulan dan kerugiannya pada open loop adalah : Keunggulannya: - Konstruksinya sederhana - Lebih murah dari system tertutup - Tidak ada masalah dengan ketidakstabilan - Ketelitian kerjanya ditentukan oleh kaliberasi Kerugiannya: - Gangguan dan perubahan kaliberasi, akan menimbulkan kesalahan, sehingga keluaran tidak seperti yang dikehendaki. - Untuk menjaga kualitas yang diperlukan pada keluaran diperlukan kaliberasi ulang pada setiap waktu tertentu. Contoh dari sistem loop terbuka adalah operasi mesin cuci. Penggilingan pakaian, pemberian sabun, dan pengeringan yang bekerja sebagai operasi mesin cuci tidak akan berubah (hanya sesuai dengan yang diinginkan seperti semula) walaupun tingkat kebersihan pakaian (sebagai keluaran sistem) kurang baik akibat adanya faktor-faktor yang kemungkinan tidak diprediksikan sebelumnya.. Diagram kotak pada Gambar II.3.2 memberikan gambaran proses ini.

7 Gambar II.3.2 Operasi mesin cuci B. Close Loop (Loop Tertutup) Suatu sistem kontrol yang sinyal keluarannya memiliki pengaruh langsung terhadap aksi pengendalian yang dilakukan. Sinyal error yang merupakan selisih dari sinyal masukan dan sinyal umpan balik (feedback), lalu diumpankan pada komponen pengendalian (controller) untuk memperkecil kesalahan sehingga nilai keluaran sistem semakin mendekati harga yang diinginkan. Adapun keunggulan dan kerugiannya pada close loop adalah : Keunggulannya: - Mampu untuk meningkatkan ketelitian, sehingga dapat terus menghasilkan kembali inputnya. - Dapat mengurangi kepekaan perbandingan keluaran terhadap masukkan untuk perubahan cirri-ciri system. - Mengurangi akibat ketidaklinearan dan distorsi. Kerugiannya: - Tidak dapat mengambil aksi perbaikan terhadap suatu gangguan sebelum gangguan tersebut mempengaruhi nilai prosesnya.

8 GANGGUAN INPUT PENGONTROL PROSES "PLANT" OUTPUT ELEMENT PENGUKUR Gambar II.3.3. Diagram Blok Sistem Pengendalian Loop Tertutup Input ( Masukkan ) Output (keluaran) Plant ( Proses ) Proses Gangguan : Rangsangan atau perangsangan yang diterapkan ke suatu sistem pengendalian dari sumber energi, biasanya agar menghasilkan tanggapan tertentu dari system yang dikendalikan. :Tanggapan sebenarnya yang diperoleh dari sebuah sistem pengendalian. :Seperangkat peralatan yang terdiri dari atau sebagian mesin yang bekerja secara bersamasama dan digunakan untuk suatu Proses. :Merupakan suatu bagian operasi atau perkembangan alamiah, yang berlangsung secara kontinyu ( Continue ), yang ditandai oleh suatu deretan perubahan kecil yang berurutan, dengan cara yang relative tetap, untuk mendapatkan suatu ahkiran yang dikehendaki. :gangguan bila ada, memungkinkan suatu sinyal yang cendearung mempunyai pengaruh yang merugiakan pada harga keluaran system.

9 Didalam analisis biasanya digambarkan sebagaimana diagram bolk /kotak sbb: R(s) E(s) C(s) + - G(s ) H(s) Gambar II.3.4 diagram bolk Dimana : R(s) = Input Laplace transform C(s) = Output Laplace transform G(s) = Transfer function forword element H(s) = TF. Feedback element E(s) = Error sinyal II.4. Definisi Istilah Ada beberapa definisi istilah yang sering dipakai antara lain : a. Sistem (system) adalah kombinasi dari komponen-komponen yang bekerja bersama-sama membentuk suatu obyek tertentu. b. Variabel terkontrol (controlled variable) adalah suatu besaran (quantity) atau kondisi (condition) yang terukur dan terkontrol. Pada keadaan normal merupakan keluaran dari sistem. c. Variabel termanipulasi (manipulated variable) adalah suatu besaran atau kondisiyang divariasi oleh kontroler sehingga mempengaruhi nilai dari variabel terkontrol. d. Kontrol (control) mengatur, artinya mengukur nilai dari variabel terkontrol dari sistem dan mengaplikasikan variabel termanipulasi pada sistem untuk mengoreksi atau mengurangi deviasi yang terjadi terhadap nilai keluaran yang dituju.

10 e. Plant (Plant) adalah sesuatu obyek fisik yang dikontrol. f. Proses (process) adalah sesuatu operasi yang dikontrol. Contoh : proses kimia, proses ekonomi, proses biologi, dll. g. Gangguan (disturbance) adalah sinyal yang mempengaruhi terhadap nilai keluaran sistem. h. Kontrol umpan balik (feedback control) adalah operasi untuk mengurangi perbedaan antara keluaran sistem dengan referensi masukan. i. Kontroler (controller) adalah suatu alat atau cara untuk modifikasi sehingga karakteristik sistem dinamik (dynamic system) yang dihasilkan sesuai dengan yang kita kehendaki. j. Sensor adalah peralatan yang digunakan untuk mengukur keluaran sistem dan menyetarakannya dengan sinyal masukan sehingga bisa dilakukan suatu operasi hitung antara keluaran dan masukan. k. Aksi kontrol (control action) adalah besaran atau nilai yang dihasilkan oleh perhitungan kontroler untuk diberikan pada plant (pada kondisi normal merupakan variabel termanipulasi). l. Aktuator (actuator), adalah suatu peralatan atau kumpulan komponen yang menggerakkan plant. Gambar II.4.1. memberikan penjelasan terhadap beberapa definisi istilah di atas. Gambar II.4.1. Sistem Kontrol Secara Lengkap

11 Contoh dari system close loop banyak sekali, salah satu contohnya adalah operasi pendinginan udara (AC). Masukan dari sistem AC adalah derajat suhu yang diinginkan si pemakai. Keluarannya berupa udara dingin yang akan mempengaruhi suhu ruangan sehingga suhu ruangan diharapkan akan sama dengan suhu yang diinginkan. Dengan memberikan umpan balik berupa derajat suhu ruangan setelah diberikan aksi udara dingin, maka akan didapatkan kesalahan (error) dari derajat suhu aktual dengan derajat suhu yang diinginkan. Adanya kesalahan ini membuat kontroler berusaha memperbaikinya sehingga didapatkan kesalahan yang semakin lama semakin mengecil. Gambar II.4.2 memberikan penjelasan mengenai proses umpan balik sistem AC ini. Gambar II.4.2 Proses Umpan Balik Pendingin Udara (AC) II.5. perancangan sistem kontrol umpan balik Ada tiga hal yang diperlukan dalam perancangan sistem kontrol umpan balik : Respon transien respon transien yaitu setiap system pengendalian/pengaturan diharapkan mempunyai transient time (waktu untuk gejala peralihan ) sekecil mungkin, artinya dapat proses sesingkat-singkatnya, sehingga harga keluarannya

12 sesuai dengan yuang diinginkan. Tetapim dengan transient time yang kecil, keluaran dakan mempunyai simpangan dan atau osilasi yang besar dalam menuju harga yana lebih besar ( semakin meningkat ). Stabilitas Stabilitas merupakan spesifikasi sistem yang paling penting. Jika suatu sistem tidak stabil, kinerja transien dan steady-state errors menjadi inti masalah. Sistem yang tidak stabil tidak dapat didisain agar memiliki respon-transien dan steady-state errors tertentu. steady-state error ( setelah wahtu gejala peralihan dianggap selesai ), disini ada 2 hal yang sangat penting yaitu: Adanya kesalahan (steady state error ) ialah output yag sebenarnya tidak sama dengan output yang diinginkan. Besarnya kesalahan steady state error dari kedua system tersebut sangat dipengaruhi oleh type system dan macam input II.6. Analisis dan Disain Sistem Umpan-Balik Umpan balik (feedback) membentuk topologi sistem kontrol seperti ditunjukkan oleh gambar II.6.1. yang kemudian disederhanakan menjadi gambar II.6.2. Gambar II.6.1. Bentuk umpan balik pada topologi sistem control Untuk sistem yang disederhanakan

13 gambar II.6.2. Topologi sistem kontrol umpan balik yang disederhanakan dibawah ini adalah diagram blok sistem kontrol "closed loop" tereduksi. gambar II.6.2. Sistem kontrol umpan balik tereduksi. 1. Interpretasi fungsi transfer closed-loop tergeneralisasi Komponen persamaan (1) diinterpretasikan sebagai berikut : Fungsi transfer G(s)H(s) dinamakan "fungsi transfer loop"

14 1 + G(s)H(s) = 0 dinamakan "persamaan karakteristik closed-loop" / "closed loop characteristic equation" (CLCE) G c (s) dinamakan "fungsi transfer closed-loop" 2. Umpan balik unity-gain Bentuk kanonik dari "umpan balik unity-gain" ditunjukkan oleh gambar 2.1 gambar 2.1 Bentuk kanonik umpan balik unity-gain G o (s) dinamakan "fungsi transfer open-loop". Bandingkan dengan model terdahulu, H(s) =1, sehingga dari persamaan (1) diperoleh : 3. Kinerja transien closed-loop Gambar 3.1 berikut menunjukkan contoh mekanisme servo. Gambar 3.1 contoh mekanisme servo

15 Untuk sistem diatas : Terlihat bahwa fungsi transfer order-dua, yang dapat memiliki beberapa bentuk peredaman, bergantung pada nilai K. Jika K berubah, pole closed-loop bergerak menuju tiga bentuk perilaku, dari respon overdamped, ke critically-damped, hingga underdamped. Pada K = 0, pole-pole akan sama seperti open-loop, yaitu p 1,2 = 0,-a (ditandai dengan s 1 pada gambar 4.1) gambar 4.1 Lokasi pole untuk sistem contoh Untuk 0 < K < a 2 /4, pole-pole terletak pada (ditandai dengan s 2 pada gbr 4.1) Jika K naik, pole bergerak saling men-dekati di sepanjang sumbu-real dan responnya adalah overdamped (meskipun rise- dan settling-time ber-kurang), hingga kedua pole sampai pada p 1,,2 = -a/2, ketika K = a 2 /4 dan responnya adalah critically-damped (s 3 pada gambar 4.1) Jika K terus naik, pole menjadi bilangan kompleks, dengan bagian real

16 d = -a/2 dan bagian imajiner : yang akan meningkat dari sisi ukuran, pada saat K naik (s 4 pada gambar 6). Bagian real akan bernilai konstan sementara rasio peredaman berkurang. Jadi, %OS akan meningkat sementara nilai settling-time tidak mengalami perubahan. Hasil-hasil ini terangkum pada tabel berikut ini: Contoh soal 1 Hitung T p, %OS dan T s untuk sistem kontrol umpan-balik pada gambar berikut ini. Jawab :

17 Contoh soal 2 Untuk sistem pada gambar di bawah ini, tentukan gain K yang diperlukan untuk menghasilkan %OS sebesar 10%. Jawab : 2 n = 5, n = K 1/2, sehingga Untuk overshoot sebesar 10%, Catatan : Untuk sistem ini, settling-time adalah T s = 4/( ) = 4/(2.5) = 1.6 detik. Sistem dengan settling-time yang lebih kecil tidak dapat didisain, karena bagian real dari pole bernilai tetap dantidak dapat diatur melalui gain K. Diperlukan komponen tambahan untuk memperoleh settling-time kurang dari 2 detik 4. Root-Locus Kembali pada sistem di gambar 3.1. Sistem tersebut memiliki fungsi transfer closed-loop :

18 Pada gambar 4.1 di bawah ini, diperlihatkan hasil plot dua "kurva" kontinu melalui pole-pole untuk menunjukkan gerakan pole yang merupakan fungsi kontinu dari K gambar 4.1 Gerakan pole closed-loop pada system kontrol dengan fungsi transfer : G o (s) = K / (s(s + a)) Kurva-kurva ini menggambarkan "locus" dari pole-pole closed-loop pada saat K mengalami kenaikan. "Root Locus" ini dapat dibuat untuk semua sistem yang fungsi transfer open-loop-nya diketahui. Pembuatan root locus dengan menggunakan Matlab untuk sistem yang memiliki fungsi transfer G o (s) = 1/s(s + 5) dan umpan balik unity-gain adalah sbb. : >> Go = tf([1],[ ]) % Go(s) = 1/(s^2 + 5s)! >> rlocus(go) Gambar 4.2 Hasil eksekusi pada Matlab.

19 II.7. Stabilitas closed-loop Sistem kontrol closed-loop adalah stabil jika seluruh pole berada pada bidang kiri Contoh : Tentukan stabilitas sistem kontrol closed-loop seperti pada gambar berikut ini. Jawab : Fungsi transfer closed-loop Pole-pole dan zeros (akar-akar) dari persamaan karakteristik closed-loop Jadi

20 1. Instabilitas Sistem dapat dinyatakan tidak stabil (instabil) jika fungsi transfernya paling tidak memiliki satu pole di bidang kanan dan/atau pole dengan nilai > 1 pada sumbuimajiner. Contoh 1.1 Hitung kestabilan sistem kontrol closed-loop pada gambar berikut ini : Jawab : Fungsi transfer closed-loop sistem : Pole-nya sekarang adalah : s = , j Karena terdapat dua pole pada bidang kanan, maka respon sistem instabil. Jika terdapat dua atu tiga pole di sumbu imajiner, bentuk respon adalah : At n cos( t + ); n = 1,2,.... Respon seperti ini juga terus membesar, karena t n jika t

21 1.2. Stabilitas Marginal Sistem yang memiliki sepasang pole pada sumbu imaginer, atau pole tunggal pada titik origin, disebut sebagai sistem stabil marginal. Sistem ini memiliki respons natural yang terdiri dari osilasi tanpa redaman atau nilai konstan pada t 2. Uji Stabilitas Dalam sekilas, pengujian stabilitas sistem terlihat mudah, yaitu cukup melalui pencarian lokasi pole fungsi transfer. Namun, kenyataannya tidak selalu mudah. Contoh 2.1 Tentukan kestabilan sistem closed-loop pada gambar di bawah ini : Jawab : Fungsi transfer closed-loop Menemukan lokasi pole sistem open-loop di sini bukan merupakan masalah. Tapi tidak demikian dengan pole sistem closed-loop. Tidak ada cara analitis yang bisa digunakan untuk mencari akar CLCE. Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan algoritma "roots" yang ada di Matlab. Cara lain untuk menyelesaikan masalah ini adalah dengan menggunakan metode yang dinamakan "tes Hurwitz".

22 3. Kriteria Hurwitz Jika terdapat polinom karakteristik closed-loop dalam bentuk terfaktorisasi sbb dengan p i adalah zero P(s) (yaitu akar CLCE). Jika seluruh pole berada di LHP (left-half plane), maka faktornya akan memiliki bentuk (s + p i ) (karena setiap p i akan memiliki bagian real yang negatif). Dengan demikian, koefisien polinom terekspansi hanya akan memiliki tanda positif. Hal ini tetap berlaku, walaupun beberapa faktor p i merupakan bilangan kompleks. Karena faktor kompleks selalu muncul dalam bentuk pasangan konyugasi, maka: yang juga memiliki koefisien positif. Di sini tidak boleh ada koefisien yang hilang, karena akan mengubah akar positif dan negatif, atau akar-akar pada sumbu imajiner. Jadi, hal yang penting bagi suatu sistem untuk menjadi stabil adalah seluruh koefisien CLCE-nya dalam bentuk s n,s n-1,...,s 0 ada dan bernilai positif. Dalam bentuk yang lebih formal : Kriteria Hurwitz Kriteria Hurwitz menyatakan bahwa sebuah sistem disebut instabil jika terdapat banyak koefisien negatif atau koefisien hilang pada persamaan karakteristik closed-loop. Uji stabilitas yang dinamakan Tes Hurwitz ini sangat mudah untuk digunakan : s s 2-26s + 24 bersifat instabil karena koefisien salah satu sukunya negatif. s s s bersifat instabil karena suku s 0 nya hilang, tetapi s3 + 27s2 + 26s + 24 bisa jadi stabil

23 Permasalahan yang ada pada kriteria Hurwitz ini adalah sistem yang lolos uji Herwitz belum tentu bersifat stabil, seperti contoh di atas. Dengan demikian Tes Hurwitz efektif untuk mengidentifikasi sistem yang instabil, namun tidak cukup untuk meng-identifikasi sistem yang stabil. Proses uji yang lebih efektif adalah kriteria Routh-Hurwith, yang dinamakan Routh Test. Metode ini menggunakan Routh Array yang berisi koefisien karakteristik polinom. Untuk mengetahui stabilitas suatu sistem, kita tidak perlu mencari lokasi aktual pole, namun cukup dengan melihat sign-nya, yang akan menunjukkan apakah pole berada di RHP (right-half-plane) atau LHP (left-halp-plane). Kriteria Hurwitz dapat digunakan untuk mengetahui instabilitas sistem, tapi tidak cukup untuk memastikan stabilitas sistem. Kriteria Routh-Hurwitz adalah metode. ang efektif untuk menguji kestabilan sistem. Kriteria ini juga dapat menunjukkan jumlah pole pada RHP atau pada sumbu imajiner. Tes stabilitas yang handal untuk segala bentuk kasus dapat digunakan dalam proses disain untuk memastikan kestabilan sistem, misalnya untuk memantau kapan system mulai tidak stabil jika gain terus ditingkatkan. Penggunaan tes stabilitas dalam disain dinamakan disain untuk stabilitas relative. 4. Kriteria Stabilitas Routh-Hurwitz 4.1 Larik Routh (Routh Array) Gambar berikut adalah sebuah sistem (sebagai contoh kasus) : Persamaan karakteristik closed-loop-nya adalah: Routh array adalah matriks dengan baris berjumlah n + 1, dengan n = order persamaan.

24 Langkah selanjutnya adalah menginsialisasi Routh array dengan mengisi dua baris pertama dengan koefisien polinom karakteristik sbb. : 1. Untuk baris s 4, elemen pertamanya adalah a 4, yaitu koefisien s 4. Elemen berikutnya adalah a 2 dan elemen terakhir adalah a 0. Jadi, baris pertama adalah : s 4 : a 4 a 2 a 0 Perhatikan bahwa pada langkah ini, s 4 hanya diisi oleh koefisien genap, karena n = 4 (genap). Jika n ganjil, maka baris diisi dengan koefisien ganjil. 2. Untuk baris ke dua (s 3 ), dilakukan pengisian elemen yang tersisa. Jadi s 3 : a 3 a 1 0 Angka 0 digunakal untuk menyamakan jumlah kolom. Setelah inisialisasi selesai, diperoleh matriks seperti di samping ini.

25 1. Dimulai dengan pembentukan matriks 2 x 2 dengan mengambil elemen kiriatas dari matriks. Matriks 2 x2 ini dinamakan matriks R 1. Elemen pertama dari baris ke-3 Routh Array dinamakan b 1, dimana dengan kata lain : b 1 = -det(r 1 )/R 1 (1,2) 2. Elemen ke-2 dari baris ke-3, b 2, dihitung dengan cara yang sama. R 2 dibuat dengan mengganti elemen kolom-2 dengan elemen kolom-3, sementara elemen kolom-1 dibiarkan tetap. 3. Langkah ini diteruskan hingga determinan bernilai nol, dimana selanjutnya elemen baris-3 diisi dengan nilai Seluruh proses diulangi hingga seluruh matriks terisi. Tabel berikut menunjukkan keseluruhan perhitungan elemen matriks Routh array

26 Routh Array yang sudah terisi lengkap 4.2 Tes Routh-Hurwitz Dengan kriteria Routh-Rouwitz dapat dilakukan pengujian terhadap sistem, yang karakteristik closed-loop-nya telah lulus uji kriteria Hurwitz. Kriteria Routh-Hurwitz : Jumlah akar polinom karakteristik yang berada pada right-half-plane sama dengan jumlah perubahan sign pada kolom pertama Routh Array Contoh Akan dilakukan uji kestabilan untuk sistem tergambar di bawah ini. Jawab : Karena koefisien persamaan sudah lengkap, maka sistem lulus tes Hurwitz. Dilakukan pengujian lebih lanjut dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil inisialisasi adalah sbb. :

27 Routh Array tidak akan berubah karena perkalian suatu baris dengan suatu konstanta. Ini bisa digunakan untuk menyederhanakan langkah. Sebagai contoh, pada baris ke-dua terlihat bahwa baris bisa disederhanakan dengan mengalikannya dengan 1/10. Jadi : Kemudian dilakukan langkah-langkah untuk melengkapi isi tabel. Hasilnya sbb. : Jadi matriksnya adalah

28 dan isi kolom ke-1 adalah Pada kolom-1 terjadi dua kali perubahan sign (dari 1 ke -72 dan dari -72 ke 103). Dengan demikian, sistem tidak stabil dan memiliki dua pole pada RHP. 5. Kasus-kasus khusus Dua kasus khusus dapat terjadi pada saat pembuatan Routh array Nilai nol bisa muncul pada kolom pertama array. Seluruh elemen pada satu baris bernilai nol. 5.1 Nilai nol di kolom pertama Jika kolom pertama memiliki elemen bernilai nol, maka akan terjadi operasi "pembagian dengan nol" pada langkah pencarian elemen untuk baris berikutnya. Untuk menghindari-nya, digunakan satu nilai kecil e (epsilon) sebagai pengganti nilai nol di kolom pertama. Contoh 5.1 Diketahui sebuah sistem kontrol memiliki fungsi transfer closed-loop sebagai berikut. Buatlah Routh-array sistem tersebut dan interpretasikan kestabilan sistem tersebut. Jawab : Polinom karakteristiknya adalah sehingga Routh array-nya menjadi seperti yang terlihat pada tabel kiri. Pada tabel kanan, terlihat hasil analisis perubahan sign.

29 Jika e dipilih bernilai +, akan terdapat dua perubahan sign. Jika e dipilih bernilai -,juga terdapat dua perubahan sign. Jadi, tidak jadi masalah apakah e dipilih bernilai+ atau -. Hasil analisis adalah : sistem di atas memiliki dua pole pada RHP. 5.2 Seluruh elemen pada baris bernilai nol Hal ini bisa terjadi untuk polinom genap Contoh 5.2 Buat Routh array untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sbb. : Jawab : Routh array dari sistem adalah :

30 Perhitungan tidak bisa dilanjutkan dengan cara biasa karena seluruh elemen baris ke-3 bernilai nol. Agar perhitungan bisa berlanjut, digunakan polinom auksiliari Q(s), yang dibentuk dari baris sebelum baris nol, Q(s) = s 4 + 6s Selanjutnya, dilakukan diferensiasi Q(s) terhadap s : dan baris ke-3 diganti dengan koefisien hasil derivatif (setelah disederhanakan melalui pembagian dengan 4), seperti terlihat pada tabel kiri di bawah ini. Baris-baris lain dibuat dengan cara biasa, yang hasilnya terlihat di atas pada tabel kanan. Terlihat tidak adanya perubahan sign pada Routh array. Jadi, sistem stabil. 5.2 Interpretasi baris nol Baris nol akan muncul pada Routh array jika polinom genap murni merupakan factor dari polinom karakteristik. Sebagai contoh, polinom s 4 + 5s adalah polinom genap murni, yang hanya memiliki pangkat genap untuk s. Polinom

31 genap memiliki akar-akar simetris terhadap sumbu imajiner. Beberapa kondisi simetri dapat terjadi : 1. akar-akar real dan simetris terhadap sumbu imajiner (A) 2. akar-akar imajiner dan simetris terhadap sumbu real (B), atau 3. akar-akar bersifat kuadrantal (C) Ketiga kondisi di atas dapat menghasilkan polinom genap. Adalah polinom genap yang menimbulkan baris nol pada Routh array. Dengan demikian, baris nol mengindikasikan adanya akar-akar simetris terhadap origin.beberapa akar dapat berada pada sumbu imajiner (simetri jenis B). Sebaliknya,jika kita tidak mendapatkan baris nol, kemungkinan kita tidak memiliki akar padasumbu j. Karakteristik lain dari Routh array untuk kasus di atas yang masih perlu diperta-nyakan adalah apakah baris sebelum baris nol mengandung polinom genap, yangmerupakan faktor polinom asalnya. Pada contoh yang lalu, polinom s 4 + 6s adalah faktor dari polinom asal. Akhirnya, uji Routh, dari baris yang mengan-dung polinom genap hingga baris terakhir, hanya menguji pole pada polinom genap.contoh berikut dapat menjelaskan hal ini. Contoh 5.2 Hitung berapa pole yang berada pada RHP, LHP, dan di sumbu j untuk sistem dengan fungsi transfer closed-loop sebagai berikut :

32 Jawab : Dari persamaan dapat dibuat Routh array sbb. Untuk mempermudah, baris s 6 dikalikan dengan 1/10 dan baris s 4 dikali 1/20. Terdapat baris nol pada baris s 3. Kembali ke baris s 4, ekstraksi polinom genap dan dibuat derivatifnya. Baris nol diganti dengan 4, 6, 0 = 2, 3, 0 dan Routh array dapat dilengkapi :

33 Interpretasi Kesimpulan yang bisa diambil adalah tidak ada perubahan sign dari baris s 4 hingga s 0 sehingga tidak ada pole pada RHP (berarti tidak ada pole pada sumbu real dan kuadrantal).tapi karena harus ada pole-pole yang simetris, maka pasti ada 4 pole pada sumbu j. Akar lain bisa diperoleh dari baris lain pada Routh array. Terdapat dua perubahan sign, yang berarti ada dua pole di RHP. Dua pole lagi pasti ada di LHP. 6. Contoh Penggunaan Kriteria Routh-Hurwitz pada Disain Sistem Kontrol Contoh 6.1 Untuk sistem tertutup pada gambar di bawah ini, tentukan rentang nilai parameter gain K, dimana sistem closed-loop bersifat stabil. Jawab : Fungsi transfer closed-loop adalah Jika K diasumsikan positif, kita dapat menggunakan kriteria Routh Hurwitz untuk menentukan limit nilai K agar sistem stail. Tidak akan ada perubahan sign jikak > 0 dan jika K > 0, yaitu jika K < Jika K > 1386, akan ada dua perubahan sign, sehingga terdapat dua pole di RHP dan sistem jadi instabil

34 Jika K = 1386, maka baris s 1 menjadi baris nol. Baris sebelumnya adalah Q(s) = 18s dan derivatifnya adalah 36s, sehingga Routh array barunya adalah : Untuk polinom Q(s) tidak terdapat perubahan sign dari s 1 hingga s 0, sehingga pasti ada dua akar imajiner dan sistem bersifat stabil marginal. Untuk kontrol azimuth antena pada gambar di samping ini, fungsi transfernya adalah : Hitung gain pre-amplifier K dimana sistem closed-loop stabil. Jawab : 0 < K < Stabilitas Relatif Pengujian stabilitas sistem kontrol berdasarkan sejumlah parameter adalah hal yang sangat penting. Namun dalam perancangan sistem kontrol, stabilitas absolut bukan- lah sesuatu yang menarik. Pada contoh sebelumnya, gain K maksimum yang diperoleh adalah Jika kita menginginkan "margin of safety" (margin aman) untuk memastikan bahwa sistem tidak akan pernah instabil. Sebagai contoh, untuk kasus di atas kita bisa batasi gain K maksimum sebesar , yang berarti kita memberikan margin untuk gain sebesar 3. Gain margin (GM) adalah contoh parameter disain yang memastikan telah tercapainya "stabilitas relatif" dalam disain.

35 II.8 Steady-state errors Kesalahan sistem (system error) : untuk sistem kontrol umpan-balik didefinisikan sebagai selish antara keluaran yang diharapkan (r(t)) dan keluaran aktuan (c(t)). Steady-state error : didefinisikan sebagai selisih antara keluaran yang diharapkan dan keluaran actual pada t Dari sejumlah sinyal uji (test input) untuk analisis sistem kontrol, yang telah dibahas sebelumnya, yaitu impuls, step, ramp, parabola, dan sinusoidal, akan digunakan tiga sinyal uji untuk menilai kinerja steady-state sistem kontrol dan hubungannya dengan steady-state error. Ketiga sinyal input tersebut adalah input step input ramp, dan input parabolik Input Step Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan posisi yang konstan dan sangat berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam memposisikan dirinya relatif terhadap "target" stasioner, seperti satelit geostasioner.

36 Input Ramp Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan kecepatan dan sangat berguna untuk melihat kemampuan sistem kontrol dalam melacak target yangbergerak dengan kecepatan konstan. Sebagai contoh, pesawat ruang angkasa yang bergerak dengan kecepatan konstan di orbit. Input Parabolik Sinyal input ini merepresentasikan kebutuhan akan akselerasi dan pengujian kemampuan sistem kontrol untuk melacak obyek yang bergerak dengan kece-patan berubah-ubah. Sebagai contoh, pelacakan peluru kendali yang sedang terbang.

37 Karena yang menjadi perhatian di sini adalah selisih antara keluaran aktual dan keluaran yang diharapkan setelah kondisi steady-state tercapai, kita hanya dapat menghitung steady-state error sistem yang respon naturalnya mencapai zero pada t 8.1 Bentuk-bentuk Steady-State Errors Berikut ini akan diuraikan bentuk-bentuk steady-state error untuk input step dan ramp. Step Error Observasi step error Pada kasus 1, e 1 ( ) = 0 karena output 1 = input pada t =. Steadystate error bernilai nol. Pada kasus 1, e 2 ( ) 0 karena output 2 = input pada t. Steady state error bernilai tidak nol. Ramp Error

38 Observasi ramp error Pada kasus 1, e 1 ( ) = 0. Steady-state error bernilai nol. Pada kasus 2, respon memiliki gradien yang sama, tetapi e 2 ( ) 0 Pada kasus 3, selisih berubah pada saat input berubah. Respon memiliki gradient berbeda sehingga e 3 ( ) 8.2 Perspektif diagram blok Dengan definisi error sistem, kita dapa mengekspresikan error sistem dalam bentuk varaiabel ter-transformasi (berguna dalam diagram blok) : Untuk sistem kontrol umum, dimana fungsi transfernya adalah G c (s), error harus di-dapatkan melalui diagram blok seperti pada gambar berikut. Gambar 1. Error untuk sistem closed-loop umum Untuk sistem umpan-balik unity-gain (gambar 2), keluaran dari blok penjumlah jelas merupakan error sistem E(s). Selanjutnya konsentrasi akan diarahkan padapenurunan steady-state error untuk kasus khusus ini, tetapi ini juga bersifat umum, karena bisa diaplikasikan pada rancangan sistem lain Jika dalam steady-state c = r, maka error e( ) = 0. Gambar 2. Error untuk sistem umpan-balik dengan unity-gain

39 Contoh 8.1 Gambar 3 menunjukkan sistem dengan gain pada forward loop. Bagaimana steady- state error-nya untuk input step. Gambar 3. Sistem closed-loop dengan gain dalam forward-loop Jawab : Digunakan input step r(t) = u(t), c(t) = Kc(t), sehingga steady-state error 0 jika c(t) 0. Semakin besar nilai K, semakin kecil steady-state error (1/(1 + K)), tetapi tidak pernah menjadi nol. Dengan demikian, untuk system dengan gain murni pada arah maju (forward), steady-state-error tidak nol untuk input step. Contoh 8.2 Integrator dalam forward-loop terlihat pada gambar 4. Tentukan steadystate error-nya. Gambar 4. Sistem closed-loop dengan integrator dalam forward loop Jawab : Digunakan input step. Steady-state-error sekarang bernilai nol. Ini karena keluaranblok, c(t) = K e(t) dt, dapat bernilai bukan nol, meskipun inputnya bernilai nol.jika c(t) naik, c(t) = r(t) - c(t) turun. Jika c(t) = 0, masih bisa terdapat ouput untukc(t) (K 0 dt = 0 + bil.konstan). Sebaliknya, jika tidak ada error, integrator akanmembentuk lerengan naik dan turun (K a dt = at + bil. konstan), meningkatkan c(t) yang kembali akan menurunkan e(t) hingga nol.

40 Model motor yang paling sederhana adalah integrator. Jika diberikan tegangan konstanakan terjadi perubahan posisi - dengan kecepatan konstan. Jika tegangan dihilangkan, motor berhenti, tapi posisi akhirnya tidak harus nol! Meskipun demikian, jika sebuahmotor digunakan dalam sistem closed-loop, ia akan berhenti pada nilai yang sama dengan inputnya. Dengan demikian, sistem kontrol dengan integrator dalam forward loop akan selalu memiliki steady-state error bernilai nol untuk posisi. 8.3 Steady-State Error untuk sistem dengan umpan balik unity-gain Di sini digunakan kembali sistem kanonik seperti pada gambar 1 di bawah ini. Untuk sistem ini : Teorema Nilai-Akhir (final value theorem) menyatakan bahwa sehingga

41 8.3.1 Input step Untuk input step satuan (unity step input) r(t) = u(t), dimana : u(t) = 1 untuk t > 0 = 0 di tempat lain Dari persamaan 3, lim s 0 G 0 (s) adalah steady-state gain dari fungsi transfer open-loop.untuk mendapatkan steady-state step error sebesar nol, diperlukan lim s 0 G 0 (s) =. Dengan demikian G 0 (s) harus memiliki bentuk sbb.: dimana jika s 0, penyebut akan bernilai nol sehingga G 0 (s) =. Dengan demikian, untuk mendapatkan steady-state step error sebesar nol, paling tidak harus ada satu pole pada origin s = 0 (yaitu n > 1). Faktor s pada penyebut dari fungsi transfer open-loop merepresentasikan integrator pada arah maju. Dengan demikian, untuk mendapatkan steady-state step error sebesar nol, paling tidak kita harus memiliki satu integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika tidak ada penyebut dengan faktor s n berarti n = 0 dan diperoleh

42 yang bersifat terhingga (finite) dan menghasilkan steady-state step error terhingga Input Untuk input r(t) = tu(t) dengan tu(t) = t untuk t > 0 = 0 di tempat lain sehingga Untuk mendapatkan steady-state ramp error bernilai nol, lim s 0 sg(s) =. Untuk itu, n > 2, sehingga paling tidak harus ada dua integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada satu integrator, n = 1, maka yang bersifat terhingga dan oleh karena itu akan terdapat steady-state ramp error yang terhingga. Jika tidak ada integrator, maka n = 0 dan akan diperoleh :

43 Sehingga kita mendapatkan steady-state velocity error tak terhingga Input Parabolik Untuk input parabolic dimana. Agar steady-state parabolic error bernilai nol, lim s 0 s 2 G 0 (s) =. Untuk itu, n > 3.Berarti harus ada tiga integrator di dalam fungsi transfer open-loop. Jika hanya ada dua integrator, n = 2, terdapat steady-state parabolic error terhingga. Jika n < 2, terdapat steady-state parabolic error tak hingga.

44 8.4 Definisi Konstanta Galat Statik dan Jenis Sistem Konstanta Galat Statik (Static Error Constants)Dari perhitunganperhitungan di atas, kita dapatkan definisi steady-state error untukgalat step, ramp, dan parabolik, sbb. : Konstanta-konstanta di atas dapat bernilai nol, terhingga, atau tak terhingga, tergantungpada sifat G 0 (s). Dalam kenyataannya, mereka bergantung pada jumlah faktor s padapenyebut G 0 (s) atau jumlah integrator pada alur maju. Berikut ini adalah konstantagalat statis (static error constants).

45 8.4.2 Nomor jenis system Perhatikan gambar di atas. Nomor jenis sistem didefinisikan berdasarkan nilai n, yang berarti menurut jumlah integrator di dalam G 0 (s). Sistem dengan n = 0 dinamakan jenis 0 Sistem dengan n = 1 dinamakan jenis 1 Sistem dengan n = 2 dinamakan jenis 2 dst. Jelas bahwa nilai konstanta galat statis berhubungan dengan nomor jenis sistem. Hubungan ini secara eksplisit digambarkan pada bagian berikut. Nomor jenis sistem dan konstanta galat statisnya Jenis sistem dan steady-state error

46 8.5 Spesifikasi Steady-State Error Contoh 8.1 Tentukan spesifikasi K v = Apa yang ditunjukkannya mengenai sistem kontrol? Jawab : 1. Sistem stabil 2. Sistem tipe 1 3. Input sistem adalah ramp 4. Steady-state error-nya adalah 1/K v per unit gradien ramp Contoh 8.2 Untuk sistem kontrol azimuth antena berikut ini 1. Carilah steady-state error dalam K untuk input step, ramp, dan parabolik 2. Cari nilai K yang menghasilkan steady-state error 10%. Apakah sistem stabil? Jawab : 1. Sistem tipe 1, berarti 2. Galat 10% berlaku untuk ramp. Jadi untuk galat 10% :

47 K = 257,9. Nilai ini berada dalam rentangan 0<K<2623,9. Sistem stabil Pada bagian ini dibahas mengenai steady-state error untuk sistem kontrol umpan-balik unity-gain. Dengannya kita dapat menentukan kinerja lengkap dalam konteksi fungsi transfer open-loop. Ini dapat dilakukan karena jumlah integrator dalam fungsi transfer open-loop berhubungan dengan kinerja sistem. Selanjutnya dibuat Nomor Jenis Sistem yang besarnya sama dengan jumlah integrator, dimana sifatnya terlihat di tabel berikut. Dengan konstanta galat statis : konstanta galat posisi K p = G 0 (s) s=0 ; konstanta galat kecepatan K v = sg 0 (s) s=0 ; konstanta galat akselerasi K a = s 2 G 0 (s) s = 0.

48 BAB III Penutup A. Kesimpulan Dalam perancangan sistem kontrol, langkah pertama yang harus dilakukan adalah menganalisa sistem yang akan dikontrol terlebih dahulu. Pembuatan model yang lebih sederhana akan mempermudah kita dalam menganalisa sistem tersebut. Kemudian pemodelan tersebut dapat kita nyatakan dalam suatu persamaan matematis, sehingga aplikasi perhitungan matematis akan sangat memungkinkan dalam menganalisa sistem tersebut. Dalam perancangan sistem kontrol umpan balik Ada tiga hal yang diperlukan dalam perancangan sistem kontrol umpan balik diantaranya : Respon transien Stabilitas steady-state eror

49 Daftar Pustaka es_lec ppt