ANALISIS KESTABILAN ROUTH HURWITZ DAN ROOT LOCUS

Transkripsi

1 Materi VI ANALISIS KESTABILAN ROUTH HURWITZ DAN ROOT LOCUS Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear. Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan atau gangguan. Secara naluriah, sistem yang stabil adalah sistem yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dirangsang oleh sumber luar dan akan kembali diam jika semua rangsangan dihilangkan. Dengan kata lain sistem stabil bisa didasarkan atas tanu aggapan sistem terhadap masukan terbatas, yaitu masukan-masukan yang besarnya lebih kecil dari suatu harga berhingga untuk sepanjang waktu. Penyellidikan tentang derajat kestabilan dari sebuah sistem sering kali memberikan keterangan yang berharga mengenai perilakunya, yaitu jika sistem stabil seberapa dekatkah sistem itu akan menjadi tak stabil. Hal ini merupakan konsep kestabilan relatif. Biasanya kestabilan relatif dinyatakan dalam pengertian dari suatu parameter sistem tertentu yang diijinkan dimana sistem tersebut akan tetap stabil. Dalam materi ini akan dipelajari suatu fenomena penting dalam sistem kendali, yaitu stabilitas suatu system berdasarkan persamaan matematik dan tempat kedudukan akar dari suatu fungsi alih sistem. Tujuan Instruksional Khusus : Mahasiswa dapat menjelaskan dan menggunakan metode Routh-Hurwitz untuk analisis stabilitas suatu sistem Mahasiswa dapat menjelaskan dan menggunakan metode Root Locus untuk analisis stabilitas suatu sistem VI-1

2 6.1 PENDAHULUAN Untuk mempermudah analisa respons suatu sistem digunakan fungsi alih yang mengandung unsur yang diistilahkan dengan Pole Zero. Pole adalah Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function tak hingga. Akar persamaan dari penyebut (denominator) transfer function sistem. Zero adalah Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function nol. Akar persamaan dari pembilang (numerator) transfer function sistem. Total respon output sistem : Definisi kestabilan (berdasar natural response): Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur Definisi kestabilan (berdasar total response/bibo): Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang terbatas juga. Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang tidak terbatas Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( ) menghasilkan : Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau Respon sinusoidal yang teredam Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga yang merupakan kodisi sistem stabil, Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close loop di sebelah kiri bidang s sedangkang Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 poles di sumbu imajiner. Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri Kestabilan merupakan hal terpenting dalam sistem kendali linear. Pada kondisi apa sistem menjadi tak stabil, dan bagaimana cara menstabilkannya. Sistem stabil bila pole-pole loop tertutup terletak disebelah kiri bidang-s Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh Hurwitz, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s) Fungsi alih loop tertutup: c( t) c ( t) c ( t) forced natural VI-2

3 6.2 KESTABILAN ROUTH HURWITZ Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz 1. Kriteria ini menunjukkan adakah akar-akar tak stabil persamaan polinomial orde n (n=berhingga) tanpa perlu menyelesaikannya. 2. Untuk sistem kendali, kestabilan mutlak langsung dapat diketahui dari koefisienkoefisien persamaan karaktristik. Prosedur: Tulis persamaan A(s) orde-n dalam bentuk sbb: 1. Dengan koefisien-koefisien : besaran nyata dan a n 0 (akar di titik asal sudah dihilangkan) 2. Bila ada koefisien yang bernilai 0 atau negatif disamping adanya koefisien positif, maka hal ini menunjukkan ada satu akar atau akar-akar imajiner aatau memiliki bagian real positif (sistem tak stabil). Kondisi perlu (tetapi belum cukup) untuk stabil adalah semua koefisien persamaan polinom positif dan lengkap. 3. Bila semua koefisien positif, buat tabel Routh Hurwitz sbb: Dengan koefisien-koefisien sebagai berikut: VI-3

4 4. Kriteria kestabilan Routh Hurwitz: banyaknya akar tak stabil = banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh Hurwitz. 5. Syarat perlu dan cukup untuk stabil : Semua koefisien persamaan karakteristik positif, dan Semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif. Contoh 1: Diberikan suatu system dinamik sebagai beikut: Buatlah table Routh Hurwitz Jawab: Contoh 2: VI-4

5 Aplikasi Kriteria Routh Hurwitz Pada Kriteria Routh Hurwitz tak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil. Tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil. Contoh: Berapa nilai K agar system berikut stabil? VI-5

6 6.3 KESTABILAN ROOT-LOCUS Root Locus adalah metoda yang cukup efektif dalam perancangan dan analisis stabilitas dan tanggapan transien. Root Locus dapat digunakan secara kualitatif menerangkan unjuk kerja sebuah system dengan berbagai variasi perubahan parameter. Sebagai contoh, efek variasi penguatan percent overshoot, settling time, dan peak time. Disamping tanggapan transien, Root Locus dapat memberikan informasi grafis tentang stabilitas sebuah sistem. Dapat terlihat secara jelas range stabilitas, range ketidakstabilan dan kondisi yang menyebabkan system menuju osilasi. Karakteristik tanggapan transient sistem loop tertutup dapat ditentukan dari lokasi pole-pole (loop tertutupnya). Bila K berubah, maka letak pole-pole nya juga berubah. Pada desain sistem kendali pilihlah K sehingga pole-pole terletak ditempat yang diinginkan atau memindahkan letak pole yang tak diinginkan melalui pole-zero cancellation. Root Locus mempunyai sifat simetri terhadap sumbunyata. VI-6

7 Root Locus: tempat kedudukan akar-akar persamaan karakterstik dengan K = 0 sampai K = tak hingga. Mencari akar-akar persamaan karakteristik untuk sistem orde tinggi sulit, terlebih dengan K sebagai variabel DASAR ROOT LOCUS Persamaaan fungsi alih dari system di atas adalah: g A s 2 K 2s K Persamaan Karakteristik: s 2 + 2s + K = K Akar-akar Persamaan Karakteristik: s K K s 1 s j1-1+j j3-1+j3 VI-7

8 6.3.2 PLOT ROOT LOCUS a. Letakkan pole-pole dan zero-zero loop terbuka pada bidang s. b. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. c. Tentukan asimtot Root Locus: 1. Banyaknya asimtot = n m n = banyaknya pole loop terbuka m= banyaknya zero loop terbuka (2k 1) 2. Sudut-sudut asimtot:, k 0,1,2,... n m 3. Titik Potong asimtot-asimtot pada sumbu nyata: letak pole berhingga letak zero berhingga a n - m 4. Tentukan titik-titik break-away dan titik-titik break-in: Untuk Persamaan Karakteristik: B(s) + KA(s) = 0, Maka titik-titik tsb harus berada di Root Locus dan memenuhi persamaan: dk B'( s) A( s) B( s) A'( s) 0 2 ds A ( s) 5. Tentukan sudut-sudut datang / sudut-sudut berangkat untuk pole-pole / zero-zero kompleks sekawan. Sudut datang (dari suatu pole kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektor-vektor dari pole-pole lain ke pole kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari zerozero ke pole kompleks tsb). Sudut pergi (ke suatu zero kompleks) = 1800 (jumlah sudut vektorvektor dari zero-zero lain ke zero kompleks tsb) + ( jumlah sudut vektor-vektor dari polepole ke zero kompleks tsb). VI-8

9 6. Tentukan batas kestabilan mutlak sistem (K): Melalui Kriteria Routh Hurwitz. Secara analitis: memotong sumbu imajiner: s = jz 7. Sketsa Root Locus secara lebih teliti pada daerahdaerah selain sumbu nyata dan asimtot. 8. Tentukan letak pole-pole melalui nilai K yang memenuhi syarat magnitude. Sebalikya, bila letak polepole ditentukan (pada Root Locus), maka nilai K yang memenuhi dapat dihitung secara grafis atau secara analitis: Secara grafis: perkalian panjang garis - garis dari titik s ke pole - pole K perkalian panjang garis - garis dari titik s ke zero - zero Contoh: Gambarkan Root Locus sistem umpan balik satuan dengan fungsi alih K G ( s) s( s 1)( s 2) Tentukan juga nilai K agar koefisien redaman pole-pole kompleks sekawan loop tertutup dominannya bernilai 0,5. Jawab: 1. Tentukan Root Locus pada sumbu nyata. VI-9

10 2. Penentuan asimtot Root Locus Banyaknya asimtot = banyaknya pole (n) banyaknya zero (m) = 3-0 = (2k 1) Sudut asimtot =, k 0,1,2 60,180, 60 3 p z (0 1 2) 0 Titik potong asimtot pada sumbu nyata 1 n m 3 0 dk 3. Penentuan titik pencar diperoleh dari persamaan: 0 ds Persamaan karakteristik sistem adalah: K atau K ( s 3s 2s) s( s 1)( S 2) dk sehingga: ( 3s 6s 2) ds diperoleh akar s 1 = -0,4226 (memenuhi) dan s 2 = -1,5774 (tidak memenuhi) 4. Penentuan batas kestabilan sistem menggunakan kriteria Routh Hurwitz. Syarat stabil tercapai bila 0 < K < 6. Bila dihitung, perpotongan Root Locus dengan sumbu khayal ini terjadi pada: s j 2 5. Tentukan beberapa titik uji dekat titik pencar yang memenuhi syarat sudut Root Locus agar diperoleh plot Root Locus secara akurat. VI-10

11 6. Gambar Root Locus nya: 7. Penentuan letak pole-pole kompleks sekawan dominan yang memiliki koefisien redaman 0,5. Anggap pole kompleks sekawan 2 s n j n 1. Dengan memperhatikan gambar dibawah ini, maka terlihat bahwa = cos. Untuk, = 0,5 maka = Dengan menggunakan cara analitis akan diperoleh pole-pole dominan tersebut adalah : s = -0, j0,5780, dengan nilai K adalah: VI-11

12 6.3.3 PLOT ROOT LOCUS DENGAN MATLAB Persamaan karakteristik Root Locus: Perintah MATLAB untuk menggambar Root Locus (Konsep Fungsi Alih): rlocus(num, den) Untuk konsep ruang waktu: rlocus (A, B, C, D) Pada kedua perintah tersebut, penguatan lup terbuka sistem K secara otomatis ditentukan. Apabila pole-pole lup tertutup untuk beberapa nilai K ingin dihitung, maka perintah berikut ini dapat digunakan : rlocus(num,den,k) atau rlocus(a,b,c,d,k) K = vektor yang berisi semua nilai penguatan dimana pole-pole loop tertutup ingin dihitung. Contoh 1: Plot Root Locus menggunakan MATLAB suatu sistem kendali umpan balik satuan: Perintah dalam Matlab: G(s) = num/den num = [ ]; den = [ ]; rlocus(num,den) Hasilnya adalah sebagai berikut VI-12

13 Contoh 2: Gambarkan Root Locus dari motor DC berikut ini: Diketahui parameter dari motor DC tersebut adalah: moment of inertia of the rotor (J) = E-6 kg.m 2 /s 2 damping ratio of the mechanical system (b) = E-6 Nms electromotive force constant (K=Ke=Kt) = Nm/Amp electric resistance (R) = 4 ohm VI-13

14 electric inductance (L) = 2.75E-6 H input (V): Source Voltage output (theta): position of shaft The rotor and shaft are assumed to be rigid Persamaan Dinamik Motor DC: Torque motor, T, memiliki korelasi dengan arus armature, i, dengan pengali konstanta Kt. Nilai back emf, e, memiliki hubungan dengan kecepatan rotasi sebagai berikut: Dimana Kt = konstanta armature sama dengan Ke yang merupakan konstanta motor. Berdasarkan persamaan di atas dan kaitan dengan Hukum Kircoff dan Hukum Newton dapat diperoleh persamaan sebagai berikut: Menggunakan kaidah transformasi Laplace, persamaan di atas berubah menjadi: Dengan melakukan eliminasi I(s) akan diperoleh persamaan fungsi alih: atau Maka untuk mendapatkan Root Locus menggunakan MATLAB adalah sebagai berikut: J=3.2284E-6; b=3.5077e-6; K=0.0274; R=4; L=2.75E-6; num=k; den=[(j*l) ((J*R)+(L*b)) ((b*r)+k^2) 0]; rlocus(num,den) VI-14

15 6.4. RINGKASAN Sistem stabil bila pole-pole loop tertutup suatu sistem terletak disebelah kiri bidang-s Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh Hurwitz, dapat diketahui jumlah pole loop tertutup yang terletak didaerah tak stabil tanpa perlu mencari solusi persamaan karakteristik A(s). Pada beberapa kasus, parameter sistem adalah penguatan loop K. Root Locus dapat digunakan secara kualitatif menerangkan unjuk kerja sebuah system dengan berbagai variasi perubahan parameter K. Disamping tanggapan transien, Root Locus dapat memberikan informasi grafis tentang stabilitas sebuah sistem. Dapat terlihat secara jelas range stabilitas, range ketidakstabilan dan kondisi yang menyebabkan system menuju osilasi. SOAL-SOAL : 1. Untuk setiap polinom ciri, menggunakan kriteria Routh Hurwitz tentukan apakah polinom berikut menyatakan sebuah sistem yang stabil atau tak-stabil a. 2s 4 + 8s s 2 +10s+20 b. s 3 + 7s 2 +7s + 46 c. s 6 + 4s 4 + 8s Tunjukkan bahwa tempat kedudukan akar untuk sistem kendali dengan Adalah busur lingkaran yang berpusat pada titik asal dengan jari-jari sama dengan Gambarkan Sketsa tempat kedudukan akar untuk sistem dengan VI-15

16 Tentukan titik-titik yang tepat dengan tempat kedudukan akar memotong sumbu j VI-16