Rangkaian Logika Optimal: Peta Karnaugh dan Strategi Minimisasi

Transkripsi

1 Rangkaian Logika Optimal: dan Strategi Minimisasi Eko Didik Widianto Sistem Komputer - Universitas eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 1 / 42

2 Review Kuliah Sebelumnya dibahas sintesis rangkaian logika dari deskripsi kebutuhan fungsinya berupa tabel kebenaran, diagram pewaktuan Implementasi dengan gerbang AND-OR (SOP) dan NAND-NAND Implementasi dengan gerbang OR-AND (POS) dan NOR-NOR Penyederhanaan ekspresi logika hasil sintesis (SOP/POS) menggunakan prinsip-prinsip aljabar Selanjutnya adalah penyederhanaan menggunakan peta Karnaugh beserta strategi minimalisasi SOP/POS. Dikenalkan fungsi dengan don t care dan juga rangkaian dengan keluaran rangkap eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 2 / 42

3 Bahasan Recall:Penyederhanaan Grouping K-Map K-Map 3 Variabel Tips Grouping K-Map 4 Variabel K-Map 5 Variabel? Strategi - Terminologi Prime Implicant Minimisasi Ekspresi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 3 / 42

4 @2011 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 4 / 42

5 Recall: Menyederhanakan Ekspresi Operasi penyederhanaan adalah mengurangi minterm atau maxterm di ekspresi SOP: menggunakan hukum 14a (x y + x y = x) POS: menggunakan hukum 14b ((x + y) ( x + y Beberapa minterm atau maxterm dapat digabungkan menggunakan hukum 14a atau 14b jika berbeda hanya di satu variabel saja f (x 1,x 2,x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 m 1 danm 5 berbeda dix 1, danm 4 danm 6 berbeda dix 2 ) = x) f f = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x ) 3 = (x 1 + x 1 x 2 x 3 + x 1 (x 2 + x 2 )x 3 = x 2 x 3 + x 1 x 3 ( ) ( x1, x2,x3 = x1 + x2 + x3 )( x1 + x2 + x3 M 0 danm 2 berbeda dix 2, danm 4 danm 7 berbeda dix 1 f = )( )( ) x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 )( )) ((x 1 + x 3 ) + x 2 x 2 x 1 x 1 + (x 2 + x 3 ) = (x 1 + x 3 ) (x 2 + x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 5 / 42

6 (K-map) menyediakan cara sistematik dan grafis untuk mencari rangkaian SOP minimum (dan POS) Mencari minterm yang berbeda di satu variabel Menggabungkan minterm sesuai hukum 14a untuk SOP dan 14b untuk POS K-map juga merupakan alternatif untuk menyatakan suatu fungsi logika selain tabel kebenaran K-map disusun atas sel-sel. Satu sel, satu eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 6 / 42

7 Grouping K-Map Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikan karena mereka hanya berbeda di satu variabel saja > Grouping Grouping dilakukan dengan melingkari nilai 1 yang berdekatan Melingkari dua nilai 1 bersama, berarti mengeliminasi satu term dan satu variabel dari ekspresi output Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai perbedaan nilai di group, vertikal/horizontal Group merah: x 1 dieliminasi, Grup biru: x 2 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 7 / 42

8 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,3) danf = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 8 / 42

9 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,3) danf = m(1,2) f = m(0,3) = x 1 x 2 +x 1 x 2 > fungsi SOP tidak dapat disederhanakan f = m(1,2) = x 1 x 2 +x 1 x 2 > fungsi SOP tidak dapat eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 8 / 42

10 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1) danf = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 42

11 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1) danf = m(1,3) f = m(0,1) = x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 1,x 2 dieliminisi f = m(1,3) = x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 2,x 1 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 42

12 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1,2) danf = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 10 / 42

13 Contoh Grouping Fungsi 2 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1,2) danf = m(1,2,3) f = m(0,1,2) = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 f = m(1,2,3) = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 10 / 42

14 K-Map 3 Variabel K-map disusun sehingga minterm yang berdekatan hanya mempunyai perbedaan 1 variabel x 1 x 2 x 3 mintermm j m 0 = x 1 x 2 x m 1 = x 1 x 2 x m 2 = x 1 x 2 x m 3 = x 1 x 2 x m 4 = x 1 x 2 x m 5 = x 1 x 2 x m 6 = x 1 x 2 x m 7 = x 1 x 2 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 11 / 42

15 Ketentuan dan Tips Grouping Hanya dapat mengkombinasikan nilai 1 yang berdekatan Hanya dapat menggabungkan 2 n minterm (1,2,4,8,16, dst) Bentuk group sebesar mungkin Group yang sudah dicover oleh group lain tidak perlu digabungkan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 12 / 42

16 Contoh K-Map 3 Variabel Sederhanakan f = m(0,1,2,5) f = m(0,1,2,5) = x 1 x 3 +x 2 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 13 / 42

17 Contoh K-Map 3 Variabel Sederhanakan: f = m(1,3,5,7),f = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 14 / 42

18 Contoh K-Map 3 Variabel Sederhanakan: f = m(1,3,5,7),f = m(0,2,3,6,7) f = m(1,3,5,7) = x 3 f = m(0,2,3,6,7) = x 2 +x 1 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 14 / 42

19 Contoh K-Map 3 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1,3,4,5,7) danf = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 15 / 42

20 Contoh K-Map 3 Variabel Sederhanakan: f = m(0,1,3,4,5,7) danf = m(0,1,3,4,5,6) f = m(0,1,3,4,5,7) = x 2 +x 3 f = m(0,1,3,4,5,6) = x 2 +x 1 x 3 +x 1 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 15 / 42

21 K-Map 4 Variabel Bentuk K-map 4 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 16 / 42

22 Contoh Grouping K-Map 4 Variabel Sederhanakan f = m(2,3,8 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 17 / 42

23 Contoh Grouping K-Map 4 Variabel Sederhanakan f = m(2,3,8 11,13) f = m(2,3,8,9,10,11,13) = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 17 / 42

24 Latihan Grouping K-Map 4 Variabel Sederhanakan fungsi 4 variabel: f = m(3 7,9,11,12 15) f = m(0 4,6,9,11,12,14) f = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 18 / 42

25 K-Map 5 Variabel? K-Map 6 Variabel? Tidak berguna dari sudut pandang praktis > butuh perangkat eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 19 / 42

26 Strategi Minimalisasi: Terminologi Literal : variabel di suatu term Contoh: x 1 x 2 x 3 x 4 (term dg 4 literal),x 2 x 3 (term dg 2 literal) Implicant: sebarang term bernilai 1 atau grup term bernilai 1 yang dapat digabungkan di K-map minterm adalah implicant dasar. Untuk fungsi n-variabel, minterm adalah implicant dengan n literal : implicant yang tidak bisa digabungkan dengan implicant lain untuk menghilangkan sebuah variabel Literal dalam prime implicant tidak dapat dihapus untuk mendapatkan implicant valid Cover: suatu koleksi implicant yang menghasilkan nilai fungsi 1 Cost: jumlah gerbang ditambah jumlah total masukan ke semua gerbang dalam rangkaian eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 20 / 42

27 Contoh Terminologi Terdapat 10 implicant valid 7 buah minterm 1 term 3-literal (grup 2 minterm) 2 term 2-literal (grup 4 minterm) Terdapat 3 prime implicant x 1 x 2, x 2 x 3, x 1 x 3 x 4 Untukx 1 x 2, jika sebuah literal dihapus menyisakan x 1 ataux2 x 1 bukan implicant valid karena {1,1,0,0} menghasilkan f = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 21 / 42

28 Contoh Terminologi: Cover dan Cost Cover untuk f = m(2,3,8,9,10,11,13) 1. Persamaan dengan semua minterm 2. f = x 1 x 2 +x 1 x 2 x 3 +x 1 x 3 x 4 merupakan cover valid 3. f = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3 x 4 merupakan cover valid yang berisi prime implicant Cost untuk setiap cover: (asumsi input utama baik terinvers atau tidak mempunyai cost 0) 1. jumlah gerbang=7+1, jumlah input semua gerbang=7*4+7*1, total=8+28+7=43 2. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=8+3, total=4+11=15 3. jumlah gerbang=3+1, jumlah input semua gerbang=7+3, total=4+10=14 Cover yang berisi prime implicant cenderung menghasilkan implementasi dengan cost eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 22 / 42

29 Prime Implicant: Esensial dan Non-Esensial SOP minimum hanya mengandung prime implicant (namun tidak semua prime implicant) Essential: diperlukan untuk membentuk SOP minimum Nonessensial: tidak diperlukan untuk SOP minimum (dapat dihilangkan) Prime implicant: x 1 x 2,x 2 x 3,x 1 x 3 x 4 danx 2 x 3 x 4 Esensial: x 1 x 2,x 2 x 3, danx 2 x 3 x 4 non-esensial: x 1 x 3 x 4 f min = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 2 x 3 x 4, x 1 x 3 x 4 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 23 / 42

30 Contoh Prime Implicant Prime implicant: x 1 x 2,x 2 x 3,x 1 x 2 x 3, x 1 x 2 x 4 danx 1 x 3 x 4 Esensial: x 1 x 2,x 2 x 3, danx 1 x 2 x 3 non-esensial: x 1 x 2 x 4,x 1 x 3 x 4 (harus dipilih salah satu) f min = x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 + { } x1 x 2 x 4 x 1 x 3 x eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 24 / 42

31 Ringkasan SOP minimum berisi semua prime implicant esensial dan beberapa prime implicant non-esensial Langkah menemukan rangkaian dengan cost minimum: 1. Cari semua prime implicant dari f 2. Cari set prime implicant esensial 3. Jika set tersebut telah meng-cover semua valuation dimana f = 1, maka set ini adalah cover dari f yang diinginkan. Jika tidak, tentukan prime implicant non-esensial yang harus ditambahkan agar minimum Menentukan prime implicant non-esensial? heuristik (mencoba semua kemungkinan untuk mendapatkan cover dengan cost eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 25 / 42

32 Latihan di Rumah Cari semua prime implicant darif Cari set prime implicant esensial Cari cover dengan cost terendah dari semua kombinasi prime implicant eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 26 / 42

33 Minimisasi Ekspresi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 27 / 42

34 Minimisasi Ekspresi POS Minimisasi Ekspresi POS Menggunakan prinsip dualitas K-map dapat langsung dibentuk baik dari ekspresi m maupun M Shortcut: Maxterm mempunyai valuasi fungsi 0 Grouping Maxterm sebesar mungkin Bentuk persamaan POS dari set Maxterm minimum Prinsip prime implicant esensial berlaku? bisa, dengan pengertian implicant adalah Maxterm atau group eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 28 / 42

35 POS Minimal dari m atau M Minimisasi Ekspresi POS Diberikan: f = m(0,1,2,5) f = m(0,1,2,5) = (x 1 +x 3 )(x 2 +x 3 ); POS = x 1 x 3 +x 2 x 3 ; SOP = M(3,4,6,7) Diberikan: f = M(1,4,5) f = M(1,4,5) = (x 1 +x 2 )(x 2 +x 3 ); POS = x2+x 1 x 3 ; SOP = eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 29 / 42

36 POS 4-Variabel Minimal Minimisasi Ekspresi POS f = = m(2,3,8,9,10,11,13) M(0,1,4,5,6,7,12,14,15) Prime implicant: x 1 +x 3,x 2 +x 3,x 2 +x 4 danx 1 +x 2 Esensial: x 1 +x 3,x 2 +x 3, danx 2 +x 4 non-esensial: x 1 +x 2 (biru) f min = (x 1 +x 3 )(x 2 +x 3 )(x 2 +x 4 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 30 / 42

37 Latihan di Rumah Minimisasi Ekspresi POS Persamaan POS Cari semua prime implicant darif Cari set prime implicant esensial Cari cover dengan cost terendah dari semua kombinasi prime implicant eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 31 / 42

38 @2011 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 32 / 42

39 Dalam sistem digital, sering terjadi beberapa kondisi input yang tidak akan pernah terjadi Kombinasi input seperti itu disebut kondisi don t care Dalam desain rangkaian, kondisi don t care dapat diabaikan (keluaran untuk kondisi tersebut dapat diberikan 0 atau 1 di tabel kebenaran) Fungsi yang mengandung kondisi don t care disebut fungsi yang dispesifikasikan tidak lengkap (incompletely eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 33 / 42

40 Contoh Don t Care x 1 x 2 x 3 f d d Asumsi fungsi 3 variabel. Kombinasi masukan x 1 x 2 = 01 tidak pernah terjadi, selebihnya f = m(1,4,5,6) f = m(1,4,5,6)+d(2,3); atau f = M(0,7) eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 34 / 42

41 Contoh Don t Care 4 variabel SOP:f = m(2,4,5,6,10)+d(12,13,14,15) POS:f = M(0,1,3,7,8,9,11) D(12,13,14,15) SOP:f min = x 2 x 3 +x 3 x 4, POS:f min = (x 2 +x 3 )(x 3 +x 4 ) Jika don t care tidak disertakan: misalnya menganggap nilainya selalu 0 SOP:f = x 1 x 2 x 3 +x 1 x 3 x 4 +x 2 x 3 x 4 POS:f = (x 2 +x 3 )(x 3 +x 4 )(x 1 +x 2 ) Cost mungkin lebih eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 35 / 42

42 @2011 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 36 / 42

43 Rangkaian dengan Banyak Keluaran Sebelumnya dibahas fungsi dengan keluaran tunggal berikut dengan implementasi rangkaiannya Dalam prakteknya, beberapa fungsi tunggal tersebut merupakan bagian dari rangkaian logika yang lebih besar Rangkaian-rangkaian dari fungsi tersebut mungkin dapat dikombinasikan ke dalam rangkaian tunggal dengan cost lebih murah dengan keluaran multiple Pemakaian bersama blok gerbang oleh beberapa rangkaian fungsi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 37 / 42

44 Contoh f 1 = x 1 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 x 4, Cost=4 gerbang + 10 input(=14) f 2 = x 1 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 x 4, Cost=4 gerbang + 10 input (=14) Cost total jika kedua fungsi diimplementasikan terpisah: 8 gerbang + 20 input eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 38 / 42

45 Contoh Mengkombinasikan (prime) implicant yang sama dari dua/lebih fungsi mungkin bisa mengurangi cost Rangkaian multi-keluaran: { f1 f 2 } = x 1 x 3 +x 1 x 3 + { } x2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 Cost=6 gerbang + 16 input eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 39 / 42

46 Contoh Di contoh sebelumnya, terdapat prime implicant yang shared. Kalau tidak ada yang shared? f 1 = x 1 x 4 +x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3, Cost=4 gerbang + 10 input(=14) f 2 = x 1 x 4 +x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4, Cost=4 gerbang + 11 input (=15) Tidak ada gerbang prime implicant yang dapat dishared, sehingga cost total dari kombinasi 2 rangkaian adalah 8 gerbang + 21 input eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 40 / 42

47 Contoh Tapi ada alternatif realisasi lainnya: menggunakan implicant bersama antara 2 fungsi f 1 = x 1 x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 1 x 4 f 2 = x 1 x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 +x 2 x 4 Rangkaian multikeluaran: { { f1 x1 x eko didik widianto ( = x 1 x 2 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4 + TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 41 / 42 f 2 } x 2 x 4 }

48 Latihan di Rumah Cari cost terendah untuk POS dari soal eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 42 / 42