63 ISSN: (Print), (Online)

Transkripsi

1 Perancangan Aplikasi Penyederhanaan Fungsi Boolean Dengan Metode Quine-Mc Cluskey Wahyu Nugraha Program Studi Manajemen Informatika, AMIK BSI Pontianak ABSTRACT - Three way to simplify boolean function are algebra based on law or algebra boolean method, Karnaugh Map method and the method of tabulation of Quine-Mc Cluskey. Boolean function with more than six variable will be more complicated to do and need make a software to simplify boolean function. To make the software used Quine-Mc Cluskey method because mechanistic character and fit to simplify boolean method with amount variable. Languange programming used for a while is Microsoft Visual Basic 6. Auxiliary software used to simplify with Quine-Mc Cluskey intend as auxiliary ware for them who learn simplify boolean fuction with Quine-Mc Cluskey. Software be able completed simplify steps boolean function with amount of determined variable. Keywords : Boolean Algebra, Boolean Functions, Simplification, Quine-Mc Cluskey Method, Microsoft Visual Basic 6. ABSTRAK - Tiga cara untuk menyederhanakan fungsi boolean adalah aljabar berdasarkan metode hukum aljabar boolean, metode Peta Karnaugh dan metode tabulasi Quine-Mc Cluskey. Fungsi boolean dengan lebih dari enam variabel akan lebih rumit untuk dilakukan dan perlu membuat software untuk mempermudah fungsi boolean. Untuk membuat perangkat lunak menggunakan metode Quine-Mc Cluskey karena karakter mekanistik dan cocok untuk mempermudah metode boolean dengan jumlah variabel. Pemrograman Languange yang digunakan untuk sementara adalah Microsoft Visual Basic 6. Perangkat lunak tambahan yang digunakan untuk menyederhanakan dengan Quine-Mc Cluskey bermaksud sebagai perangkat bantu bagi mereka yang belajar menyederhanakan fuction boolean dengan Quine-Mc Cluskey. Perangkat lunak dapat diselesaikan dengan menyederhanakan langkah fungsi boolean dengan jumlah variabel yang ditentukan. Kata kunci: Aljabar Boolean, Fungsi Boolean, Penyederhanaan, Metode Quine-Mc Cluskey, Microsoft Visual Basic PENDAHULUAN Fungsi Boolean banyak mengandung operasi-operasi yang tidak perlu, literal atau suku-suku yang berlebihan sehingga perlu dilakukannya penyederhanaan atau minimalisasi fungsi boolean. Menyederhanakan fungsi Boolean artinya mencari bentuk fungsi lain yang ekivalen tetapi dengan jumlah literal atau operasi yang lebih sedikit. Untuk menyederhanakan fungsi boolean, dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu dengan cara aljabar yaitu berdasarkan hukum atau Teorema Aljabar Boolean, metode peta Karnaugh, dan metode tabulasi dari Quine-Mc Cluskey. Dalam penelitian ini, penulis bermaksud untuk membahas metode minimalisasi fungsi boolean menggunakan Quine-McCluskey serta membangun sebuah perangkat lunak bisa menunjukkan langkahlangkah penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine-Mc Cluskey menggunakan bahasa pemograman Visual Basic 6.0. Hal ini bertujuan untuk membantu mereka yang sedang mempelajari penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine-Mc Cluskey. Algoritma Quine-McCluskey adalah metode yang digunakan untuk minimalisasi fungsi boolean. Metode ini pertama kali 63 ISSN: (Print), (Online) dikembangkan oleh W.V. Quine dan Edward J.McCluskey. Metode ini sangat cocok jika jumlah peubah dalam fungsi Boolean lebih dari enam buah, sedangkan jika menggunakan metode peta Karnaugh dengan jumlah peubah lebih dari enam akan menjadi semakin rumit, sebab ukuran peta akan semakin besar. Selain itu, metode peta Karnaugh lebih sulit diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual secara langsung untuk mengidentifikasi minterm minterm yang akan dikelompokkan. Karena sebab itulah metode Quine-Mc Cluskey dipilih dalam pembuatan perangkat lunak komputer untuk minimalisasi karena sifatnya yang mekanistik dan cocok untuk penyederhanaan fungsi boolean dengan jumlah sembarang peubah. Metode Quine- McCluskey biasa juga disebut dengan metode tabulasi. Metode ini terdiri dari dua langkah penyelesaian, yaitu: a. Menentukan term-term sebagai kandidat (Prime Implicant) b. Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit Rumusan masalah pada penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine- McCluskey yaitu dengan melakukan input angka-angka term dalam bentuk SOP (Sum Of Product), kemudian sistem akan memeriksa

2 validitas data masukan (jumlah peubah, simbol peubah dan batas angka term). Apabila valid, maka sistem akan melakukan langkah-langkah minimisasi terhadap data tersebut sesuai dengan metode Quine-McCluskey. Output sistem berupa hasil minimisasi fungsi Boolean dan hasil eksekusi setiap langkah terhadap data input hingga didapatkan output dalam bentuk SOP (Sum Of Product). Pada penelitian ini membatasi cakupan bahasan, yaitu: a. Input berupa angka-angka term dalam bentuk SOP (Sum Of Product). b. Jumlah peubah dibatasi maksimum 10 buah atau jumlah suku pada ekspresi Boolean maksimum = 2 10 buah. c. Perangkat lunak menyajikan langkahlangkah minimisasi terhadap input fungsi Boolean. d. Output perangkat lunak berupa hasil minimisasi fungsi Boolean dalam bentuk SOP (Sum Of Product) Aljabar Boolean Aljabar Boolean dapat didefinisikan secara abstrak dalam beberapa cara. Cara yang paling umum adalah dengan menspesifikasikan unsur unsur pembentuknya dan operasi operasi yang menyertainya. (Lipschutz dan Marc, 1992) Misalkan B adalah himpunan yang didefinisikan pada dua operator biner, + dan., dan sebuah operator uner,. Misalkan 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B. Maka, tupel <B, +,.,, 0, 1> disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma (sering dinamakan juga Postulat Huntington) berikut : a. Identitas (i) a + 0 = a (ii) a. 1 = a b. Komutatif (i) a + b = b + a (ii) a. b = b. a c. Distributif (i) a. (b + c) = (a. b) + (a. c) (ii) a + (b. c) = (a + b). (a + c) d. Komplemen Untuk setiap a B terdapat elemen unik a B sehingga (i) a + a = 1 (ii) a. a = 0 Elemen 0 dan 1 adalah dua elemen unik yang berada di dalam B. 0 disebut elemen terkecil dan 1 disebut elemen terbesar. Kedua elemen unik dapat berbeda beda pada beberapa aljabar Boolean (misalnya dan U pada himpunan, False dan True pada proposisi), namun secara umum kita tetap menggunakan 0 dan 1 sebagai dua elemen unik yang berbeda. Elemen 0 disebut elemen zero, sedangkan elemen 1 disebut elemen unit. Operator + disebut operator penjumlahan,. disebut operator perkalian, dan disebut operator komplemen. Terdapat perbedaan antara aljabar Boolean dengan aljabar biasa untuk aritmetika bilangan riil : a. Hukum distributif yang pertama, a. (b + c) = (a. b) + (a. c) sudah dikenal di dalam aljabar biasa, tetapi hukum distributif yang kedua, a + (b. c) = (a + b). (a + c), benar untuk aljabar boolean, tetapi tidak benar untuk aljabar biasa. b. Aljabar Boolean tidak memiliki kebalikan perkalian (multiplicative inverse) dan kebalikan penjumlahan; karena itu, tidak ada operasi pembagian dan pengurangan di dalam aljabar Boolean. c. Aksioma nomor 4 pada definisi 2.1 mendefinisikan operator yang dinamakan komplemen yang tidak tersedia pada aljabar biasa. d. Aljabar biasa memperlakukan himpunan bilangan riil dengan elemen yang tidak berhingga banyaknya. Sedangkan aljabar Boolean memperlakukan himpunan elemen B yang sampai sekarang belum didefinisikan, tetapi pada aljabar Boolean dua-nilai, B didefinisikan sebagai himpunan dengan hanya dua nilai, 0 dan 1. Hal lain yang penting adalah membedakan elemen himpunan dan peubah (variable) pada sistem aljabar. Sebagai contoh, pada aljabar biasa, elemen himpunan bilangan riil adalah angka, sedangkan peubahnya seperti a, b, c dan sebagainya. Dengan cara yang sama pada aljabar Boolean, orang mendefinisikan elemen elemen himpunan dan peubah seperti x, y, z sebagai simbol simbol yang merepresentasikan elemen. Berhubung elemen elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas menentukan anggota anggota B), maka untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan : a. elemen elemen himpuan B, b. kaidah / aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner, c. himpunan B, bersama sama dengan dua operator tersebut, memenuhi keempat aksioma di atas. 64 ISSN: (Print), (Online)

3 Jika ketiga persyaratan di atas dipenuhi, maka aljabar yang didefinisikan dapat dikatakan sebagai aljabar Boolean Fungsi Boolean Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai B yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B. Misalkan ekspresi Boolean dengan n peubah adalah E(x1, x2,..., xn). Menurut definisi di atas, setiap pemberian nilai nilai kepada peubah x1, x2,..., xn merupakan suatu pasangan terurut ganda-n di dalam daerah asal Bn dan nilai ekspresi tersebut adalah bayangannya di dalam daerah hasil B. Dengan kata lain, setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah f(x, y, z) = xyz + x y + y z. Fungsi f memetakan nilai nilai pasangan terurut ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}. Contoh pasangan terurut ganda-3 misalnya (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1 sehingga f(1, 0, 1) = = = 1. Selain secara aljabar, fungsi Boolean juga dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran dan dengan rangkaian logika. Tabel kebenaran berisi nilai nilai fungsi untuk semua kombinasi nilai nilai peubahnya. Jika fungsi Boolean dinyatakan dengan tabel kebenaran, maka untuk fungsi Boolean dengan n buah peubah, kombinasi dari nilai peubah peubahnya adalah sebanyak 2n. Ini berarti terdapat 2n baris yang berbeda di dalam tabel kebenaran tersebut. Misalkan n = 3, maka akan terdapat 23 = 8 baris tabel. Cara yang praktis membuat semua kombinasi tersebut adalah sebagai berikut : a. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut turut. b. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut turut. c. Untuk peubah pertama, isi 4 baris pertama pada kolom pertama dengan sebuah 0 dan 4 baris selanjutnya dengan sebuah 1 berturut turut. Fungsi Boolean tidak selalu unik pada representasi ekspresinya. Artinya, dua buah fungsi yang ekspresi Booleannya berbeda dapat menyatakan dua buah fungsi yang sama. Misalkan f dan g adalah ekspresi dari suatu fungsi Boolean. Fungsi f dan g dikatakan merupakan fungsi yang sama jika keduanya memiliki nilai yang sama pada tabel kebenaran untuk setiap kombinasi peubah peubahnya. Sebagai contoh, fungsi f(x, y, z) = x y z + x yz + xy dan g(x, y, z) = x z + xy adalah dua buah fungsi Boolean yang sama. Kesamaan ini dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 1. Tabel kebenaran fungsi f dan g Jika sebuah fungsi Boolean tidak unik dalam representasi ekspresinya, kita masih dapat menemukan ekspresi Boolean lainnya yang menspesifikasikan fungsi yang sama dengan melakukan manipulasi aljabar terhadap ekspresi Boolean. Yang dimaksud dengan memanipulasi atau menyederhanakan fungsi Boolean adalah menggunakan hukum hukum aljabar Boolean untuk menghasilkan bentuk yang ekivalen. Sebagai contoh f(x, y, z) = x y z + x yz + xy = x z(y + y) + xy (hukum distributif) = x z. 1 + xy (hukum komplemen) = x z + xy (hukum identitas) Manipulasi aljabar pada ekspresi Boolean disebut juga dengan penyederhanaan fungsi Boolean Metode Quine-McCluskey Minimalisasi fungsi aljabar dengan metode peta karnaugh dengan jumlah peubah lebih dari enam akan menjadi semakin rumit karena ukuran peta akan semakin besar dan memerlukan pengamatan visual secara langsung untuk mengidentifikasi minterm minterm yang akan dikelompokkan. Hal tersebut membatasi keleluasaan penerapan metode, karena itulah metode Quine-Mc Cluskey dipilih sebagai alternatif dalam pembuatan perangkat lunak komputer untuk minimalisasi penyederhanaan fungsi boolean dengan jumlah sembarang peubah. Berbeda dengan peta karnaugh, Quine- Mc.Cluskey lebih mekanistik sehingga sesuai untuk 65 ISSN: (Print), (Online)

4 implementasi dalam bentuk piranti lunak komputer. Pada metode Quine-Mc.Cluskey, ungkapan boolean disajikan dalam bentuk 0-1 string. Bit 1 mewakili peubah, sedangkan bit 0 mewakili komplemen peubah. Metode ini mengharuskan ungkapan yang akan disederhanakan berbentuk full dnf, dimana setiap suku pada penjumlahan boolean berupa minterm. Penggabungan hasil ganda menitik beratkan pada pengamatan bahwa dua hasil ganda boolean dapat digabungkan (dijumlahkan) untuk membentuk hasil ganda baru yang lebih sederhana jika dua bit string yang mewakilinya berbeda hanya pada satu literal. Sebagai contoh bit string dan dapat digabung membentuk hasil ganda yang ekivalen dan lebih sederhana, yaitu ( ) ekivalen dengan Metode ini terdiri dari dua bagian. Pertama mencari suku-suku hasil ganda boolean yang dicalonkan agar muncul pada ungkapan minimum. Kedua menentukan mana diantara suku-suku tersebut yang benar-benar diperlukan untuk menyusun ungkapan minimum Microsoft Visual Basic 6.0 Program Microsoft Visual Basic merupakan bahasa pemrograman tingkat tinggi (High Level Languange). Menurut Kusrini (2007:171) Visual Basic adalah salah satu bahasa pemrograman komputer. Bahasa pemrograman adalah perintah-perintah yang dimengerti oleh komputer untuk melakukan tugas-tugas tertentu. Visual Basic merupakan salah satu development tools, yaitu alat bantu untuk membuat berbagai macam program komputer, khususnya yang menggunakan sistem operasi windows. juga dapat digabung untuk membentuk bentuk prima lainnya, apabila memiliki satu buah peubah yang nilainya berbeda. Prosedur ini dilakukan berulang kali hingga tidak terdapat bentuk prima yang dapat terbentuk lagi. Untuk proses selanjutnya, metode ini memilih bentuk prima yang paling sederhana, yaitu bentuk prima yang tidak membentuk bentuk prima yang baru. Dari bentuk-bentuk prima yang sederhana ini, dipilih bentuk prima yang memiliki jumlah peubah paling sedikit (bentuk prima yang paling panjang) dan mencakup sebanyak mungkin minterm / maxterm dari fungsi Boolean yang di-input. Bentuk prima inilah yang merupakan hasil minimisasi dari fungsi Boolean. Keunggulan dari metode Quine-McCluskey adalah kemampuannya untuk melakukan proses penyederhanaan terhadap fungsi Boolean dengan jumlah peubah yang besar. Selain itu, prosedur atau langkah langkah pengerjaan dari metode ini sangat sistematis, artinya pengerjaan setiap langkah sangat rapi, teratur dan terstruktur, sehingga metode ini lebih mudah diprogram di dalam komputer dibandingkan dengan metode penyederhanaan lainnya. Sebagai contoh, dilakukan penyederhanaan terhadap fungsi Boolean dalam bentuk SOP (sum-of-product) : f (w, x, y, z) = m(0, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 13) Langkah langkah penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine- McCluskey adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Nyatakan tiap minterm dalam n peubah menjadi string bit biner yang panjangnya n. (Pada contoh ini, jumlah peubah adalah 4 sehingga n = 4) Susun table minterm, bentuk biner dari minterm. 2. PEMBAHASAN 3.1. Metode Quine-McCluskey Proses penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine-McCluskey mempunyai tujuh langkah untuk menyederhanakan fungsi Boolean dalam bentuk SOP (sum-of-product). Metode Quine-McCluskey menyederhanakan fungsi Boolean dengan menggabungkan minterm menjadi himpunan bentuk prima (prime-implicant), dimana sebanyak mungkin peubah dieliminasi (dihilangkan) secara maksimal. Minterm yang digabung untuk membentuk sebuah bentuk prima harus memiliki satu buah peubah yang nilainya berbeda (komplemen dan nonkomplemen). Bentuk prima yang terbentuk 66 ISSN: (Print), (Online) Tabel 2. bentuk biner dari minterm Langkah 2 : Kelompokkan tiap minterm berdasarkan jumlah '1' yang dimilikinya.

5 Tabel 6. Tabel Kubus-1.a Tabel 3. Pengelompokan minterm Langkah 3 : Kombinasikan minterm dalam n peubah dengan kelompok lain yang jumlah '1'- nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima (prime-implicant) yang terdiri dari n-1 peubah. minterm yang dikombinasikan diberi tanda 'v'. Tabel 4. Tabel kombinasi minterm Tabel 7. Tabel Kubus-1.b Tanda ** menandakan bahwa minterm tersebut tdk mendapatkan pasangan pada proses pembentukan tabel Berikutnya. Minterm ini dinamakan Prime Implicant. Tabel 8. Hasil Kombinasi Tabel Kubus-1 Tabel 5. Hasil Kombinasi tabel 3 Langkah 5 : Ulangi langkah 4 sampai diperoleh bentuk prima yang paling sederhana kemudian tuliskan hasilnya di kubus-2, Begitu seterusnya. Tabel 9. Tabel Kubus-2 Langkah 4 : Dari pemasangan yang dilakukan akan didapatkan tabel minterm dan tabel kubus-1 lakukan pemasangan serupa terhadap hasil yang tertera pada tabel kubus-1 67 ISSN: (Print), (Online)

6 Jika pasangan minterm menghasilkan kode biner yang sama maka cukup ditulis salah satu saja, sehingga tabel kubus-2 menjadi: Tabel 10. Tabel Kubus-2 disederhanakan m0, m8 & m2, m m2, m3 & m6, m7 0 1 m9, m Tabel 13. Tabel penyesuaian term dan peubah jika masih memungkinkan lakukan pemasangan lagi terhadap data pada kubus berikutnya sehingga tidak ada lagi data pada kubus terakhir yang bisa dipasangkan lebih lanjut. jika sudah tidak ada lagi yang bisa dipasangkan seperti pada kubus-2, maka kita sudah mendapatkan Prime Implicant Langkah 6 : Pilih semua bentuk prima(prime implicant) yang tidak bertanda 'v' atau yang bertanda (**). Yang didapat dari hasil kombinasi antar kelompok minterm Buat tabel baru yang memperlihatkan minterm dari ekspresi Boolean semula yang dicakup oleh bentuk prima tersebut (tandai dengan '*'). Pada contoh ini didapat 4 Prime Implicant: m8, m m9, m m0, m8 & m2, m m2, m3 & m6, m , 8, 2, 10 bersesuaian dengan x z 2, 3, 6, 7 bersesuaian dengan w y 9, 13 bersesuaian dengan term w y'z Dengan demikian, fungsi Boolean hasil penyederhanaan dengan metode Quine- McCluskey adalah : F(w, x, y, z) = x z + w y + wy z 3.2. Perancangan Antarmuka Dalam perancangana atarmuka aplikasi dibuat tampilan yang cukup sederhana, ini dimaksudkan agar mudah dipahami dan digunakan oleh pengguna. Berikut ini adalah beberapa tampilan antarmuka aplikasi : Tabel 11. Tabel Prime Implicant Langkah 7 : Pilih bentuk prima yang memiliki jumlah literal paling sedikit namun mencakup sebanyak mungkin minterm dari ekspresi Boolean semula. Hal ini dapat dilakukan dengan cara : a. Beri tanda V pada kolom flag untuk kelompok prime implicant yang memiliki kolom bertanda * satu saja. b. Prime Implicant yang memiliki tanda adalah yang terpilih untuk menyusun fungsi boolean yang dimaksud. Kemudian susun fungsi booleannya. Gambar 1. Tampilan Utama Aplikasi Tabel 12. Tabel Prime Implicant terpilih Sekarang, semua minterm sudah tercakup dalam bentuk prima terpilih. Bentuk prima yang terpilih adalah : Gambar 2. Tampilan Langkah-langkah Proses Penyederhanaan Fungsi Boolean Tampilan Utama Aplikasi Jendela utama adalah tampilan yang pertama kali tampil ketika program dijalankan. Pada tampilan ini terdapat combobox untuk memilih banyaknya peubah atau variabel. 68 ISSN: (Print), (Online)

7 Kolom isian input minterm digunakan untuk memasukkan minterm, gunakan tanda ; untuk memisahkan antara angka minterm. Tombol refresh pada aplikasi menunjukkan fungsi boolean yang belum disederhanakan. Klik tombol ini untuk menampilkannya dengan catatan variabel peubah dan minterm telah terisi dengan benar. Selanjutnya klik tombol hitung untuk melihat bentuk fungsi boolean setelah disederhanakan. Tombol langkah-langkah proses penyederhanaan digunakan untuk melihat urutan langkah-langkah yang dilakukan oleh program Tampilan Langkah Proses Penyederhanaan Boolean Tampilan Langkah-langkah Proses Penyederhanaan Fungsi Boolean merupakan fitur untuk malihat urutan proses penyederhanaan fungsi boolean oleh program. Fitur ini berguna bagi mereka yang sedang mempelajari penyederhanaan fungsi boolean khususnya menggunakan metode Quine-Mc Cluskey 3. PENUTUP Setelah menyelesaikan perancangan aplikasi penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine-McCluskey ini, dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut : a. Perangkat lunak mampu menyederhanakan fungsi Boolean dalam bentuk SOP (sum-of-product). b. Perangkat lunak mampu menyederhanakan fungsi Boolean dengan jumlah peubah yang besar (maksimum 10 buah). c. Perangkat lunak menunjukkan setiap langkah atau tahapan dalam proses penyederhanaan fungsi Boolean dengan metode Quine-McCluskey. DAFTAR PUSTAKA [1] Informatika Bandung Pengantar Logika Matematika. Bandung: Informatika Bandung. [2] Kenneth H. Rosen Discrete Mathematics and its Applications. New York: McGraw-Hill [3] Kusrini tuntunan praktis membangun sistem informasi akuntansi dengan visual basic dan microsoft sql server. Jogyakarta: Andi [4] Lipschutz, Seymour & Marc Lars Lipson Solved Problems in Discrete Mathematics. New York: McGraw-Hill [5] Retno Hendrawati,IR,MT & Bambang Hariyanto Logika Matematika. Bandung: Informatika Bandung. [6] Rinaldi Munir Matematika Diskrit, Bandung: Informatika Bandung. 69 ISSN: (Print), (Online)