Penaksiran Distribusi Outstanding Claims Liability Menggunakan Compound Distribution

Transkripsi

1 Statistika, Vol. 9 No. 2, Nopember 29 Peaksira Distribusi Outstadig Claims Liability Megguaka Compoud Distributio ACENG KOMARUDIN MUTAQIN Program Studi Statistika MIPA Uiversitas Islam Badug Jl. Purawarma No. 63 Badug. Telp Et. 136, a shidiq_3@yahoo.com, da s37_aceg@studets.itb.ac.id ABSTRAK Outstadig claims liability serigkali mejadi salah satu isu yag mejadi perhatia yag sagat besar dari para peeliti di bidag asurasi umum. Dalam makalah ii, dibahas masalah peaksira distribusi outstadig claims liability megguaka compoud distributio. Cotoh umerik diberika utuk megilustrasika bagaimaa peaksira dilakuka. Kata Kuci: outstadig claims liability, aggregate Loss models, compoud distributio, ru-o triagle 1. PENDAHULUAN Meaksir bayakya uag yag harus dikeluarka di masa datag utuk membayar klaimklaim yag telah terjadi merupaka suatu pekerjaa yag sagat petig bagi perusahaa asurasi. Pertaggugjawaba perusahaa asurasi terhadap klaim-klaim yag telah terjadi da belum dibayarka tersebut serig disebut sebagai outstadig claims liability. Disebut outstadig claims karea adaya retag waktu atara terjadiya klaim sampai klaim tersebut diselesaika, sehigga klaim baru bisa diselesaika setelah meuggu waktu yag lama sejak klaim terjadi. Lamaya waktu tergatug pada retag waktu atara kerugia terjadi sampai dilaporka, waktu atara saat pelapora sampai klaim tersebut diproses, da waktu atara selesaiya klaim diproses sampai klaim tersebut diselesaika. Permasalaha megeai bagaimaa meghitug outstadig claims liability biasaya diselesaika dega megguaka metode statistika. Ii terjadi karea bayakya uag da waktu pembayara klaim tidak diketahui, hal ii membuat ketidakpastia (ucertaity) megeai outstadig claims liability. Derajat ketidakpastiaya tergatug pada kelas bisis (lie o busiess) yag diambil. Secara umum ada dua kelas bisis, yaitu short-tail da log-tail (Olosso, 26). Kelas bisis short-tail adalah suatu bisis dimaa peudaa atara terjadiya klaim da waktu peyelesaiaya sigkat, serigkali kurag dari satu tahu. Cotoh dari kelas bisis short-tail adalah ire, earthquake, burglary ad thet, credit, da automobile physical damage. Kelas bisis log-tail adalah suatu bisis dimaa peudaa atara terjadiya klaim da waktu peyelesaiaya lama, mugki lebih dari satu tahu (serigkali lebih dari lima tahu (Atkis, 21)). Cotoh dari kelas bisis log-tail adalah asurasi motor third party liability, aircrat, medical malpractice, private property, reisurace da marie isurace. Umumya masalah peaksira outstadig claims liability utuk asurasi kelas bisis log-tail didasarka ru-o triagle data. Ada beberapa metode statistika yag berbeda utuk meaksir outstadig claims liability asurasi kelas bisis log-tail berdasarka pada ru-o triagle data. Secara umum metode tersebut terbagi ke dalam dua bagia besar, yaitu yag siatya determiistik da stokastik. Metode chai ladder mugki merupaka metode yag palig populer utuk meaksir outstadig claims liability yag siatya determiistik (Mack, 1993). Alasa utamaya adalah karea kesederhaaaya da bersiat bebas distribusi. Metode ii serig diguaka sebagai gold stadard (bechmark) karea pegguaaya yag umum da mudah utuk diterapka. Metode lai yag tergolog determiistik adalah separatio method da paymet per claim ialized model (Taylor et al., 23). 115

2 116 Aceg Komarudi Mutaqi Metode utuk meaksir outstadig claims liability berdasarka pada ru-o triagle data yag siatya stokastik terbagi ke dalam dua bagia besar yaitu yag termasuk requetist da Bayesia. Yag termasuk ke dalam metode requetist diataraya adalah Kremer pada tahu 1982 (Atoio et al., 26) megguaka model log-ormal; Brosius (1992), Murphy (1994), da Mack (1993, 1994) megguaka model-model regresi berdasarka pada lik ratio; Barett, da Zehwirth (2) megguaka model-model regresi yag mereka sebut sebagai ELR (eteded lik ratio amily) da PT (probabilistic tred amily); Eglad da Verrall (22) megguaka model-model yag termasuk dalam GLM (geeralized liear models) da GAM (geeralized additive models); Verral (22) melibatka epert opiio utuk meaksir outstadig claims liability; Sedagka De Jog (26) megguaka moder time series orecastig. Aalisis Bayes utuk meaksir outstadig claims liability telah diguaka oleh Jewell (1989, 199), Verrall (199), da Haastrup da Arjas (1996); sebagai suatu review lihat de Alba (24). De Alba (26) megguaka aalisis Bayes utuk meaksir outstadig claims liability ketika ada ilai egati dalam ru-o triagle. Tekik bootstrap da Mote Carlo juga dipakai utuk meghitug predictio errors da predictio distributios dari taksira outstadig claims liability (sebagai rujuka lihat Eglad da Verrall (22), da Piheiro et al. (23)). okus utama dari makalah ii buka haya pada masalah meaksir outstadig claims liability, tetapi juga meaksir distribusi dari taksira outstadig claims liability. Pedekata yag diguaka utuk meaksir distribusi tersebut adalah compoud distributio (Klugma et al., 24). Pedekata ii megguaka iormasi megeai distribusi dari pembayara idividu pemegag polis da distribusi dari bayakya pembayara di masa datag. Jadi pedekata ii megguaka data klaim idividu pemegag polis, berbeda dega pedekata-pedekata yag dijelaska sebelumya yag megguaka ru-o triagle data sebagai dasar dalam meaksir outstadig claims liability. Sisa dari makalah ii disusu sebagai berikut. Outstadig claims liability dibahas pada Bagia 2. Bagia 3 meguraika aggregate loss models. Sedagka compoud distributio dari outstadig claims liability diuraika pada Bagia 4. Bagia terakhir berisika cotoh umerik. 2. OUTSTANDING CLAIMS LIABILITY Umumya peaksira outstadig claims liability utuk asurasi kelas bisis log-tail didasarka pada ru-o triagle data. Ru-o triagle data memuat gambara klaim keseluruha (aggregate), da merupaka rigkasa dari suatu data set klaim-klaim idividu (Atoio et al., 26). Data yag ada dalam ru-o triagle data biasaya merupaka salah satu dari dua kemugkia berikut, yaitu claims amout (besarya klaim) atau umber o claims (bayakya klaim), dimaa keduaya tersaji dalam betuk cumulative atau icremetal. Utuk lebih okus, dalam bahasa selajutya haya aka diguaka claims amout (besarya klaim) daripada umber o claims (bayakya klaim). Misalka Dij meyataka peubah acak besarya klaim (dalam betuk icremetal) utuk klaim-klaim yag terjadi pada accidet period i da dibayarka pada developmet period j, dimaa 1 i, da 1 j. Peubah acak Dij mempuyai pegamata jika i + j + 1 (ruo triagle data), laiya merupaka pegamata-pegamata yag aka datag atau merupaka klaim-klaim yag belum terselesaika (outstadig claims) da berada dalam uture triagle (Olosso, 26). Umumya satua dari period adalah tahu, tapi mugki juga kuartal (lihat Taylor, da McGuire (24)). Tabel 1 megilustrasika ru-o triagle data da uture triagle data dalam betuk icremetal, dimaa baris meujukka accidet period, kolom meujukka developmet period, sedagka diagoal (kiri bawah sampai kaa atas) merepresetasika pembayara klaim dalam setiap paymet period. Ru-o triagle data adalah sel-sel Dij (utuk i + j + 1) yag berwara putih da berada dalam segitiga atas pada Tabel 1. Sedagka uture triagle data adalah sel-sel Dij (utuk i + j > + 1) yag berwara abu-abu da berada dalam segitiga bawah pada Tabel 1. Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29

3 Peaksira Distribusi Outstadig Claims Liability 117 Tabel 1. Ru-o Triagle Data da uture Triagle Data dalam Betuk Icremetal Ru-o triagle data dalam betuk cumulative, Cij, dapat dibetuk berdasarka icremetal, Dij, melalui hubuga berikut, C ij j 1 ; utuk 1 i, 1 j, da i + j + 1 (1) Cij dapat diyataka sebagai besarya klaim kumulati utuk klaim-klaim yag terjadi pada accidet period i da dibayarka sampai dega developmet period j. Ru-o triagle data dalam betuk cumulative disajika dalam Tabel 2. Besarya klaim kumulati sampai dega developmet period, yaitu C i 1 ; utuk i = 2, 3,, (2) disebut sebagai ultimate claims (Mack, 1993). Tabel 2. Ru-o Triagle Data dalam Betuk Cumulative Outstadig claims liability utuk accidet period i (Ri) dideiisika sebagai atau R i + ; utuk i = 2,, (3) Ri = Ci Ci, + 1 i ; utuk i = 2,, (4) Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29

4 118 Aceg Komarudi Mutaqi Dega perkataa lai, outstadig claims liability utuk accidet period i merupaka pejumlaha sel-sel Dij di baris i yag ada pada uture triagle. Sedagka total outstadig claims liability (R) dideiisika sebagai pejumlaha outstadig claims liability utuk semua accidet period i (i = 2,, ), yaitu R = D ik i= 2 + (5) Dega perkataa lai, total outstadig claims liability (R), merupaka jumlah semua Dij dalam uture triagle. Dalam praktikya, outstadig claims liability perlu ditaksir megguaka iormasi dari ruo triagle data. Misalka Dˆ ij merupaka peaksir utuk Dij yag ada dalam uture triagle, maka outstadig claims liability utuk accidet period i ditaksir oleh, R i + ˆ ; utuk i = 2,, (6) da total outstadig claims liability ditaksir oleh, R = D ˆ ik (7) i= AGGREGATE LOSS MODELS Bagia ii aka membahas model-model utuk kerugia aggregate, total besarya pembayara utuk semua klaim yag terjadi dalam suatu periode waktu tertetu pada suatu portoolio pemegag polis asurasi. Semua uraia dalam bagia ii diambil dari Klugma et al. (24). Misalka S, meyataka kerugia aggregate, yaitu jumlah dari suatu peubah acak, N, pembayara idividu (1, 2,, N). Oleh kareaya, S = N ; utuk N =, 1, 2, (8) dimaa S =, ketika N =. Deiisi 1. Collective risk model mempuyai betuk seperti pada Persamaa (8) dimaa j merupaka peubah acak yag salig bebas da berdistribusi idetik (idepedet ad idetically distributed iid), kecuali selaiya ditetapka. Lebih ormal lagi, asumsi-asumsi kebebasa tersebut adalah: 1. Bersyarat pada N =, peubah acak 1, 2,, adalah iid. 2. Bersyarat pada N =, distribusi dari peubah acak 1, 2,, tidak tergatug pada. 3. Distribusi dari N tidak tergatug pada ilai-ilai dari 1, 2,. Deiisi 2. Idividual risk model meyataka kerugia aggregate sebagai suatu jumlah, S = , dari jumlah tetap,, pemegag polis asurasi. Besarya kerugia utuk pemegag polis adalah (1, 2,, ), dimaa j diasumsika salig bebas tetapi tidak diasumsika berdistribusi idetik. Distribusi dari j biasaya mempuyai suatu masa peluag pada ol, berkaita dega peluag tidak ada kerugia atau pembayara. Dalam kasus dimaa j berdistribusi idetik, idividual risk model mejadi kasus khusus dari collective risk model, dimaa distribusi dari N merupaka distribusi degeerate dega semua peluagya pada saat N = adalah Pr(N = ) = 1. Distribusi dari S dalam Persamaa (8) diperoleh dari distribusi dari N da distribusi dari j. Dega megguaka pedekata ii, rekuesi da severity dari klaim-klaim dimodelka secara terpisah. Iormasi megeai distribusi dari rekuesi da severity diguaka utuk medapatka iormasi megeai S. Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29

5 Peaksira Distribusi Outstadig Claims Liability COMPOUND DISTRIBUTION DARI OUTSTANDING CLAIMS LIABILITY Semua uraia yag ada pada bagia ii diambil dari Klugma et al. (24). Misalka S meyataka kerugia aggregate yag berkaita dega suatu set dari N pegamata klaim 1, 2,, N yag memeuhi asumsi kebebasa (8). Pedekata utuk membagu distribusi dari S adalah melalui tahapa berikut: 1. Membagu suatu model utuk distribusi dari N berdasarka pada data. 2. membagu suatu model utuk distribusi umum dari j berdasarka pada data. 3. megguaka kedua model di atas, utuk medapatka distribusi dari S. Peubah acak S yag ada pada Persamaa (8) mempuyai ugsi distribusi = Pr( S ) S = = = = p p Pr( S N = ) * dimaa () = Pr( ) adalah ugsi distribusi dari j da p = Pr(N = ). Dalam Persamaa * (9), adalah -old covolutio dari ugsi distribusi kumulati peubah acak. Itu dapat diperoleh dari, da, = 1, < * (1) = ( y) d ( y) utuk k = 1, 2, (11) Jika adalah peubah acak kotiu dega peluag ol pada ilai-ilai egati, maka Persamaa (11) mejadi = ( y) ( y) dy utuk k = 2, 3, (12) *1 Utuk k = 1, =. ugsi desitas peluagya adalah, = ( y) ( y) dy utuk k = 2, 3, (13) Pada kasus peubah acak diskrit dega peluag positi pada, 1, 2,, Persamaa (11) mejadi = ( y) ( y), utuk =, 1,, da k = 2, 3, (14) y= ugsi peluag yag bersesuaiaya adalah = ( y) ( y), utuk =, 1,, da k = 2, 3, (15) y= Distribusi pada Persamaa (9) disebut sebagai distribusi campura (compoud distributio) da ugsi peluag utuk distribusi kerugia aggregate adalah (9) Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29

6 12 Aceg Komarudi Mutaqi * S (16) = p = Ekspektasi dari variasi dari peubah acak S adalah E(S) = E(N)E() (17) Var(S) = E(N)Var() + Var(N)[E()] 2 (18) 5. CONTOH NUMERIK Dalam bagia ii aka diilustrasika cotoh umerik dalam membagu distribusi dari outstadig claims liability megguaka compoud distributio yag diambil dari Wright (1997). Dalam Wright (1997), distribusi dari pembayara idividu pemegag polis () adalah gamma dega taksira parameter ˆ β 1 = 5742,2, da ˆ β 2 = 2,4149. Sedagka distribusi dari bayakya pembayara di masa datag (N) adalah biomial egati dega taksira parameter pˆ =,5 da mˆ = 42,9. Dega terlebih dahulu mediskritka distribusi gamma, kemudia meerapka Persamaa (16), aka diperoleh distribusi dari outstadig claims liability seperti pada Gambar 1 da 2. Gambar 1. Taksira ugsi Distribusi dari Outstadig Claims Liability Gambar 2. Taksira ugsi Desitas dari Outstadig Claims Liability Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29

7 Peaksira Distribusi Outstadig Claims Liability 121 DATAR PUSTAKA [1] Atoio, K., Beirlat, J., Hoedemakers, T., da Verlaak, R. (26). Logormal Mied Models or Reported Claims Reserves. North America Actuarial Joural Vol. 1, No. 1: [2] Atkis, G. (21). The Role o Modellig Log Tail Classes o Busiess Risk i Maagig Capital. Proceedigs o the 21 Coerece o Ehacig Shareholder Value through Capital Risk Maagemet: [3] Barett, G., da Zehwirth, B. (2). Best Estimates or Reserves. PCAS LVII: [4] Brosius, E. (1992). Loss Developmet Usig Credibility. Casualty Actuarial Society Part 7 Eam Study Kit. [5] De Alba, E. (24). Bayesia Claims Reservig. Dalam Ecyclopedia o Actuarial Sciece. Joh Wiley ad Sos: Lodo. [6]. (26). Claim Reservig Whe There are Negative Values i Ruo Triagle: Bayesia Aalysis Usig the Three-Parameter Log-Normal Distributio. North America Actuarial Joural Vol. 1, No. 3: [7] De Jog, P. (26). orecastig Ruo Triagle. North America Actuarial Joural Vol. 1, No. 2: [8] Eglad, P. D., da Verrall, R. J. (22). Stochastic Claims Reservig i Geeral Isurace. http// Dowload pada 7 Oktober 27. [9] Haastrup, S., da Arjas, E. (1996). Claims Reservig i Cotiuous Time: A Noparametric Bayesia Approach. ASTIN BULLETIN, Vol. 26, No. 2: [1] Jewell, W. S. (1989). Predictig IBNYR Evets ad Delays. I. Cotiuous Time. ASTIN BULLETIN, Vol. 19, No. 2: [11]. (199). Predictig IBNYR Evets ad Delays. II. Discrete Time. ASTIN BULLETIN 2(1): [12] Klugma, S. A., Pajer, H. H., Willmot, G. E. (24). Loss Models: rom Data to Decisios. Joh Wiley & Sos: New Jersey. [13] Mack, T. (1993). Distributio-ree Calculatio o the Stadard Error o Chai Ladder Reserves Estimates. ASTIN BULLETIN, Vol. 23, No. 2: [14]. (1994). Which Stochastic Model is Uderlyig the Chai Ladder Method? Isurace: Mathematics ad Ecoomics, 15: [15] Murphy, D. M. (1994). Ubiased Loss Developmet actors. PCAS LI: [16] Olosso, M. (26). Stochastic Loss Reservig Testig the New Guidelies rom the Australia Prudetial Regulatio Authority (APRA) o Swedish Portolio Data Usig a Bootstrap Simulatio ad Distributio-ree Method by Thomas Mack. se/mathstat/reports/serieb/26/rep13/report.pd. Dowload pada 7 Oktober 27. [17] Piheiro, P. J. R., E Silva, J. M. A., da Ceteo, M. D. L. (23). Bootstrap Methodology i Claim Reservig. The Joural o Risk ad Isurace Vol. 7, No. 4: [18] Verrall, R. J. (199). Bayes ad Empirical Bayes Estimatio or the Chai Ladder Model. ASTIN BULLETIN, Vol. 2, No. 2: [19] Taylor, G., da McGuire, G. (24). Loss Reservig with GLMs: a Case Study. Casualty Actuarial Society 24 Discussio Paper Program, Paper ii dipresetasika pada CAS Sprig 24 Meetig, Colorado Sprig, CO, May Dowload pada 24 Desember 27. [2] Taylor, G., McGuire, G., da Greeield, A. (23). Loss Reservig: Past, Preset ad uture. Ivited Lecture utuk the IV ASTIN Colloquium, Berli, August 23. Diproduksi ulag pada The Research Paper Series o the Cetre or Actuarial Studies, Uiversity o Melboure. SITE/actwww/html/19.pd. Dowload pada 24 Desember 27. [21] Wright, T. S. (1997). Probability Distributio o Outstadig Liability rom Idividual paymets Data. Isitute o Actuaries Claims Reservig Maual, Sectio D7. Statistika, Vol. 9, No. 2, Nopember 29