Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika

Transkripsi

1 Representasi Bilangan dan Operasi Aritmatika Eko Didik Widianto Sistem Komputer - Universitas eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 1 / 43

2 Review Kuliah Sebelumnya telah dibahas tentang sintesis rangkaian logika dan teknologi implementasi menggunakan CMOS. Dalam rangkaian logika, diimplementasikan variabel-variabel (masukan dan keluaran) yang menyatakan suatu keadaan switch atau kondisi Selanjutnya akan dibahas penggunaan variabel ini untuk merepresentasikan bilangan. Representasi bilangan meliputi unsigned dan signed, fixed-point dan floating-point. Kemudian dibahas tentang operasi aritmetika baik penjumlahan maupun pengurangan Representasi bilangan di sistem digital/komputer Rangkaian untuk melakukan operasi aritmatika penjumlahan dan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 2 / 43

3 Bahasan Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point BCD Kode eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 3 / 43

4 Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 4 / 43

5 Bilangan Integer dan Desimal Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Dua tipe bilangan 1. Tak bertanda (unsigned): bilangan yang hanya memuat nilai positif 2. Bertanda (signed): bilangan yang memuat nilai positif dan negatif Sistem desimal, unsigned integer bilangan memuat digit yang mempunyai nilai 0-9 Bilangan desimal n-digit dapat dinyatakan sebagai D = d n 1 d n 2 d 1 d 0 Bilangan D tersebut mewakili nilai integer V(D) = d n 1 10 n 1 +d n 2 10 n 2 + +d d Misalnya: 8547 mewakili Representasi bilangan tersebut disebut representasi posisional Bilangan desimal disebut bilangan radix-10 atau base-10, karena digitnya mempunayi 10 nilai yang mungkin dan tiap digit berbobot pangkat eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 5 / 43

6 Bilangan Biner Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Dalam sistem digital, digunakan bilangan biner atau base-2 Tiap digit (bit, binary digit) mempunyai nilai 0 atau 1 Sebuah variabel mewakili satu bit Representasi posisional bilangan biner n-digit: B = b n 1 b n 2 b 1 b 0 Bilangan B tersebut mewakili nilai integer V(B) V(B) = b n 1 2 n 1 +b n 2 2 n 2 + +b b = n 1 b i 2 i i=0 Misalnya: (1101) 2 = = (13) 10 Bilangan n-bit mewakili bilangan integer positif dari0...2 n eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 6 / 43

7 Bilangan Oktal dan Hexadesimal Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Representasi posisional dapat digunakan untuk sebarang radix Untuk radix r, maka untuk bilangan K = k n 1 k n 2 k 1 k 0 mempunyai nilai integer Bilangan dengan radix 8 disebut oktal n 1 i=0 k i r i Digit bernilai dari0...7 Bilangan dengan radix 16 disebut hexadesimal (hex) Digit bernilai dari0...9 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 7 / 43

8 Bilangan di Beberapa Representasi Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Desimal Biner Oktal Hexa Desimal Biner Oktal Hexa A B C D E eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 8 / 43

9 Konversi Bilangan Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Konversi bilangan biner ke desimal atau sebaliknya Biner ke desimal V(B) = b n 1 2 n 1 +b n 2 2 n 2 + +b b = n 1 b i 2 i i=0 Misalnya: Desimal ke biner ( ) 2 = = (235) 10 = 235 Bagi bilangan desimal D dengan 2, memberikan hasil bagi (quotient) dan sisa. Sisa nilainya 0 atau 1. Sisa akan menjadi LSB Bagi quotient dengan 2, memberikan hasil bagi dan sisa. Ulangi pembagian quotient sampai quotient=0 Untuk setiap pembagian, sisa akan merepresentasikan satu bit bilangan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 9 / 43

10 Contoh Desimal ke Biner Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 10 / 43

11 Konversi Biner-Oktal-Hexadesimal Bilangan Desimal Bilangan Biner Bilangan Desimal Konversi Bilangan Biner - Oktal 1 digit oktal merupakan grup 3 digit biner Konversi biner - oktal: Konversi oktal - biner: Biner Oktal Oktal Biner Biner - Hexadesimal 1 digit hexa merupakan grup 4 digit biner Konversi biner - hexa: Konversi hexa - biner: Biner Hexa F Hexa 2 A C 7 Biner eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 11 / 43

12 Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 12 / 43

13 Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Dalam sistem biner, representasi bilangan signed berisi: tanda (sign) dan besar nilai (magnitude) Tanda diyatakan oleh bit paling kiri (0: bilangan positif, 1: bilangan negatif) Bilangan n-bit: 1 bit paling kiri menyatakan tanda, n-1 bit berikutnya menunjukan besar nilai eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 13 / 43

14 Bilangan Sign-Magnitude Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Di bilangan signed, terdapat 3 format yang umum digunakan untuk representasi bilangan negatif 1. Sign-Magnitude 2. 1 s Complement 3. 2 s Complement Bilangan sign-magnitude menggunakan 1 bit paling kiri untuk menyatakan tanda (0: positif, 1: negatif) dan bit sisanya menyatakan magnitude (besar nilai bilangan). Bilangan 4-bit: Positif Negatif Walaupun ini mudah dipahami, tapi ini tidak cocok digunakan di sistem komputer (dibahas di Operasi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 14 / 43

15 Bilangan 1 s Complement Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Skema 1 s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2 n 1dengan bilangan positif ekivalennya P K = (2 n 1) P Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4): K = (2 4 1) P = 15 P = (1111) 2 P Positif Negatif Terlihat bahwa 1 s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan, termasuk bit tanda Masih ada kekurangan dari penggunaan 1 s complement (dibahas di Operasi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 15 / 43

16 Bilangan 2 s Complement Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Skema 2 s Complement: Bilangan n-bit negatif K dapat diperoleh dari mengurangkan 2 n dengan bilangan positif ekivalennya P K = 2 n P Misalnya untuk bilangan 4-bit (n=4): K = 2 4 P = 16 P = (10000) 2 P Positif Negatif Terlihat bahwa 2 s complement dapat dibentuk dengan mengkomplemenkan tiap bit bilangan dan menambahkan 1 (2 s complement) = (1 s complement) + 1 Bilangan signed 2 s complement ini yang sering digunakan dalam sistem eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 16 / 43

17 Aturan Mencari 2 s Complement Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement Jika diberikan satu bilangan signed B = b n 1 b n 2 b 1 b 0 (baik positif maupun negatif) maka 2 s complementnya K = k n 1 k n 2 k 1 k 0 dapat diperoleh dengan Melihat semua bit B dari kanan ke kiri (mulaib 0,b 1, dst) dan mengkomplemenkan semua bit setelah nilai 1 yang pertama dijumpai Jika B=+76 ( ) maka K=-76 ( ) Jika B=-81 ( ) maka K=+81 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 17 / 43

18 Bilangan Integer Bertanda (Signed Integer) 4-bit Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement b 3 b 2 b 1 b 0 sign-magnitude 1 s complement 2 s complement eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 18 / 43

19 Jangkauan Sign-Magnitude 1 s Complement 2 s Complement #Bit Nama Jangkauan 4 nible, semioctet signed: ( 2 3) s/d2 3 1 unsigned: 0 s/d byte, octet signed: ( 2 7) s/d2 7 1 unsigned: 0 s/d half-word, word, short signed: ( 2 15) s/d unsigned: 0 s/d word, long, doubleword, int signed: ( 2 31) s/d unsigned: 0 s/d doubleword, int64 signed: ( 2 63) s/d unsigned: 0 s/d n Integer n-bit (bentuk umum) signed: ( 2 n 1) s/d2 n 1 1 unsigned: 0 s/d2 n eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 19 / 43

20 Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Operasi Penjumlahan dan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 20 / 43

21 Operasi Bilangan Unsigned Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4 kombinasi yang mungkin Diimplementasikan dengan HA eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 21 / 43

22 Rangkaian Full-Adder (FA) Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 22 / 43

23 Rangkaian Full-Adder (Dekomposisi) Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 23 / 43

24 Operasi Penjumlahan Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1) Tiap pasang bit ditambahkan Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 24 / 43

25 Ripple Carry Adder (RCA) Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan (LSB) sampai ke paling kiri (MSB) Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit dengan posisi i+1 Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder (FA) yang dihubungkan seri Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carry Sinyal carry ripple dari FA satu ke FA eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 25 / 43

26 Kekurangan Ripple Carry Adder Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Tiap FA mempunyai delay tertentu sebelum keluarans i danc i+1 valid disebut delay propagasi FA dari input ke output Misalnya, delay propagasi t Carry dari FA pertama,c 1, akan sampai di FA kedua dalam waktu t setelah inputx 0 dany 0 Carry dari FA kedua,c 2, akan sampai di FA ketiga dalam waktu t setelah inputx 1,y 1 danc 1 atau total2 t Dan seterusnya. Sinyalc n 1 valid setelah(n 1) t, dan jumlah total akan tersedia setelah delay(n) t Delay total tersebut semakin besar seiring semakin banyak jumlah bit bilangan yang harus ditambahkan Penjumlahan bilangan n-bit akan membutuhkan waktu(n) t dari bit-bit masukan tersedia sampai keluaran eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 26 / 43

27 Operasi Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Sign-magnitude Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3. Bagaimana implementasinya, apakah ? Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan mengurangkan bilangan 1 s complement Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan =(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111 agar menghasilkan 1000 (=-7) Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar 2 s complement penjumlahan selalu eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 27 / 43

28 Operasi 2 s Complement Penjumlahan Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 28 / 43

29 Operasi 2 s Complement Pengurangan Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 29 / 43

30 Unit Penjumlah dan Pengurang Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagai operasi penjumlahan dengan menggunakan 2 s complement di pengurangnya (baik positif maupun negatif) Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus Note: (2 s complement) = (1 s complement) s complement dapat diimplementasikan dengan menggunakan XOR x 1 = x danx 0 = x Jika operasi pengurangan dilakukan, 1 s complementkan bilangan kedua dengan meng-xor-kan semua bit dengan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 30 / 43

31 Unit Penjumlah dan Pengurang Menggunakan 2 s complement di bilangan pengurang Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 31 / 43

32 Overflow Aritmatika Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangan signed, maka hasil penjumlahan atau pengurangan harus dalam jangkauan 2 n 1 sampai+2 n 1 1 Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telah terjadi overflow aritmatika Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi dengan benar, perlu pendeteksi kejadian overflow Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yang sama, maka tidak terjadi eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 32 / 43

33 Overflow Aritmatika Operasi Bilangan Unsigned Operasi Unit Penjumlah dan Pengurang Overflow Aritmatika Overflow dapat dideteksi dengan: overflow =c3 c4 Untuk bilangan n-bit overflow =c n 1 c n Bagaimana rangkaian unit penjumlah/pengurang dengan overflow eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 33 / 43

34 Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Bilangan Fixed-Point dan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 34 / 43

35 Bilangan Fixed-Point Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Bilangan fixed-point terdiri atas bagian integer (digit signifikan) dan pecahan memungkinkan bilangan pecahan (mis: 75,625) Digunakan di mesin yang tidak mempunyai FPU (floating-point unit) Notasi bilangan (n+k) bit: Bn,k = b n 1 b n 2 b 1 b 0,b 1 b 2 b k n: #bit integer (tanpa bit tanda), k: #bit pecahan. Misal: B3,4 adalah bilangan dengan 3 bit integer dan 4 bit pecahan yang disimpan dalam satu integer 2 s complement 8-bit Nilai bilangan: V(Bn,k) = n 1 Contoh: i= k b i 2 i B3,4 = (0101,1010) 2 = = 5, = 5,A 16 B3,4 = (1011,1010) 2 = ( ) = 5, = B,A 16 Rangkaian logika untuk fixed-point sama dengan bilangan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 35 / 43

36 Bilangan Floating-Point Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Bilangan fixed-point mempunyai range yang dibatasi oleh digit signifikan yang digunakan untuk merepresentasikan bilangan Dalam beberapa aplikasi, diperlukan bilangan yang mungkin sangat besar atau sangat kecil Memerlukan representasi floating-point Bilangan direpresentasikan dengan mantissa yang berisi bit signifikan dan eksponen dari radix R Format: mantisa R eksponen Bilangan tersebut seringkali dinormalisasi terhadap radixnya. Misalnya untuk radix 10: 1, atau1,25 10 eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 36 / 43

37 Format IEEE Presisi Tunggal Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point IEEE mendefinisikan format 32-bit (single precision) untuk nilai floating-point (IEEE ) 1-bit sign (S) 8-bit eksponen (E) 23-bit mantissa (M) Dalam programming dikenal dengan tipe data float (C, C++, Java) dan single (Pascal, VB, MATLAB) Nilai bilangan: V(B) = ( 1) S ( i=1 Baca: b i 2 i ) 2 E eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 37 / 43

38 Bilangan Float 32-bit Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Representasi bilangan float B =(3E100000) 16 B=(+)(1.01) = +( ) 2 = Nilai eksponen: E min = 1,E max = 254, menghasilkan eksponen (bias=127): E = = 126 dane = = 127 Eksponen Signifikan=0 signifikan 0 Persamaan (E) 0 0, -0 subnormal ( 1) S 0.bitsignifikan Nilai ternormalisasi ( 1) S 1.bitsignifikan 2 E bukan bilangan eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 38 / 43

39 Contoh Bilangan Float 32-bit Nyatakan nilai bilangan dari: Bilangan Fixed-Point Bilangan Floating-Point Nyatakan bilangan (3.5) 10 dalam bentuk IEEE single eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 39 / 43

40 BCD Kode eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 40 / 43

41 BCD BCD Kode ASCII Binary-coded-decimal mengkodekan bilangan desimal dalam bentuk biner Karena terdapat 10 nilai yang harus diwakili, diperlukan 4 bit per digit Dari 0=0000 sampai 9=1001 Contoh: ( ) BCD = (78) 10 BCD digunakan di sistem komputer terdahulu dan kalkulator, keypad numerik Menyediakan format yang memadai saat informasi numerik perlu ditampilkan di display sederhana berorientasi digit Tapi, membutuhkan rangkaian yang kompleks untuk melakukan operasi aritmatika dan masalah efisiensi kode (6 buah kode tidak eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 41 / 43

42 Kode ASCII BCD Kode ASCII Kode yang sering digunakan untuk merepresentasikan informasi di komputer American Standard Code for Information Interchange bilangan, huruf, tanda baca dan kontrol kode Kode ASCII menggunakan pola 7-bit untuk merepresentasikan 128 simbol digit bilangan (0-9) karakter (a-z dan A-Z) tanda baca kode kontrol Kode ASCII ekstended 8-bit mempunyai tambahan simbol untuk 128 karakter grafik (local glyph) eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 42 / 43

43 Kode ASCII BCD Kode ASCII Lihat: Sumber: eko didik widianto ( TSK205 Sistem Digital - Siskom Undip 43 / 43