I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS)

Transkripsi

1 Teori Ring Definisi dan Beberapa Contoh Ring I RING DAN LAPANGAN (RING AND FIELDS) Pada teori group, kita hanya mengenal satu operasi, yang dalam struktur aljabar hanya mengenal satu operasi pada sembarang himpunan yang tak kosong yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Struktur aljabar yang terdiri dari himpunan tak kosong dan menggunakan dua operasi biner tambah dan kali dinotasikan secara berturut-turut + dan dinamakan Ring. Pada bagian ini akan kita membahas ring, dan beberapa jenis-jenis ring diantaranya daerah integral (Integral Domain dan Lapangan). Definisi (Ring). Suatu ring (R,+, ) adalah himpunan R bersama dengan dua operasi biner + dan. Yang dibaca dengan tambah dan kali yang didefinisikan pada R sedemikian sehingga sifat-sifat berikut berlaku. 1. <R,+> merupakan grup abelian (group komutatif) 2. (a b) R 3. a (b c) = (a b) c 4. a (b + c) = a b + a c dan (b + c ) a = b a + c a Catatan: (i) Untuk pembahasan selanjutnya, penulisan a b sering ditulis ab bila operasi merupakan perkalian yang kita kenal sehari-hari dan a + (-b) ditulis a - b. (ii) Identitas operasi jumlah pada ring (R, +, ) disimbolkan dengan 0 dan disebut unsur nol dari ring. (iii) Invers penjumlahan dari a di R disimbol a dan disebut unsur negatif dari a. 1

2 (iv) Jika kita mengatakan bahwa R ring, yang dimaksud adalah R adalah himpunan tak kosong dengan dua operasi biner + dan sedemikian sehingga (R, +, ) ring. Beberapa Contoh Contoh: Berikut ini adalah contoh himpunan tak kosong yang merupakan ring dengan operasi yang diberikan 1) < Z, +, > 6) < M (2,Z), +, > 2) < Q, +, > 7) < Z[ 2], +, > 3) < R, +, > 8) < f R, +, > 4) < C, +, > 9) < RxS, +, >, dengan R dan S masing-masing merupakan ring 5) < Z n, +, > Jika pada ring R, terdapat unsur 1 sedemikian sehingga a 1 = 1 a = a, a R, maka R adalah Ring dengan unsur kesatuan (Ring with unit.element.) Jika pada ring R, berlaku sifat a b = b a, a,b R, maka R dikatakan Ring Komutatif (Comutative Ring). Teorema 1. Misalkan R ring, 0 adalah unsur nol di R dan a, b, c R (a) 0a = a0 = 0 (b) a(-b) = (-a)b = -(ab) (c) (-a)(-b) = ab (d) a(b c) = ab ac dan (a b)c = ac bc. Jika R mempunyai unsur kesatuan, maka (e) (-1)a = -a (f) (-1)(-1) = 1 Drs. Rusli, M.Si. 2

3 Teori Ring Misalkan R ring dengan operasi tambah dan kali, serta misalkan bahwa identitas untuk operasi jumlah dan kali berturut-turut adalah 0 dan 1, maka a, b, c R, kita peroleh: (a) kita dapat menulis, a0 = a(0 + 0) [ sifat unsur 0 di R ] a0 = a0 + a0 [ sifat distribusi kanan ] 0 + a0 = a0 + a0 [ sifat unsur 0 di R ] a0 = 0 [ karena R grup terhadap +, maka a0 di R, tambahkan kedua ruas dengan a0 ] Dengan cara sama, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, dengan menggunakan sifat distribusi kiri, diperoleh 0a = 0. (b) Pertama-tama akan ditunjukkan a(-b) = -(ab). Perhatikan bahwa: ab + a(-b) = a[b + (-b)] = a0 = 0 (dengan menggunakan sifat distribusi kanan dan bagian (a) pada lemma ini. Dengan demikian diperoleh bahwa a(-b) = -ab. Dengan cara sama ab + (-a)b = [a + (-a)]b = 0b = 0, diperoleh (-a)b = -ab. (c) (-a)(-b) = -(a(-b) (menurut bagian (b)) = -(-(ab)) (menurut bagian (b)) = ab (d) a(b c) = a[b + ( c)] (definisi operasi pengurangan) = ab + a(-c) (sifat distibusi kanan) = ab + (-ac) (menurut bagian (b)) = ab ac (definisi operasi pengurangan) Dengan cara sama (a b)c = ac bc. (e) Misalkan bahwa R mempunyai unsur kesatuan 1, maka: a + (-1)a = 1a + (-1)a = [1 + (-1)]a = 0a = 0 Ini berarti bahwa (-1)a = -a. (f) Jika dipilih a = -1 pada bagian (e), diperoleh (-1)(-1) = 1. 3

4 INTEGRAL DOMAIN DAN SUBRING Definisi Jika R ring komutatif dan a R, a 0. a dikatakan unsur pembagi nol jika terdapat b R, b 0 ab=0. Definisi Ring komutatif dengan unsur kesatuan dikatakan Daerah Integral (Integral Domain) jika tidak mempunyai unsur pembagi nol. Definisi R ring, R dikatakan Ring Pembagian (Division Ring) jika unsur-unsur tak nol merupakan grup terhadap perkalian. Contoh 1. <Z,+, >, <Q,+, >,<R,+, > merupakan daerah integral 2. <Z 6,+, > bukan daerah integral Teorema Jika R integral domain, a,b,c R, a 0 dan ab=ac, maka b=c. Definisi S himpunan S R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R. Contoh <2Z,+, > subring dari <Z,+, > dan <Z,+, > subring dari <Q,+, > Teorema R ring, S R, S subrung jhj S memenuhi sifat berikut: 1. S 2. a,b S, a+b S dan a b S 3. a S, -a S Contoh R =: <f R,+, >, S =:{f R f(1)=o}, maka S subring. Contoh R adalah himpunan bilangan bulat terhadap operasi tambah dan kali biasa, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Drs. Rusli, M.Si. 4

5 Teori Ring Contoh R = {2z : z Z} terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif tetapi tidak mempunyai unsur kesatuan. Contoh R adalah himpunan bilangan rasional terhadap opearsi penjumlahan dan perkalian biasa merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan Contoh R adalah himpunan bilangan bulat modulo 7 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 7 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh R adalah himpunan bilangan bulat modulo 6 terhadap penjumlahan dan perkalian mod 6 merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh Misalkan F adalah himpunan semua fungsi dari f : R R, dengan operasi penjumlahan dan perkalian fungsi, maka F merupakan ring komutatif. Contoh Misalkan R adalah himpunan bilangan bulat modulo n, maka R merupakan ring komutatif terhadap operasi penjumlahan dan perkalian mod n. Contoh Misalkan R adalah himpunan bilangan kompleks dengan operasi penjumlahan dan perkalian biasa, R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan. Contoh Misalkan R adalah himpuanan matriks ordo nxn unsur bilangan bulat merupakan ring yang tak komutatif dengan unsur kesatuan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Contoh Jika Z 6 adalah himpunan himpunan bilangan bulat modulo 6. Selidiki apakah Z 6 merupakan ring dengan unsur pembagi nol. 5

6 Contoh Jika Z 5 adalah himpunan bilangan bulat modulo 5.. Selidiki apakah Z 6 merupakan ring tanpa unsur pembagi nol. Contoh Misalkan R=Z 5, kan bahwa R=Z 5 merupakan ring pembagian. Tunjukkan bahwa <Z,+, >, <Q,+, >,<R,+, > merupakan daerah integral Tunjukkan bahwa <Z 6,+, > bukan daerah integral kan bahwa jika R adalah ring tanpa pembagi nol jika dan hanya jika hukum penghapusan berlaku. kan bahwa jika R adalah lapangan, maka R merupakan ring tanpa unsur pembagi nol. Misalkan R lapangan, maka R merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dimana setiap unsur tak nolnya memiliki invers di R terhadap operasi perkalian. Ambil a, b dua unsur sebarang di R, dengan ab=0. Sekarang jika a 0, maka a -1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan a -1 (ab) = a -1 0 sehingga kita punya b=0. Jadi jika a 0, ab=0, maka b=0. Dengan cara sama bila b 0, maka b -1 ada, sehingga ab=0 mengakibatkan (ab)b -1 = 0b -1 sehingga kita punya a=0. Dengan demikian jika b 0, ab=0, maka a=0. Sehingga dapat disimpulkan bahwa R tanpa pembagi nol. Teorema Daerah Integral (D) yang hingga merupakan lapangan. Sebelum kita membuktikan teorema ini, kita kembali pada pengertian daerah integral merupakan ring komutatif sedemikian sehingga ab=0 jika dan hanya jika paling sedikit satu dari a=0 atau b=0. Sedangkan lapangan merupakan ring Drs. Rusli, M.Si. 6

7 Teori Ring komutatif dengan unsur kesatuan yang mana setiap unsur tak nol mempunyai invers. Dengan demikian untuk membuktikan bahwa daerah integral yang hingga itu merupakan lapangan, kita harus menunjukkan bahwa (a) 1 D, sedemikian sehingga a1=a, untuk setiap a D. (b) untuk setiap a 0, a D, terdapat b D, sedemikian sehingga ab=1. Misalkan {x 1, x 2,, x n }adalah semua unsur-unsur D dan misalkan a 0 D. karena D ring, maka x 1 a, x 2 a,, x n a semuanya juga termuat di D. Claim x 1 a, x 2 a,, x n a semuanya berbeda. Ambil x i a, x j a dua unsur D dengan x i a = x j a untuk i j, maka (x i - x j ) j a=0. Karena D daerah integral dan a 0, maka x i - x j = 0, sehnigga x i = x j. Kontradiksi dengan x i x j.untuk i j. Jadi x 1 a, x 2 a,, x n a semuanya berbeda. Dengan demikian D tepat mempunyai n buah unsur yang berbeda. Dengan kata lain untuk setiap y D, dapat ditulis sebagai y = x i a, untuk suatu x i D. Karena a D, maka a=x io a, untuk suatu x io D. Karena D komutatif, maka a = x io a = ax io. Sekarang jika sebagai y = x i a, untuk suatu x i D, dan y x io = (x i a) x io = x i (a x io ) = x i a= y. Jadi x io merupakan unsure kesatuan dari D dan kita tulis 1. Sekarang 1 D, dengan menggunakan fakta bahwa setiap unsur di D, merupakan perkalian dengan suatu unsur lain dengan a. Dengan kata lain 1 D, maka terdapat b D, sedemikian sehingga 1=ba, dan karena D komutatif maka 1=ba=ab. Dengan demikian teorema telah terbukti. Akibat Z p Lapangan jhj p bilangan prima. Berdasarkan teorema di atas, cukup kita tunjukkan bahwa Z P merupakan daerah integral. Ambil a,b dua unsur sebarang dari Z p dengan ab=0, maka ab habis dibagi oleh p dan karena p prima maka p harus membagi a atau b. Dengan kata lain jika p membagi a maka a = 0 dan jika p membagi b maka b=0. Jadi a,b Z p, dan ab=0 maka a=0 atau b=0. Dengan demikian Z p merupakan daerah integral karena unsurunsur dari Z p hingga maka Z p merupakan lapangan. 7

8 Pertanyaan (a) apakah Ring Z[ 2] merupakan daerah integral (b) apakah Ring Z[ 2] merupakan lapangan (c) apakah Ring Q[ 2] merupakan sublapangan dari R Teorema Setiap lapangan adalah daerah integral Misalkan F adalah lapangan, maka F adalah ring komutatif. Selanjutnya ambil a, b unsur-unsur sebarang di F dengan ab=0.akan ditunjukan bahwa a=0 atau b=0. Misalkan a 0, karena F lapangan maka a -1 F. Dengan demikian a -1 (ab)= a -1 0=0., atau b=0. Dengan cara sama ditunjukkan jika b 0 maka a=0 Definisi Daerah Integral D dikatakan mempunyai karakteristik 0 (nol) jika na=0, dengan a 0dan n bilangan bulat hanya dipenuhi oleh n=0. Latihan Selidiki apakah Z, Q, R, C dan Z n mempunyai karakteristik nol. Definisi DaerahIintegral D dikatakan mempunyai karakteristik hingga jika terdapat bilangan bulat positif n sehingga na=0, a D Teorema Karakteristik daerah integral yang hingga selalu hingga. Drs. Rusli, M.Si. 8

9 Teori Ring Misalkan D adalah daerah integral yang hingga dan misalkan 1 unsur kesatuan di D, maka menurut definisi karakteristik D akan hingga atau tak hingga. Dengan demikian order dari 1 (D dipandang sebagai grup komutatif terhadap operasi penjumlahan) adalah 0 atau hingga. Sekarang karena order setiap unsur grup hingga adalah hingga, dan karena 1 unsur D, maka order dari 1 hingga sebut n,yaitu n1 = 0. Sekarang ambil a K sebarang, maka, na = a + a+ +a sebanyak n suku = 1a+ 1a+ +1a sebanyak n suku = ( ) a = (n1)a = 0a (karena n1=0) = 0 (karena 0 a = 0, a D) Jadi n adalah bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na = 0, a D. Karenanya karakteristik dari D hingga. Teorema Jika D integral domain, maka karakteristik dari D adalah 0 atau prima. Misalkan D adalah integral domain dan a sebarang unsur D. Sekarang kasus jika order dari a adalah 0, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah 0. Dengan ini teorema telah terbukti. Selanjutnya jika order dari a adalah hingga sebut n, bila D dipandang sebagai grup terhadap operasi penjumlahan, maka karakteristik dari D adalah n dan akan kita tunjukkan bahwa D merupakan bilangan prima. Andaikan n komposit, dan misalkan n = n 1 n 2 dengan n 1 1, n 2 1 dan 9

10 n 1 <n, n 2 <n. Sekarang karena n merupakan karakteristik dari D, maka n merupakan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga na=0, a D, a 0. Sehingga kita punya na = 0 n 1 n 2 a = 0 (n 1 n 2 a)b = 0b, b D, b 0. Definisi S himpunan S R, diakatakan subring dari R jika S merupakan ring terhadap operasi pada R. Contoh <2Z,+, > subring dari <Z,+, > dan <Z,+, > subring dari <Q,+, > Teorema R ring, S R, S, S subring jhj S memenuhi sifat berikut: 4. a,b S, a+b S dan a b S 5. a S, -a S Misalkan Contoh R =: <f R,+, >, S =:{f R f(1)=o}, maka S subring. Definisi K Himpunan bagian tak kosong dari F adalah sublapangan jika K adalah lapangan terhadap operasi yang sama pada F. Teorema Subhimpunan K dari lapangan F adalah sublapangan dari F jhj Drs. Rusli, M.Si. 10

11 Teori Ring (i). a,b K, berlaku a-b K (ii) a,b K dan b 0, berlaku ab -1 K (syarat perlu). Misalkan K adalah sub lapangan dari F, maka terhadap operasi yang dengan F, K juga merupakan lapangan. Karenanya untuk setiap b K, berlaku -b K. Jadi a+(-b) K untuk setiap a, b K. karena a - b = a + (-b) K. Juga untuk setiap b K dan b 0, maka b -1 ada dan di K. Karenanya ab -1 K, untuk setiap a, b K. Sebaliknya (syarat cukup). Misalkan K himpunan bagian unsur tak kosong dari F sedemikian sehingga (i) a K, b K a b K. (ii) a K, 0 b K ab -1 K 2 Homomorfisma, Ideal dan Ring Faktor 2.1 Homomorfisma Pada saat mempelajari grup, kita telah mengenal konsep homomorfisma pada suatu grup. Konsep homomorfisma ini juga merupakan suatu konsep yang sangat penting dalam ring. Kita kembali pada homomorfisma grup, didefinisikan sebagai pemetaan yang memenuhi relasi φ(ab)=φ(a)φ(b). Karena ring memiliki dua operasi, maka definisi homomorfisma pada ring diberikan sebagai berikut. 11

12 Definisi Misalkan R dan R masing-masing merupakan ring. Pemetaan φ:r R dikatakan homomorfisma jika untuk setiap a,b R. memenuhi (1) φ (a+b)= φ(a)+ φ(b) dan (2) φ(ab)= φ(a) φ(b) Lemma Jika φ adalah homomorfisma dari R ke R, maka 1. φ(0)=0 2. φ(-a)=- φ(a), untuk setiap a R (i) Jika a unsur sebarang di R, maka a+0=a=0+a, sehingga φ(a)=φ(a+0)=φ(a) +φ(0), demikain pula φ(a)=φ(0+a)=φ(0) +φ(a), karenanya φ(a)+φ(0)=φ(0) +φ(a)= φ(a), φ(a) R, akibatnya φ(0)adalah unsure nol di R, yaitu : φ(0)=0. (ii) Jika a unsur sebarang di R, maka a+(-a)= 0 =(-a)+a, sehingga φ(0)=φ(a+(-a))=φ(a)+φ(-a) φ(0)=φ((-a)+a)=φ(-a)+φ(a) karenanya φ(a)+φ(-a)=φ(-a)+φ(a)= φ(0), φ(a) R akibatnya -φ(a)=φ(-a) Definisi Jika φ homomorfisma dari R ke R, maka kernel I(φ), adalah himpunan semua unsur a R sehingga φ(a)=0 unsur nol di R. Drs. Rusli, M.Si. 12

13 Teori Ring Lemma Jika φ adalah morfisma dari R ke R dengan kernel I(φ), maka 1. I(φ) adalah subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. 2. jika a I(φ) dan r R maka keduanya ar dan ra unsur kernel φ.. (1) (a) Ambil a, b I(φ), maka φ(a)=0 dan φ(b)=0. Sekarang pandang φ(a+b), karena φ suatu homomorfisma, maka φ(a+b)=φ(a) + φ(b) = 0+0 = 0. Jadi a+b I(φ), dengan kata lain I(φ) tertutup terhadap operasi penjumlahan. (b) Ambil a I(φ) sembarang, maka φ(a)=0 dan karena φ(-a)=-φ(a)=- (0)=0, ini berarti -a I(φ). Dari (a)-(b) dapat disimpulkan bahwa I(φ) merupakan subgrup dari R. (2) Misalkan a I(φ), dan r R, maka φ(a)=0, perhatikan bahwa φ(ar) = φ(a)φ(r) = 0φ(r) = 0, dengan demikian ar I(φ). Dengan cara sama φ(ra) = φ(r)φ(a) = φ(r)0 = 0, berdasarkan definisi I(φ) diperoleh ar dan ra kedua-dunya terletak di I(φ). Contoh Misalkan R dan R sebarang ring, dan dengan φ(a)=0, a R, maka φ:r R adalah homomorfisma, lebih dari itu I(φ)=R. φ disebut homomorfisma nol. 13

14 Ambil a, b sembarang dua unsur di R, maka φ(a)=0 dan φ(b)=0. Sekarang perhatikan φ(a+b)=0=0+0=φ(a)+φ(b) dan φ(ab)=0=(0)(0)=φ(a)φ(b). Jadi φ merupakan suatu homomorfisma. Contoh Misalkan R ring dan R=R dan didefinisikan φ(x)=x, x R, maka φ adalah homomorfisma dan I(φ)={0}. Ambil x, y sembarang dua unsur di R, maka φ(x)=x dan φ(y)=y. Sekarang perhatikan φ(x+y)=x+y=φ(x)+φ(y) dan φ(ab)=xy=φ(x)φ(y). Jadi φ merupakan suatu homomorfisma. Karena hanya 0 R, yang dipetakan ke 0 pada R, maka I(φ)={0}. Contoh Misalkan Z[ 2] adalah himpunan bilangan riil yang berbentuk m+n 2 dengan m, n bilangan-bilangan bulat. Dapat kita tunjukkan bahwa Z[ 2] merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Didefinisikan φ: Z[ 2] Z[ 2] dengan φ(m+n 2)=m-n 2, maka φ homomorfisma dan I(φ)={0}. Ambil x, y sembarang dua unsur di R, x= m 1 +n 1 2, dan y= = m 2 +n 2 2, dengan m 1, n 1, m 2, n 2 Z. maka φ(m 1 +n 1 2)= m 1 -n 1 2 dan φ(m 2 +n 2 2)= m 2 - n 2 2. Sekarang perhatikan bahwa x+y= (m 1 +n 1 2+m 2 +n 2 2) = (m 1 +m 2) +(n 1 +n 2 ) 2 dan xy=(m 1 +n 1 2)(m 2 +n 2 2)= (m 1 m 2 +2n 1 n 2 +(m 1 n 2 +n 1 m 2 ) 2) maka Drs. Rusli, M.Si. 14

15 Teori Ring φ(x+y)=φ(m 1 +n 1 2+m 2 +n 2 2) =φ((m 1 +m 2) +(n 1 +n 2 ) 2) =(m 1 +m 2 )-(n 1 +n 2 ) 2 =((m 1 -n 1 2)+(m 2 -n 2 ) 2)) =φ(x)+φ(y) dan φ(xy)=φ((m 1 +n 1 2)(m 2 +n 2 2)) =φ((m 1 m 2 +2n 1 n 2 +(m 1 n 2 +n 1 m 2 ) 2)) =(m 1 m 2 +2n 1 n 2 -(m 1 n 2 +n 1 m 2 ) 2) =(m 1 m 2 -m 1 n 2 2-n 1 m 2 2+2n 1 n 2 ) =(m 1 -n 1 2)(m 2 +-n 2 2) =φ(m 1 +n 1 2)φ(m 2 +n 2 2) =φ(x)φ(y) Jadi φ merupakan suatu homomorfisma Contoh Misalkan Z n adalah ring bilangan bulat modulo n. definisikan I: Z Z n dengan φ(a)=sisa dari a apabila dibagi oleh n, maka φ homomorfisma. Contoh Misalkan R himpunan semua fungsi-fungsi kontinu bernilai riil pada interval tutup [0,1]. R terhadap operasi penjumlahan dan perkalian fungsi merupakan ring. Selanjutnya misalkan F adalah ring bilangan riil terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, serta didefinisikan pemetaan φ R F, dengan φ(f(x))=f(1/2). Dengan pengaitan yang demikian φ merupakan homomorfisma yang bersifat pada dari R ke F. 15

16 Definisi Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu monomorfisma jika homomorfisma tersebut satu-satu. Lemma Homomorfisma φ dari R ke R dikatakan suatu monomorfisma jika dan hanya jika I(φ)=(0). Misalkan φ monomorfisma (satu-satu). Ambil x I(φ), maka kita mempunyai φ(x)=0=φ(0). Karena φ satu-satu haruslah x=0. Jadi I(φ)={0}. Sebaliknya misalkan I(φ)=0, ambil x,y R sembarang yang bersifat φ(x)=φ(y). Karena φ merupakan homomorfisma, maka kita punya hubungan φ(x+(-y))=φ(x)-φ(y)=0. Dengan demikian kita peroleh x-y I(φ), karena I(φ)={0}, maka x=y. Ini membuktikan bahwa φ: R R bersifat satu-satu (monomorfisma). Definisi Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu epimorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat pada. Definisi Suatu homomorfisma dari R ke R dikatakan suatu isomorfisma jika homomorfisma tersebut bersifat satu-satu dan pada. Homomorfisma yang dimaksud pada definisi di atas, merupakan homomorfisma yang memenuhi sifat monomofisma dan epimorfisma. Dengan kata lain suatu homomorfisma merupakan suatu isomorfisma jika Drs. Rusli, M.Si. 16

17 Teori Ring homomrfisma tersebut merupakan suatu monomorfisma dan epimorfisma. Dengan demikian jika kita memandang pemetaan tersebut sebagai fungsi, maka homomorfisma yang bersifat isomorfisma bila berbicara pada fungsi merupakan fungsi bijektif yaitu suatu fungsi yang bersifat injektif (satu-satu) dan surjektif (pada). 17

18 2.2 Ideal Ide mengkonstruksi grup faktor pada saat mempelajari grup kita akan ulangi dalam mempelajari ring, ide tersebut kita terapkan untuk mendapatkan ring faktor (quotien), sehingga konsep grup faktor merupakan konsep yang sama dengan konsep ring faktor (quotien). Pada pembentukan grup faktor, terlebih dahulu kita mengkonstruksi koset dan subgrup normal, kemudian terbentuklah grup faktor. Pada bagian ini kita terlebih dahulu membicarakan ideal kemudian dari ideal ini kita mengkonstruksi suatu ring yang unsur-unsurnya merupakan ideal yang selanjutnya kita namakan dengan ring faktor atau ring quotien. Definisi Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kiri dari R jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap u R, ru U. Definisi Suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal kanan dari R jika (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan, (2) untuk setiap u R, ur U. Berdasarkan definisi dan kita definisikan bahwa suatu himpunan bagian tak kosong U dari R dikatakan ideal dari R, jika merupakan ideal kiri sekaligus merupakan ideal kanan dari R. Jelas bahwa {0} dan R merupakan ideal dari sembarang ring R. Ideal yang demikian disebut ideal trivial atau sering juga disebut dengan improper ideal. Semua ideal dari U dari R yang berbeda dari {0} dan R disebut proper ideal atau ideal sejati. Drs. Rusli, M.Si. 18

19 Teori Ring Lemma Syarat perlu dan cukup bahwa himpunan bagian tak kosong U dari R, merupakan ideal dari R bila memenuhi (i) jika a U, dan b U, maka a-b U, dan (ii) jika u U, dan r R, maka ur U dan ru U. (syarat perlu). Misalkan U ideal dari ring R, maka U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan dan untuk setiap u U, dan r R berlaku ur R dan ru R. tetapi syarat perlu dan cukup bahwa U merupakan subgrup terhadap penjumlahan adalah jika a, b U sembarang, maka a-b U. Dengan demikian kita punya jika U ideal dari R, maka berlaku (i) jika a U, dan b U, maka a-b U, dan (ii) jika u U, dan r R, maka ur U dan ru U. (syarat cukup). Misalkan U himpunan tak kosong dari R, yang memenuhi sifat (i) jika a U, dan b U, maka a-b U, dan (ii) jika u U, dan r R, maka ur U dan ru U. Dari sifat (i) kita peroleh bahwa U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan, sehingga kita punya sifat bahwa jika sifat (i) jika a U, dan b U, maka a-b U, dan (ii) jika u U, dan r R, maka ur U dan ru U berlaku, maka (1) U merupakan subgrup dari R terhadap penjumlahan (2) untuk setiap u R, ur U. Dengan demikian U merupakan ideal dari R. Lemma Irisan sembarang dua ideal dari R juga merupakan ideal dari R Misalkan U 1 dan U 2 sembarang dua ideal dari R, maka U 1 dan U 2 merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karenanya U 1 U 2 juga merupakan subgrup dari R. Sekarang misalkan u U 1 U 2 sembarang dan 19

20 r R. Karena U 1 dan U 2 merupakan ideal-ideal dari R, maka ur U 1, ru U 1 dan ur U 2 dan ru U 2, akibatnya ur U 1 U 2 dan ru U 1 U 2 merupakan ideal dari R. Lemma Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan semua koleksi ideal-ideal dari R yang memuat M merupakan ideal terkecil yang memuat M. Misalkan {S α α Λ} adalah koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka menurut definisi ideal setiap S α merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan subgrup-subgrup dari R yang memuat M juga merupakan subgrup yang memuat M, kita peroleh bahwa {S α α Λ} adalah subgrup dari R yang terkecil yang memuat M. Selanjutnya ambil u {S α α Λ} sembarang dan r R sembarang, maka u S α untuk setiap α Λ, dan karena S α merupakan ideal untuk setiap α Λ, maka ur S α dan ru S α, untuk setiap α Λ. Akibatnya ur {S α α Λ} dan ru {S α α Λ}. Dengan demikian {S α α Λ} merupakan ideal dari R dan karena {S α α Λ} himpunan terkecil yang memuat M, maka dapat disimpulkan bahwa {S α α Λ} merupakan ideal terkecil yang memuat M. Ideal yang kita bicarakan pada lemma biasanya dikenal juga dengan nama ideal yang dibangun oleh M. ideal yang demikian selanjutnya ditulis (M). Definisi Suatu ideal yang dibangun oleh satu unsur disebut dengan ideal utama (principal ideal). Drs. Rusli, M.Si. 20

21 Teori Ring Definisi Misalkan R ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol disebut ring ideal utama jika setiap ideal dari R merupakan ideal utama. Ekivalen dengan definisi di atas adalah bahwa bila R merupakan daerah integral dengan unsur kesatuan merupakan ring ideal utama jika setiap ideal U dari R dibangun oleh satu unsur, yaitu U=(a), untuk suatu a R. Contoh Misalkan Q himpunan semua bilangan rasional dan Z himpunan semua bilangan bulat. Jelas Z merupakan himpunan bagian dari Q. Pembaca dapat menunjukkan bahwa Q merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dan Z merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Z bukan merupakan ideal kiri maupun kanan, sebab perkalian antara bilangan rasional dengan bilangan bulat tidak senantiasa merupakan bilangan bulat demikian pula bahwa perkalian antara bilangan bulat dengan bilangan rasional tidak senantiasa merupakan bilangan bulat. Berdasarkan contoh di atas, dengan mudah kita dapat menemukan bilanagn rasionan dan bilangan bulat yang memenuhi contoh di atas, yaitu dengan memilih 2/3 Q, dan 5 Z, maka (2/3)(5)=10/3 Z demikian pula 5(2/3)=10/3 Z, dan masih banyak lagi bahkan tak terhingga banyaknya bilangan rasional dan bilangan bulat yang dapat kita pilih sedemikian sifat ini tidak berlaku. Contoh

22 Misalkan R himpunan semua bilangan riil dan Q himpunan semua bilangan rasional, maka jelas sekali bahwa Q R, dan pembaca dengan mudah dapat menunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian serta Q merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Tetapi Q bukan merupakan ideal kiri maupun ideal kanan. Sebagai latihan pembaca di minta untuk menemukan bilangan rasional Q dan bilangan riil R yang bersifat bahwa a Q, r R, tetapi ar Q dan a Q, r R, tetapi ra Q Contoh Misalkan R ring semua matriks ordo 2x2 dengan unsur-unsur bilangan bulat, a c a 0 yaitu R= a, b, c, d Z dan H= a, b Z, maka H b d b 0 merupakan ideal kiri dari R, tetapi H bukan ideal kanan dari R. Contoh Misalkan R seperti pada contoh 2.1.3, dan S=himpunan matriks 2x2 yang 0 a berbentuk a, b Z, maka H merupakan ideal kiri dari R tetapi H 0 b bukan ideal kanan. Contoh Misalkan m sembarang bilangan bulat positif tetapi tetap dan T={ma a Z}, maka untuk sembarang dua unsur ma dan mb di T, berlaku ma-mb=m(ab) T, karena a Z dan b Z, maka a-b Z. Jadi T merupakan grup terhadap Drs. Rusli, M.Si. 22

23 Teori Ring operasi penjumlahan. Sekarang ambil ma T sembarang dan b Z, maka (ma)b=m(ab) T, karena Z bersifat assosiatif terhadap operasi perkalian dan b(ma)=(bm)a=m(ba) T, karena Z bersifat komutatif dan assosiatif terhadap operasi perkalian. Definisi Suatu ideal M R dalam ring R, dikatakan ideal maksimal dari R jika terdapat ideal U dari R sedemikian sehingga M U R, maka R=U atau M=U. Ekivalen dengan definisi di atas, adalah M ideal dari R dan M R, dikatakan ideal maksimal jika tidak terdapat ideal sejati dari R yang memuat M. ideal. Berikut ini akan diberikan beberapa sifat yang berhubungan dengan Lemma Lapangan tidak mempunyai ideal sejati Misalkan S ideal tak nol dari lapangan F dan misalkan a sembarang unsur tak nol dari S, maka S merupakan himpunan bagian dari F, akibatnya berlaku Jika a S, maka a F, karena F ring, maka a -1 F Sekarang karena S ideal dari F, maka berlaku Jika a S, dan a -1 F, maka 1=aa -1 S Sehingga diperoleh bahwa 1 S. Selanjutnya ambil x F sembarang, dan karena S ideal dari F, maka berlaku atau x S karena 1 S, dan x F, maka 1x S, dan karena x F diambil sembarang, mengakibatkan x S, maka F S, tetapi karena S ideal dari F, maka kita punya juga relasi S F. Dengan 23

24 demikian kita simpulkan bahwa S=F. Jadi setiap ideal tak nol dari F merupakan ideal yang sama dengan F, dengan kata lain bahwa ideal dari F hanya {0} dan F sendiri. Karenanya suatu lapangan tidak mempunyai ideal sejati. Lemma Jika R ring komutatif dan a R, maka Ra={ra r R} merupakan ideal dari R. Ambil x,y sembarang dua unsur di Ra, maka x=r 1 a dan y=r 2 a, untuk suatu r 1,r 2 di R, maka x-y = r 1 a-r 2 a =( r 1 -r 2) a Ra. Dengan demikian Ra merupakan subgrup dari Ra terhadap operasi penjumlahan. Sekarang ambil r R dan r 1 a Ra sembarang, maka r(r 1 a)= (rr 1 )a Ra dan (r 1 a)r= (r 1 r)a Ra. Karenanya Ra merupakan ideal dari R. Lemma Ring komutatif dengan unsur kesatuan yang tidak mempunyai ideal sejati senantiasa merupakan lapangan. Misalkan R adalah ring komutaif dengan unsur kesatuan dan tidak mempunyai ideal sejati. Dengan kata lain ideal dari R hanyalah {0} dan R sendiri. Untuk menunjukkan bahwa R lapangan, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, mempunyai invers di R. Ambil sembarang a R dengan a 0, definisikan himpunan Ra={ra r R}, maka menurut lemma 2.2.5, Ra merupakan ideal dari R. Karena 1 R, maka a=1a Ra, dan karena a 0, maka Ra merupakan ideal dari R yang tak nol. Berdasarkan hipotesis bahwa R tidak mempunyai ideal sejati dan Ra ideal tak nol di R, maka haruslah R=Ra. Selanjutnya karena 1 R dan Ra=R, maka Drs. Rusli, M.Si. 24

25 Teori Ring mesti terdapat unusr b R sedemikian sehingga ba=1, tetapi karena R komutatif, maka ab=1. Jadi a -1 =b R. Dengan demikian bahwa untuk setiap unsur tak nol dari R, senantiasa mempunyai invers atau dengan kata lain bahwa R merupakan lapangan. Lemma Jika a unsur pada suatu ring komutatif dengan unsur kesatuan, maka himpunan Ra={ra r R} merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a. Telah ditunjukkan bahwa pada lemma bahwa Ra merupakan ideal, juga karena R merupakan dengan unsur kesatuan maka a=1a Ra. Jadi Ra merupakan ideal yang memuat unsur a. Selanjutnya untuk menunjukkan bahwa Ra merupakan ideal utama, maka akan ditunjukkan bahwa Ra adalah ideal terkecil dari R yang memuat a, dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap ideal dari R yang memuat a, juga memuat Ra. Misalkan S ideal dari R yang memuat a dan ra sembarang unsur dari Ra, maka r R. Karena S ideal dari R yang memuat a, maka ra S. jadi ra Ra, mengakibatkan ra S, karena ra diambil sembarang di ra, maka berarti bahwa setiap unsur di Ra, juga merupakan unsur S, atau Ra S. Akibatnya Ra termuat pada setiap ideal dari R yang memuat a, dengan demikian Ra merupakan ideal terkecil yang memuat a. Dengan kata lain Ra merupakan ideal utama dari R yang dibangun oleh a. Lemma Ring bilangan bulat Z merupakan ring ideal utama Karena ring bilangan bulat ring komutatif dengan unsur kesatuan dan tanpa unsur pembagi nol, sehingga untuk menujukkan bahwa Z merupakan ring 25

26 ideal utama, cukup ditunjukkan bahwa setiap ideal dari Z merupakan ideal utama. Misalkan S sembarang ideal dari Z. Jika s={0}, maka jelas S merupakan ideal utama. Sekarang misalkan S {0}, maka S senantiasa mempunyai unsur paling sedikit satu yang tak nol, sebut 0 a S. Selanjutnya, karena S ideal maka S merupakan subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan, dengan demikian jika a S, maka -a S, sehingga S memiliki paling sedikit satu unsur positif. Sekarang, misalkan s unsur positif yang terkecil dalam S. Claim bahwa S merupakan ideal utama yang dibangun oleh s. Sebagaimana telah ditunjukkan bahwa himpunan yang berbentuk Zs={as a Z} adalah ideal utama yang dibangun oleh s. Sehingga kita akan tunjukkan bahwa Zs=S. Ambil as sembarang unsur dari Zs, maka a Z, dan karena S ideal dari Z, maka as S. jadi kita punya bahwa jika as Zs, maka as S. Ini berarti bahwa Zs S (1) Sekarang ambil n sembarang unsur di S, maka menurut algoritma pembagian yang dikenakan pada n dan s, terdapat bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga n=qs+r, dengan 0 r < s karena s S, dan q Z, maka qs S, juga karena n S, maka r=n-qs S (S subgrup dari Z), sehingga r S. Tetapi karena 0 r < s dan s unsur positif terkecil dari S, maka haruslah r=0, karenanya n=qs Zs (karena q Z, maka qs ZS). Jadi setiap unsur di S juga merupakan unsur di Zs, dengan demikian S Zs (2) Dari (1) dan (2) kita punya S=Zs Drs. Rusli, M.Si. 26

27 Teori Ring Tetapi karena Zs merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, maka S juga merupakan ideal utama yang dibangun oleh s, dan karena S diambil sembarang ideal dari Z, maka setiap ideal dari Z, merupaka ideal utama. Dengan kata lain bahwa Z merupakan ring ideal utama. Lemma Irisan sembarang dua ideal pada suatu ring R, senantiasa merupakan ideal pada ring R. Misalkan U 1 dan U 2 sembarang dua ideal dari ring R, maka U 1 dan U 2 merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan. Karena irisan dua subgrup dari R juga merupakan subgrup dari R, maka U 1 U 2 subgrup dari R. Sekarang ambil sembarang a U 1 U 2 dan r R, maka a U 1 dan a U 2. Sehingga ar U 1, ra U 1 dan ar U 2, ra U 2, maka ar U 1 U 2 dan ra U 1 U 2. Ini menunjukkan bahwa U 1 U 2 merupakan ideal dari R. Lemma Misalkan M himpunan bagian tak kosong dari ring R, maka irisan koleksi semua ideal pada R yang memuat M adalah ideal terkecil yang memuat M. Misalkan {S α α Λ} koleksi semua ideal-ideal dari R yang memuat M, maka setaip S α merupakan subgrup dari R (terhadap operasi penjumlahan) yang memuat M. Karena irisan semua subgrup dari R yang memuat M adalah subgrup terkecil yang memuat M, maka {S α α Λ} adalah subgrup terkecil yang memuat M. Sekarang ambil a { {S α α Λ}} sembarang dan r R sembarang, maka a S α, untuk setiap α Λ. Sehingga ar dan ra unsur di S α, untuk setiap α Λ (Mengapa), akibatnya ar { {S α α Λ}} dan 27

28 ra { {S α α Λ}}. Dengan ini maka {S α α Λ} adalah ideal terkecil yang memuat M dan sering dikatakan ideal yang dibangun oleh M dan ditulis (M). 3.3 Ring Faktor Misalkan bahwa U adalah ideal (kiri dan kanan) dari ring R. Kita mengkonstruksi suatu himpunan baru yaitu R/U yaitu himpunan yang unsurunsurnya adalah semua koset-koset yang berbeda dari U dalam R. Karena U adalah ideal dari R, maka menurut definisi ideal, U merupakan subgrup dari R terhadap operasi penjumlahan, dan karena R merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan, maka koset kiri dari U dalam R juga merupakan koset kanan dari U dalam R, sehingga kita lebih senang menyebut kata koset. Karena R/U memuat semua koset-koset dari U dalam R, maka R/U merupakan himpunan yang unsur-unsurnya berbentuk U+a, dengan a sembarang unsur dari ring R. lebih dari itu R/U juga merupakan grup terhadap operasi penjumlahan. Himpunan R/U ternyata merupakan suatu ring (ditunjukkan pada sifat berikut), ring yang demikian disebut dengan ring faktor (Ring Quoti en). Lemma Misalkan U ideal (ideal kiri dan kanan) dari ring R, maka himpunan R/U yaitu himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua koset-koset dari U+a, a sembarang unsur dari ring R. Dengan operasi (U+a)+(U+b)=U+(a+b) (U+a)(U+b)=U+ab maka R/U merupakan ring. Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa operasi yang didefinisikan di atas terdefinisi dengan baik. Misalkan Drs. Rusli, M.Si. 28

29 Teori Ring S+a = S+a dan S+b = S+b Sehingga a S+a dan b S+b, karenanya terdapat α dan β di S sedemikian sehingga a =α+a dan b =β+b akibatnya, a +b =(α+a)+(β+b)=(a+b)+(α+β) sehingga (a +b )-(a+b)=(α+β) S (karena S subgrup) karenanya S+(a +b )=S+(a+b) atau (S+a )+(S+b )=(S+a)+(S+b), sehingga penjumlahan dalam R/S terdefinisi dengan baik. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa operasi perkalian di R/S terdefinisi dengan baik. Yaitu akan ditunjukkan, jika U+a=U+a dan U+b=S+b ; maka dengan operasi perkalian (U+a)(U+b)=(U+a )(U+b ). Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa ab+u=a b +U. Karena U+a=U+a dan U+b=S+b, maka a=a +u 1, dimana u 1 U, dengan cara sama b=b +u 2, dimana u 2 U. Jadi ab=(a +u 1 )(b +u 2 )=a b +u 1 b +a u 2 +u 1 u 2 ; karena U ideal dari R, maka u 1 b U, a u 2 U, u 1 u 2 U. Akibatnya u 3 =u 1 b +a u 2 +u 1 u 2 U, sehingga ab= a b +u 3. Akibatnya ab+u= a b +u 3 +U=a b +U (karena u 3 U, maka u 3 +U=U). Selanjutnya dengan kedua operasi tersebut di R/S memenuhi sifat. (i) Penjumlahan assosiatif di R/S, Ambil (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang tiga unsur di R/S, maka {(S+a)+(S+b)}+(S+c) ={S+(a+b)}+(S+c) =S+{(a+b)+c} =S+{a+(b+c)}[penjumlahan assosiatif di R] =(S+a)+{S+(a+b)} =(S+a)+{(S+b)+(S+c)}. (ii) Identitas penjumlahan ada di R/S, yaitu koset (S+0), sebab jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka 29

30 (S+a) +(S+0)=(S+(a+0)=S+a dan (S+0)+(S+a)=S+(0+a)=S+a. (iii) Setiap Koset di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S. Sebab Jika diambil sembarang koset (S+a) di R/S, maka dapat dipilih (S+(-a)) juga unsur di R/S (kenapa?) sedemikian sehingga (S+a)+(S+(-a))=(S+0)=(S+(-a))+(S+a) Karenanya setiap unsur (S+a) di R/S mempunyai invers penjumlahan di R/S (iv) dengan operasi penjumlahan komutatif di R/S, sebab jika diambil dua unsur sembarang (S+a) dan (S+b) di R/S, maka (S+a)+(S+b)=S+(a+b)=(S+b+a)=(S+b)+(S+a) (v) operasi perkalian assosiatif di R/S, sebab jika (S+a), (S+b), dan (S+c) sembarang tiga unsur di R/S, maka {(S+a)(S+b)}(S+c)=(S+(ab)(S+c) =S+(ab)c) =S+a(bc) =(S+a)(S+bc) =(S+a){(S+b)(S+c)} (vi) operasi perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan di R/S, sebab jika diambil (S+a), (S+b), dan (S +c) sembarang tiga unsur di R/S, maka (S+a){(S+b)+(S+c)}=(S+a)(S+b+c) =(S+a(b+c)) =(S+ab+ac) =(S+ab)+(S+ac) =(S+a)(S+b)+(S+a)(S+c) Dengan cara sama {(S+a)+(S+b)}(S+c)= (S+a)(S+c)+(S+b)(S+c) Dengan demikian R/U adalah ring, dan disebut dengan ring faktor(quotien ring), atau ring kelas residu, atau ring differens. Drs. Rusli, M.Si. 30

31 Teori Ring Catatan (i) Jika R komutatif, maka R/S juga komutatif, sebab jika (S+a) dan (S+b) dua unsur sembarang di R/S, maka (S+a)(S+b)=(S+ab)=(S+ba)=(S+b)(S+a) (ii) Jika R ring dengan unsur kesatuan, maka R/S juga merupakan ring dengan unsur kesatuan, dengan unsur kesatuan (S+1), sebab jika jika diambil (S+a) sembarang unsur di R/S, maka (S+a)(S+1)=(S+a+1)=(S+a) dan (S+1)(S+a)=(S+1+a)=(S+a) Lemma Misalkan S suatu ideal pada ring komutatif R dengan unsur kesatuan adalah maksimal jika dan hanya jika ring R/S adalah lapangan. Karena R ring komutatif dengan unsur kesatuan. Maka ring faktor R/S merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan dan unsur identitas terhadap operasi penjumlahan dan perkalian berturut-turut adalah (S+0) dan (S+1), dengan 0 dan 1 berturut-turut merupakan unsur nol dan unsur kesatuan pada R. Selanjutnya misalkan S adalah ideal maksimal, akan ditunjukkan bahwa R/S adalah lapangan. Dengan kata lain akan ditunjukkan bahwa setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Ambil S+a R/S sembarang unsur tak nol di R/S, maka S+a S+0, karenanya a S [karena S+a=S+0 a S]. Selanjutnya misalkan T ideal utama yang dibangun oleh a, sebut T={αa:α R} Karena jumlah dua ideal dari R, juga merupakan ideal dari R, maka S+T ideal dari R yang memuat S. Sekarang, karena a S dan a=0+1a S+T dan karena S ideal maksimal di R, maka haruslah S+T=R. Sekarang karena 1 R, 31

32 kita punya 1=b+αa, untuk suatu b S dan α R [karena R=S+T], sehingga 1- αa=b S. Akibatnya S+1=S+αa Atau S+1=(S+a)(S+α), dengan α R. Dengan cara sama, (S+1)=(S+α)(S+a) Dengan demikian (S+a) -1 =(S+α) R/S. Sehingga untuk setiap unsur tak nol di R/S mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Karenanya R/S lapangan. Sebaliknya, misalkan S ideal dari R sedemikian sehingga R/S lapangan. Akan ditunjukkan bahwa S ideal maksimal dari R. Misalkan T ideal di R yang memuat S, maka setiap unsur-unsur di R yang termuat di S juga termuat di T. Sehingga akan ditunjukkan bahwa R=T, yaitu cukup ditunjukkan bahwa setiap unsur dari R yang tak termuat di S termuat di T. Misalkan a S, maka S+a S+0, dengan kata lain S+a bukan unsur nol di R/S. Karena T memuat S, maka terdapat unsur b T, sedemikian sehingga b S, akibatnya S+b bukan unsur nol di R/S. Sekarang R/S lapangan, sehingga bila (S+a) R/S, dan (S+b) R/S, maka S+(ab -1 )=(S+a)(S+b -1 )=(S+a)(S+b) -1 R/S Sehingga ab -1 R, dan karena T ideal dari T, serta b T, maka a=ab -1 b T. Jadi setiap unsur R yang tidak termuat di S, termuat di T, dengan demikian R T, tetapi karena T R, maka R=T. Hal ini menunjukkan bahwa S ideal maksimal di R. Soal-Soal 1. Jika U ideal dari R dan 1 U, buktikan bahwa U=R. 2. Jika F lapangan, buktikan ideal dari F hanya (0) dan F sendiri. Drs. Rusli, M.Si. 32

33 Teori Ring 3. Jika R ring komutatif dan a R, (a) tunjukkan bahwa ar = {ar r R} merupakan ideal dari R. (b) Tunjukkan dengan contoh, bahwa sifat (a) tidak benar bila R tidak komutatif. 4. Jika U dan V ideal-ideal dari R, misalkan U+V={u+v u U, v V}. kan bahwa U+V juga merupakan ideal dari R. 5. Jika U dan V ideal-ideal dari R. Misalkan UV adalah himpunan semua unsure yang berbentuk uv, dengan u U dan v V, yang jumlahnya hingga. kan bahwa UV merupakan ideal dari R. 6. Dalam soal 5. kan bahwa UV U V. 7. Jika R ring bilangan bulat dan U ideal kelipatan 17. kan bahwa jika V ideal dari R dan R V U, maka V=R atau V=U. 8. Jika U ideal dari R, misalkan r(u)={x R xu=0, u U}. kan bahwa r(u) merupakan ideal dari R. 9. Jika U merupakan ideal dari R, misalkan [R:U]={x R rx U, r R}. kan bahwa [R:U] ideal dari R dan memuat U. 10. Misalkan R ring dengan unsur kesatuan. Dengan unsur-unsur pada R, kita akan mendefinisikan ring R, dengan operasi a b = a + b + 1 dan a b=ab+a+b, dengan a, b, R. (a) Tunjukkan bahwa R merupakan ring terhadap operasi dan (b) Sebutkan unsur yang merupakan unsur nol di R (c) Sebutkan unsur yang merupakan unsur kesatuan di R. (d) Buaktikan bahwa R isomorfik dengan R. 11. Untuk a R, misalkan Ra={xa x R}. kan bahwa Ra adalah ideal kiri. 12. kan bahwa irisan dua ideal kiri dari R juga merupakan ideal kiri dari R. 33

34 13. Apakah yang anda dapat katakan mengenai irisan ideal kiri dengan ideal kanan dari R? 14. Jika R ring dan a R, misalkan r(a)={x R ax=0}. kan bahwa r(a) merupakan ideal kanan dari R. 15. Jika R suatu ring dan L suatu ideal kiri dari R, misalkan λ(l)={x R xa=0, a L}. kan bahwa λ(l) merupakan ideal dari R. 16. Jika R ring dengan unsur kesatuan dan ϕ suatu homomorfisma dari R pada R. kan bahwa ϕ(1) merupakan unsur kesatuan pada R. 17. Jika R suatu ring dengan unsur kesatuan 1 dan ϕ suatu homomorfisma dari R ke daerah integral R sedemikian sehingga I(ϕ) R, buktikan bahwa ϕ(1) unsur kesatuan dari R (I(ϕ) adalah kernel/inti pemetaan ϕ). Drs. Rusli, M.Si. 34