Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral

Transkripsi

1 Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains Nofirwan Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia Depok 004

2 Lembar Persetujuan Judul Skripsi : Peluruhan Pion Berdasarkan Teori Perturbasi Chiral Nama : Nofirwan NPM : Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui Depok, 7 Juni 004 Mengesahkan Pembimbing I Pembimbing II Dr. Terry Mart Penguji I Penguji II Dr. L.T. Handoko Dr. Anto Sulaksono

3 Gambar 1: Foto Tunangan iii

4 Kata Pengantar Alhamdulillah, puji syukur ke hadirat Allah SWT, atas selesainya penyusunan skripsi ini sebagai syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains. Skripsi ini merupakan rangkaian terakhir dari sekian banyak tugas yang penulis harus jalani ketika menempuh pendidikan di Departemen Fisika UI. Topik penelitian yang penulis angkat pada kesempatan kali ini adalah mengenai neutrino. Topik ini cukup menarik karena beberapa tahun belakangan ini banyak dibicarakan mengenai neutrino bermassa yang tentu berlawanan dengan konsep dalam Standard Model. Pada kesempatan kali ini penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada Dr. L. T. Handoko dan Dr. Terry Mart yang telah dengan sabar membimbing penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Penulis menyampaikan apresiasi yang setinggitingginya kepada mereka berdua. Juga kepada penguji penulis, Dr. Na Peng Bo dan Dr. Muhammad Hikam atas masukannya, dan kepada Dr. Anto Sulaksono dan Dr. Chairul Bahri untuk diskusi-diskusi yang menarik dan juga untuk bantuan literatur. Penulis menyadari bahwa tidak ada kesuksesan yang diraih tanpa dukungan dari rekan-rekan penulis. Oleh karena itu penulis tak lupa mengucapkan terima kasih kepada para kolega penulis di grup fisika nuklir dan partikel dan teman-teman penulis lainnya di Departemen Fisika UI, khususnya angkatan 99 untuk saat-saat menyenangkan selama kuliah. Pada akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada kedua orang tua dan adik-adik penulis atas dukungan dan doanya selama ini. Semoga Allah SWT membalas kebaikan kalian semua. Tiada diskusi melainkan pengayaan pemikiran dan perenungan. Terus berpikir berarti terus hidup. Sedangkan terus berpikir dan berbuat berarti hidup dalam kesejatian. iii

5 iv Nofirwan

6 Abstrak Diberikan elemen-elemen utama dan metode-metode dari teori perturbasi chiral ChPT, teori medan efektif dari Standard Model menurut skala kerusakan simetri chiral secara spontan. Dasar teori ini adalah simetri global SU3 L SU3 R U1 V dari Lagrangian QCD dalam batas quark u, d, dan s tak bermassa, diasumsikan secara spontan rusak ke SU3 V U1 V yang menghasilkan delapan boson Goldstone tak bermassa. Teori medan efektif memperkenalkan Lagrangian efektif dengan orde terendah yang akan digunakan untuk menerangkan proses pada peluruhan pion. Kata kunci: chiral. Abstract The main elements and methods of chiral perturbation theory, the effective field theory of the Standard Model below the scale of sponaneous chiral symmetry breaking, are summarized. The basis of ChPT is the global SU3 L SU3 R U1 V symmetry of the QCD Lagrangian in the limit of massless u, d, and s quarks, is assumed to be spontaneously broken down to SU3 V U1 V giving rise to eight massless Goldstone bosons. The effective field theory, introducing to the effective Lagrangian at lowest order is used to describe pion decay processes. Keywords: chiral. v

7 Daftar Isi Kata Pengantar Abstrak Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar iii v vi viii ix 1 Pendahuluan Latar Belakang Perumusan Masalah Metode Penelitian Tujuan Tinjauan Pustaka 5.1 Quantum Electrodynamics QED Quantum Chromodynamics QCD Beberapa Sifat pada SU Lagrangian QCD Simetri Chiral Medan quark Left-Handed dan Right-Handed Teorema Noether Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan Aljabar Chiral QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal vi

8 3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian Teorema Goldstone Kerusakan Simetri Spontan Dalam QCD Spektrum Hadron Condensate Quark skalar qq Lagrangian Efektif Orde Terendah Konstruksi Lagrangian Efektif Hasil dan Pembahasan Peluruhan Pion π + µ + ν µ Pembahasan Kesimpulan dan Saran 61 A Mekanika Kuantum Relativistik 6 A.1 Notasi A. Aljabar Dirac B Transformasi Grup U1,U3 dan SU3 66 Daftar Acuan 67 vii

9 Daftar Tabel.1 Konstanta struktur anti-simetrik dari SU3 yang seluruhnya tidak nol. 8. Simbol d dari simetri SU3 yang seluruhnya tidak nol Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak m s ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat m c dan m b masing -masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. 5.5 Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan Perbandingan kerusakan simetri spontan Sifat-sifat transformasi terhadap grup G, konjugasi muatan C, dan paritas P viii

10 Daftar Gambar 1 Foto Tunangan iii 3.1 Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: Vx, y = x + y + x +y Peluruhan Pion π + µ + ν µ ix

11 Bab 1 Pendahuluan Sampai sekarang orang masih mencari tahu apa yang menjadi penyusun alam semesta ini. Secara garis besar, partikel yang menyusun alam semesta dibagi menjadi dua golongan, yaitu quark dan lepton. Quark dibedakan menjadi enam citarasa flavor yaitu, u up, d down, s strange, c charm, t top, dan b bottom yang datang dengan tiga derajat kebebasan warna color dan bertransformasi sebagai triplet menurut transformasi fundamental SU3. Lepton terdiri atas elektron ν e, e, muon ν µ, µ, dan tau ν τ, τ. Lepton terbagi menjadi dua kelas menurut muatan listriknya, neutrino netral ν e, ν µ, ν τ dan yang bermuatan negatif e, µ, τ. Selain lepton ada juga yang dinamakan meson dan baryon. Meson memiliki massa yang terletak di antara massa lepton dan massa baryon. Partikel-partikel di atas dapat saling berinteraksi melalui empat interaksi dasar, yaitu interaksi elektromagnetik, lemah, kuat, dan gravitasi. Meson memiliki spin nol atau satu sedangkan baryon memiliki spin kelipatan 1/. Meson dan baryon dapat mengalami interaksi kuat, karena itu mereka termasuk dalam golongan hadronik. Saat ini hanya interaksi elektromagnetik yang benar-benar dapat dimengerti, yang tercantum dalam Quantum Electrodynamics QED. Interaksi elektromagnetik dan interaksi lemah tergabung dalam interaksi elektro lemah electroweak. Sedangkan untuk interaksi kuat terdapat dalam Quantum Chromodynamics QCD. Keseluruhan teori mengenai partikel dan interaksinya di atas tidak termasuk gravitasi, merupakan kesatuan teori yang disebut Standard Model SM. SM adalah teori yang mampu menjelaskan hampir sebagian besar fenomena interaksi dalam fisika energi tinggi. 1

12 1.1 Latar Belakang Pada tahun 1950-an, gambaran tentang interaksi kuat dalam kerangka teori medan kuantum nampaknya gagal karena menimbulkan konstanta kopling yang terlalu besar pada energi tingkat rendah. Spektrum hadron yang kaya bersama dengan ukurannya merupakan petunjuk awal terhadap substruktur dalam unsur-unsur pokok yang lebih fundamental. Saat ini, hadron adalah obyek-obyek kompleks yang dibangun dari banyak derajat kebebasan yang fundamental. Banyak hasil-hasil empiris dari fisika medium dan fisika energi tinggi seperti produksi hadron dalam pemusnahan elektron-positron, berhasil diterangkan menggunakan metode gangguan dalam kerangka kerja dari teori gauge SU3 yang mengacu pada Quantum Chromodynamics QCD. Masih belum ada metode analitik yang menjelaskan QCD pada jarak yang jauh, yaitu pada energi-energi rendah. Sebagai contoh, bagaimana hadron-hadron diamati secara asimtotik, termasuk spektrum resonansinya yang kaya, yang diciptakan oleh QCD masih belum secukupnya dipahami. Ada tiga masalah QCD pada level kuantum, yaitu, masalah gap, quark confinement, dan kerusakan simetri chiral secara spontan. Pada energi sangat rendah cenderung ke nol, konstanta kopling QCD akan sangat besar. Namun pada energi tinggi, didapat konstanta kopling yang rendah dan lebih rendah lagi. Inilah yang biasanya dikenal sebagai asymptotic freedom. Hanya terhadap masalah asymptotic freedom teori perturbasi dapat dilakukan. Masih ada usaha lain dalam mengatasi hal ini, yakni dengan teori simetri, yang terdiri dari simetri chiral SU3 L SU3 R dan realisasinya, yaitu kerusakan simetri spontan ke SU3 V pada apa yang dinamakan kerapatan Lagrangian efektif. Hal ini kemudian ditulis dalam suku-suku dari medan boson Goldstone pseudoskalar yang diamati secara asimtotik dan menjelaskan sifat energi rendah dari QCD. Sekarang boleh dilakukan perturbasi non-konvensional, yaitu perturbasi bukan lagi dalam pangkat konstanta kopling tapi dalam pangkat momentum boson Goldstone eksternal rendah dan massa quark kecil. Metode ini yang dikenal sebagai mesonic chiral perturbation theory teori perturbasi chiral sektor meson.

13 1. Perumusan Masalah Pada energi rendah, perturbasi tidak dapat dilakukan karena adanya konstanta kopling yang besar sehingga dibutuhkan suatu teori dimana perturbasi masih dapat dilakukan. Teori tersebut dikenal sebagai teori perturbasi chiral. Spektrum hadron yang diamati dalam percobaan masih belum dapat dimengerti. Ternyata derajat kebebasan hadronik pada energi rendah muncul sebagai keadaan asimtotik yang dapat diamati. Timbul pertanyaan bagaimana keadaan ini dapat dijelaskan secara teoritik? Keadaan ini hanya dapat diperiksa melalui teori perturbasi chiral yang diperkenalkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17]. Karena dasar teori ini memeriksa proses-proses interaksi kuat QCD pada tingkat energi rendah atau keadaan dengan suku massa quark sama dengan nol yang biasa disebut sebagai batas chiral. Pada batas ini, medan quark left- dan right-handed dipisahkan satu sama lain dalam Lagrangian efektif QCD. Pada tingkat klasik, Lagrangian efektif memperlihatkan simetri global SU3 L SU3 R. Namun, pada tingkat kuantum arus aksial vektor singlet mengembangkan suatu anomali [1,, 3, 4, 5] sehingga perbedaan bilangan quark left- dan right-handed bukanlah suatu konstanta gerak. Dengan kata lain, dalam batas chiral, Hamiltonian QCD mempunyai simetri SU3 L SU3 R U1 V. Dengan ini orang dapat mempelajari lebih dalam tentang struktur hadron yang sampai saat ini masih hangat dibicarakan. 1.3 Metode Penelitian Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori Medan Kuantum Efektif Effective Quantum Field Theory yang di dalamnya tercakup teori perturbasi chiral. Teori ini dikembangkan oleh Gasser dan Leutwyler [16, 17] yang menganalisis konsekuensi simetri SU3 L SU3 R dari L QCD dengan memperkenalkan kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial vektor dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar ke dalam Lagrangian QCD dan mempromosikan simetri global ke simetri lokal. 3

14 1.4 Tujuan Pada energi rendah QCD terdapat konstanta kopling yang besar sehingga tidak memungkinkan untuk dilakukannya teori gangguan. Sementara itu pada energi tinggi terdapat kopling yang kecil dan makin kecil yang biasa dikenal sebagai asymptotic freedom kebebasan asimtotik. Hanya pada daerah asimtotik teori perturbasi gangguan dapat dilakukan. Namun, agar teori perturbasi dapat dilakukan pada energi rendah, maka ekspansi pangkat dalam perturbasi bukan dilakukan terhadap kopling melainkan terhadap momentum boson Goldstone dan massa quark. Metode ini yang dikenal sebagai chiral perturbation theory teori perturbasi chiral. Dengan teori ini akan dilihat bagaimana menjelaskan dinamika boson Goldstone termasuk pion pada tingkat energi rendah dalam kerangka kerja teori medan efektif. 4

15 Bab Tinjauan Pustaka Teori perturbasi chiral memberikan suatu kerangka kerja yang sistematis untuk memeriksa proses-proses interaksi kuat pada energi rendah. Dasar teori perturbasi chiral adalah simetri global SU3 L SU3 R U1 V dari Lagrangian QCD dalam batas quark tak bermasa u, d, dan s yang diasumsikan rusak ke SU3 V U1 V secara spontan dan menimbulkan delapan boson Goldstone. Sebelumnya akan diperkenalkan prinsip gauge. Prinsip gauge adalah metode yang amat sukses dalam fisika partikel elementer untuk membangkitkan interaksi antara medan-medan materi melalui pertukaran boson-boson gauge tera tak bermassa..1 Quantum Electrodynamics QED Quantum Electrodynamics QED adalah teori gauge yang menerangkan interaksiinteraksi elektromagnetik antar partikel, dihasilkan dari promosi simetri global U1 dari Lagrangian yang menggambarkan elektron bebas ke dalam bentuk simetri lokal. 1 Ψ exp iθ Ψ : L free = Ψ iγ µ µ m Ψ L free,.1 Dalam proses ini parameter 0 Θ π menggambarkan sebuah elemen dari U1 yang diperbolehkan untuk bervariasi secara mulus dalam ruang-waktu, Θ Θx, yang menunjuk kepada menterakan grup U1. Untuk menjaga keinvarianan Lagrangian menurut transformasi lokal, diperkenalkan potensial-empat A µ ke dalam teori yang bertransformasi menurut transformasi gauge A µ A µ µ Θ/e. Agar 1 Penulis menggunakan representasi matriks-matriks Dirac. 5

16 diperoleh suku kinetik dalam A µ harus juga dimasukkan suku interaksi berupa tensor kuat medan F µν. Oleh karena itu dengan merujuk pada menterakan Lagrangian yang berkenaan dengan U1 diperoleh Lagrangian QED: L QED = Ψ [iγ µ µ iea µ m] Ψ 1 4 F µνf µν,. dimana F µν = µ A ν ν A µ. Kemudian turunan kovarian µ dari Ψ diganti dengan D µ, D µ µ iea µ Ψ, didefinisikan sedemikian hingga menurut transformasi gauge jenis kedua Ψx exp [ iθx] Ψx, A µ x A µ x µ Θx/e,.3 turunan kovarian bertransformasi dengan cara yang sama, yaitu hanya bekerja pada Ψ sendiri: D µ Ψx D µψ x [ ] = µ iea µx exp [ iθx] Ψ x = [ µ ie A µ x µ Θ/e] exp [ iθx] Ψx = exp[ iθx][ µ ieax]ψx = exp[ iθx]d µ Ψx.4 Suku massa M A / tidak dimasukkan ke dalam Lagrangian karena suku ini akan melanggar invarian gauge dan oleh karena itu prinsip gauge membutuhkan bosonboson gauge tak bermassa. Dalam hal ini dikenal A µ sebagai potensial-empat elektromagnetik dan F µν sebagai tensor kuat medan yang mengandung medan listrik dan medan magnet. Prinsip gauge ini secara alami telah mengembangkan interaksi medan elektromagnetik dengan materi.. Quantum Chromodynamics QCD..1 Beberapa Sifat pada SU3 Grup SU3 memainkan peranan penting dalam konteks interaksi kuat, karena SU3 adalah grup tera gauge dari QCD. Pada sisi lain flavor SU3 kira-kira direalisasikan sebagai simetri global dari spektrum hadron [6, 7, 8], supaya hadron-hadron Massa dari medan-medan gauge dimunculkan melalui kerusakan spontan dari simetri gauge. 6

17 massa rendah yang diamati dapat disusun kira-kira dalam multiplet-multiplet yang terdegenerasi dengan mencocokkan dimensi dari representasi irredusibel SU3. Pada akhirnya, hasil kali langsung dari SU3 L SU3 R adalah grup simetri chiral untuk menghilangkan massa-massa quark u, d dan s. Grup SU3 ditentukan sebagai himpunan matriks unitari, unimodular, 3 3 U, yakni U U = 1 dan det U=1. Dalam hal matematika, SU3 adalah delapan parameter yang secara sederhana dihubungkan dengan grup Lie yang compact. Elemen-elemen SU3 dapat ditulis dalam bentuk 8 λ a UΘ = exp i Θ a,.5 dengan Θ a bilangan-bilangan riil, dan delapan matriks λ a disebut matriks-matriks Gell-Mann, yang memenuhi λ a = i U 0,..., 0,.6 Θ a λ a = λ a,.7 Trλ a λ b = δ ab,.8 Trλ a = 0..9 Representasi eksplisit dari matriks Gell-Mann adalah i 0 λ 1 = 1 0 0, λ = i 0 0, λ 3 = λ 4 = λ 7 = i 0 i 0, λ 5 =, λ 8 = i i 0 0 3, λ 6 = ,,.10 Himpunan {iλ a } merupakan basis aljabar Lie su3 dari SU3, yakni, himpunan semua matriks skew Hermitian 3 3 yang tidak mempunyai trace. Hasil dari grup Lie kemudian ditentukan dalam suku-suku perkalian matriks biasa sebagai komutator dua elemen dari su3. Definisi seperti itu secara alami memenuhi sifat-sifat antikomutatif Lie [A, B] = [B, A].11 7

18 abc f abc Tabel.1: Konstanta struktur anti-simetrik dari SU3 yang seluruhnya tidak nol. dan juga identitas Jacobi [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0..1 Struktur dari grup Lie diberi kode dalam hubungan komutasi dari matriksmatriks Gell-Mann, [ λa, λ ] b λ c = if abc,.13 dimana f abc adalah konstanta struktur riil yang sepenuhnya anti-simetrik. [λ a, λ b ] = if abc λ c [λ a, λ b ] λ c = if abc λ c Tr [λ a, λ b ].8 = if abc Tr λ c Tr [λ a, λ b ] = 4if abc f abc = 1 4i Tr [λ a, λ b ] λ c.14 Lebih jelasnya, konstanta-konstanta stuktur ini adalah sebuah pengukuran nonkomutatif dari grup SU3. Hubungan anti-komutasi memberikan dimana simetri d abc sepenuhnya diberikan oleh {λ a, λ b } = 4 3 δ ab + d abc λ c,.15 d abc = 1 4 Tr {λ a, λ b } λ c.16 Selain itu, ada baiknya memperkenalkan matriks ke-sembilan λ 0 = diag1, 1, 1, 3 agar persamaan.7 dan.8 masih dipenuhi oleh sembilan matriks λ a. Khususnya, kumpulan {iλ a a = 1,, 8} merupakan basis aljabar Lie u3 dari U3, yakni, 8

19 abc d abc abc d abc Tabel.: Simbol d dari simetri SU3 yang seluruhnya tidak nol. kumpulan dari semua matriks 3 3 skew Hermitian matriks sembarang 3 3 dapat ditulis sebagai kompleks. Akhirnya, sebuah 8 M = λ a M a,.17 dimana M a adalah bilangan-bilangan kompleks yang diberikan oleh λ b M = Tr λ b M = Tr λ b M =.. Lagrangian QCD a=0 8 λ b λ a M a a=0 8 Tr λ b λ a M a a=0 8 δ ba M a a=0 Tr λ b M = M b M b = 1 Tr λ bm M a = 1 Tr λ am QCD adalah teori gauge dari interaksi-interaksi kuat [9, 10, 11] dengan color SU3 yang mendasari grup gauge. Medan materi QCD adalah quark-quark yang merupakan fermion spin-1/, dengan enam flavor berbeda untuk tiga warna yang mungkin lihat tabel.3. Karena quark tidak diamati sebagai keadaan bebas secara asimtotik, pengertian massa quark dan nilai-nilai numeriknya sangat dekat dihubungkan dengan metode dimana massa quark diekstrak dari sifat-sifat hadronik. Berkenaan dengan apa yang dinamakan nilai-nilai massa current-quark dari quark-quark ringan, seharusnyalah memandang suku-suku massa quark semata-mata hanya sebagai parameter-parameter symmetry breaking kerusakan simetri dengan besar massa 9

20 flavor u d s muatan[e] /3 1/3 1/3 massa[mev] 5.1 ± ± ± 5 flavor c b t muatan[e] /3 1/3 /3 massa[gev] ± 3. ± 4.0 Tabel.3: Flavor-flavor quark, muatan dan massa-massanya. Besar mutlak m s ditentukan menggunakan aturan jumlah QCD. Hasil tersebut diberikan untuk massa berlari MS pada skala µ = 1 GeV. Massa quark-quark ringan dihasilkan dari rasio massa yang ditemukan menggunakan teori perturbasi chiral, menggunakan massa quark strange sebagai masukan. Massa quark-quark berat m c dan m b masing - masing ditentukan oleh massa charmonium dan D, dan massa bottomium dan B. tersebut memberikan pengukuran secara luas untuk simetri chiral yang telah rusak. Sebagai contoh, rasio dari massa-massa quark ringan dapat diduga dari massa-massa oktet psudoskalar ringan [1]. Perbandingan antara massa proton, m p = 938 MeV, dengan jumlah dua massa current-quark up dan down lihat tabel.3 m p m u + m d,.18 menunjukkan bahwa interpretasi massa proton dalam suku-suku parameter massa current-quark harus sangat berbeda dari, katakan saja keadaan atom hidrogen, dimana massa secara esensial diberikan oleh jumlah massa proton dan elektron yang dikoreksi oleh sejumlah kecil energi ikat. Lagrangian QCD dihasilkan dari prinsip gauge yaitu [13, 14] L QCD = f= u,d,s c,b,t q f id/ m f q f 1 4 G µν,ag µν a..19 Untuk setiap flavor quark f, medan quark q f terdiri dari triplet warna indeks bawah r, g, dan b untuk red, green, dan blue, q f,r q f = q f,g q f,b,.0 yang bertransformasi menurut transformasi gauge gx yang digambarkan oleh him- 10

21 punan parameter-parameter Θx = [Θ 1 x,, Θ 8 x] menurut 3 q f q f = exp [ i 8 Θ a x λc a ] q f = U[gx]q f..1 Secara teknis, setiap medan quark q f bertransformasi menurut representasi fundamental dari warna SU3. Karena SU3 adalah delapan parameter grup, turunan kovarian persamaan.19 mengandung delapan parameter potensial gauge A µ,a, q f,r q f,r 8 D µ q f,g = µ q f,g λ C q f,r a ig A µ,a q f,g. q f,b q f,b q f,b Perlu dicatat bahwa interaksi antara quark dan gluon tidak bergantung pada flavor quark. Dengan menuntut adanya invarian gauge L QCD, memaksa sifat transformasi berikut dari medan-medan gauge λ C a A µ,ax U[gx] λc a A µ,axu [gx] i g µu[gx]u [gx]..3 Sekali lagi, dengan syarat ini turunan kovarian D µ q f bertransformasi pada q f, yakni D µ q f D µq f = UgD µq f. D µq f = = [ ] 8 λ C a µ ig A µ,a q f [ 8 ] λ C a µ igu A µ,a U µ UU Uq f = µ Uq f + U µ q f igu = U = UD µ q f µ ig 8 λ C a A µ,a 8 q f λ C a A µ,aq f µ Uq f Menurut transformasi gauge jenis pertama, yakni transformasi global SU3, suku kedua pada sisi sebelah kanan pers. gauge akan bertransformasi menurut representasi adjoint..3 akan menghilang dan medan-medan 3 Demi kejelasan, matriks-matriks Gell-Mann mengandung indeks atas C yang menjelaskan bekerja pada ruang warna. 11

22 Sejauh ini hanya bagian medan materi L QCD yang dipertimbangkan termasuk interaksinya dengan medan-medan gauge. Persamaan.19 juga berisi generalisasi dari tensor kuat medan untuk kasus non-abelian, G µν,a = µ A ν,a ν A µ,a + gf abc A µ,b A ν,c,.4 dengan f abc konstanta struktur SU3 yang diberikan dalam tabel.1. Seperti pers..3 tensor kuat medan bertransformasi menurut SU3 sebagai G µν λc a G µν,a U[gx]G µν U [gx]..5 Dengan menggunakan pers..8 bagian gluonic murni L QCD dapat ditulis maka λ C Tr a G µν,a G µν,a G µν b Tr λ C b Gµν b λ C a λ C b = Tr UG µν U UG µν U = TrG µν G µν U U 1 G µν,aδ ab G µν b = TrG µν G µν G µν,a G a µν = TrG µν G µν 1 4 G µν,ag µν a = 1 Tr CG µν G µν yang diperoleh dengan menggunakan sifat trace, TrABCD=TrBCDA, bersama dengan UU = U U = 1, dengan mudah dapat dilihat Lagrangian QCD invarian terhadap transformasi pers..5. Perbedaannya terhadap kasus Abelian QED, tensor kuat medan yang dikuadrati menimbulkan interaksi diri medan gauge yang melibatkan verteks dengan tiga dan empat medan gauge masing-masing dengan kekuatan g dan g. Suku-suku interaksi seperti ini merupakan karakteristik dari teori gauge non-abelian dan suku-suku tersebut membuat non-abelian lebih rumit daripada teori Abelian. 1

23 .3 Simetri Chiral Enam flavor quark secara umum dibagi menjadi tiga kuark ringan u, d, dan s, dan tiga flavor berat c, b, dan t. m u = GeV m d = GeV 1 GeV m s = GeV m c = GeV m b = GeV m t = 174 GeV,.6 dimana skala Λ CSB = 1 GeV dikaitkan dengan massa-massa hadron paling ringan yang berisi quark-quark ringan, contohnya m ρ = 770 MeV, yang bukan merupakan boson Goldstone yang diakibatkan dari kerusakan simetri spontan. dikaitkan dengan kerusakan simetri spontan, 4πF π Skala yang 1170 MeV, memiliki besar orde yang sama. Berikutnya, akan diperkirakan Lagrangian QCD lengkap dengan versi flavor quark ringan, yakni, mengabaikan efek pasangan quark-antiquark berat h h. Secara khusus, persamaan.18 memberi kesan bahwa Lagrangian L 0 QCD hanya mengandung flavor quark-quark ringan di dalam apa yang dinamakan batas chiral m u, m d, m s 0, menjadi awal yang baik dalam membicarakan QCD energi-rendah: L 0 QCD = l=u,d,s q l id/q l 1 4 G µν,ag µν a.7 Turunan kovarian D/ q l hanya bekerja pada color warna dan indeks Dirac, tetapi tidak bergantung flavor..3.1 Medan quark Left-Handed dan Right-Handed Agar selengkapnya simetri-simetri global dari persamaan.7 terlihat, dipertimbangkanlah suatu matriks chirality γ 5 = γ 5 = iγ 0 γ 1 γ γ 3, {γ µ, γ 5 } = 0, γ 5 = 1, dan memperkenalkan operator-operator proyeksi P R = γ 5 = P R, P L = 1 1 γ 5 = P L.8 dimana indeks R dan L mengacu pada right-handed dan left-handed, seperti akan menjadi lebih jelas di bawah ini. memenuhi hubungan kelengkapan Nampak jelas bahwa matriks 4 4 P R dan P L P R + P L =

24 P R = P R, P L = P L.30 dan hubungan ortogonalitas P R P L = P L P R = γ 5 = 0.31 Sifat-sifat gabungan dari persamaan menjamin bahwa P R dan P L sungguh-sungguh operator proyeksi yang memproyeksikan variabel medan Dirac q ke komponen-komponen chiral-nya q R dan q L. q R = P R q, q L = P L q..3 Kita ingat dalam konteks ini variabel medan chiral adalah variabel yang terhadap paritas ditransformasikan menjadi varabel asal maupun variabel negatifnya. Terhadap paritas, medan quark ditransformasikan menjadi konjugate paritasnya, maka P : qt, x γ 0 qt, x, q R t, x = P R qt, x P R γ 0 qt, x = γ 0 P L qt, x = γ 0 q L ±q R t, x, dan serupa untuk q L. P R γ 0 = γ 5γ 0 = 1 γ 0 + γ 5 γ 0 = 1 γ 0 γ 0 γ 5 = γ γ 5 = γ 0 P L q L t, x = P L qt, x P L γ 0 qt, x = γ 0 P R qt, x = γ 0 q R ±q L t, x Istilah medan right-handed dan left-handed dengan mudah dapat divisualisasikan di dalam suku-suku dari solusi untuk persamaan Dirac partikel bebas. Untuk maksud tersebut, akan dipertimbangkan solusi energi-positif relativistik ekstrim dengan momentum-tiga p 4 u p, ± = E + M χ± σ p E+M χ ± E M E χ± ±χ ± u ± p, 4 Disini penulis mengadopsi normalisasi kovarian dari spinor-spinor, u α pu β p = Eδ αβ, dan sebagainya. 14

25 dimana telah diasumsikan bahwa spin dalam kerangka diam sejajar terhadap yang lain atau antiparalel terhadap arah momentum σ p χ ± = σ ˆp p χ ± = p σ ˆp χ ± jika momentum diambil arah z ˆp = ˆk, σ ˆp = σ ˆk 1 0 = σ z = χ + =, χ 0 1 σ ˆk = σ z maka σ z χ + = = = +χ σ z χ = = = χ dan σ ˆpχ ± = ±χ ± σ pχ ± = σ ˆp p χ ± = p σ ˆpχ ± = E M ±χ ± u p, ± = E + M E χ± ±χ ± u + = E χ± σ p χ E+M ± u ± p χ+ χ + = E + M χ ± E M E+M ± χ ±, u = χ E χ E M Dalam representasi standar matriks-matriks Dirac kita dapatkan P R = γ 5 = 1 1 1, P 1 1 L = sehingga P R u + = 1 E χ+ χ + = 1 χ+ E χ + = E χ+ χ + = u + 15

26 P L u + = χ+ E 1 1 χ + P R u = χ E 1 1 χ = 1 0 E 0 = 1 0 E 0 = 0 = 0 P L u = 1 E χ χ = 1 E χ χ = E χ χ = u Dalam batas relativistik ekstrim atau lebih baik, dalam batas massa nol, operator P R dan P L melakukan proyeksi ke keadaan eigen dengan helisitas positif dan negatif, yaitu dalam batas ini chirality sama dengan helicity. Di sini tujuannya adalah untuk menganalisis simetri dari lagrangian QCD dengan mematuhi sifat transformasi global yang independen dari medan left-handed dan right-handed. Untuk mengkomposisikan 16 bentuk kuadratik menjadi proyeksinya masing-masing terhadap medan left-handed dan right-handed, dibuatlah menggunakan dimana dengan qγ i q = { qr Γ 1 q R + q L Γ 1 q L untuk Γ 1 {γ µ, γ µ γ 5 } q R Γ q L + q L Γ q R untuk Γ {1, γ 5, σ µν },.33 q R = q R γ 0 = P R q γ 0 = q P R γ 0 = q γ 5γ 0 = q γ γ 5 = qp L q L = q L γ 0 = P L q γ 0 = q P L γ 0 = q 1 1 γ 5γ 0 = q γ γ 5 = qp R σ µν = i γµ γ ν γ ν γ µ Persamaan.33 dengan mudah dibuktikan dengan memasukkan hubungan kelengkapan dari persamaan.9 sekaligus ke sebelah kiri dan kanan dari Γ i, qγ i q = qp R + P L Γ i P R + P L q = q L + q L Γ i q R + q L dan dengan catatan {Γ 1, γ 5 } = 0 dan [Γ, γ 5 ] = 0. Untuk Γ 1 = γ µ : qγ µ q = q L + q L γ µ q R + q L = q L γ µ q R + q R γ µ q R + q L γ µ q L + q R γ µ q L q L γ µ q R = qp R γ µ P R q = 1 4 q1 + γ 5γ µ 1 + γ 5 q = 1 4 qγµ 1 γ γ 5 q = 0 q R γ µ q L = qp L γ µ P L q = 1 4 q1 γ 5γ µ 1 γ 5 q = 1 4 qγµ 1 + γ 5 1 γ 5 q = 0 16

27 qγ µ q = q R γ µ q R + q L γ µ q L dengan cara yang sama dapat dibuktikan untuk Γ i yang lain. Bersama dengan hubungan orthogonalitas dari persamaan.31 kemudian dihasilkan P R Γ 1 P R = γ 5Γ γ 5 = 1 4 Γ 1 + γ 5 Γ γ 5 = 1 4 Γ 11 γ γ 5 = Γ 1 P L P R = 0, P L Γ 1 P L = γ 5Γ 1 1 γ 5 = 1 4 Γ 1 γ 5 Γ 1 1 γ 5 = 1 4 Γ 11 + γ 5 1 γ 5 = 0, P R Γ P L = γ 5Γ 1 γ 5 = 1 4 Γ + γ 5 Γ 1 + γ 5 = 1 4 Γ 1 + γ γ 5 = 0, P L Γ P R = γ 5Γ 1 + γ 5 = 1 4 Γ γ 5 Γ 1 + γ 5 = 1 4 Γ 1 γ γ 5 = 0. Sekarang dengan menggunakan persamaan.33 untuk suku yang mengandung kontraksi dari turunan kovarian dengan γ µ, bentuk kuadratik quark ini memisah menjadi jumlah dua suku yang hanya menghubungkan medan quark left-handed dan right-handed. Maka lagrangian QCD dapat ditulis dalam batas chiral sebagai berikut L 0 QCD = l=u,d,s q R,l id/q R,l + q L,l id/q L,i 1 4 G µν,ag µν a..34 Karena flavor tidak saling bergantung, turunan kovarian invarian terhadap u L u L 8 u d L U L d L = exp i Θ L λ L a a e iθl d L s L s L s L u R d R s R U R u R d R s R = exp i 8 Θ R λ a a } {{ } SU 3 e iθr }{{} U 1 dimana U L dan U R adalah matriks-matriks unitari 3 3 yang saling bebas. u R d R s R.35 17

28 L 0 QCD mempunyai simetri global klasik U3 L U3 R. Dengan mempergunakan teorema Noether dari invarian semacam itu, diharapkan seluruhnya ada 8+1 = 18 arus yang kekal..3. Teorema Noether Teorema Noether : Simetri-simetri kontinu Kuantitas-kuantitas yang kekal. Teorema Noether menentukan hubungan antara simetri-simetri kontinu dari sistem yang dinamis dan kuantitas-kuantitas yang kekal konstanta gerak. Untuk memeriksa kekekalan arus yang diasosiasikan dengan invarian di atas, digunakan metode dari acuan [15] dan mempertimbangkan variasi dari pers..34. Agar lebih sederhana hanya dipertimbangkan simetri-simetri internal dimulai dengan sebuah lagrangian L yang bergantung pada n medan bebas Φ i dan turunan-turunan parsial pertamanya, dimana akan dihasilkan n persamaan gerak L = LΦ i, µ Φ i,.36 L L µ = 0, i = 1,, n..37 Φ i µ Φ i Andaikata dipertimbangkan transformasi yang bergantung pada r parameterparameter lokal yang riil ɛ a x. Untuk masing-masing r generator dari transformasi infinitesimal yang merepresentasikan dasar grup simetri, dipertimbangkan suatu transformasi infinitesimal lokal dari medan. Φ i x Φ ix = Φ i x + δφ i x = Φ i x iɛ a xf a i [Φ j x],.38 dan dengan mengabaikan suku kedua orde ɛ, kita menghasilkan variasi lagrangian δl = LΦ i, µ Φ i LΦ i, µ Φ i = L δφ i + L µ δφ i φ i µ Φ i = ɛ a x i L Fi a L i µ F a L i + µ ɛ a x i Fi a Φ i µ Φ i µ Φ i ɛ a x µ J µ,a + µ ɛ a xj µ,a

29 Teorema Noether: Untuk setiap transformasi simetri global kontinu, yang memberikan Lagrangian dan persamaan gerak invarian akan menimbulkan suatu kekekalan arus J µ,a dan suatu konstanta gerak Q a. Di sini didefinisikan kerapatan arus-empat J µ,a L = i Fi a..40 µ Φ i Dengan menghitung divergensi µ J µ,a dari persamaan.40 µ J µ,a L = i µ F a L i i µ Fi a µ Φ i µ Φ i = i L F a L i i µ Fi a, Φ i µ Φ i dimana telah digunakan persamaan gerak.37. Dari persamaan.39 dihasilkan persamaan arus-empat dan divergensinya sebagai berikut J µ,a = δl µ ɛ a,.41 µ J µ,a = δl ɛ a..4 dan Untuk arus yang kekal, µ J µ,a = 0, muatan Q a t = d 3 xj0 a t, x.43 dq a t dt = 0 adalah tidak bergantung waktu, artinya sebuah konstanta gerak..3.3 Arus Simetri Global dari Sektor Quark Ringan Metode acuan [15] sekarang dapat dengan mudah dipergunakan pada Lagrangian QCD untuk menghitung variasi menurut bentuk lokal yang infinitesimal. Lagrangian dari persamaan.34 dapat ditulis L 0 QCD = q R iγ µ µ iga µ q R + q L iγ µ µ iga µ q L 1 4 G µν,ag µν a. 19

30 Bentuk lokal infinitesimal persamaan.35 [ ] 8 8 q L = 1 i Θ L λ a a + ΘL q L, q L = q L [1 + i [ 8 ] 8 q R = 1 i Θ R λ a a + ΘR q R, q R = q R [1 + i Untuk medan quark right-handed Θ L a Θ R a λ a + ΘL λ a + ΘR ] ] δl 0 R QCD = L0 QCD q R = q R iγ µ iga µ + q R iγ µ µ [ i + q R [i δq R + L0 QCD µ q R µ δq R + δ q R L 0 QCD q R 8 [ Θ R a i 8 8 Θ R λ a a λ a + ΘR λ a Θ R λ a a + ΘR ] + ΘR ] ] q R + µ δ q R L 0 QCD µ q R }{{} 0 q R iγ µ µ iga µ q R 8 8 = i q R γ µ ga µ Θ R a + ΘR q R + q R γ µ µ Θ R a + µθ R q R γ µ Θ R λ a a + ΘR µ q R q R Θ R λ a a + ΘR γ µ µ q R 8 +i q R Θ R λ a a + ΘR γ µ ga µ q R 8 = q R iγ µ Θ R λ a a + ΘR q R dengan cara yang sama untuk medan quark left-handed 8 δl 0 QCD L = q L iγ µ Θ L λ a a + ΘL Maka diperoleh δl 0 QCD = δl 0 R QCD + δl 0 L QCD = q R iγ µ 8 Θ R a λ a + ΘR q L q R + q L iγ µ 8 Θ L a λ a λ a + ΘL q R q L.44 0

31 dari sini dengan memakai sifat persamaan.41 dan.4 akan dihasilkan arusarus yang dikaitkan dengan transformasi quark left-handed dan right-handed L µ,a = δl0 QCD µ Θ L a R µ,a = δl0 QCD µ Θ R a = q L γ µ λ a q L, µ L µ,a = 0, = q R γ µ λ a q R, µ R µ,a = 0.45 Delapan arus L µ,a bertransformasi menurut SU3 L SU3 R sebagai multiplet 8,1, yaitu masing-masing sebagai oktet dan singlet menurut transformasi medan left-handed dan right-handed. sebagai multiplet 1,8 menurut SU3 L SU3 R. lebih sering digunakan kombinasi linear, dan Hal yang sama, arus right-handed bertransformasi V µ,a = R µ,a + L µ,a = q R γ µ λ a q R + q L γ µ λ a q L = qγ µ P R + P L λ a q Sebagai pengganti arus chiral = qγ µ λ a q.46 A µ,a = R µ,a L µ,a = q R γ µ λ a q R q L γ µ λ a q L = qγ µ P R P L λ a q = qγ µ γ 5 λ a q.47 masing-masing bertransformasi terhadap paritas sebagai kerapatan arus vektor dan kerapatan arus aksial-vektor, P : V µ,a t, x V a µ t, x,.48 P : A µ,a t, x A a µt, x.49 Dari persamaan.41 dan.4 juga diperoleh arus vektor singlet yang diakibatkan oleh transformasi semua medan quark left-handed dan right-handed dengan 1

32 fase yang sama, L µ = δl µ Θ = q Lγ µ q L L R µ = δl µ Θ = q Rγ µ q R R V µ = R µ + L µ = q R γ µ q R + q L γ µ q L = qγ µ P R + P L q = qγ µ q, µ V µ = µ R µ + µ L µ = karena Arus aksial-vektor singlet, µ R µ = δl Θ R = 0, µl µ = δl Θ L = 0 A µ = R µ L µ = q R γ µ q R q L γ µ q L = qγ µ P R P L q = qγ µ γ 5 q.51 berasal dari transformasi semua medan quark left-handed dengan fase sama dan semua medan right-handed dengan fase berlawanan. Bagaimanapun juga, arus aksial-vektor singlet hanya kekal pada tingkatan klasik. Simetri ini tidak dipertahankan oleh kuantisasi dan akan ada suku-suku ekstra, yang merujuk pada keanehan anomali, yang menghasilkan dimana faktor 3 berasal dari jumlah flavor..3.4 Aljabar Chiral µ A µ = 3g 3π ɛ µνρσg µν a Ga ρσ, ɛ 013 = 1,.5 Invarian L 0 QCD menurut transformasi global SU3 L SU3 R U1 V juga menyatakan secara tidak langsung bahwa operator Hamilton QCD, HQCD 0, dalam batas chiral, memperlihatkan simetri global SU3 L SU3 R U1 V. Seperti biasanya,

33 operator-operator muatan didefinisikan sebagai integral ruang dari kerapatan muatan, Q a Lt = = Q a Rt = = Q V t = = d 3 x L 0,a = d 3 x q L γ 0 λ a q L = d 3 x q L γ0 γ 0 λ a q L d 3 x q L t, xλ a q Lt, x, a = 1,, 8,.53 d 3 x R 0,a = d 3 x q R γ 0 λ a q R = d 3 x q R γ0 γ 0 λ a q R d 3 x q R t, xλ a q Rt, x, a = 1,, 8,.54 d 3 x V 0 = d 3 x q R γ 0 q R + q L γ 0 q L = d 3 x q R γ0 γ 0 q R + q L γ0 γ 0 q L d 3 x q R t, xq Rt, x + q L t, xq Lt, x..55 untuk arus simetri yang kekal, operator-operator ini tidak bergantung waktu, yaitu operator-operator tersebut komutatif dengan Hamiltonian, [Q a L, H 0 QCD] = [Q a R, H 0 QCD] = [Q V, H 0 QCD] = Hubungan komutasi dari operator muatan dengan yang lainnya dihasilkan dengan menggunakan hubungan komutasi kesamaan waktu equal-time dari medan-medan quark dalam gambaran Heisenberg, {q α,r x, t, q β,s y, t} = δ3 x yδ αβ δ rs,.57 {q α,r x, t, q β,s y, t} = 0,.58 {q α,r x, t, q β,s y, t} = 0,.59 dimana α dan β adalah indeks-indeks Dirac dan r dan s indeks-indeks flavor. Komutator equal-time dari dua bentuk quark berbentuk [q x, tγ 1 F 1 q x, t, q y, tγ F q y, t] = Γ 1,αβ Γ,γδ F 1,rs F,tu [q α,r x, tq β,s x, t, q γ,t y, tq δ,u y, t],.60 dimana Γ i dan F i berturut-turut adalah matriks-matriks Dirac 4 4 dan matriksmatriks flavor 3 3. Dengan memakai [ab, cd] = a{b, c}d ac{b, d} + {a, c}db c{a, d}b,.61 3

34 ekspresi komutator dari medan-medan Fermi dalam suku-suku anti-komutator dan dengan memakai hubungan komutasi pers menjadi [q α,r x, tq β,s x, t, q γ,t y, tq δ,u y, t] = q α,r x, tq δ,u y, tδ 3 x yδ βγ δ st q γ,t y, tq β,s x, tδ 3 x yδ αδ δ ru. Dengan hasil ini pers..60 [q x, tγ 1 F 1 q x, t, q y, tγ F q y, t] = δ 3 x y [ q x, tγ 1 Γ F 1 F q y, t q y, tγ Γ 1 F F 1 q x, t ]..6 Setelah memasukkan proyektor-proyektor yang cocok P L/R, pers..6 dengan mudah dipergunakan untuk operator-operator dari pers..53,.54, dan.55, menunjukkan bahwa operator-operator ini sungguh-sungguh memenuhi hubungan komutasi yang berkorenpondensi dengan aljabar Lie dari SU3 L SU3 R U1 V, [ ] Q a L, Q b L = ifabc Q c L,.63 [ ] Q a R, Q b R = ifabc Q c R,.64 [ ] Q a L, Q b R = 0,.65 [Q a L, Q V ] = [Q a R, Q V ] = Bukti ingat P L = P L dan PL = P L [ ] [ ] Q a L, Q b L = d 3 xd 3 y q λ a L q L, q λ b L q L [ = d 3 xd 3 y P L q λ a P Lq, P L q λ b [ = d 3 xd 3 y q t, xp L = if abc Q c L. ] P Lq λ a P Lqt, x, q t, yp λ b L P Lqt, y.3.5 QCD Dalam Kehadiran Medan-medan Eksternal Mengikuti prosedur dari Gasser dan Leutwyler [16, 17], diperkenalkan ke dalam Lagrangian QCD kopling dari sembilan arus vektor dan delapan arus aksial-vektor dan juga kerapatan quark skalar dan pseudoskalar untuk medan-medan eksternal bilangan kompleks v µ x, v µ s, aµ x, sx, dan px, L = L 0 QCD + L ext = L 0 QCD + qγ µ v µ vµ s + γ 5a µ q qs iγ 5 pq..67 ] 4

35 Γ 1 γ µ σ µν γ 5 γ µ γ 5 γ 0 Γγ 0 1 γ µ σ µν γ 5 γ µ γ 5 Tabel.4: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac Γ terhadap paritas. Medan-medan eksternal adalah color-netral, matriks Hermitian 3 3, dimana v µ = 8 λ a vµ a, a µ = 8 λ a aµ a, s = 8 λ a s a, p = 8 λ a p a,.68 Biasanya tiga flavor lagrangian QCD diperoleh dengan memasang v µ = v µ s = aµ = p = 0 dan s = diagm u, m d, m s di dalam pers..67. Lagrangian yang dibutuhkan dari pers..67 adalah Hermitian dan invarian terhadap P, C, dan T yang menimbulkan batasan-batasan pada sifat transformasi dari medan-medan eksternal. Kenyataannya, keadaan ini hanya cukup dengan memikirkan P dan C karena T kemudian secara otomatis memperlihatkan penggabungan ke teorema CP T. Terhadap paritas, medan-medan quark bertransformasi sebagai dan syarat kekekalan paritas q f t, x P γ 0 q f t, x,.69 Lt, x P Lt, x,.70 dengan memakai hasil-hasil dari tabel.4, medan-medan eksternal bertransformasi terhadap paritas seperti v µ P vµ, v µ s P v s µ, a µ P aµ, s P s, p P p..71 Pada pers..71 tersebut, dipahami bahwa argumen-argumen berubah dari t, x ke t, x. Hal yang sama, terhadap konjugasi muatan medan-medan quark bertransformasi sebagai q α,f C C Cαβ q β,f, q α,f qβ,f C 1 βα,.7 dimana indeks bawah α dan β adalah indeks-indeks spinor Dirac, 0 σ C = iγ γ σ = i σ = i σ 0 5

36 Γ 1 γ µ σ µν γ 5 γ µ γ 5 CΓ T C 1 γ µ σ µν γ 5 γ µ γ 5 Tabel.5: Sifat-sifat transformasi dari matriks-matriks Dirac terhadap konjugasi muatan. = = C 1 = C = C T adalah matriks konjugasi muatan dan f merujuk pada flavor. Dengan menggunakan qγf q = q α,f Γ αβ F ff q β,f C Statistik Fermi = q δ,f F ff q γ,f C 1 γα Γ αβ F ff q δ,f }{{} F T ff 1 Cγα Γ αβ C βδ } {{ } C 1 ΓC T δγ = qf T C 1 ΓC T q }{{} C T Γ T C 1T = qcγ T CF T q dengan kombinasi dalam tabel.5 secara langsung ditunjukkan bahwa invarian dari L ext terhadap konjugasi muatan membutuhkan sifat-sifat transformasi v µ C v T µ, v s µ q γ,f C v st µ, a µ C a T µ, s, p C s T, p T,.73 Akhirnya, pers..67 dapat ditulis dalam suku-suku medan quark left-handed dan right-handed. Disamping sifat-sifat dari pers dan, menggunakan formula pembantu γ 5 P R = P R γ 5 = P R, γ 5 P L = P L γ 5 = P L dan γ µ P R = P L γ µ, γ µ P L = P R γ µ untuk menghasilkan qγ µ v µ vs µ + γ 5 a µ q = qγ µ vµ + a µ + v µ a µ vs µ + γ 5 a µ q, 6

37 dan juga memisalkan r µ = v µ + a µ, l µ = v µ a µ v µ = 1 r µ + l µ, a µ = 1 r µ l µ..74 sehingga qγ µ v µ vs µ + γ 5 a µ q = 1 [ qγµ r µ + l µ + ] 3 vs µ + γ 5 r µ l µ q = 1 [ q L + q R γ µ r µ q R + 3 vs µ q R + l µ q L + ] 3 vs µ q L = q R γ µ r µ vs µ q R + q L γ µ l µ vs µ q L. Hal yang sama, dapat ditulis kembali bagian kedua yang berisi medan skalar dan pseudoskalar eksternal, qs iγ 5 pq = qp R + P L s iγ 5 pp R + P L q = q L sq R + q R sq L i q L pq R + i q R pq L = q L s ipq R + q R s + ipq L, yang Lagrangian.67 menjadi L = L QCD 0 + qγ µ v µ vs µ + γ 5 a µ q qs iγ 5 pq = L 0 QCD + q L γ µ l µ vs µ q L + q R γ µ r µ vs µ q R s + ipq L q L s ipq R..75 Persamaan.75 tetap invarian terhadap transformasi lokal q R exp i Θx V R xq R, 3 q L exp i Θx V L xq L,.76 3 dimana V R x and V L x adalah matriks-matriks SU3 yang bergantung ruangwaktu yang bebas, asalkan medan-medan eksternal tunduk pada transformasi r µ V R r µ V R + iv R µ V R, l µ V L l µ V L + iv L µ V L, v s µ v s µ µ Θ, s + ip V R s + ipv L, s ip V L s ipv R q R

38 Suku-suku turunan di dalam pers..77 menyajikan maksud yang sama seperti dalam konstruksi teori gauge, yaitu, suku-suku tersebut membatalkan suku-suku analog yang berasal dari bagian kinetik dari Lagrangian quark. Pada penggambaran interaksi-interaksi semileptonik seperti π µ ν µ, π π 0 e ν e, atau peluruhan neutron n pe ν e, diperlukan interaksi quark dengan boson lemah bermuatan dan massive W ± µ = W 1µ iw µ /, r µ = 0, l µ = g W + µ T + + h.c.,.78 dimana h.c. mengacu pada konjugat Hermitian dan 0 V ud V us T + = Disini, V ij merupakan elemen-elemen matriks quark-mixing Cabibbo-Kobayashi- Maskawa CKM yang menggambarkan transformasi antara keadaan eigen QCD dan keadaan eigen lemah V ud = ± , V us = ± Pada orde paling rendah dalam teori perturbasi, konstanta Fermi dihubungkan ke kopling gauge g dan massa W sebagai Dengan menggunakan G F = g 8M W = GeV. q L γ µ W µ + T + q L = qp R γ µ W µ + T + P L q = W µ + ū d s P R γ }{{ µ } γ µ P L = W µ + ū d sγ µ 1 1 γ 5 0 V ud V us P L V ud d + V us s 0 0 = 1 W+ µ [V ud ūγ µ 1 γ 5 d + V us ūγ µ 1 γ 5 s], dengan memasukkan pers..78 ke dalam pers..75 menimbulkan interaksi lemah arus muatan standar dalam sektor quark ringan, L ext = q L γ µ l µ vs µ q L + q R γ µ r µ vs µ 8 q R u d s

39 q R s + ipq L q L s ipq R = q L γ µ l µ q L = q L γ µ g W + T + + h.c q L = g { W + µ [V ud ūγ µ 1 γ 5 d + V us ūγ µ 1 γ 5 s] + h.c. }. 9

40 Bab 3 Kerusakan Simetri Spontan dan Lagrangian Efektif 3.1 Kerusakan Simetri Chiral Karena Suku Massa Quark Persamaan.4 memperbolehkan untuk mendiskusikan divergensi dalam kehadiran massa-massa quark. Untuk mencapai maksud tersebut, sekarang dipertimbangkan matriks massa quark dari tiga quark ringan dan proyeksinya pada sembilan matriks λ dari persamaan.17, m u 0 0 M = 0 m d m s = m u + m d + m s 6 λ 0 + m u + m d / m s 3 λ 8 + m u m d λ Pada khususnya, menggunakan pers..33 dapat dilihat bahwa suku massa quark mencampur medan left-handed dan right-handed, L = qmq = q R Mq L + q L Mq R 3. Dari L M dihasilkan variasi δl M terhadap transformasi pers..35 δl M = L M q R δq R + L M µ q R µ δq R L M q L δq L + L M } {{ } 0 µ δq L µ q } L {{} 0 +δ q R L M q R +δ q L L M q L 30 + µ δ q R L M µ q R }{{} 0 + µ δ q L L M µ q L }{{} 0

41 = q L M = i = i q R M [ [ [ i i 8 8 q R 8 Θ R a + q L 8 Θ L a + [ 8 8 Θ L a Θ R a Θ R a Θ L λ a a λ a + ΘR + ΘL λ a + ΘR λ a + ΘL q R ] q L ] q R i q L i Mq L q R M Mq R q L M q R λ a Mq L q L M λ a q R q L λ a Mq R q R M λ a q L yang menghasilkan divergensi-divergensi berikut µ L µ,a = δl M = i Θ L a µ R µ,a = δl M Θ R a = i Θ R a Θ R a Θ L a Θ L a λ a + ΘR λ a + ΘL λ a + ΘL λ a + ΘR q L q R ] Mq L Mq R + Θ R q R Mq L q L Mq R ] + Θ L q L Mq R q R Mq L q L λ a Mq R q R M λ a q L,, q R λ a Mq L q L M λ a q R µ L µ = δl M Θ L = i q LMq R q R Mq L, 3.3 µ R µ = δl M Θ R = i q RMq L q L Mq R. 3.4 Anomali masih belum dipikirkan. Mempergunakan pers..33 untuk masalah arus vektor dan memasukkan operator-operator proyeksi dalam penurunan pers..51 untuk arus aksial-vektor, divergensi yang sesuai adalah µ V µ,a = µ R µ,a + µ L µ,a λ a = i q R Mq L q L M λ a q R [ = i q M, λ ] a q, µ A µ,a = µ R µ,a µ L µ,a λ a = i q R Mq L q L M λ a q R = i q L M λ a q λ a R + q L Mq R i λ a i q L Mq R q R M λ a q L + i q L λ a Mq R q R M λ a q L q R λ a Mq L + q R M λ a q L 31

42 { λa = i q, M µ V µ = µ R µ + µ L µ } γ 5 q, = i q R Mq L q L Mq R i q L Mq R q R Mq L = 0 µ A µ = µ R µ µ L µ = i q R Mq L q L Mq R + i q L Mq R q R Mq L = i qmp R P L q = i qmγ 5 q + 3g 3π ɛ µνρσg a µν Ga ρσ, ɛ 013 = 1, 3.5 dimana anomali aksial juga diambil ke dalam hitungan. Kesimpulan yang diperoleh dalam variasi simetri dari interaksi kuat dalam kombinasi arus-arus terkait dan divergensinya adalah sebagai berikut. Di dalam batas quark tak bermassa, 16 arus L µ,a dan R µ,a, atau dengan alternatif V µ,a dan A µ,a adalah kekal. Hal yang sama juga benar untuk arus vektor singlet V µ, sedangkan arus aksial-vektor A µ mempunyai anomali. Untuk beberapa nilai dari massa-massa quark, arus flavor individu ūγ µ u, dγ µ d, dan sγ µ s selalu kekal dalam interaksi kuat yang mencerminkan kebebasan flavor dari kopling kuat dan diagonalitas dari matriks massa quark. Tentunya, arus vektor singlet V µ adalah jumlah dari tiga arus flavor, selalu kekal. Disamping anomali, arus aksial-vektor singlet mempunyai divergensi eksplisit karena massa-massa quark. Untuk massa quark sama, m u = m d = m s, delapan arus vektor V µ,a kekal, karena [λ a, 1] = 0. Skenario semacam itu adalah awal dari simetri SU3 yang mula-mula diajukan oleh Gell-Mann dan Ne eman. Delapan arus aksial A µ,a tidak kekal. Divergensi dari arus aksial-vektor oktet dari pers. 3.5 sebanding dengan bentuk kuadratik pseudoskalar. Ini dapat diartikan sebagai asal mula mikroskopik dari hubungan PCAC partially conserved axial-vector current yang menyatakan bahwa divergensi dari arus aksial-vektor sepadan terhadap operator-operator medan ternormalisasi yang mewakili oktet pseudoskalar terendah. 3

43 3. Kerusakan Spontan Dari Simetri Global, Kontinu, Non-Abelian Sekarang akan dibahas masalah kerusakan simetri yang nantinya akan menimbulkan massa boson Goldstone. Untuk tujuan tersebut akan diperhatikan sistem dengan simetri SO3 yang kontinu, non-abelian dan mempertimbangkan suatu lagrangian berikut L Φ, µ Φ = LΦ1, Φ, Φ 3, µ Φ 1, µ Φ, µ Φ 3 = 1 µφ i µ Φ i m Φ iφ i λ 4 Φ iφ i, 3.6 dimana m < 0, λ > 0, dengan medan-medan Hermitian Φ i. Lagrangian dari pers. 3.6 adalah invarian terhadap rotasi isospin global, 1 g SO3 : Φ i Φ i = D ij gφ j = e iα kt k ij Φ j. 3.7 Untuk Φ i juga Hermitian, T k harus Hermitian yang murni imajiner dan anti-simetrik. it k memberikan basis dari sebuah representasi aljabar Lie so3 dan yang memenuhi hubungan komutasi [T i, T j ] = iɛ ijk T k. Di sini akan dipakai representasi dengan elemen-elemen matriks yang diberikan oleh t i jk = iɛ ijk. Potensial minimum yang tidak bergantung pada x adalah Φ min = VΦ = m Φ + λ 4 Φ4 V Φ = m Φ + λφ 3 = 0 Φm + λφ = 0 m Φ = m λ λ v, Φ = Φ 1 + Φ + Φ Perturbasi eksternal yang infinitesimal dan tidak invarian terhadap SO3 akan dipilih pada satu arah tertentu, dengan orientasi yang tepat dari kerangka koordinat internal, yaitu arah-3, Φ min = vê Tentunya, Lagrangian invarian terhadap grup lengkap O3 yang dapat diuraikan menjadi dua komponennya : rotasi sebenarnya yang dihubungkan terhadap identitas, SO3, dan rotasi-refleksi. Maksud kita adalah cukup membicarakan SO3. Lihat apendiks 33

44 Jelas, Φ min dari pers. 3.8 tidak invarian menurut grup lengkap G = SO3 karena rotasi melalui sumbu-1 dan sumbu- mengubah Φ min. Untuk kasus tertentu, jika 0 Φ min = v 0, 1 diperoleh T 1Φmin = v 0 i 0, T Φmin = v i 0 0, T 3 Φmin = Catatan bahwa himpunan transformasi yang tidak membiarkan Φ min invarian tidak membentuk sebuah grup, karena transformasi tidak berisi identitas. Pada sisi lain, Φ min invarian terhadap subgrup H dari G, yaitu, rotasi melalui sumbu-3 : h H : Φ = Dh Φ = e iα 3T 3 Φ, Dh Φmin = Φ min Sekarang dengan menambahkan suatu medan disekitar Φ min yaitu v, maka dan menghasilkan ekspresi baru untuk potensial Φ 3 = v + η, 3.1 Ṽ = m Φ + λ 4 Φ4 = m Φ 1 + Φ + v + η + λ Φ Φ + v + η = m Φ 1 + Φ + η + λ Φ Φ + η m + v + vη + λ 4 v + vη + λ Φ 1 + Φ + η v + vη = Φ 1 + Φ + η m λ + }{{} v + vη + λ Φ Φ + η + v + vη m = λv λ v + λ4 v + λ vη = λvη Φ 1 + Φ + η + λ Φ Φ + η λ 4 v4 λ v3 η + λ v3 η + }{{} λv = m η + λvη Φ 1 + Φ + η + λ 4 = 1 m η + λvη Φ 1 + Φ + η + λ 4 Φ 1 + Φ + η λ 34 4 v4 m η Φ 1 + Φ + η λ 4 v

45 Gambar 3.1: Potential dua dimensi yang invarian terhadap rotasi: Vx, y = x + y + x +y 4. Dengan memeriksa suku-suku kuadratik dalam medan-medan, setelah kerusakan simetri spontan, diperoleh dua boson Goldstone tak bermassa dan satu boson yang massive: m Φ 1 = m Φ = 0, m η = m Ciri-ciri model bebas dari contoh di atas diberikan oleh kenyataan bahwa untuk setiap generator T 1 dan T yang tidak memusnahkan keadaan dasar, dihasilkan boson Goldstone tak bermassa. Dengan memakai penyederhanaan dua dimensi lihat potensial topi orang Meksiko yang ditunjukkan Gb. 3.1 mekanisme yang ada dapat dengan mudah dibayangkan. Variasi-variasi infinitesimal yang ortogonal tegak lurus terhadap lingkaran dari potensial minimum menghasilkan suku-suku kuadratik, yaitu, gaya-gaya pemulih yang linear terhadap pergeseran, mengingat variasi-variasi tangensial mengalami gaya-gaya pemulih hanya pada orde-orde yang lebih tinggi. 3.3 Teorema Goldstone Diberikan sebuah operator Hamilton dengan grup simetri global G = SO3, misalkan Φx = Φ 1 x, Φ x, Φ 3 x merupakan triplet dari operator-operator Her- 35