Aljabar Boolean, Sintesis Ekspresi Logika

Transkripsi

1 , Eko Didik Widianto Sistem Komputer - Universitas eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 1 / 38

2 Review Kuliah Sebelumnya konsep rangkaian logika telah dibahas, meliputi variabel, fungsi, ekspresi dan persamaan logika tabel kebenaran dari fungsi logika gerbang dan rangkaian logika analisis rangkaian logika Berikutnya adalah menggunakan konsep tersebut untuk mengimplementasikan fungsi logika menjadi suatu rangkaian logika (sintesis), baik menggunakan tabel kebenaran maupun aljabar eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 2 / 38

3 Bahasan Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Proses Sintesis Sintesis dari Tabel Minterm dan Bentuk SOP Duality SOP - POS Maxterm dan Bentuk POS Konversi Bentuk Menyederhanakan Gerbang NAND dan NOR NAND-NAND eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 3 / 38

4 Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 4 / 38

5 Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Skema untuk deskripsi aljabar dari proses berpikir secara logika dan reasoning (tahun 1849) Kemudian digunakan untuk menjabarkan rangkaian logika desain dan analisis rangkaian menyederhanakan suatu ekspresi logika untuk implementasi fisik rangkaian yang lebih sederhana George Boole eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 5 / 38

6 Dalil dan Prinsip Dualitas Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi menggunakan aturan-aturan yang diturunkan dari asumsi dasar (aksioma/dalil/postulat) 1a. 0 0 = 0 2a. 1 1 = 1 3a. 0 1 = 1 0 = 0 4a. Jikax = 0, makax = 1 1b. 1+1 = 1 2b. 0+0 = 0 3b. 1+0 = 0+1 = 1 4b. Jikax = 1, makax = 0 Dalil dituliskan berpasangan untuk menunjukkan prinsip dualitas Jika diberikan sebarang ekspresi logika, dual dari ekspresi tersebut dapat dibentuk dengan mengganti semua + dengan atau sebaliknya serta mengganti 0 dengan 1 atau sebaliknya dalil(b) merupakan dual dari dalil(a) dan sebaliknya Dual dari pernyataan benar adalah juga eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 6 / 38

7 Teorema 1 Variabel Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Aturan ini diturunkan dari aksioma. x adalah variabel tunggal 5a. x 0 = 0 6a. x 1 = x 7a. x x = x 8a. x x = 0 9. x = x 5b. x+1 = 1 6b. x+0 = x 7b. x+x = x 8b. x+x = 1 Pembuktian teorema dengan induksi Memasukkan nilaix = 0 danx = 1 ke dalam ekspresi Pernyataan di teorema (a) adalah dual dari pernyataan (b) dan sebaliknya f 1 (x 1,x 2 ) = x 1 +x 2 dualnya adalah f 2 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 Misalnya: f 1 = 0+0 = 0,f 2 = 1 1 = 1, sehingga f 1 dan f 2 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 7 / 38

8 Hukum-hukum Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi 10a. x y = y x 10b. x + y = y + x Komutatif 11a. x (y z) = (x y) z 11b. x + (y + z) = (x + y) + z Asosiatif 12a. x (y + z) = x y + x z 12b. x + y z = (x + y) (x + z) Distributif 13a. x + x y = x 13b. x (x + y) = x Absorsi 14a. x y + x y = x 14b. (x + y) (x + y) = x Penggabungan 15a. x y = x + y 15b. x + y = x y DeMorgan 16a. x + x y = x + y 16b. x (x + y) = x y 17a. x y+y z+x z = x y+x z 17b. (x + y) (y + z) (x + z) = (x + y) (x + z) Konsensus Pembuktian hukum (identity, property) tersebut dapat dilakukan secara induktif (dengan tabel kebenaran) maupun dengan melakukan perhitungan aljabar Contoh: teorema DeMorgan secara induktif Buktikan 12a,b 13a,b 16a,b dan 17a,b secara induktif dan eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 8 / 38

9 Pembuktian Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x 1 +x 2 ) (x 1 +x 2 ) = x 1 x 2 +x 1 x 2 2. x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 +x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 9 / 38

10 Pembuktian Aljabar Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Buktikan persamaan logika berikut benar 1.(x 1 +x 2 ) (x 1 +x 2 ) = x 1 x 2 +x 1 x 2 2. x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 +x 2 f = x 1 x 3 +x 2 x 3 +x 1 x 3 +x 2 x 3 = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 = x 1 +x 2 Menghasilkan ekspresi logika yang lebih sederhana, rangkaian logika lebih sederhana Teorema dan property menjadi basis untuk sintesis fungsi logika di perangkat eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 9 / 38

11 Diagram Venn Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Membuktikan ekuivalensi 2 ekspresi logika secara visual Suatu set s merupakan koleksi elemen yang merupakan anggota dari s dalam hal ini s merupakan koleksi variabel dan/atau konstan Elemen (variabel/konstan) dinyatakan sebagai area dengan kontur seperti kotak, lingkaran atau eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 10 / 38

12 Diagram Venn Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 11 / 38

13 DeMorgan: x y = x+y Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Hasil diagram Venn yang sama menunjukkan kedua ekspresi eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 12 / 38

14 Notasi Operator Fungsi Logika Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Kemiripan operasi penjumlahan dan perkalian antara logika dan aritmetika Operasi OR disebut sebagai logika penjumlahan (sum) Operasi AND disebut sebagai logika perkalian (product) Operasi Notasi Operator Keterangan OR +,, Bitwise OR AND,, & Bitwise AND Ekpresi ABC+A BD+A CE Merupakan jumlah dari 3 operasi/term perkalian (SOP, sum-of-product terms) Ekspresi (A+B+C)(A +B+D)(A +C+E) Merupakan perkalian dari 3 operasi/term penjumlahan (POS, product-of-sum eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 13 / 38

15 (Konvensi) Urutan Operasi Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Jika dalam satu ekspresi tidak terdapat tutup kurung, operasi fungsi logika dilakukan dengan urutan: 1. NOT 2. AND 3. OR Misalnya ekspresix+x y variabel x di term kedua diinversikan, kemudian di-and-kan dengan variabel y term pertama dan kedua kemudian di-or-kan Latihan Gambar rangkaian untuk persamaan logika f = (x 1 +x 2 ) x 3 danf = x 1 +x 2 x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 14 / 38

16 Hasil yang Diharapkan Dari Kuliah Dalil Teorema Hukum Pembuktian Aljabar Diagram Venn Notasi dan Urutan Operasi Mahasiswa mampu: 1. mengerti tentang dalil, teorema dan hukum aljabar 2. membuktikan persamaan 2 ekspresi logika secara induktif, manipulasi aljabar dan diagram Venn 3. menyederhanakan suatu ekspresi logika menggunakan dalil, teorema dan hukum aljabar (manipulasi aljabar) 4. mengerti tentang beragam notasi operasi logika (AND,OR) dan urutan operasi eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 15 / 38

17 NAND-NAND eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 16 / 38

18 Proses Sintesis NAND-NAND NOR-NOR Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? Misalnya Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya Desain rangkaian logika dengan dua masukan x 1 danx 2 memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x 1,x 2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) Pernyataan lain: jika switchx 1 tersambung danx 2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 17 / 38

19 Proses Sintesis NAND-NAND NOR-NOR Diinginkan suatu fungsi, bagaimana mengimplementasikannya dalam bentuk ekspresi atau rangkaian logika? Misalnya Proses ini disebut sintesis: membangkitkan ekspresi dan/atau rangkaian dari deskripsi perilaku fungsionalnya Desain rangkaian logika dengan dua masukan x 1 danx 2 memonitor switch, menghasilkan keluaran logika 1 jika switch (x 1,x 2 ) mempunyai keadaan (0,0), (0,1) atau (1,1) dan keluaran 0 jika switch (1,0) Pernyataan lain: jika switchx 1 tersambung danx 2 terputus maka keluaran harus 0, keadaan switch lainnya keluaran harus 1 Langkah desain: membuat tabel kebenaran untuk menuliskan term perkalian yang menghasilkan keluaran eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 17 / 38

20 Tabel Kebenaran dan Hasil Ekspresi (SOP) NAND-NAND NOR-NOR Tabel kebenaran untuk fungsi yang harus disintesis Realisasi f adalah f = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 18 / 38

21 Latihan Sintesis Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 1. Tuliskan ekspresi dan rangkaian logikanya 2. Sederhanakan rangkaian eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 19 / 38

22 Minterm dan Bentuk Kanonik SOP NAND-NAND NOR-NOR Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabelf (x 1,x 2...x n ) Sebuah maxterm dari f adalah satu term perkalian dari n variabel yang ditampilkan sekali, baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, minterm dibentuk dengan memasukkan variabelx i jikax i = 1 ataux i jikax i = 0 Notasim j merupakan minterm dari baris nomorj di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 (j = 0),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 minterm: m 0 = x 1 x 2 x 3 Baris 2 (j = 1),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 minterm: m 1 = x 1 x 2 x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 20 / 38

23 Minterm dan Bentuk Kanonik SOP NAND-NAND NOR-NOR Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah minterm Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi penjumlahan dari semua minterm di mana tiap minterm di-and-kan dengan nilai f yang bersesuaian Barisi x 1 x 2 x 3 mintermm i f x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x 1 x 2 x 3 0 Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik SOP: f = m m m m m m m m 7 0 = m 1 + m 4 + m 5 + m 6 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 21 / 38

24 Notasi SOP NAND-NAND NOR-NOR Persamaan SOP dapat dinyatakan dalam notasi m f = m 1 +m 4 +m 5 +m 6 = x 1 x 2 x 3 }{{} 1 +x 1 x 2 x 3 }{{} 4 +x 1 x 2 x 3 }{{} 5 Notasi Persamaan SOP:f = m(1,4,5,6) +x 1 x 2 x 3 }{{} 6 Implementasi: Ekspresi fungsi f tersebut secara fungsional benar dan unik Namun, mungkin tidak menghasilkan implementasi yang paling eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 22 / 38

25 Prinsip Duality NAND-NAND NOR-NOR Jika suatu fungsi f dinyatakan dalam suatu tabel kebenaran, maka ekspresi untuk f dapat diperoleh (disintesis) dengan cara: 1. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=1, atau 2. Melihat semua baris dalam tabel dimana f=0 Pendekatan (1) menggunakan minterm Pendekatan (2) menggunakan komplemen dari minterm, disebut eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 23 / 38

26 Penjelasan Dualitas SOP-POS NAND-NAND NOR-NOR Jika fungsi f dinyatakan dalam tabel kebenaran, maka fungsi inversnya f, dapat dinyatakan dengan penjumlahan minterm dengan f = 1, yaitu di baris di manaf = 0 f = m 0 + m 2 + m 3 + m 7 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 Fungsi f dapat dinyatakan f = m 0 + m 2 + m 3 + m 7 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 ) ) ) = (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 (x 1 x 2 x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) Meletakkan dasar untuk menyatakan fungsi sebagai bentuk perkalian semua term perjumlahan, eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 24 / 38

27 Maxterm dan Bentuk Kanonik POS NAND-NAND NOR-NOR Untuk sebuah fungsi dengan n buah variabelf (x 1,x 2...x n ) Sebuah minterm dari f adalah satu term penjumlahan dari n variabel yang ditampilkan sekali baik dalam bentuk tidak diinverskan maupun diinverskan Jika diberikan satu baris dalam tabel kebenaran, maxterm dibentuk dengan memasukkan variabelx i jikax i = 0 ataux i jikax i = 1 NotasiM j (dengan huruf M besar) merupakan maxterm dari baris nomor j di tabel kebenaran. Contoh: Baris 1 (j = 0),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 0 maxterm: M 0 = x 1 +x 2 +x 3 Baris 2 (j = 1),x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 1 maxterm: M 1 = x 1 +x 2 +x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 25 / 38

28 Maxterm dan Bentuk Kanonik POS NAND-NAND NOR-NOR Tiap baris dari tabel kebenaran membentuk satu buah maxterm Fungsi f dapat dinyatakan dengan ekspresi perkalian dari semua maxterm di mana tiap maxterm di-or-kan dengan nilai f yang bersesuaian Barisi x 1 x 2 x 3 maxtermm i f x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x x 1 +x 2 +x 3 0 Contoh: diberikan nilai f seperti tabel di atas, bentuk kanonik POS: f = (M 0 + 0)(M 1 + 1)(M 2 + 0)(M 3 + 0)(M 4 + 1)(M 5 + 1)(M 6 + 1)(M 7 + 0) = M 0 M 2 M 3 M 7 = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 26 / 38

29 Notasi POS NAND-NAND NOR-NOR Persamaan POS dapat dinyatakan dalam notasi M f = M 0 M 2 M 3 M 7 = (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 0 (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 2 (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 3 Notasi Persamaan SOP:f = M(0,2,3,7) (x 1 + x 2 + x 3 ) }{{} 7 Persamaan berikut benar untuk fungsif(x 1,x 2,x 3 )di atas: m(1,4,5,6) = M(0,2,3,7) x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )(x 1 + x 2 + x 3 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 27 / 38

30 Konversi Bentuk POS-SOP NAND-NAND NOR-NOR Jika suatu fungsif diberikan dalam bentuk m atau M, maka dengan mudah dapat dicari fungsif atauf dalam bentuk m atau M Bentuk Fungsi dan Bentuk yang Diinginkan Asal f = m f = M f = m f = M f = m (1,4,5,6) f = M (0,2,3,7) - Nomor yg tdk ada dlm daftar Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) (0,2,3,7) Nomor yang tdk ada dlm daftar (0,2,3,7) - Nomor yang ada dlm daftar (0,2,3,7) Nomor yang ada dlm daftar (1,4,5,6) Nomor yg tdk ada dlm daftar (1,4,5,6) Bagaimana bentuk kanonik POS dan SOP untuk fungsi 4 variabel? Walaupun bisa menjadi masalah untuk implementasi di FPGA yang hanya mempunyai LUT 2-masukan Dilakukan dengan sintesis eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 28 / 38

31 Penyederhanaan dengan Aljabar NAND-NAND NOR-NOR Suatu fungsi logika dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk ekspresi yang ekivalen Misalnya: f 1 = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 danf 2 = x 1 +x 2 adalah ekivalen secara fungsional Proses optimasi memilih salah satu dari beberapa rangkaian ekivalen untuk memenuhi constraint nonfungsional (area, cost) Catatan: rangkaian dengan jumlah gerbang minimal bisa jadi bukan merupakan solusi terbaik, tergantung constraintnya. Misalnya constraint delay Fungsi: f = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 Replikasi term 2: f = x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 +x 1 x 2 Distributif (12b): f = x 1 (x 2 + x 2 ) + (x 1 + x 1 )x 2 Teorema (8b): f = x x 2 Teorema (6a): f = x 1 + x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 29 / 38

32 Latihan Sintesis 1. Diinginkan rangkaian logika dengan 3 masukan x, y dan z Keluaran rangkaian harus 1 hanya jika x=1 dan salah satu (atau kedua) y atau z bernilai 1 (a) Tuliskan ekspresi SOP dan POS berikut notasinya (b) Cari invers fungsi tersebut (c) Sederhanakan rangkaian dan gambar rangkaian logikanya 2. Cari minterm, maxterm dan tuliskan bentuk SOP dan POS dari fungsif = (x 1 +x 2 ) x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 30 / 38

33 Logika dengan NAND dan NOR NAND-NAND NOR-NOR Fungsi NAND adalah inversi fungsi AND f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 Gerbang NAND merupakan gerbang AND yang diikuti gerbang NOT Fungsi NOR adalah inversi fungsi OR f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Gerbang NOR merupakan gerbang OR yang diikuti gerbang eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 31 / 38

34 NAND Lebih Sederhana dari AND NAND-NAND NOR-NOR Di CMOS, implementasi rangkaian dari gerbang NAND dan NOR lebih sederhana (dan cepat) daripada AND dan OR Sehingga rangkaian lebih kecil dan lebih cepat untuk mewujudkan fungsi logika yang sama CMOS NAND (4 transistor) CMOS AND (6 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 32 / 38

35 NOR Lebih Sederhana dari OR NAND-NAND NOR-NOR CMOS NOR (4 transistor) CMOS OR (6 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 33 / 38

36 Recall: Teorema DeMorgan NAND-NAND eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 34 / 38

37 AND-OR dan NAND-NAND NAND-NAND NOR-NOR AND-OR (bentuk SOP) dapat dikonversi menjadi rangkaian NAND-NAND Bentuk ekspresinya: inverskan minterm, ganti (+) dengan (.), inverskan ekspresi Contoh: f = m(1,4,5,6) f = x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 +x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 35 / 38

38 OR-AND dan NOR-NOR NAND-NAND NOR-NOR OR-AND (bentuk POS) dapat dikonversi menjadi rangkaian NOR-NOR Bentuk ekspresinya: inverskan maxterm, ganti (.) dengan (+), inverskan ekspresi Contoh: f = M(0,2,3,7) f = (x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 )(x 1 +x 2 +x 3 ) = ( x 1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 ) + ( x1 +x 2 +x 3 eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 36 / 38

39 Latihan 1. Sederhanakan fungsif = m(0,2,4,5) dan buat rangkaian NAND-NAND dan NOR-NOR-nya 2. Dalam rangkaian multiplexer, terdapat 2 sinyal data masukan x1 dan x2. Keluaran dikontrol oleh sinyal s. Asumsi keluaran akan sama dengan nilai x1 jika s=0 dan sama dengan x2 jika s=1. Desain rangkaian logika sederhananya. Gambarkan juga rangkaian eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 37 / 38

40 Hasil yang Diharapkan dari Kuliah NAND-NAND NOR-NOR Mahasiswa mampu: 1. melakukan sintesis ekspresi logika dari suatu tabel kebenaran fungsi logika dan ekspresi logika 2. menuliskan minterm dan bentuk kanonik SOP suatu fungsi 3. menuliskan maxterm dan bentuk kanonik POS suatu fungsi 4. mengkonversi bentuk SOP - POS untuk menyatakan fungsi yang sama 5. menyederhanakan ekspresi logika menggunakan prinsip aljabar 6. mengimplementasikan fungsi logika dengan gerbang NOR dan eko didik widianto siskom-undip SK205 Sistem Digital 38 / 38