PENDAHULUAN. Di dalam modul ini Anda akan mempelajari fungsi gelombang spin yang mencakup:

Transkripsi

1 PENDAHULUAN Di dlm modul ini And kn mempeljri fungsi gelombng spin yng menckup: mtrik spin dn gerk elektron di dlm medn mgnet. Ole kren itu, sebelum mempeljri modul ini And terlebi dulu rus mempeljri modul nomor 4 tentng elemen mtrik. Mteri kuli dlm modul ini merupkn dsr dri mteri yng kn And peljri pd modul-modul selnjutny, terutm modul nomor 6 dri mtkuli Fisik Kuntum. Pengetun yng kn And perole dri modul ini kn brmnft untuk mempeljri mteri kuli Fisik Zt Pdt, Fisik Inti, Fisik Atom, Fisik Prtikel, dn ilmu-ilmu Fisik lnjut linny. Setel mempeljri modul ini And dirpkn dpt mencpi beberp tujun instruksionl kusus, sebgi berikut: And rus dpt. menuliskn momentum sudut dlm bentuk mtrik. membuktikn bw mtrik-mtrik Puli dl ntikomuttif 3. mengitung momen megnet sebu elektron 4. mengitung frekuensi gerek presesi, dn 5. mengitung spin totl dri sebu sistem prtikel Mteri kuli dlm modul ini kn disjikn dlm urutn sebgi berikut:. KB. Mtrik Spin. Di dlm KB. ini And kn mempeljri sub-pokok bsn : mtrik-mtrik momentum sudut, dn mtrik-mtrik spin Puli. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn

2 . KB. Gerk elektron dlm medn mgnet. Dlm KB. ini And kn mempeljri sub-pokok bsn: momen mgnet elektron, gerk presesi elektron, dn penjumln du bu spin. Agr And dpt mempeljri modul ini dengn bik, ikutil petunjuk beljr berikut ini.. Bcl tujun instruksionl kusus untuk modul ini.. Bc dn peljri dengn seksm urin setip kegitn beljr. 3. Slinl konsep dsr dn persmn-persmn penting ke dlm buku ltin And. 4. Pertikn dn peljri dengn bik conto-conto sol/msl dlm setip kegitn beljr. 5. Kerjkn semu sol ltin dn uskn tnp melit kunci jwbn terlebi dulu. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn

3 KB. MATRIK SPIN. Mtrik-mtrik momentum sudut. Dlm modul nomor 4 dri mtkuli Fisik Kuntum And tel mempeljri representsi mtrik dri sebu opertor. Di dlm modul tersebut tel dijelskn bw representsi mtrik (penulisn dlm bentuk mtrik) dri sebu opertor A dlm bsis-bsis yng terdiri dri eigenvektor-eigenvektor A dl berbentuk mtrik digonl. Artiny semu elemen mtrik dri opertor A itu dl nol keculi elemen mtrik,, 33, 44,, nn (elemen mtrik dlm r digonl). Untuk mengingtkn kembli mril kit mbil conto opertor-opertor momentum sudut L dn L z. Di dlm koordint bol, L dn L z memiliki eigenfuncntion (fungsi eigen/fungsi yng tept) Y m ( ϑ, ϕ), dimn l dn m msing-msing dl bilngn kuntum orbit dn bilngn kuntum mgnetik, ϑ dn ϕ dl sudut-sudut polr. Eigenfuncntion Y m l ( ϑ, ϕ) ini dl merupkn bsis yng dimksud di ts. Pertikn bw eigenvektor dirtikn sm dengn eigenfuncntion. Elemen-elemen mtrik dri L dn L z bis diberi simbol msing-msing dengn uruf L l m, l 'm' dn ( L ) z l m, l'm'. Sebgi l conto mril kit itung elemen mtrik L l m, l 'm'. Di dlm impunn bsis { Y m ( ϑ, ϕ) } elemen-elemen mtrik l L l dpt diitung sebgi m, l 'm' beriktut: L l m, l 'm' = lm L l ' m' = d(cos ϑ) π dϕ Y m l ( ϑ, ϕ) L Y m' l ( ϑ, ϕ) ' L lm,l'm' = l ( l +) δ ll' δ mm', () dimn δ ll' dn mm' δ dl fungsi delt Kronecker yng niliny dl sebgi berikut: Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 3

4 δ ll' = jik l = l ' δ ll' = jik l l ' δ mm' = jik m = m δ mm' = jik m m. Jdi, persmn () ny kn bernili l (l +) jik dn ny jik l = l ' dn m = m. Artiny, nomor kolom = dengn nomor bris. Dengn demikin, elemen-elemen mtrik yng bernili l (l +) dl merek yng terletk pd gris digonl mtrik tersebut. Kren itu mtrik L disebut mtrik digonl. Demikin lny dengn mtrik L z. Element-elemen mtrik ( L ) z m, l'm' l dpt diitung dengn menggunkn persmn berikut: l = l m L z ( L ) z m, l'm' l ' m' = d(cos ϑ) π dϕ Y m l ( ϑ, ϕ) L z Y m' l ( ϑ, ϕ) ' l = m δ ll' ( L z ) m, l'm' δ mm' () seingg elemen-elemen mtrik yng bernili m dl merek yng terletk pd gris digonl, sedngkn elemen-elemen mtrik linny dl nol. Cr menuliskn elemen mtrik dri sebu mtrik dl sebgi berikut : bris-bris dn kolom-kolom sebu mtrik disusun sedemikin rup seingg untuk setip nili l, m bernili muli dri -l smpi +l dengn selng. Demikin pul m. Untuk setip nili l ', m bernili muli dri - l ' smpi + l ' dengn selng. Dlm l ini m menytkn bris dn m menytkn kolom dri mtrik tersebut. Conto : Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 4

5 . untuk l = dn l ' =, nili m = m =, seingg mtrik L = [].. Untuk l = dn l ' =, mk nili m = -,, +. Dn jug nili m = -,, +. Nili elemen mtrik L l m, l 'm' dl: L l m, l 'm' = L = l (l +) δ ll'. δ mm' =. Jdi mtrik L dpt ditulis sebgi berikut : Ingtl bw nili m menytkn bris, dn m menytkn kolom. Elemen-elemen mtrik L tersebut diitung dengn menggunkn persmn (). Conto: element mtrik L, = = l (l +) δl l ' δ mm. (+) δ, δ. =. Dlm conto ini, nili kedu δ =, kren l = l ', dn m = m. Conto linny dl elemen mtrik L,. Dengn menggunkn persmn () And dpt menentukn nili elemen mtrik L, sebgi berikut : L, = l (l + ) δ δ. = (+) =. (cttn: = opertor kli). Pertikn dengn teliti urutn indek untuk kedu δ dn indek untuk L. Ltin:. Buktikn nili elemen-elemen mtrik linny.. Tentukn elemen-elemen mtrik L untuk l = dn l ' =. Petunjuk untuk menjwb sol-sol ltin ini dl sebgi berikut:. tentukn nili-nili m dn m. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 5

6 . gunkn persmn () untuk mengitung elemen-elemen mtrik L l m, l 'm'. Pertikn bw elemen-elemen mtrik yng bernili tidk sm dengn nol dl elemen-elemen mtrik yng terletk pd digonl mtrik tersebut. Kren itu, mtrik L disebut mtrik digonl. Dri conto-conto dn jwbn sol-sol ltin di ts, And dpt menyusun sebu tbel untuk elemen-elemen mtrik L l m, l 'm'. Tbel tersebut kn tmpk sebgi berikut: l m l ' m Cttn: ngk nol yng dicetk besr menytkn mtrik-mtrik yng semu elemenny bernili nol. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 6

7 Selnjutny mril kit bs elemen mtrik ( L z ) lm,l'm ', seperti yng ditunjukn ole persmn () di ts. Mril kit mbil conto untuk l = l ' =, dn untuk l = l ' =.. Mtrik elemen ( L ) untuk l = l ' =. z lm,l'm' Jik l =, mk m =, seingg: Elemen mtrik ( L z ) lm,l'm ' = (L z ), = m δ. δ. Meskipun nili kedu δ =, tetpi kren nili m =, mk ( L z ) lm,l'm' = (L z ), =.. Mtrik elemen ( L ) untuk l = l ' =. z lm,l'm' Kren l = l ' =, mk nili m = -,, dn nili m = -,, seingg bnykny elemen mtrik yng dpt diperole dl 9 bu, yitu sebgi berikut :. Bris ke : (L z ),, (L z ),, (L z ) (-),. b. Bris ke : (L z ),, (L z ),, (L z ) (-),. c. Bris ke 3: (L z ),(-), (L z ),(-), (L z ) (-),(-). Pertikn bw indek yng bernili negtif disimpn di dlm tnd kurung ( ). Dengn menggunkn persmn () di ts kit dpt mengitung ke 9 elemen mtrik tersebut. Sebgi conto, mril kit itung elemen mtrik (L z ),. Untuk elemen mtrik ini kit tu bw nili l = l ' =, dn nili m = m = seingg elemen mtrik ini dpt diitung sebgi berikut: (L z ), = m δ. δ =. Sebgi conto yng lin, mril kit itung elemen mtrik (L z ),(-). Untuk elemen mtrik ini kit tu bw nili l = l ' =, dn m =, m = - seingg: Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 7

8 (L z ),(-) = m δ.δ ( ). Dismping m =, jug δ ( ) =, seingg nili elemen mtrik (L z ),(-) =. Ltin: Hitungl ketuju elemen mtrik linny untuk l = l ' = dri mtrik L z tersebut di ts. Petunjuk:. Tentukn nili-nili l, m, l ', dn m untuk setip elemen mtrik.. Gunkn persmn () di ts. Apbil And dpt menjwb sol ltin ini dengn benr, mk And kn dpt menuliskn mtrik L z dengn elemen-elemen mtrik sebgi berikut: L z =. Ltin: Tentuknl nili-nili elemen mtrik L z untuk l = l ' = sert tuliskn semu nili mtrik tersebut dlm bentuk sebu mtrik L z. Petunjuk:. Tentukn nili-nili m dn m.. Gunkn persmn (). 3. Susun semu elemen mtrik dlm sebu mtrik dengn ketentun m = nomor bris, dn m = nomor kolom. Secr umum, semu elemen mtrik ( L ) untuk mtrik L z lm,l'm' z dpt dirngkum dlm sebu tbel seperti di bw ini: Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 8

9 l m l ' m Selnjutny mril kit itung mtrik L dn L y yng merupkn komponen dri mrik L. Untuk mengitung mtrik-mtrik L dn L y di dlm bsis tersebut di ts And dpt menggunkn mtrik-mtrik untuk opertor L + dn L_, yitu sebgi berikut: L = ½ (L + + L _ ) dn L y = - i/ (L + - L _ ) (3). Jdi tugs kit dl menentukn mtrik-mtrik untuk L + dn L _. Tetpi kren L + = L _ (Bc : L + sm dengn join/sekwn dri L _ ) mk kit cukup menentukn sl stu mtrik sj, yitu L + sj tu L_ sj. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 9

10 Di dlm modul nomor 4 dri mtkuli fisik kuntum And tel mempeljri ubungn ntr elemen mtrik-mtrik (L + )l m, l' m dn (L_ )l m, l' m dengn fungsi gelombng m Y l, yitu sebgi berikut: (L + )l m, l' m = {( l' m m ) ( l ' + m + )} / δl l' δ mm + (4) Conto: untuk l = dn l ' = tentuknl elemen-elemen mtrik (L + ),, (L + ),, (L_ ),, dn (L_ ),. Jwb: Untuk l = dn l ' = berrti m = -,, dn m = -,,. Kren kit ny dimint untuk mengitung elemen mtrik mtrik (L + ),, (L + ),, (L_ ),, dn (L_ ), sj, mk nili-nili m dn m yng terlibt ny dn sj. (Silkn mti nili indek dri setip elemen mtrik tersebut). Dengn demikin, elemen-elemen mtrik tersebut di ts dpt kit itung sebgi berikut:. (L + ), = {(-) (++)} / δ.δ. =. Pertikn bw nili elemen mtrik (L + ), sm dengn nol tidk ny disebbkn ole (-) sj, tetpi jug kern nili delt δ yng jug sm dengn nol. d. (L + ), = {(- ) ( + + )} / δ.δ. =. c. (L_ ), = {( + ) ( + )} / δ.δ. =. d. (L_ ), = {(+) (- + )} / δ. δ (-). =, kren δ (-) =. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn

11 Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn Apbil And mengitung semu elemen mtrik (L + )l m, ' l m untuk l = dn ' l =, sert menulisknny dlm bentuk mtrik, mk And dpt menulis opertor L + dlm bentuk mtrik sebgi berikut: L + =. (5) Demikin jug lny dengn opertor L _. Cobl itung semu elemen mtrik (L_)l m, ' l m untuk l = dn ' l = dengn menggunkn persmn (4) dn conto di ts, kemudin tuliskn pul mtrik L_. Mtrik L_ tersebut kn tmpk sebgi berikut : L_ =. (6) Akirny kit dpt menentukn mtrik L dn L y dengn menggunkn persmn (3), (5), dn (6) di ts. Dengn menggunkn ketig persmn tersebut kit dpt mengitung mtrik L dn L y sebgi berikut :. L = ½ (L + + L _ ) L = + = L =. (7)

12 Pertikn bw kit tel menyedernkn penulisn tnd kr untuk semu elemen mtrik. Hl ini kren =. b. L y = i (L + - L _ ) L y = i - i = i L y = i. (8) Pertikn bw i = +. i 5. Mtrik-mtrik spin Puli. Seperti kit ketui bw momentum sudut sutu prtikel dpt dibgi menjdi du, yitu momentum sudut orbit ( L r ) dn momentum sudut intrinsik (S r ) tu sering disebut spin. Kit bru sj membs representsi momentum sudut L r dlm bentuk mtrik. Sekrng kit kn membicrkn representsi Spin (S r ) dlm bentuk mtrik, sert kn mendifinisikn mtrik spin Puli (σ). Vektor momentum sudut spin sering ditndi dengn simbol S r (Pertikn tnd vektor). Sift-sift dri opertor mementum sudut spin S (Tnp tnd vektor) dl sm dengn sift-sift untuk momentum sudut orbit. Sebgi conto, ubungn komuttif ntr komponen-komponen S, S y, dn S z memenui turn berikut: Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn

13 [S, S y ] = i S z ; [S y, S z ] = i S ; [S z, S ] = i S y. Dismping itu, seperti lny untuk momentum sudut L, kit jug dpt mendefinisikn opertor-opertor S + dn S_ untuk momentum sudut spin, yitu sebgi berikut : S + = S + i S y. (9) Demikin pul lny dengn persmn eigenvlu-ny. Kit jug dpt menuliskn persmn eigenvlue untuk spin sebgi berikut: S s, m s = s (s + ) s, m s ; dn S, m z s s = m s, m s s. () Pertikn bw nili-nili s (s + ) dn m s msing-msing disebut eigenvlue dri S dn S z. Sedngkn vektor s, m s disebut eigenvektor dri S dn S z. Untuk sebu nili s tertentu, nilm m s dl muli dri s smpi +s dengn step +. Sebgi conto, untuk s =, mk nili m s = -,, dn. Untuk nili s =, mk nili m s = -, -,,, dn. Untuk s = 5/, mk nili m s = -5/, -3/, -/, /, 3/, dn 5/. Conto prtikel yng memiliki nili spin s = dl meson, dn prtikel yng memiliki spin s = dl foton. Sedngkn prtikel-prtikel yng memiliki nili spin s = ½ dl: elektron, proton, dn netron. Selnjutny mril kit peljri fungsi eigen (eigenfuction/eigenstte) untuk prtikel yng memiliki spin ½, seperti elektron, proton, dn netron. Kren prtikel-prtikel tersebut memiliki spin = ½, mk m s bernili ½ dn + ½. Selnjutny mril kit definisikn fungsi eigen untuk s = ½, m s = ½ dn s = ½, m s = - ½ sebgi berikut : α = β = s, m s = s, m s =, + dn,. () Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 3

14 Dengn demikin kit dpt menuliskn persmn eigenvlue untuk S dn S z sebgi berikut: S α = ¾ S β = ¾ α ; S z α = / α. β ; S z β = - / β. Opertor-opertor S + dn S_ dlm fungsi eigen α dn β dpt ditulis sebgi berikut: S + S_ s, m = s( s + ) m ( m ) s, m s + () s s s s + s, m = s( s + ) m ( m ) s, m s. (3) s s Untuk s = ½, kit puny m s = ½ dn m s = - ½. Jik nili-nili ini kit substitusikn ke dlm persmn () dn (3), mk kit kn memperole persmn untuk S + dn S_ sebgi berikut:. untuk s = ½ dn m s = ½. ( ) is y S + α = S +, = ; kren nili di dlm kr =. (4) ( ) is y S α= S_, =, = β. (5) Jik persmn (4) dn (5) di ts kit jumlkn, mk kit kn memperole persmn (bukn persmn eigenvlue, kren vektor sebel kiri dl α sedngkn di rus knn dl β): S α = (½ ) β, (6) Dn jik kit kurngkn mk kit kn memperole persmn (bukn persmn eigenvlue, kren vektor sebel kiri dl α sedngkn di rus knn dl β): S y α = (i/) β. (7) b. untuk s = ½ dn m s = - ½. ( ) is y S + β = S +, =, = α, dn (8) Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 4

15 ( ) is y S β = S_, = ; Kren nili di dlm kr =. (9) Jik kedu persmn ini dijumlkn, mk And kn mendptkn persmn (jug bukn persmn eigenvlue): S β = (½ ) α, () Dn jik dikurngkn, And kn mendptkn persmn (bukn persmn eigenvlue): S y β = -(i/) α. () Dengn demikin, kit dpt simpulkn bw persmn-persmn untuk S, S y, dn S z di dlm bsis α dn β sebgi berikut: S α = (½ ) β dn S β = (½ ) α; S y α = (i/) β, dn S y β = -(i/) α. () S z α = (½ ) α, dn S z β = - (½ ) β. Cttn: Kedu persmn untuk S z di dlm persmn () dl merupkn persmn eigenvlue. Dengn menggunkn persmn eigenvlue di ts (persmn ), kit dpt menentukn mtrik-mtrik yng merepresentsikn opertor-opertor S, S y, dn S z di dlm bsis α dn β, yitu sebgi berikut: S = α S β S α α α S β S β β = S y = α S β S y y α α α S β S y y β β i = (3) S z = α S β S z z α α α S β S z z β β =. Opertor spin bis didefinisikn sebgi berikut: Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 5

16 ) = σ ) ) ) S, dimn σ merupkn opertor spin Puli dns merupkn opertor Spin. Dengn menggunkn persmn (3) kit dpt menuliskn mtrik yng merepresentsikn komponen opertor spin Puli σ sebgi berikut: σ = σ =. (4) Dengn cr yng sm, kit dpt menuliskn komponen-komponen opertor spin Puli σ y, σ z sebgi berikut: σ y = i dn (5) σ z =. (6) Ketig mtrik inil (persmn 4, 5, dn 6) yng kit cri dn kit sebut sebgi mtrik-mtrik spin Puli. Eigenvektor α dn β dpt dinytkn dlm bentuk mtrik sebgi berikut: α = ; dn β =, seingg persmn ortonomlissi dri kedu vektor tersebut dpt kit itung sebgi berikut: α α = ( ) =. α β = ( ) =. Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 6

17 Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 7 β β = ( ) =. α β = ( ) =. Conto sol : Hitungl eigenvlue dn eigenvektor untuk S dri sebu spin seteng (s = ½ ). Jwb:. Kit mislkn eigenvlue dri S tersebut dl E, dn eigenvektorny A yng komponenny dl dn, seingg kit dpt menuliskn persmn eigenvlue sebgi berikut: S A = E A. Dimn : A = A + A = E. Supy persmn mtrik ini dpt diselesikn, kit terlebi dulu rus menglikn suku persmn di rus knn dengn sebu mtrik identits (yitu mtrik ) kemudin memindknny ke rus kiri, seingg persmn tersebut tmpk seperti di bw ini - E =. E E =. (7)

18 E E =, tu E = +. (8) Jdi eigenvlue dri opertor S dl - dn +. b. Selnjutny mril kit itung eigenvektor S. Untuk itu, kit substitusikn kedu nili eigenvlue tdi ke persmn (7) stu persmn stu sebgi berikut. untuk E = +, kit perole persmn sebgi berikut : =, berrti =. Kren eigenvektor ini rus norml, mk: A A = = ( ) + ( ). Kren =, mk ( ) =. Atu = =. Jdi eigenvektor S dengn eigenvlue E = + dl: A = A + A. Atu dlm bentuk mtrik A = α = Ltin : Cobl tentukn eigenvektor S untuk eigenvlue -. Petunjuk : Ikuti lngk-lngk seperti pd bgin b dits, dengn mensubstitusikn nili E = - ke dlm persmn (7). And rus mendptkn nili eigenvektor B = β = Fisik Kuntum-Modul 5 Krdiwrmn 8