Riset Operasional LINEAR PROGRAMMING

Transkripsi

1 Bahan Kuliah Riset Operasional LINEAR PROGRAMMING Oleh: Darmansyah Tjitradi, MT. PROGRAM MAGISTER TEKNIK SIPIL UNLAM 25 1

2 ANALISA SISTEM Agar lebih mendekati langkah-langkah operasional, Hall & Dracup (197) lebih menyukai melakukan rekayasa sistem (systems engineering) yang didefinisikan sbb.: Rekayasa Sistem adalah suatu ilmu (science) dan seni (art) dalam memilih sejumlah banyak pilihan (alternatif) yang layak, dengan memperhatikan aspek perekayasaan guna melakukan tindakan-tindakan yang memenuhi keseluruhan tujuan, untuk pengambilan keputusan di dalam batasanbatasan kendala peraturan, kelakuan manusia, ekonomi, sumberdaya, politik dan sosial, serta kendala hukum-hukum alam dan kehidupan manusia. Sebagai suatu teknik pemecahan masalah, rekayasa sistem merupakan ilmu dan seni. Aspek ilmu terletak pada penggunaan teknik-teknik dan algoritma-algoritma (matematis) dalam memecahkan masalah. Aspek Seni ditunjukkan pada keberhasilan dari solusi model yang digunakan sangat tergantung pada kretivitas dan kemampuan seseorang sebagai penganalisa dalam pembuatan keputusan 2

3 ANALISA SISTEM Kendala-kendala: - Manusia - Ekonomi - Sumberdaya - Sosial/politik - dll. ALTERNATIF ALTERNATIF PEREKAYASAAN TUJUAN 3

4 PENELITIAN OPERASIONAL Istilah Riset Operasional diberikan karena pada saat Perang Dunia ke II, angkatan perang Inggris membentuk tim yang terdiri dari atas para ilmuwan untuk mempelajari persoalan-persoalan strategi dan taktik sehubungan dengan serangan musuh yang dilancarkan terhadap negaranya. Tujuan mereka adalah untuk menentukan penggunaan sumber-sumber kemiliteran yang terbatas, seperti radar dan bom, dengan cara yang paling efektif. Karena tim tersebut melakukan penelitian (research) terhadap operasi militer, maka muncul nama Penelitian Operasional untuk masalah-masalah kemiliteran (Military Operations Research). 4

5 PENELITIAN OPERASIONAL Keberhasilan yang diperoleh angkatan perang Inggris ini kemudian ditiru angkatan perang Amerika dengan membentuk tim penelitian operasioanal dalam memecahkan masalah-masalah pengiriman barang-barang keperluan perang, penerbangan, dan pengoperasian peralatan elektronik. Setelah Perang Dunia II berakhir, cara ini menarik perhatian para industriawan, yang hingga saat ini penelitian operasional digunakan dengan baik diperguruan tinggi, konsultan, rumah sakit, perencanaan kota, dan kegiatan bisnis lainnya. 5

6 PENELITIAN OPERASIONAL Langkah-langkah yang dilakukan pada analisa sistem (Buras, 1972) secara umum meliputi 5 tahap, yaitu: 1. Penentuan Tujuan (Statement of Objectives) Merupakan tahap awal yang harus dipikirkan oleh pengambil keputusan, termasuk pemunculan gagasan langkah-langkah yang akan dilkukan menjadi alternatif-alternatif yang akan dianalisa. 2. Studi Penyidikan (Exploratory) Guna mencari latar belakang, informasi dan data yang diperlukan, yang terutama akan menjadi peubah (variabel) atau kendala/pembatas (constraint) pada saat studi kelayakan. 6

7 PENELITIAN OPERASIONAL 3. Studi Kelayakan (Feasibility Studies) Dengan mengambil keputusan dan memilih dari alternatif yang telah diciptakan sebelumnya, menggunakan model-model pengambilan keputusan. 4. Rancang Bangun (Development Planning) Merupakan perwujudan nyata dari hasil keputusan yang telah diambil sebelumnya. 5. Perekayasaan Kelanjutan (Current Engineering) Dimana penampilan dari suatu sistem harus dipantau secara terus menerus, sehingga akan selalu memperbaiki sistem pengoperasiannya dan menghasilkan sistem serupa yang lebih baik di masa yang akan datang. 7

8 PROGRAMA LINEAR Programa Linear adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. 8

9 PROGRAMA LINEAR Programa linear ini menggunakan model matematis untuk menjelaskan persoalan yang dihadapinya. Sifat linear disini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi-fungsi linear, sedangkan kata programa disini tidaklah berhubungan dengan programa komputer, tetapi hanya merupakan sinonim untuk perencanaan. Programa Linear adalah merencanakan aktivitas-aktivitas untuk memperoleh suatu hasil yang optimum, yaitu suatu hasil yang mencapai tujuan terbaik (berdasarkan model matematisnya) di antara seluruh alternatif penyelesaian yang fisibel. 9

10 PROGRAMA LINEAR Sebagai ilustrasi, berikut ini diberikan sebuah contoh persoalan programa linier, sebagai berikut: Sebuah perusahaan yang memproduksi kaca berkualitas tinggi untuk digunakan sebagai jendela dan pintu kaca. Perusahaan ini memiliki tiga buah pabrik, yaitu pabrik 1 yang membuat bingkai aluminium, pabrik 2 yang membuat bingkai kayu, dan pabrik 3 yang digunakan untuk memproduksi kaca dan merakit keseluruhan produk. Saat ini perusahaan mendapat pesanan berupa dua macam produk baru yang potensial, yaitu: pintu kaca setinggi 8 kaki dengan bingkai aluminium (produk 1), dan jendela berukuran 4 x 6 kaki dengan bingkai kayu (produk 2) Karena perusahaan sedang mengalami penurunan pendapatan sebagai akibat dari krismon, maka pimpinan perusahaan merasa perlu untuk memperbaiki kinerja produksinya, dengan cara menghentikan pembuatan beberapa produk yang tidak menguntungkan sehingga kapasitas produksi dapat digunakan untuk membuat salah satu atau kedua produk pesanan tsb. Akan tetapi karena kedua produk itu akan bersaing untuk menggunakan kapasitas produksi yang sama di pabrik 3, maka persoalannya ialah: Berapa banyakkah masing-masing produk harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan terbaik? 1

11 PROGRAMA LINEAR Untuk menyelesaikan persoalan diatas, terlebih dahulu harus mencari data mengenai: 1. Persentase kapasitas produksi masing-masing pabrik yang dapat digunakan untuk kedua macam produk tsb. 2. Persentase kapasitas yang diperlukan oleh masing-masing produk untuk setiap unit yang diproduksi per menit. 3. Keuntungan per unit untuk masing-masing produk. Informasi mengenai ketiga hal di atas dapat dilihat pada Tabel dibawah: Pabrik 1 (bingkai aluminium) 2 (bingkai kayu) 3 (All produk) Keuntungan per unit Kapasitas yg digunakan per unit Ukuran produksi Produk 1 Produk $3 $5 Kapasitas yang dapat digunakan 4 11

12 PROGRAMA LINEAR Karena kapasitas yang telah digunakan oleh suatu produk di pabrik 3 menyebabkan produk lain tidak dapat menggunakannya, maka persoalan diatas dikenal sebagai persoalan programa linear dengan tipe campuran produk atau product mix. Formulasi model matematis: X1 = jumlah unit produk 1 yang diproduksi per menit X2 = jumlah unit produk 2 yang diproduksi per menit Z = keuntungan yang diperoleh per menit Dengan demikian maka x1 dan x2 menjadi variabel-variabel keputusan dari model, dan tujuannya adalah memilih harga-harga x1 dan x2 sehingga diperoleh nilai maksimum dari: Z = 3.X1 + 5.X2 Berdasarkan pembatas yang ada, yaitu kapasitas pabrik yang dapat digunakan. 12

13 PROGRAMA LINEAR Model matematisnya: Maksimum: Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas: X1 4 2.X X1 + 2.X2 18 dan X1, X2 13

14 X2 PENYELESAIAN GRAFIS E D X1 4 2.X2 12 Fungsi Pembatas: X1 4 2.X X1 + 2.X2 18 X1, X2 4 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2 STEP-1 14

15 X2 PENYELESAIAN GRAFIS E D X1 4 2.X2 12 Fungsi Pembatas: X1 4 2.X X1 + 2.X2 18 X1, X2 4 Z = 3.X1 + 5.X2 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 tg tg α = α = X2 X1 3 5 Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2 Z = 3.X1 + 5.X2 STEP-2 15

16 X2 PENYELESAIAN GRAFIS E D X1 4 Titik optimum (X1 = 2, X2 = 6) 2.X2 12 Fungsi Pembatas: X1 4 2.X X1 + 2.X2 18 X1, X2 4 Z = 3.X1 + 5.X2 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 tg tg α = α = X2 X1 3 5 Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2 Z = 3.X1 + 5.X2 STEP-3 16

17 PENYELESAIAN GRAFIS Nilai optimum dapat diperoleh dengan cara menentukan titik potong garis ED (pembatas ke-2) dengan garis CD (pembatas ke-3), sebagai berikut: 2.X2 = 12 3.X1 + 2.X2 = 18-3.X1 = - 6 Sehingga diperoleh nilai X1 = 2 dan X2 = 6 Dengan demikian solusi optimum dari persoalan diatas ialah bahwa perusahaan harus membuat produk 1 sebanyak 2 unit per menit, dan produk 2 sebanyak 6 unit per menit dengan keuntungan yang dapat diperoleh sebesar Z = 3.(2) + 5.(6) = $ 36 per menit. 17

18 PENYELESAIAN GRAFIS Pabrik 1 (bingkai aluminium) 2 (bingkai kayu) 3 (All produk) Keuntungan per unit Kapasitas yg digunakan per unit Ukuran produksi Produk 1 Produk 2 1 x 2 3 x 2 $3 x 2 2 x 6 2 x 6 $5 x 6 Kapasitas yang dapat digunakan Pabrik 1 (bingkai aluminium) 2 (bingkai kayu) 3 (All produk) Keuntungan per unit Kapasitas yg digunakan per unit Ukuran produksi Produk 1 Produk $6 $3 Kapasitas yang dapat digunakan 4 18

19 TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAM LINEAR Ada 2 cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan program linear ini, yaitu: 1. Cara Grafis 2. Metode Simpleks Cara grafis dapat kita pergunakan apabila persoalan programa linear yang akan diselesaikan itu hanya mempunyai dua buah variabel. Metode Simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan programa linear yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. 19

20 BENTUK STANDAR MODEL PROGRAMA LINEAR Model programa linear dapat memiliki pembatas-pembatas yang bertanda, =, maupun. Model programa linear dalam bentuk standar memiliki sifat sebagai berikut: 1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan yang nonnegatif. 2. Seluruh variabel harus merupakan variabel nonnegatif. 3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimal atau minimal. 2

21 BENTUK STANDAR MODEL PROGRAMA LINEAR Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar ke dalam bentuk standar: 1. Pembatas (constraint) a. Pembatas yang bertanda atau dapat dijadikan suatu persamaan (bertanda =) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel Slack pada ruas kiri pembatas itu. Contoh 1: X1 + 2.X2 6 Kita tambahkan Slack S1 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: X1 + 2.X2 + S1 = 6, S1 Contoh 2: 3.X1 + 2.X2 3.X3 5 Karena ruas kirinya lebih besar dari ruas kanan, maka harus dikurangkan variabel Slack S2 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3.X1 + 2.X2 3.X3 S2 = 5, S2 21

22 BENTUK STANDAR MODEL PROGRAMA LINEAR Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar ke dalam bentuk standar: b. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1. Contoh: 2.X1 3.X2 7.X3= 5 Secara matematis adalah sama dengan 2.X1 + 3.X2 + 7.X3 = 5 c. Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan -1. Contoh: 2 < 4 adalah sama dengan 2 > 4 2.X1 X2 5 adalah sama dengan 2.X1 + X2 5 22

23 BENTUK STANDAR MODEL PROGRAMA LINEAR Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar ke dalam bentuk standar: d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan. Contoh 1: untuk b, a1.x1 + a2.x2 b adalah sama dengan a1.x1 + a2.x2 b dan a1.x1 + a2.x2 b Contoh 2: untuk q, p1.x1 + p2.x2 q adalah sama dengan p1.x1 + p2.x2 q atau p1.x1 + p2.x2 q 23

24 BENTUK STANDAR MODEL PROGRAMA LINEAR Cara untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar ke dalam bentuk standar: 2. Variabel Suatu variabel y i yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel nonnegatif dengan menggunakan substitusi: y i = y i y i dimana y i dan y i Substitusi seperti ini harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuannya. 3. Fungsi Tujuan Walaupun model standar programa linear ini dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk ke bentuk lainnya. Dalam hal ini, maksimasi dari suatu fungsi adalah sama dengan minimasi dari negatif fungsi yang sama. Contoh: Maksimasikan Z = 5.X1 + 2.X2 + 3.X3, secara matematis adalah sama dengan: Minimumkan ( Z) = 5.X1 2.X2 3.X3 24

25 PENGEMBANGAN MODEL MATEMATIS Pengembangan model matematis dapat dimulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini: 1. Apa variabel yang tidak diketahui dari masalah tersebut? 2. Apa batasan yang harus dikenakan atas variabel untuk memenuhi batasan sistem yang dimodelkan tersebut? 3. Apa tujuan (sasaran) yang harus dicapai untuk menentukan pemecahan optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari variabel tersebut? 25

26 METODE SIMPLEKS George Dantzig Lahir 8/11/1914,, Portland Ilmuwan Inggris pada PD-II Teori "Simplex Method of Optimization" " in

27 METODE SIMPLEKS Metode Simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif, yang bergerak selangkah demi selangkah. Dimulai dari suatu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke titik ekstrem yang optimum. Metode ini selalu dimulai pada suatu titik sudut fisibel, dan selalu bergerak melalui titik sudut fisibel yang berdekatan, menguji masing-masing titik mengenai optimalitasnya sebelum bergerak pada titik lainnya. Jumlah iterasi maksimum dalam metode Simpleks adalah sama dengan jumlah maksimum solusi basis dalam bentuk standar, atau dengan rumus: C n m = n! [( n m )! m! ] n = banyaknya variabel m = banyaknya persamaan pembatas fungsional 27

28 Terminologi dasar: METODE SIMPLEKS 1. Solusi fisibel Solusi yang memenuhi seluruh pembatas yang ada pada persoalan tersebut. Titik-titik yang ada di dalam atau pada perbatasan bidang ABCDE. X E D X1 4 2.X2 12 Solusi tidak fisibel Solusi fisibel (ABCDE) 4 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 Daerah fisibel (ABCDE) Untuk x1 dan x2 28

29 Terminologi dasar: METODE SIMPLEKS 2. Solusi Optimum Solusi fisibel yang memberikan nilai terbaik (nilai terbesar atau terkecil) bagi fungsi tujuannya (maksimum atau minimum). X E D X1 4 Titik optimum (X1 = 2, X2 = 6) 2.X2 12 Fungsi Tujuannya: Z = 3.X1 + 5.X2 4 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 29

30 Terminologi dasar: METODE SIMPLEKS 3. Solusi Fisibel Titik Ekstrem/ Titik Sudut Solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya untuk (n > 3) buah variabel (n) X E D X1 4 2.X2 12 Solusi Fisibel Titik Ekstrem: Titik: (,), (,6), (2,6), (4,3) dan (4,) 4 2 A C 3.X1 + 2.X2 18 B X1 3

31 METODE SIMPLEKS Terminologi dasar: Ada 4 sifat pokok Titik Ekstrem: 1. Jika hanya ada satu solusi optimum, maka pasti ada suatu titik ekstrem. 2. Jika solusi optimumnya banyak, maka paling sedikit ada dua titik ekstrem yang berdekatan. (Dua buah titik ekstrem dikatakan berdekatan jika segmen garis yang menghubungkan keduanya itu terletak pada sudut dari batas daerah fisibel) 3. Hanya ada sejumlah terbatas titik ekstrem pada setiap persoalan 4. Jika suatu titik ekstrem memberikan harga Z yang lebih baik dari yang lainnya, maka pasti solusi itu merupakan solusi optimum Sifat keempat ini menjadi dasar dari metode Simpleks yang prosedurnya meliputi 3 langkah sebagai berikut: 1. Langkah Inisialisasi: mulai dari suatu titik ekstrem 2. Langkah Iteratif: bergerak menuju titik ekstrem berdekatan yang lebih baik. Langkah ini diulangi sebanyak yang diperlukan 3. Aturan penghentian: menghentikan langkah ke-2 apabila telah sampai pada titik ekstrem yang terbaik (titik optimum) 31

32 KONDISI OPTIMALITAS METODE SIMPLEKS Kondisi Optimalitas dari Metode Simpleks menyatakan bahwa: 1. Untuk persoalan dengan fungsi tujuan memaksimumkan, apabila seluruh variabel non basisnya (pada persamaan Z) mempunyai koefisien-koefisien yang berharga non negatif (artinya positif atau nol), maka solusi yang diperoleh sudah optimum. Jika masih ada variabel non basis yang mempunyai koefisien berharga negatif, maka variabel non basis dengan koefisien negatif terbesar dipilih sebagai entering variable (variabel masuk) 2. Sebaliknya untuk persoalan dengan fungsi tujuan meminimumkan, solusi optimum tercapai apabila seluruh variabel non basisnya mempunyai koefisien-koefisien yang berharga negatif atau nol. Jika masih ada variabel non basis yang mempunyai koefisien berharga positif, maka variabel non basis dengan koefisien positif terbesar dipilih sebagai entering variable (variabel masuk) 32

33 ENTERING VARIABLE (VARIABEL MASUK) Cara pemilihan entering variable (variabel masuk): 1. FUNGSI TUJUAN MEMAKSIMUMKAN, Pilihlah koefisien-koefisien variabel non basis pada fungsi tujuan yang mempunyai koefisien negatif terbesar (harga mutlak) 2. FUNGSI TUJUAN MEMINIMUMKAN, Pilihlah koefisien-koefisien variabel non basis pada fungsi tujuan yang mempunyai koefisien positif terbesar (harga mutlak) 33

34 LEAVING VARIABLE (VARIABEL KELUAR) Cara pemilihan leaving variable (variabel keluar) fungsi tujuan memaksimumkan/meminimumkan: 1. Pilihlah koefisien-koefisien pada kolom entering variable yang berharga positif (> ) 2. Bagilah ruas kanan pada kolom solusi (kecuali untuk persamaan Z) dengan koefisien-koefisien tersebut untuk baris-baris yang sama. Rasio= koefisiensolusi koefisienenteringvariable 3. Tentukan persamaan pembatas mana yang mempunyai hasil bagi (rasio) terkecil, kemudian pilihlah variabel basis pada persamaan tersebut untuk menjadi leaving variable 34

35 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Prosedur algoritma Metode Simpleks: Langkah : Gunakan bentuk standar, tentukan solusi fisibel basis awal dengan cara mengenolkan sebanyak (n m) variabel non basis Langkah 1 : Pilihlah sebuah entering variable (variabel masuk) di antara variabel-variabel non basis yang ada, yang apablia nilainya dinaikkan menjadi lebih besar dari nol, dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika tidak ada STOP. Maka solusi basis yang telah dicapai menjadi solusi optimum. Jika ada lanjutkan ke langkah 2. Langkah 2 : Pilihlah sebuah leaving variable (variabel keluar) di antara variabel basis yang ada, yang harus menjadi non basis pada saat entering variable menjadi basis. Langkah 3 : Tentukan solusi basis yang baru dengan cara menjadikan entering variable sebagai basis, dan menjadikan leaving variable sebagai variabel non basis. Kembali ke langkah 1 Setelah diperoleh entering dan leaving variable maka iterasi ditentukan dengan dengan menggunakan Metode Gauss-Jordan. 35

36 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Setelah diperoleh entering dan leaving variable maka iterasi ditentukan dengan dengan menggunakan Metode Gauss-Jordan. Metode ini mengubah basis dengan menggunakan 2 tipe perhitungan sebagai berikut: 1. Tipe 1 (persamaan pivot) Persamaan pivot yang baru = Persamaan pivot yang lama koefisien pivot 2. Tipe 2 (persamaan-persamaan yang lainnya, termasuk persamaan Z) Persamaan yang baru koefisien Persamaan = Persamaan lama kolom pivot baru entering 36

37 BENTUK STANDAR METODE SIMPLEKS Metode Simpleks menginterasikan sejumlah persamaan yang mewakili fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala pada programa linear yang telah disesuaikan menjadi bentuk standar Perhatikan bentuk standar persamaan simpleks sebagai berikut: Maks./Min. Pembatas: Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n + x n+1 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n - x n+2 = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n + x n+k = b m x 1, x 2, x n 37

38 FORMAT TABEL METODE SIMPLEKS Iterasi Basis Z Peubah Non Basis Peubah Basis X 1 X 2 X n S 2 S 1 Solusi Z 1 S m Z S1 a 11 a 12 a 1n 1 b 1 S2 a 21 a 22 a 2n 1 b 2 S m a m1 a m2 a mn 1 b m 38

39 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Model matematis: Maksimum: Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas: X1 4 2.X X1 + 2.X2 18 dan X1, X2 Model Standar: Maksimum: Z -3.X1-5.X2 = Pembatas: X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + S3 = 18 dan X1, X2, S1, S2, S3 39

40 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio Z S S /2 = 6 Persamaan pivot S /2=9 Koefisien pivot Kolom variabel masuk 4

41 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Kolom Entering Basis Solusi Z X1 X2 S1 S2 S3 (RHS) Z S1 X2 1 1/2 6 Didapat dari rumus S3 Persamaan pivot yang Persamaan pivot yang baru = koefisien pivot lama 41

42 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio Z S S /2 = 6 Kolom Entering S /2=9 Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) +5 x Z 1-3 5/2 3 S Iterasi-1 X2 1 1/2 6-2 x S Persamaan yang baru = Persamaan lama koefisien kolom entering Persamaan pivot baru 42

43 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio Z 1-3 5/2 3 S /1=4 X2 1 1/2 6 S /3=2 Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Z S1 X2 X1 1-1/3 1/3 2 43

44 ALGORITMA METODE SIMPLEKS Kolom Entering Basis Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi (RHS) Rasio Z 1-3 5/2 3 Iterasi-2 S /1=4 X2 1 1/2 6 S /3=2 Kolom Entering X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = x -1 x Basis Z S1 X2 Z 1 X1 X2 1 S1 1 S2 3/2 1/3 1/2 S3 1-1/3 Solusi (RHS) X1 1-1/3 1/3 2 44

45 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dalam metode Simpleks menggunakan variabel slack sebagai solusi basis awal, sedemikian sehingga masingmasing merupakan ruas kanan yang berharga positif pada masing-masing persamaan. Sekarang bagaimana solusi untuk kasus yang persamaan pembatasnya tidak lagi bertanda, tetapi bertanda = atau. Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda =, maka daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis saja, sehingga kita tidak dapat memperoleh solusi fisibel basis awal karena tidak ada variabel slack yang dapat digunakan sebagai variabel basis awalnya. Contoh: 3.X1 + 2.X2 18, diubah menjadi 3.X1 + 2.X2 =18, maka daerah fisibelnya hanya berupa segmen garis yang menghubungkan titik (2,6) dengan (4,3). 45

46 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Untuk kasus yang persamaan pembatasnya bertanda, kita tidak akan memiliki solusi fisibel basis awal karena ruas kanannya berharga negatif. Contoh: 3.X1 + 2.X2 18, adalah sama dengan -3.X1-2.X2-18 Dengan menambahkan variabel slack menjadi -3.X1-2.X2 + S1 = - 18, S1 tidak bisa menjadi variabel basis awal karena harganya negatif. Untuk menyelesaikan kedua jenis kasus tersebut, kita memerlukan adanya variabel dummy (variabel palsu) yang disebut variable artifisial, sehingga variabel basis awal bisa tetap ada. 46

47 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 Bentuk di atas kita ubah menjadi: Maksimumkan Z - 3.X1-5.X2 = Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 Pengaruh variabel artifisial (R) ini adalah untuk memperluas daerah fisibel. Pada kasus di atas, daerah fisibel berkembang dari semula berupa segmen garis yang menghubungkan titiktitik (2,6) dan (4,3) menjadi bidang ABCDE. 47

48 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Contoh 2: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 Bentuk di atas kita ubah menjadi: Maksimumkan Z - 3.X1-5.X2 = Pembatas X1 - S1 + R1 = 4 2.X2 - S2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R1, R2, R3 Pada akhirnya, iterasi-iterasi metode Simples akan secara otomatis menjadikan variabel artifisial ini tidak mucul lagi (berharga nol), yaitu apabila persoalan semula telah terselesaikan. 48

49 TEKNIK VARIABEL ARTIFISIAL Dengan kata lain, kita gunakan variabel artifisial ini hanya untuk memulai solusi, dan harus menghilangkannya (menjadikannya berharga nol) pada akhir solusi. Jika tidak demikian, solusi yang diperoleh akan tidak fisibel. Untuk itu, maka harus diberikan penalty M (dimana M adalah bilangan positif yang sangat besar) pada setiap variabel artifisial dalam fungsi tujuannya. Nilai M bertanda negatif (-) untuk fungsi tujuan maksimum, dan bertanda positif (+) untuk fungsi tujuan minimum Ada 2 teknik penyelesaian untuk kasus dengan variabel artifisial, yaitu: 1. Teknik M 2. Teknik dua fase Kedua teknik ini saling berkaitan erat 49

50 METODE PENALTY (TEKNIK M) Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel artifisial sehingga diperoleh bentuk: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S2 M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 5

51 METODE PENALTY (TEKNIK M) Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara: R3 = 18 3.X1 2.X2 Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut: Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S2 M.(18 3.X1 2.X2) atau Z = (3.M + 3).X1 + (2.M 5).X2 +.S1 +.S2 18.M Z (3.M + 3).X1 (2.M 5).X2.S1.S2 = 18.M Hal ini dilakukan dengan maksud agar dalam pembuatan tabel Simpleks awalnya, R3 sudah secara otomatis dipaksa berharga nol. Selanjutnya selesaikan persoalan di atas dengan cara yang sama. 51

52 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi Z 1 (-3M-3) (-2M-5) -18M S S R

53 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 1 Z 1 (-3M-3) (-2M-5) -18M S S R Z 1 (-2M-5) (3M+3) (-6M+12) X S R

54 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 1 2 Z 1 (-3M-3) (-2M-5) -18M S S R Z 1 (-2M-5) (3M+3) (-6M+12) X S R Z 1-9/2 (M+5/2) 27 X S X2 1-3/2 1/2 3 54

55 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 2 3 Z 1-9/2 (M+5/2) 27 X S X2 1-3/2 1/2 3 Z 1 3/2 (M+1) 36 X1 1-1/3 1/3 2 S1 1 1/3-1/3 2 X2 1 1/2 6 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 55

56 METODE PENALTY (TEKNIK M) Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 18 X1, X2 Karena pembatas ketiga bertanda =, maka untuk mendapatkan solusi basis awalnya kita harus menambahkan variabel artifisial sehingga diperoleh bentuk: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 Perhatikan: Bahwa Penalty M bertanda positif, mengapa? 56

57 METODE PENALTY (TEKNIK M) Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara: R2 = 12 2.X2 R3 = 18 3.X1 2.X2 + S3 Kemudian masukkan ke dalam persamaan Z sebagai berikut: Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S3 + M.(12 2.X2) + M.(18 3.X1 2.X2 + S3) atau Z = ( 3.M + 3).X1 + ( 4.M + 5).X2 +.S1 + M.S3 + 3.M Z ( 3.M + 3).X1 ( 4.M + 5).X2.S1 M.S3 = 3.M 57

58 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi Z 1 (3M-3) (4M-5) -M 3M S R R

59 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 1 Z 1 (3M-3) (4M-5) -M 3M S R R Z 1 (3M-3) -M (-2M +5/2) 6M+3 S X2 1 1/2 6 R

60 METODE PENALTY (TEKNIK M) Iterasi Basis Z X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 1 2 Z 1 (3M-3) (4M-5) -M 3M S R R Z 1 (3M-3) -M (-2M +5/2) 6M+3 S X2 1 1/2 6 R Z 1-1 (-M +3/2) (-M +1) 36 S1 1 1/3 1/3-1/3 2 X2 1 1/2 6 X1 1-1/3-1/3 1/3 2 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 6

61 TEKNIK DUA FASE Dengan digunakannya konstanta M yang merupakan bilangan positif yang sangat besar sebagai penalty, maka bisa terjadi kesalahan perhitungan, terutama apabila perhitungan itu dilakukan dengan menggunakan program komputer. Kesalahan itu bisa terjadi karena koefisien tujuan relatif sangat kecil dibandingkan dengan harga M, sehingga komputer akan memperlakukannya sebagai koefisien yang berharga nol. Sebagai contoh, apabila pada persoalan teknik M di atas ditetapkan harga M = 1., maka koefisien X1 dan X2 pada fungsi tujuannya menjadi (3. 3) dan (4. 5). 61

62 TEKNIK DUA FASE Kesulitan ini bisa dikurangi dengan menggunakan teknik dua fase. Disini konstanta M dihilangkan dengan cara menyelesaikan persoalan dalam dua fase (dua tingkatan) sebagai berikut: Fase 1: Fase ini digunakan untuk menguji apakah persoalan yang kita hadapi memiliki solusi fisibel atau tidak. Pada fase ini fungsi tujuan semula diganti dengan meminimumkan jumlah variabel artifisialnya. Jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga nol (artinya seluruh variabel artifisial berharga nol), berarti persoalan memiliki solusi fisibel, lanjutkan fase 2. Tetapi, jika nilai minimum fungsi tujuan baru ini berharga positif, maka persoalan tidak memiliki solusi fisibel, STOP. Fase 2: Gunakan solusi basis optimum dari fase 1 sebagai solusi awal bagi persoalan semula. Dalam hal ini ubahlah bentuk fungsi tujuan fase 1 dengan mengembalikannya pada fungsi tujuan persoalan semula. Pemecahan persoalan dilakukan dengan cara seperti biasa. 62

63 TEKNIK DUA FASE Contoh 1: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X X1 + 2.X2 = 18 X1, X2 Bentuk standar: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S2 M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R3 dengan cara: R3 = 18 3.X1 2.X2 63

64 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Minimumkan r = R3 atau r = 18 3.X1 2.X2 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + S2 = 12 3.X1 + 2.X2 + R3 = 18 X1, X2, S1, S2, R3 64

65 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi r S S R

66 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 1 r S S R r X S R

67 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 R3 Solusi 1 2 r S S R r X S R r -1 X S X2 1-3/2 1/2 3 Persoalan di atas memiliki solusi fisibel. Selanjutnya R tidak diikutsertakan lagi. 67

68 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: X1 + S1 = X1 = 4 S1 3.S1 + S2 = 6 X2 3/2.S1 = X2 = 3 + 3/2.S1 Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan: Maksimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.(4 S1) + 5.(3 + 3/2.S1) Z = 9/2.S Pembatas X1 + S1 = 4 3.S1 + S2 = 6 X2 3/2.S1= 3 X1, X2, S1, S2 TEKNIK DUA FASE 68

69 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 Solusi Z -9/2 27 X S X2 1-3/2 3 69

70 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S2 Solusi 1 Z -9/2 27 X S X2 1-3/2 3 Z 3/2 36 X1 1-1/3 2 S1 1 1/3 2 X2 1 1/2 6 X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 7

71 TEKNIK DUA FASE Contoh 2: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Pembatas X1 4 2.X2 =12 3.X1 + 2.X2 18 X1, X2 Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 +.S1 +.S3 + M.R2 + M.R3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 Untuk memasukkan model di atas ke dalam bentuk tabel, maka terlebih dahulu substitusikan R2 dan R3 dengan cara: R2 = 12 2.X2 R3 = 18 3.X1 2.X2 + S3 71

72 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Minimumkan atau r = R2 + R3 r = (12 2.X2) + (18 3.X1 2.X2+S3) r + 3.X1 + 4.X2 S3 = 3 Pembatas X1 + S1 = 4 2.X2 + R2 = 12 3.X1 + 2.X2 S3 + R3 = 18 X1, X2, S1, S3, R2, R3 72

73 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi r S R R

74 TEKNIK DUA FASE Fase 1: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 1 r S R R r S X2 1 1/2 6 R

75 Fase 1: TEKNIK DUA FASE Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 R2 R3 Solusi 1 2 r S R R r S X2 1 1/2 6 R r -1-1 S1 1 1/3 1/3-1/3 2 X2 1 1/2 6 X1 1-1/3-1/3 1/3 2 75

76 Fase 2: Dari tabel optimum pada fase 1 di atas dapat dituliskan persamaanpersamaan berikut: S1 + 1/3.S3 = 2 X2 = 6 X1 1/3.S3 = X1 = 2 + 1/3.S3 Kembali kepada model persoalan semula, dan dengan mensubstitusikan persamaan-persamaan di atas, didapatkan: Minimumkan Z = 3.X1 + 5.X2 Z = 3.(2 + 1/3.S3) + 5.(6) Z S3 = 36 Pembatas S1 + 1/3.S3 = 2 X2 = 6 X1 1/3.S3 = 2 X1, X2, S1, S3 TEKNIK DUA FASE 76

77 TEKNIK DUA FASE Fase 2: Iterasi Basis X1 X2 S1 S3 Solusi X1 = 2 X2 = 6 Z optimum = 36 Z S1 1 1/3 2 X2 1 6 X1 1-1/3 2 Tabel di atas sudah langsung merupakan tabel optimum Hal yang penting untuk diingat adalah bahwa variabel-variabel artifisial tidak diikutsertakan lagi dalam perhitungan pada fase 2 apabila pada akhir fase 1 variabel-variabel artifisial itu berstatus sebagai variabel non basis. 77