TANGGAPAN FREKUENSI. Analisis Tanggapan Frekuensi. Penggambaran Bode Plot. Polar Plot / Nyquist Plot. Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols

Transkripsi

1 TANGGAPAN FREKUENSI Analisis Tanggapan Frekuensi Penggambaran Bode Plot Polar Plot / Nyquist Plot Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot Kriteria Kestabilan Nyquist Beberapa Contoh Analisis Kestabilan Pembahasan Lanjut (Optional) Analisis Kestabilan Relatif/Transient Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65

2 ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatu sistem terhadap input sinusoida. Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan mengamati tanggapannya. Ada Beberapa Teknik Analisis : 1. Polar Plot / Nyquist : Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi loop terbukanya. Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.. Digram Bode: Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui diagram Bode. Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat dilakukan lebih mudah. 3. Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols: Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(j ) hanya menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah bentuknya. Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal dari 65

3 Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu mencari akar-akar persamaan karakteristik. Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus dan peralatan pengukuran yang diteliti. Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat ditentukan secara eksperimen melalui pengujian tanggapan frekuensi. Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi rasional, seperti fungsi dengan transport lags. Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi. Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak diinginkan dapat dihilangkan. Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan pada sistem kendali non linear tertentu. Tanggapan waktu alih tak langsung dapat diketahui, tetapi ada hubungannya antara tanggapan frekuensi dengan tanggapan waktu alih. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 65

4 Tanggapan terhadap Input Sinus Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat diperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya : ( G( s) G( jω) ) Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut : G( s) p( s) = = q( s) p( s) ( + )( + ) ( + ) s s1 s s L s s n Output : Y ( s) = G( s) x( s) = p q ( s) ωx L ( s) s + ω Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka Y ( s) * a a b1 b bn = L + s + jω s jω s + s s + s s + s atau y( t) = a e j ω t + a * e j ω t + b e s t + b e s t + + b n e s n t t 1 1 L 0 Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh y ss jω t * jωt ( t) = ae + a e (hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yang sama) dengan : 1 n a = G s a * ( ) ( s + jω ) s ωx + ω ( jω) xg = j s = jω xg = j ( jω) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 65

5 Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut : G( jω) = G( jω) e j φ = G( jω) φ G( jω ) = magnitude G(jω) G( jω) pergeseran fasa antara input sinus dengan output sinus = [ ( )] 1 I m G j ω R e G( jω ) φ = = tan [ ] ω = frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi kerjanya. Untuk G( jω) = G( jω) e j φ G( jω) Sehingga : ( ) = ( ω) yss t x G j ( ω) sin( ωt φ) ( ωt φ) = x G j + = y sin + = e j φ ( ω + φ) ( ω φ) e j t e j t+ j Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 65

6 Kesimpulan : 1. Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus, maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin berbeda.. Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui y( jω) G( jω) = x( jω) sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti jω menjadi s pada G(jω). ( ω) G j y( jω) = : magnitude fungsi alih x( jω) merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap input sinus. y( jω) G( jω) = ; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran x( jω) phasa output sinus terhadap inputnya. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 65

7 Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero Anggap : k( s + z) G( s) = s( s + p) dengan tanggapan frekuensi ( ω) G j = ( ω + z) ( ω + ) k j jω j p Magnitude : G G = ( jω) ( jω ) tan 1 = φ θ k jω + z = = jω jω + p ω 1 = jω + z jω jω + z 90 θ o tan 1 ω k AP OP BP p p Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 65

8 Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p 1 dan p : G( s) = ( s + K p )( s + 1 p ) Magnitude : G( jω) = k jω + p1 jω + p = k AP BP G jω = θ 1 θ Sudut fasa : ( ) Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya : G( jω ) = besar sekali Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudo besar sekali. Sebaliknya bila tanggapan frekuensi tak memiliki simpangan yang besar, berarti sistem tak memiliki pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu maya. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 65

9 PENGGAMBARAN BODE PLOT Diagram Bode terdiri dari 1. Kurva magnitude fungsi alih sinus 0 log G( jω) terhadap frekuensi dengan skala logaritmis. Kurva sudut fasa fungsi alih sinus G( jω) terhadap frekuensi dengan skala logaritmis. Keuntungan menggunakan kurva logaritma : Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan asimtotasimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya. Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat dilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensi tersedia seperti pada Diagram Bode. Karakteristik frekuensi rendah dan tinggi dari fungsi alih terekam dalam satu diagram. Memperluas cakupan frekuensi rendah memungkinkan analisis pada Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 65

10 frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalam sistem-sistem sebenarnya. Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi G( jω) H( jω) 1. Penguatan k. Faktor-faktor Integral dan turunan ( jω ) Faktor-faktor orde-1 ( 1+ jωt) 4. Faktor-faktor kuadratis jω jω ζ ω n ω n Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 10 dari 65

11 1 Penguatan k ( ) ( ) G jω H jω = k Magnitude G( jω) H( jω ) = 0log k db Sudut fasa G( jω) = 0 db 0 log 0, ω φ 0 0, ω Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 11 dari 65

12 Faktor-faktor Integral dan Turunan 1 atau jω jω Untuk : G( jω) H( jω) = 1 jω 1 jω Magnitude G( jω ) H( jω) = 0log = 0logω db ω ω = 90 o Sudut fasa G( j ) H( j ) G jω H jω = jω, diperoleh Magnitude : 0 log ω db Sudut fasa : 90 o Untuk : ( ) ( ) Catatan: Bila 1 G( jω ) H ( jω) =, maka n ( jω) Magnitude : -0 n Log db; Sudut fasa : x n Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65

13 3 Faktor-faktor orde-1 : Untuk G( jω) H( jω) 1 = 1 + jωt j T atau j ω ω T Magnitude : 0 Sudut fasa : φ 1 log 1+ jωt = tan 1 ωt = 0log 1+ ω T db Pada frekuensi rendah : ω 1, maka T Magnitude ~ 0log1 = 0 db (asimtot pertama) Sudut fasa ~0 o Pada frekuensi tinggi : ω 1, maka T Magnitude ~ 0log ω T = 0log ωt (asimtot kedua) Sudut fasa ~90 o Pada frekuensi sudut ω = 1 T Sudut fasa φ = tan 1 T = 45 o T Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 13 dari 65

14 Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot Pada ω = 1 T galat = 0log log 1 = 3, 03db Pada ω = 1 T (1 octave dibawah frekuensi sudut) 1 log 1 0log 1 0, 97db 4 galat = = Pada ω = T (1 octave diatas frekuensi sudut) galat = 0log log = 0, 97db dst. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 14 dari 65

15 Untuk ( ) ( ) G jω H jω = 1+ jωt dengan mengingat faktor reciprocal : 1 0log + jωt = 0log 1+ jωt dan 1+ = 1 1 jωt tan ωt = 1 + jωt Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan kurva 1 1+ jωt terhadap sumbu frekuensi pada titik 0. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 15 dari 65

16 Faktor-Faktor Kuadratik Untuk G( jω) H( jω) 1 = ω ω + ζ j + j ωn 1 ωn Bila ζ 1, maka faktor orde- tersebut dapat dipecah menjadi faktor orde-1. Untuk 0 ζ 1 : Magnitude : 0log 1 ω 1+ + ω ζ j j ωn ωn = 0log ω 1 + ζ ω ω ω n n Sudut fasa : ω ζ ω φ = tan 1 n ω 1 ω n Pada frekuensi rendah : ω ωn : Magnitude : 0log1 = 0 db Sudut fasa : φ ~ tan 1 0 = 0 o (asimtot 1) Pada frekuensi tinggi : ω Magnitude : Sudut fasa : φ ~ 180 o ωn ω ω 0log = 40log ω ω n n db (asimtot ) Pada frekuensi sudut ω Mangitude : 0logζ = ω n : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 16 dari 65

17 Sudut fasa : θ ζ = tan 1 = 90 o 0 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 17 dari 65

18 ω ω G jω H jω = + ζ j + j ωn 1, ωn Untuk ( ) ( ) diagram Bodenya dapat diperoleh dengan membalik tanda pada magnitude dan sudut fasa dari faktor sebelumnya. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 18 dari 65

19 Frekuensi Resonansi ω r dan Simpangan Puncak Resonansi M r Perhatikan lagi : ( ω) G j = 1 ω ζ ω ω + ω n 1 n Nilai maksimum terjadi bila : atau ω g( ω) = ζ ω + ω ω n 1 n minimum ( ) ω ω n ( 1 ζ ) ( ) g ω = ω n ( ζ ) + 4ζ 1 g ω =minimum bila ω = ω ζ n 1 Sehingga : frekuensi resonansi (, ) ωr = ωn 1 ζ 0 ζ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 19 dari 65

20 Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons transient : ωd= ωn 1 ζ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 0 dari 65

21 Simpangan Puncak Resonansi : M r G j ( ω) ( ( ω ) max = G j r = 1 ζ 1 ζ Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi : φr ζ ω r ω = n tan 1 ω r 1 ωn dengan ω = ω 1 ζ, diperoleh r n φr ζ = tan 1 1 = 90 o + sin 1 ζ ζ 1 ζ Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 1 dari 65

22 Tahapan Membuat Diagram Bode 1. Ubah fungsi alih sinus G( jω) H( jω ) menjadi perkalian faktorfaktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.. Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar yang bersangkutan. 3. Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,±0 db, ±40 db, dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut. 4. Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap sedang frekuensi sudut. 5. Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan koreksikoreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut). 6. Kurva sudut fasa G( jω) H( jω) dapat digambarkan dengan menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor dasar pada butir 1. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal dari 65

23 Contoh: Suatu sistem orde 4 dengan umpanbalik satuan memiliki fungsi alih loop terbuka sbb: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 65

24 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 65

25 Sistem Phasa Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun zero pada daerah tak stabil bidang-s. Sistem Phasa Non Minimum : Sistem dengan fungsi alih yang memiliki pole dan / atau zero pada daerah tak stabil bidang-s. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 65

26 Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva Magnitude Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada frekuensi rendah. Tipe-0 kemiringan 0 db/dec Tipe-1 kemiringan -0 db/dec Tipe- kemiringan -40 db/dec Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva Magnitude 1) k p = lim s 0 G( s) H( s) Dalam domain frekuensi : k lim p G( j ) H( j ) = ω 0 ω ω Terlihat bahwa untuk ω 0 : ( ) ( ) 0logG jω H jω = 0log kp Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 65

27 = lim 0 ) k v s sg( s) H( s) Dalam domain frekuensi : G( jω) H( jω) kv Sehingga = untuk jω ω 1 k 0log v = 0log k jω v atau : 0log G( jω) H( jω) ω = 1 = 0log k v ω = 1 Alternatif lain : Perpotongan kurva -0 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada 0 db, sehingga k v = 1 jω 1 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 7 dari 65

28 k ( ) ( ) 3) a = G s H s lim s 0 Dalam domain frekuensi : G( jω) H( jω) = kv ( jω) sehingga : untuk ω 1 0log k v = 0log k v atau 0log ( ω) ( ω) ( jω) ω= 1 G j H j = 0log kv ω = 1 Alternatif lain : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 8 dari 65

29 Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada 0 db, sehingga : 0log ka = 0, ( jωa ) = ω a diperoleh : k a Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 9 dari 65

30 POLAR PLOT / NYQUIST PLOT Kurva magnitude G(jω) terhadap sudut fasa G(jω) pada koordinat polar dengan ω dinaikkan dari 0 sampai ~ Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut : G1 ( s) G ( s) Maka kurva Nyquist G( jω) = G 1 ( jω ) G ( jω) diperoleh dengan melakukan perkalian vektor. Bandingkan dengan Diagram Bode Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi. Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi setiap faktor fungsi alih loop terbuka. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 30 dari 65

31 PENGGAMBARAN POLAR PLOT 1. Faktor-faktor Integral dan turunan Untuk G( jω) G( jω) = 1 ω G( jω) = 90 o Untuk G( jω) G( jω) = ω ( ) G jω = 90 o = 1 jω = jω I m ω ~ bid G(jω) R e ( ω) G j = 1 jω ω 0 ω ~ I m bid G(jω) ω = 0 R e Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 31 dari 65

32 . Faktor-Faktor Orde-1 1 Untuk G( jω ) = 1 + jωt 1 G( jω) = 1+ ω T G jω = tan 1 ωt ( ) Pada ω=0 G( j ) ω = 1 0 o Pada ω = 1 T 1 G( jω ) = 45 o pada ω ~ G( j ) ω = 0 90 o Kurva Nyquist berupa setengah lingkaran dikuadran IV dengan titik pusat -0,5+j0 dan jari-jari 0,5. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 3 dari 65

33 Bukti : G( jω ) = x + jy dengan 1 x = 1+ Pers lingkaran : dan y = ω T 1+ ωt ω T 1 x + y = r 1 1 T T ω ω + T + = + T 1 1 ω 1 ω Untuk G( jω) = 1+ jωt ( ) 1 pada ω G( jω) G jω = + ω T tan 1 ωt = 0 = 1 0 o 1 ω = G jω = 45o T ω ~ G jω = ~ 90 o pada ( ) pada ( ) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 33 dari 65

34 Untuk G( jω ) = 1+ jωt Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 34 dari 65

35 3. Faktor-Faktor Kuadratik Untuk G( jω) 1 = ω ω + ζ j + j ωn 1 ωn ; ζ 0 ( ω) G j pada ω = 0 G( j ) pada ω ω = n = ω = 1 0 o ( ω) G j pada ω ~ G( j ) 1 ω + ζ ω ωn 1 ωn = 1 o ζ 90 ω = o ζ ω ω 1 tan n ω 1 ωn ω n dicari dari perpotongan G(jω) dengan sumbu maya. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 35 dari 65

36 ω r dicari dengan menentukan G( jω ) maximum. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 36 dari 65

37 Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut : Mr = ( ) ( ) G jω ω = ω r G jω ω = 0 Untuk G( jω) ω ω = + ζ j + j ζ ωn 1 ; 0 ωn ( ω) G j pada ω 0 : G( j ) pada ω = ω n : G( jω) pada ω ~ G( jω ) = ζ ω ω ζω ω = n + ω ω n 1 1 tan n ω 1 ω n ω = 1 0 o 90 o = ζ ~ 180 o Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 37 dari 65

38 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 38 dari 65 Untuk ( ) 0 ; = ζ ω ω ω ω ζ ω n n j j j G

39 Contoh: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 39 dari 65

40 Transport Lag Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 40 dari 65

41 Bentuk Umum Polar Plot Untuk sistem tipe-0 (λ=0) : Kurva berawal (ω=0), dan sumbu nyata positif dengan magnitude berhingga dan sudut fasa = -90 o pada titik tersebut kurva berakhir (ω=~). Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m) Untuk sistem tipe-1 (λ=1) : Pada ω=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif, akibat kontribusi suku jω pada penyebut. Kurva berakhir pada titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu. Untuk sistem tipe- (λ=) : Kurva asimtotis terhadap sumbu nyata negatif untuk frekuensi rendah dan berakhir pada salah satu sumbu. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 41 dari 65

42 Bagian pembilang G(jω) menentukan kerumitan bentuk kurva Nyquist (kontanta waktu pembilang). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 4 dari 65

43 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 43 dari 65

44 Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase margin untuk cakupan frekuensi kerja. Kenaikan konstanta penguatan G(jω) hanya menggeser kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya. Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan. Kurva G(jω) simetris terhadap titik asal dengan 1 G( jω 1 = G jω G jω mengingat 0log = 0logG( jω) ( ) ( ) 1 G( jω) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 44 dari 65

45 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 45 dari 65

46 KRITERIA KESTABILAN NYQUIST ( ) ( ) C s R s ( ) ( ) ( ) G s = 1+ G s H s Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik 1+ G( s) H( s ) = 0 terletak disebelah kiri bidang-s. Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak disebelah kanan bid-s. Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop terbuka G( jω) H( jω) terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup 1+ G( s) H( s) yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s. Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup. Perlu pemahaman konsep pemetaan bidang-s ke bidang F( s) = 1+ G( s) + H( s). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 46 dari 65

47 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 47 dari 65

48 Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan 1. Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s, maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah jarum jam pada di bidang F(s).. Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal. 3. Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup dibidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah zero tersebut. 4. Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak mengelilingi titik asal pula. 5. Pemetaan dari bidang-s ke bidang T(s) merupakan pemetaan 1-1, sebaliknya tidak. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 48 dari 65

49 Teori Pemetaan : Anggap F( s) = p( s) q( s) Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup dibidang-s. Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak melalui pole-pole / zero-zero tersebut). Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s). Maka : Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang mengelilingi titik asal searah jarum jam = Z - P. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 49 dari 65

50 Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah kanan (lintasan Nyquist). Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian nyata positip tercakup pada lintasan Nyquist. Sistem stabil bila tak ada akar-akar 1+G(s)H(s) = 0 didalam lintasan Nyquist. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 50 dari 65

51 Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka Pengelilingan titik asal oleh kurva 1 + G(jω) H(jω) berubah menjadi pengelilingan titik -1 + j0 oleh kurva G(jω) H(jω). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 51 dari 65

52 Kriteria Kestabilan Nyquist [Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya jω]. Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di sebelah kanan bidang-s dan lim s ~ G(s)H(s) = konstan, maka sistem stabil bila kurva G(jω)H(jω) mengelilingi titik -1 + j0 sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam. Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s). Bila ada satu atau lebih pole G(s)H(s) dititik asal (pada bid-s), maka lintasan Nyquist harus tidak mencakupnya). Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 5 dari 65

53 Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi titik asal searah jarum jam Z = N + P. Z = N + P Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam. P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s. Sistem stabil bila Z = 0 : 1) P = 0 dan N = 0 ) Bila P 0, maka N = -P Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara hatihati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh. Bila ada fungsi transendental (misal e -Ts ) pada G(s)H(s), dekati fungsi tersebut dengan suku pertama deret. e Ts Ts 1 = Ts ( Ts) 8 ( Ts) 8 ( Ts) 48 ( Ts) e Ts Ts 1 Ts 1+ = Ts + Ts selanjutnya gunakan kriteria Routh. Bila kurva G(jω)H(jω) melalui titik -1+j0, berarti ada polepole loop tertutup pada sumbu jω : sistem berosilasi. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 53 dari 65

54 Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s) pada Sumbu jω Ambil G( s) H( s) = k s( s + 1) Pemetaan s = ε θ ; ε 0 dengan θ; 90 o sampai + 90 o, maka e j ( ε θ ) ( ε θ ) G e j H e j k k = e e j = jθ ε θ ε (setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari hingga ) N = 0 ; P = 0 Z = 0 (stabil) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 54 dari 65

55 Ambil G( s) H( s) = s k ( ) Ts + 1 Pemetaan jφ o s = ε e ; t 0; θ: 90 sampai + 90 o, diperoleh : lim ( ) ( ) s te j G s H s θ = k e jθ ε (lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180 o hingga o ). Terlihat: N=; P=, sehingga Z= (tak stabil) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 55 dari 65

56 BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN Contoh 1: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 56 dari 65

57 Contoh : Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 57 dari 65

58 Contoh 3: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 58 dari 65

59 Contoh 4: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 59 dari 65

60 Contoh 5: Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 60 dari 65

61 Pembahasan Lanjut (Optional): 1. Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan Nyquist pada Sistem Multiple Loop.. Analisis kestabilan Relatif / Transient melalui modifikasi Lintasan Nyquist. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 61 dari 65

62 Analisis Kestabilan Relatif/Transient Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai. Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan. Asumsi pada analisis. 1. Sistem Balikan Satuan. Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka didaerah tak stabil bidang-s) Analisis melalui 1) Pemetaan Konformal (optional) ) Pemetaan Phase Margin dan Gain Margin Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 6 dari 65

63 Phase Margin dan Gain Margin Untuk k besar, sistem tak stabil. Untuk k lebih kecil, kurva G(jω) melewati titik -1+j0, sistem berosilasi (batas kestabilan). Untuk k kecil, sistem menjadi stabil. Makin dekat kurva G(jω) mengelilingi titik -1+j0, tanggapan sistem makin berosilasi. Kedekatan kurva G(jω) ketitik -1+j0 merupakan ukuran batas kestabilan : phase margin dan gain margin. Phase margin : jumlah phase lag tambahan pada frekuensi gain crossover ( ωgco ) yang diperlukan untuk membuat sistem tak stabil. ω gco : frekuensi pada saat G( jω ) = 1 o γ = + φ 180 ; φ : sudut fasa G( jωgco) Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 63 dari 65

64 Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 64 dari 65

65 Gain margin : kestabilan magnitude G( jω ) pada frekuensi phase crossover ω pco ωpco : frekuensi pada saat G( jω) = 180 o k g G j 1 ( ωpco ) Bila kg 1 : gain margin positip Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip) menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan (diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil) Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase margin positip. Untuk sistem stabil kondisional : ada atau lebih frekuensi phase crossover. Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki atau lebih frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada frekuensi gain crossover tertinggi. Tanggapan transient optimum bila : phase margin 30 0 sampai 60 0 gain margin > 6 db Untuk sitem phase minimum, phase margin berarti kemiringan kurva Bode G( jω) pada ωgco harus lebih landai dari -40db/dec. (yaitu -0db/dec) agar stabil. Bila kemiringan tersebut mencapai -60 db/dec, sistem hampir pasti tak stabil. Teknik Elektro ITB [EYS-1998] hal 65 dari 65