Kuliah Sistem Digital Aljabar Boolean

Transkripsi

1 Kuliah Sistem Digital Aljabar Boolean 1

2 Topik 2 Aljabar Boolean Aturan-2 u/ menentukan logika digital, atau `switching algebra Terkait dengan nilai-2 Boolean 0, 1 Nilai sinyal dinyatakan dengan variabel-2 {X, Y, DIN, } Perjanjian logika positif Tegangan analog (LOW, HIGH) (0, 1) logika negatif jarang digunakan Operator-2: {, +,, } Aksioma-2 dan Teorema-2 Membantu u/ mereduksi logika kompleks menjadi logika lebih sederhana meningkatkan area dan kecepatan dari rangkaian digital

3 Definisi: Ekspresi Boolean Literal: sebuah variabel atau komplemennya X, X, DIN, TK_L Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi X+Y P Q R A + B C ((DIN Z ) + TK_L A B C + Q5) RESET Persamaan: variabel = ekspresi P = ((DIN Z ) + TK_L A B C + Q5) RESET

4 Aksioma Aksioma kumpulan definisi dasar (A1-A5, A1 -A5 ) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar switching Dapat digunakan untuk membuktikan teorema-2 aljabar switching lainnya (T1-T15). (A1) X=0, if X 1 (A1 ) X=1, if X 0 (A2) If X=0, then X =1 (A2 ) If X=1, then X =0 (A3) 0 0 = 0 (A3 ) = 1 (A4) 1 1 = 1 (A4 ) = 0 (A5) 0 1 = 1 0 = 0 (A5 ) = = 1 Each axiom has a dual

5 Teorema-2 variabel tunggal (T1-T5) Dibuktikan melalui induksi sempurna (perfect induction) Karena sebuah variabel switching hanya dapat mempunyai nilai 0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana: X = 0 atau X =1 Contoh: (T1) X + 0 = X X=0 : = 0 benar menurut aksioma A4 X=1 : = 1 benar menurut aksioma A5

6 Teorema-2 dua dan tiga variabel (T6-T11) Dualitas: Tes: 0 & 1, AND & OR teorema-2 tetap benar? Ya!! kenapa? setiap aksioma memiliki sebuah dual Hati-2 dengan` urutan operator (operator precedence_ penggunaan tanda kurung

7 Teorema T6, T7 (Commutatif) (T6) X + Y = Y + X (T6 ) X Y = Y X (Assosiatif) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7 ) (X Y) Z = X (Y Z) Mirip dengan hukum-2 commutatif dan assosiatif untuk penjumlahan dan perkalian dari bilangan-2 bulat dan riil

8 (Distributif) Teorema T8 (T8) X Y + X Z = X (Y + Z) (T8 ) (X + Y) (X + Z) = X + Y Z Jumlah dari perkalian (sum-of-products (SOP)) vs. Perkalian dari jumlah (product-of-sums (POS)) V W Y + V W Z + V X Y + V X Z = V (W + X) (Y + Z) (bentuk SOP) (bentuk POS) (V W X) + (Y Z ) = (V + Y) (V + Z) (W + Y) (W + Z) (X + Y) (X + Z) Tergantung pd masalah, pilih yang lebih sederhana Yang mana lebih logis menurut anda?

9 Teorema T9, T10 (Covering) (T9) X + X Y = X (T9 ) X (X + Y) = X (Kombinasi) (T10) X Y + X Y = X (T10 ) (X + Y) (X + Y ) = X Perguna dalam penyederhanaan fungsi-2 logika

10 Teorema T11 (konsensus) (T11) X Y + X Z + Y Z = X Y + X Z (T11 ) (X + Y) ( X + Z) (Y + Z) = (X + Y) (X + Z) Pada T11 term Y Z disebut konsensus dari term X Y dan X Z: Jika Y Z = 0, maka T11 pasti benar Jika Y Z = 1, maka X Y atau X Z harus 1 Sehingga term Y Z : redundan dan harus dibuang Tugas buktikan (T11 )?

11 Teorema-2 N-variabel (T12 T15) Pembuktian menggunakan induksi terbatas (finite induction) Paling penting: teorema-2 DeMorgan (T13 & T13 )

12 Contoh Teorema DeMorgan: NAND (X Y) = (X + Y ) (X Y) dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND pada ekspresi gerbang logika

13 Contoh Teorema DeMorgan: NOR (X + Y) = (X Y ) (X + Y) dirujuk sebagai gerbang NOR pada ekspresi gerbang logika

14 Gerbang-2 NAND & NOR Menggunakan jumlah rangk. yang lebih sedikit ketimbang gerbang-2 AND & OR Fan-in & Fan-out NAND AND Extra ciruits

15 Generalisasi Teorem DeMorgan (T14) [F(X 1, X 2,..., X n, +, )] = F(X 1, X 2,..., X n,, +) Diberikan suatu ekspresi logika n-variabel, komplemennya dapat ditemukan melalui swapping + dan dan penkomplemenan seluruh variabel Contoh: F(W,X,Y,Z) = (W X) + (X Y) + (W (X + Z )) = ((W) X) + (X Y) + (W ((X) + (Z) )) [F(W,X,Y,Z)] = ((W ) + X ) (X + Y ) (W + ((X ) (Z ) )) Gunakan (T4) (X ) = X, pers. Diatas dpt disederhanakan menjadi: [F(W,X,Y,Z)] = (W + X ) (X + Y ) (W + (X Z))

16 REVISI Dualitas Setiap teorema pd aljabar switching tetap benar jika 0 & 1 di-swapped dan & + di-swapped. Benar karena seluruh duals dari seluruh aksioma adalah benar, sehingga duals dari seluruh teorema aljabar switching dapt dibuktikan dengan menggunakan duals aksioma-2. Kita dapat menuliskan kembali teorema DeMorgan sbg [F(X 1, X 2,., X n )] = F D (X 1, X 2,., X n ) Catatan A B + C A + B C (A + B) C Duality bukan berarti ekuivalensi!!

17 Manipulasi ekspresi Boolean Bagaimana menyatakan (A B + C)? Gunakan teorema DeMorgan A B + C = ( ( A B + C ) ) = ( ( A B ) C ) = ( ( A + B ) C ) ( A B + C ) = ( A + B ) C

18 Aksioma-2 dan Teorema-2 Aljabar Switching (A1) X = 0 if X 1 (A1 ) X = 1 if X 0 (A2) If X = 0, then X = 1 (A2 ) if X = 1, then, X = 0 (A3) 0. 0 = 0 (A3 ) = 1 (A4) 1. 1 = 1 (A4 ) = 0 (A5) 0. 1 = 1. 0 = 0 (A5 ) = = 1 (T1) X + 0 = X (T1 ) X. 1 = X (Identities) (T2) X + 1 = 1 (T2 ) X. 0 = 0 (Null elements) (T3) X + X = X (T3 ) X. X = X (Idempotency) (T4) (X ) = X (Involution) (T5) X + X = 1 (T5 ) X. X = 0 (Complements) (T6) X + Y = Y + X (T6 ) X. Y = Y. X (Commutativity) (T7) (X + Y) + Z = X + (Y + Z) (T7 ) (X. Y). Z = X. (Y. Z) (Associativity) (T8) X. Y + X. Z = X. (Y + Z) (T8 ) (X + Y). (X + Z) = X + Y. Z (Distributivity) (T9) X + X. Y = X (T9 ) X. (X + Y) = X (Covering) (T10) X. Y + X. Y = X (T10 ) (X + Y). (X + Y ) = X (Combining) (T11) X. Y + X. Z + Y. Z = X. Y + X. Z (T11 ) (X + Y). ( X + Z). (Y + Z) = (X + Y). (X + Z) (Consensus) (T12) X + X X = X (T12 ) X. X..... X = X (Generalized idempotency) (T13) (X 1. X X n ) = X 1 + X X n (T13 ) (X 1 + X X n ) = X 1. X X n (T14) [F(X 1, X 2,..., X n, +,.)] = F(X 1, X 2,..., X n,., +) (DeMorgan s theorems) (Generalized DeMorgran s theorem)

19 Definisi lanjut Ekspresi Boolean Term perkalian: Z, (W X Y), (X Y Z), (W Y Z) Term penjumlahan: Z, (W + X + Y), (X + Y + Z), (W + Y + Z) Ekspresi sum-of-products (SOP): Z + (W X Y) + (X Y Z) + (W Y Z) Ekspresi product-of-sums (POS) : Z (W + X + Y) (X + Y + Z) (W + Y + Z) Term normal: term perkalian atau penjumlahan di dlmnya tidak ada variabel yang muncul lebih dari sekali Contoh-2 term-2 non-normal: W X X Y W+W+X +Y X X Y Contoh-2 term-2 normal: W X Y W+X +Y 0

20 Minterm dan Maxterm Minterm: Sebuah minterm n-variabel merupkan sebuah term perkalian normal dgn n literals. Terdapat 2 n term perkalian yang demikian. Contoh-2 minterm 4-variabel: W X Y Z W X Y Z W X Y Z Dapat didefinisikan sebagai sebuah term perkalian yang = 1 pada benar-benar satu baris dari tabel kebenaran Maxterm: Sebuah maxterm n-variabel merupakan sebuah term penjumlahan normal dengan n literals. Terdapat 2 n term-2 penjumlahan yang demikian. Contoh-2 maksterm 4-variabel: W + X + Y + Z W + X + Y + Z W + X + Y + Z Dpt didefiniskan sebgaia sebuah term penjumlahan yang = 0 pada benar-2 satu baris dari tabel kebenaran

21 Minterms/Maxterms u/ sebuah fungsi 3-variabel

22 Representasi Penjumlahan Kanonis Minterm i : Baris i dari tabel kebenaran yang memiliki keluaran 1 1 Penjumlahan Kanonis (Canonical sum): Jumlah dari seluruh minterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi Σ: Contoh: Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Representasi ini biasa direalisasi dgn menggunakan rangkaian logika AND-OR 2 level dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang AND, sperti yang diperlukan

23 Contoh penjumlahan kanonis Fungsi direpresenyasikan dengan tabel kebenaran: Row X Y Z F mempunyai representasi penjumlahan kanonis sbb: Daftar Minterm menggunakan notasi Σ F = Σ X,Y,Z (0, 3, 4, 6, 7) = X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z + X Y Z Penjumlahan minterms kanonis secara aljabar

24 Representasi perkalian kanonis Maxterm i: baris i dari tabel kebenara yang mempunyai keluaran 0 Pekalian kanonis: Perkalian dari maxterms u/ suatu fungsi yang diberikan (tabel kebenaran) Notasi Π : Contoh: Π X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z ). (X + Y + Z). (X + Y + Z ) Representasi direalisasi dgn menggunakan rangk. logika OR-AND 2 levels dengan inverter-2 pada masukan-2 gerbang OR, seperti dibutuhkan

25 Contoh perkalian kanonis Fungsi direpresentasi dengan tabel kebenaran: Row X Y Z F memiliki representasi perkalian kanonis: F = Π X,Y,Z (1,2,5) = (X + Y + Z ) (X + Y + Z) (X + Y + Z ) Perkalian maxterms kanonis secara aljabar Daftar Maxterm notasi Π

26 Konversi antara daftar Minterm/Maxterm Dapatkan komplemen dari set Contoh: Σ X,Y,Z (0,1,2,3) = Π X,Y,Z (4,5,6,7) Σ X,Y (1) = Π X,Y (0,2,3) Σ W,X,Y,Z (0,1,2,3,5,7,11,13) = Π W,X,Y,Z(4,6,8,9,12,14,15)

27 Latihan F=X YZ+X YZ +XZ Ditanyakan: Buatlah rangkaian digital persamaan diatas Sederhanakan persamaan diatas dan buatlah rangkaian digital dari hasil penyederhanaanya Buatlah Rangkaian dalam bentuk IC dan tentukan type2 IC TTL yang dibutuhkan Ubahlah Rangkaian yang disederhanakan menjadi rangkaian NAND saja, berapa IC TTL yang dibutuhkan Ubahlah rangkaian menjadi NOR saja, dan berapa IC TTL yang dibutuhkan 27

28 F=X YZ+X YZ +XZ F=X Y(Z+Z )+XZ T8 F=X Y.1+XZ T5 F=X Y+XZ 28