Eksakta: Jurnal Imu-Ilmu MIPA p. ISSN: e. ISSN: Mujiati Dwi Kartikasari

Transkripsi

1 Mujiati Dwi Kartikasari Program Studi Statistika, Uiversitas Islam Idoesia, Jala Kaliurag Km 14,5 Slema, Yogyakarta ABSTRACT Premium pricig is oe of importat activities i isurace. olife isurace premium is calculated from epected value of historical data claims. The historical data claims are collected so that it forms a sum of idepedet radom umber which is called radom sum. I premium pricig usig radom sum, claim frequecy distributio ad claim severity distributio are combied. The combiatio of these distributios is called compoud distributio. By usig liability claim isurace data, we aalyze premium pricig usig radom sum model based o compoud distributio. Keywords: premium, olife isurace, radom sum, claim frequecy, claim severity, compoud distributio. ABSTRAK Peetua premi merupaka salah satu kegiata petig dalam asurasi. Premi asurasi umum dihitug dari ilai harapa data historis klaim asurasi. Data historis klaim asurasi dikumpulka sehigga membetuk jumlaha peubah-peubah acak yag salig bebas, atau disebut jumlah acak. Dalam peetua premi dega model jumlah acak, distribusi frekuesi klaim dikombiasika dega distribusi severitas klaim. Kombiasi distribusi tersebut disebut distribusi campura. Dega megguaka data klaim asurasi taggug gugat, dilakuka aalisis perhituga premi dega model jumlah acak berdasarka distribusi campura. Kata Kuci: premi, asurasi umum, jumlah acak, frekuesi klaim, severitas klaim, distribusi campura. Pedahulua Bisis asurasi semaki berkembag dari tahu ke tahu. Hal ii dikareaka setiap bidag kehidupa selalu berhubuga dega risiko. Risiko dapat terjadi tapa diduga-duga. Salah satu upaya utuk memiimalka risiko adalah dega asurasi. Asurasi merupaka suatu kegiata pemidaha risiko utuk mecegah terjadiya kerugia besar yag disebabka oleh risiko-risiko tertetu, seperti risiko kematia, kecelakaa, sakit, kerusaka, kebakara, kehilaga harta, da lai sebagaiya. Asurasi dibedaka mejadi dua jeis, yaitu asurasi jiwa (life isurace) da asurasi o-jiwa (olife isurace). Pada asurasi jiwa, risiko yag dijami oleh perusahaa asurasi adalah risiko kematia sedagka pada asurasi ojiwa, risiko yag dijami oleh perusahaa asurasi bermacam-macam tergatug pada jeis yag diasurasika. Asurasi o-jiwa serig disebut juga sebagai asurasi umum (geeral isurace). Salah (Mujiati Dwi Kartikasari) 46

2 satu jeis asurasi o-jiwa yaitu asurasi taggug gugat. Asurasi taggug gugat merupaka produk asurasi yag memberika jamia perliduga kepada tertaggug terhadap risiko yag timbul karea adaya tututa dari pihak lai (pihak ketiga) sehubuga dega aktifitas persoal/perusahaa milik tertaggug. Secara umum, hal yag dijami oleh asurasi taggug gugat adalah kewajiba tertaggug membayar gati rugi atau kompesasi atas kerugia yag diderita oleh pihak ketiga. Premi asurasi merupaka sejumlah uag yag harus dibayarka sebagai kewajiba dari tertaggug atas keikutsertaaya di asurasi. Besarya premi telah ditetuka oleh perusahaa asurasi dega memperhatika keadaa pihak tertaggug. Pembayara premi dapat dilakuka dalam betuk premi tuggal atau premi berkala. Premi tuggal (sigle premium) adalah premi yag dibayarka sekali saja di awal bergabugya tertaggug di perusahaa asurasi sedagka premi berkala (regular premium) adalah premi yag dibayarka secara berkala dalam periode tertetu, misalya per bula, per kuartal, per semester, atau per tahu. Peetua premi merupaka salah satu pokok utama dalam asurasi. Premi dihitug dari ilai harapa risiko atau kerugia yag aka dijami oleh perusahaa asurasi. Utuk meghitug ilai harapa premi, perlu diketahui distribusi dari data risiko, baik jumlah (frekuesi) risiko maupu besar (severitas) risiko. Data risiko dalam perusahaa asurasi biasaya berupa data klaim yag dibayarka oleh perusahaa asurasi kepada tertaggug. Berbagai peelitia megeai peetua premi telah bayak dilakuka. Brockma da Wright (1992), Reshaw (1994), Haberma da Reshaw (1996), da Roselud (213) megguaka prisip peetua premi dega megkombiasika ilai harapa frekuesi klaim da severitas klaim. Dalam makalah ii, terlebih dahulu aka ditetuka distribusi frekuesi klaim da distribusi severitas klaim. Selajutya, kedua distribusi tersebut dikombiasika sehigga dihasilka distribusi campura. Distribusi campura merupaka distribusi dari jumlaha peubah acak atas sejumlah pembayara klaim, atau disebut jumlah acak. Berdasarka distribusi campura yag telah diperoleh, dihitug perkiraa premi muri dega meghitug ilai harapaya. Makalah ii disusu sebagai berikut. Bagia 2 megulas pegertia jumlah acak beserta mea da variasiya. Distribusi campura dibahas dalam bagia 3. Bagia 4 megulas fugsi (Mujiati Dwi Kartikasari) 47

3 mea residual life. Studi kasus diuraika pada bagia 5 da kesimpula dikemukaka pada bagia terakhir makalah ii. Jumlah Acak Jumlah acak merupaka jumlaha peubah-peubah acak salig bebas yag diyataka sebagai S 1 2,,1, 2, dimaa S ketika (Klugma, Pajer, da Willmot, 24). Peubah acak meyataka frekuesi klaim yag mempuyai fugsi massa peluag Pr dega mea variasi Var E da. Peubah-peubah acak 1, 2,, meyataka severitas klaim dega mea E da variasi Var. Asumsi-asumsi yag harus dipeuhi jumlah acak S atara lai (Klugma, Pajer, da Willmot, 24): 1. bersyarat pada, peubahpeubah acak 1, 2,, salig bebas da berdistribusi idetik, 2. bersyarat pada, distribusi dari peubah-peubah acak 1, 2,, tidak bergatug pada, 3. distribusi dari tidak tergatug pada ilai-ilai 1, 2,. Berdasarka asumsi-asumsi jumlah acak S, mea da variasi S dapat ditetuka sebagai berikut: E E S E S da Pr E 1 2 Pr E 1 2 Pr E 1 2 Pr E Pr E E E S E S E S E Var Var E Var Var Var 2 E E Var Var Distribusi Campura Seluruh uraia megeai distribusi campura diambil dari Klugma, Pajer, da Willmot (24). Distribusi campura adalah distribusi dari jumlah acak S. Tahapa utuk membagu distribusi S adalah sebagai berikut: 1. Membagu suatu model utuk distribusi dari berdasarka pada data. 2. Membagu suatu model utuk distribusi dari pada data. berdasarka j 3. Megguaka kedua model di atas utuk medapatka distribusi dari S. (Mujiati Dwi Kartikasari) 48

4 acak S adalah S Distribusi campura dari jumlah Pr F S p Pr S * p F (1) dimaa F Pr merupaka fugsi distribusi dari j da p merupaka fugsi massa Pr peluag dari. Fugsi peluag utuk distribusi campura S adalah * S f p f (2) * Pada Persamaa (1), F meyataka kovolusi lipat dari fugsi distribusi kumulatif. Fugsi ii dapat diperoleh dari *,, F 1,, da utuk k 1,2,, 1 F F y df y (3) Jika merupaka peubah acak kotiu dega peluag ol pada ilai-ilai egatif, maka Persamaa (3) mejadi * 1 k F F y f y dy utuk k 2,3,. Utuk k 1, persamaa *1 tersebut mejadi F F desitas peluagya adalah * 1 k. Fugsi f f y f y dy utuk k 2,3,. Pada kasus peubah acak diskrit dega peluag positif pada,1,2,, Persamaa (3) mejadi * 1 y k F F y f y utuk,1,, da k 2,3, peluag yag bersesuaiaya adalah * 1 y k f f y f y utuk,1,, k 2,3,. Fugsi Mea Residual Life. Fugsi Fugsi mea residual life dapat diguaka utuk melihat karakteristik dari ekor (tail) distribusi. Ekor distribusi adalah bagia dari distribusi yag ada kaitaya dega ilai yag besar pada peubah acak (Klugma, Pajer, da Willmot, 24). Ketika memilih model distribusi utuk data risiko atau kerugia, ukura ekor dapat membatu dalam peetua model yag terbaik. Utuk peubah acak severitas klaim, fugsi mea residual life merupaka ilai harapa dari pembayara per klaim dega deduktibel sebesar, dimaa, diyataka dega (Klugma, Pajer, da Willmot, 24) e E 1 F u 1 F du Dalam praktik, fugsi mea residual life e diestimasi dega e ˆ berdasarka. (Mujiati Dwi Kartikasari) 49

5 perwakila sampel 1, 2,, yag selajutya disebut sebagai fugsi empirical mea residual life. Guess da Proscha (1985) medefiisika fugsi empirical mea residual life sebagai berikut, eˆ ik1 i k (4) utuk k, k 1 da k,1,, 1. Studi Kasus Data yag diguaka dalam studi kasus adalah data total klaim asurasi taggug gugat tahu Data tersebut berisi iformasi megeai frekuesi klaim yag meujukka bayakya kejadia klaim da severitas klaim yag meujukka besar pembayara klaim yag dilakuka oleh perusahaa asurasi. Data klaim asurasi taggug gugat disajika pada Gambar 1 da Gambar 2. Gambar 1. Frekuesi Klaim Asurasi Taggug Gugat Gambar 2. Severitas Klaim Asurasi Taggug Gugat Berdasarka data yag disajika pada Gambar 1 da Gambar 2, selajutya aka dilakuka estimasi terhadap distribusi frekuesi da severitas klaim. Distribusi geometri, egatif biomial, biomial da Poisso merupaka distribusi-distribusi yag umum diguaka utuk memodelka frekuesi klaim sedagka distribusi ekspoesial, Gamma, Weibull, da Pareto merupaka distribusi-distribusi yag umum diguaka utuk memodelka severitas klaim (Tse, 29). Ada beberapa tambaha distribusi lai yag dapat diguaka utuk memodelka severitas klaim, seperti distribusi logormal da distribusi Burr (Burecki, Jaczura, da Wero, 21). Distribusi frekuesi klaim aka disimpulka berdasarka ilai uji statistik dari distribusi geometri, egatif biomial, da Poisso. Adapu hasil estimasi da uji statistik distribusi frekuesi klaim (Mujiati Dwi Kartikasari) 5

6 asurasi taggug gugat disajika pada Tabel 1 da Tabel 2. Tabel 1. Estimasi Parameter Calo Distribusi Frekuesi Klaim Asurasi Taggug Gugat Distribusi Estimasi Log- Parameter Likelihood Geometri p,2-171,48 r 43,22 eg. Biomial p -13,173,51 Poisso 42,3-135,4721 Tabel 2. Tabel Statistik Calo Distribusi Frekuesi Klaim Asurasi Taggug Gugat Chi-Squared Test Distribusi ilai p-value Statistik,5 Geometri 693,75,2293 eg. Biomial 446,5,6655 Poisso 52,,3238 Rumusa uji hipotesis utuk meguji kecocoka distribusi frekuesi klaim adalah sebagai berikut: H : Data berasal dari populasi dega distribusi tertetu, H 1: Data tidak berasal dari populasi dega distribusi tertetu. ilai p-value dari uji Chi-Squared baik utuk distribusi geometri, egatif biomial, da Poisso lebih besar dari,5 sehigga keputusa utuk hipotesis di atas yaitu gagal meolak H, yag berarti data klaim asurasi taggug gugat berasal dari populasi dega distribusi tertetu. Berdasarka ilai loglikelihood dari ketiga calo distribusi frekuesi klaim asurasi taggug gugat, ilai loglikelihood dari distribusi geometri merupaka ilai yag palig kecil. Oleh karea itu, dapat disimpulka bahwa distribusi geometri adalah distribusi terbaik dalam memodelka frekuesi klaim asurasi taggug gugat. Adapu distribusi utuk severitas klaim aka disimpulka berdasarka ilai uji statistik dari distribusi ekspoesial, Gamma, Weibull, Pareto, logormal, da distribusi Burr. amu, sebelum melakuka pegujia, terlebih dahulu aka digambarka plot fugsi empirical mea residual life berdasarka Persamaa (4). Berdasarka Gambar 3, plot fugsi empirical mea residual life dari distribusi Gamma, logormal, da distribusi Burr mempuyai pola yag hampir sama dega plot fugsi empirical mea residual life severitas klaim asurasi taggug gugat. Dega demikia, distribusi Gamma, logormal, da distribusi Burr dijadika sebagai calo distribusi severitas klaim asurasi taggug gugat. Hasil estimasi da uji statistik distribusi severitas klaim asurasi taggug gugat disajika pada Tabel 3 da Tabel 4. (Mujiati Dwi Kartikasari) 51

7 Gambar 3. Fugsi Empirical Mea Residual Life Distribusi Severitas Klaim Tabel 3. Estimasi Parameter Calo Distribusi Severitas Klaim Asurasi Taggug Gugat Distribusi Estimasi Log- Parameter Likelihood 1,949 Gamma -22, ,9 5,164 Logormal -214,1584,531 k,37 Burr 5, , ,2 Rumusa uji hipotesis utuk meguji kecocoka distribusi severitas klaim adalah sebagai berikut: H : Data berasal dari populasi dega distribusi tertetu, H 1 : Data tidak berasal dari populasi dega distribusi tertetu. Tabel 4. Tabel Statistik Calo Distribusi Severitas Klaim Asurasi Taggug Gugat Kolmogorov-Smirov Test Distribusi ilai Statistik p-value,5 Gamma,1936,1174 Logormal,1574,318 Burr,119,7266 ilai p-value dari uji Kolmogorov- Smirov baik utuk distribusi Gamma, logormal da Burr lebih besar dari,5 (Mujiati Dwi Kartikasari) 52

8 sehigga keputusa utuk hipotesis di atas yaitu gagal meolak H, yag berarti data klaim asurasi taggug gugat berasal dari populasi dega distribusi tertetu. Berdasarka ilai loglikelihood dari ketiga calo distribusi severitas klaim asurasi taggug gugat, ilai loglikelihood dari distribusi Gamma merupaka ilai yag palig kecil. Oleh karea itu, dapat disimpulka bahwa distribusi Gamma adalah distribusi terbaik dalam memodelka severitas klaim asurasi taggug gugat. Berdasarka estimasi distribusi frekuesi klaim da severitas klaim yag telah diperoleh, selajutya aka ditetuka ilai premi asurasi taggug gugat megguaka estimasi distribusi campura. Estimasi distribusi premi asurasi taggug gugat diperoleh secara umerik megguaka metode kovolusi. Dega terlebih dahulu mediskritka distribusi Gamma yag merupaka distribusi severitas klaim, kemudia meerapka Persamaa (2), aka diperoleh distribusi premi asurasi taggug gugat seperti disajika pada Gambar 4. Distribusi premi asurasi taggug gugat diguaka utuk megestimasi ilai premi total, yaitu dega meghitug mea da variasi dari distribusi tersebut. Estimasi mea da variasi dari distribusi premi asurasi taggug gugat disajika pada Tabel 5. Gambar 4. Fugsi Distribusi Premi Asurasi Taggug Gugat Berdasarka iformasi pada Tabel 5, maka perkiraa premi total utuk tahu sebesar Rp61.41.,. Tabel 5. Estimasi Mea da Variasi Distribusi Premi Asurasi Taggug Gugat Mea da Variasi ilai Estimasi Mea E S 61,41 Variasi Var S 145,51 ilai premi tersebut berasal dari hasil kali ilai harapa distribusi premi asurasi taggug gugat dega satua severitas klaim. Dega premi total tersebut, diharapka perusahaa asurasi dapat memeuhi klaim-klaim yag diajuka dega asumsi kejadia klaim tahu 215, 216, da 217 tidak meyimpag dari data klaim tahu 212 sampai dega tahu 214. (Mujiati Dwi Kartikasari) 53

9 Kesimpula Kesimpula yag dapat diperoleh berdasarka aalisis studi kasus yag telah dilakuka adalah sebagai berikut: 1. Pemodela distribusi campura dari jumlaha peubah acak dilakuka dega memodelka data historis dari klaim asurasi. 2. Model distribusi campura terbetuk dari proses kovolusi berulag atara distribusi frekuesi klaim da severitas klaim. Hasil perhituga megguaka data klaim asurasi taggug gugat diperoleh bahwa distribusi frekuesi klaim adalah geometri da distribusi severitas klaim adalah Gamma. 3. Perhituga perkiraa premi total utuk tahu megguaka data klaim asurasi taggug gugat tahu 212 sampai dega 214 dega model jumlah acak berdasarka distribusi campura adalah sebesar Rp61.41.,. Dega premi total tersebut, diharapka perusahaa asurasi dapat memeuhi klaim-klaim yag diajuka dega asumsi kejadia klaim tahu 215, 216, da 217 tidak meyimpag dari data klaim tahu 212 sampai dega tahu 214. Pustaka Brockma M. H, da Wright, T. S, 1992, Statistical Motor Ratig: Makig Effective Use of Your Data. Joural of the Istitute of Actuaries, 119(3), Burecki, Krzysztof, Jaczura, Joaa, da Wero, Rafal, 21, Buildig Loss Models, SFB 649 Ecoomic Risk, ISS , Humboldt- Uiversität zu Berli. Guess, F da Proscha, F, 1985, Mea Residual Life: Theory ad Applicatios, FSU Statistics Report M72 AFOSR Techical Report, Haberma S da Reshaw, A. E, Geeralized Liear Models ad Actuarial Sciece. The Statisticia. 45(4), Klugma, A. Stuart, Pajer, Harry H., da Willmot, Gordo E., 24, Loss Models From Data to Decisios Secod Editio, 48, 14, Joh Wiley & Sos, ew York, USA. Reshaw, Arthur E, 1994, Modellig the Claims Process i the Presece Covariates, ASTI Bulleti, 24(2), Roselud, Stig, 214, Itegratig Ordiary GLM with Credibility i a Compoud Poisso Model, Lecture i Idoesia ovember 214, diseleggaraka oleh Istitut Tekologi Badug da Uiversitas Gadjah Mada, Idoesia. Tse, Yiu Kue, 29, olife Actuarial Models, 6, 49, Cambridge Uiversity Press, ew York, USA. (Mujiati Dwi Kartikasari) 54