Tabulasi Quine McCluskey

Transkripsi

1 Tabulasi Quine McCluskey Tabulasi Quine McCluskey Penyederhanaan fungsi menggunakan tabulasi atau metode Quine McCluskey. Metode penyederhanaan atau yang sering diesebut dengan metode Quine McCluskey, merupakan solusi untuk mengatasi kelemahan Kmap. Metode tabulasi dapat mengatasi fungsi yang kompleks, dimana memiliki variable yang banyak. Metode tabulasi terdiri atas dua bagian ; 1. Menemukan kandidat-kandidat dari fungsi Boolean yang diberikan untuk fungsi penyederhanaan, atau disebut juga prime implicant 2. Memilih diantara prime implicant tersebut yang paling minimal dalam mengcover fungsi Boolean. Langkah-langkah untuk menentukan prime implicant : 1. Mendaftar minterm-minterm dari fungsi Boolean 2. Mengubah setiap meinterm ke dalam bentuk binary 3. Susun setiap minterm binary dalam bentuk kelompok-kelompok, dimana dalam satu kelompok harus memiliki jumlah angka satu yang sama. 4. Lakukan matching process, yaitu mengkombinasi minterm-minterm antara group yang bersebelahan. Minterm-minterm yang dapat dikombinasi adalah minterm yang memiliki perbedaan satu variable saja pada minterm binary atau dalam hitungan decimal memiliki selisih 2 n. Perbedaan satu variable tersebut kemudian diganti dengan dash (-). 5. Tandai dengan ( ) bila minterm tersebut telah dikombinasi dengan minterm pada kelompok yang bersebelahan. 6. Matching process diulangi terus hingga tidak lagi minterm-mintern yang tidak bisa kombinasi. 7. Kombinasi-kombinasi minterm yang tidak ditandai dengan ( ) menjadi kandidat prime implicant. Contoh : Fungsi boolean F(A,B,C,D) = Ʃm (0,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30), akan disederhanakan menggunkan metode tabulasi. Langkah-langkah sebagai berikut : 1. Mendaftar minterm-minterm dari fungsi Boolean. Mengubah setiap minterm ke dalam bentuk binary. Menyusun setiap minterm binary dalam bentuk kelompokkelompok, dimana dalam satu kelompok harus memiliki jumlah angka satu yang sama.

2 2. Lakukan matching process, yaitu mengkombinasi minterm-minterm antara group yang bersebelahan. Minterm-minterm yang dapat dikombinasi adalah minterm yang memiliki perbedaan satu variable saja pada minterm binary atau dalam hitungan decimal memiliki selisih 2 n. Perbedaan satu variable tersebut kemudian diganti dengan dash (-).

3 Tandai dengan ( ) bila minterm tersebut telah dikombinasi dengan minterm pada kelompok yang bersebelahan. 3. Matching process diulangi terus hingga tidak lagi minterm-mintern yang tidak bisa kombinasi. 4. Kombinasi-kombinasi minterm yang tidak ditandai dengan ( ) menjadi kandidat prime implicant. Selanjutnya langkah-langkah untuk memilih diantara prime implicant yang paling minimal dalam meng-cover fungsi Boolean, yaitu : 1. Buat table Prime Implicant, dimana X-axis adalah minterm dan Y-axis adalah prime implicants.

4 2. Tandai dengan (x), pada pertemuan antara baris dan kolom yang menunjukkan komposisi dari minterm-minterm yang menyusun prime implicant. 3. Pilih prime implicant yang essential pada baris, dimana baris tersebut mengcover (x) yang hanya ada satu secara vertical. 4. Tadai semua prime implicant yang essential 5. Susun fungsi SOP dengan prime implicant yang telah terpilih. Contoh : Melanjutkan dari Fungsi boolean pada contoh sebelumnya dimana kandidatkandidat prime implicant telah ditemukan. F(A,B,C,D) = Ʃm (0,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30). Langkah-langkah untuk memilih prime implicant yaitu : 1. Buat table Prime Implicant, dimana X-axis adalah minterm dan Y-axis adalah prime implicants. Tandai dengan (x), pada pertemuan antara baris dan kolom yang menunjukkan komposisi dari minterm-minterm yang menyusun prime implicant. 2. Pilih prime implicant yang essential pada baris, dimana baris tersebut mengcover (x) yang hanya ada satu secara vertical. Tandai semua prime implicant yang essential.

5

6

7

8 3. Susun fungsi SOP dengan prime implicant yang telah terpilih. F A, B, C, D, E = m(0,2,4,6,7,8,11,12,13,14,16,18,19,29,30) = 6,7 + 10, , , ,30 + 0,2,16,18 + (0,2,4,6,8,10,12,14) = A BCD + A BC D + ABC D + BCDE + BCDE + BC E + A E a. Metode Patrick Metode Patrick merupakan metode untuk mengatasi kelemahan dari metode tabulasi apabila pada tahap kedua (Pilih prime implicant yang essential) tidak dapat meng-cover semua minterm. Pada contoh di bab metode tabulasi, semua

9 minterm Ʃm (0,2,4,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30) telah dapat di-cover oleh fungsi: F A, B, C, D, E = A BCD + A BC D + ABC D + BCDE + BCDE + BC E + A E Selain itu dapat dilihat pada table terakhir metode tabulasi, semua kotak pada baris pertama telah diberi warna kuning semua, yang berarti semua minterm telah di-cover. Bagaimana bila table terakhir yang diporeleh dari metode tebulasi seperti yang ditunjukkan pada table 3.1. Table 3.1. Essential Prime implicants Fungsi akhir, hasil metode tabulasi adalah F = w.y.z + x.y.z Dimana ada beberapa minterm yang belum ter-cover, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.1 Gambar 3.1. Minterm Minterm-minterm yang belum ter-cover adalah Ʃm(7,13,15). Prime Implicant yang meng-cover minterm-minterm tersbut adalah (6,7), (9,13), (7,15), dan (13,15). Bagaimana cara memilih diantara prime implicant tersebut yang dapat meng-cover semua minterm. Maka dibutuhkan metode Patrick untuk mengatasi masalah tersebut.

10 Langka-langkah metode patrik untuk menentukan peng-coveran yang paling minimal adalah : 1. Beri label pada baris prime implicant yang memiliki minterm yang belum tercover, missal P1, P2, P3, P4. Gambar 3.2. Prime Implicant 2. Tentukan persamaan logical dalam bentuk POS, dimana pada masing-masing sum memiliki minimal satu minterm yang sama. P = (P1 + P3)(P2 + P4)(P3 + P4) 3. Ubah bentuk POS ke bentuk SOP,dengan cara mengalikan. Beberapa aturan yang perlu diingat : a. X + XY = X b. X.X = X c. X.Y.X = X.Y Maka Persamaan bentuk SOP nya adalah : P = (P1 + P3)(P2 + P4)(P3 + P4) P = (P1 + P3)(P2P3 +P2P4 +P4P3 + P4P4) P = (P1 + P3)(P2P3 +P2P4 +P4P3 + P4) P = (P1 + P3)(P2P3 +P2P4 +P4) P = (P1 + P3)(P2P3 + P4) P = P1P2P3 + P1P4 + P3P2P3 + P3P4 P = P1P2P3 + P1P4 + P2P3 + P3P4 4. Masing-masing bentuk minterm pada SOP merupakan reprentasi dari solusi yang dapat meng-cover sisa minterm pada table di langkah pertama. Pilih minterm yang memiliki jumlah variable sedikit, yaitu P1P4, P2P3, P3P4. Sehingga ada 3 pilihan prime implicant : a. P1P4 = w xy,wyz b. P2P3 = wx z, xyz c. P3P4 = xyz, wyz

11 5. Fungsi finalnya = prime implicants essential + salah satu solusi prime imlicant. Misal dipilih solusi ketiga, maka persamaan minimal nya adalah F = w.y.z + x.y.z + x.y.z + w.y.z b. Fungsi multiple-output Pada sistem yang kompleks, rangkaian yang disusun dapat memiliki output lebih dari satu. Cara yang digunakan untuk menyusun fungsi dimana rangkaian memiliki lebih dari satu output adalah, dengan memproses fungsi input tesebut sendiri-sendiri. Contoh : Suatu system memiliki tiga output dengan fungsi masing-masing output F1 = A.B.C + A.C + A.B +B.C F2 = A.B.C + A.C + A.B +B.C F3 = A.B.C + A.B.C +A.C + A.B Apabila fungsi tersebut ingin disederhanakan dengan Kmap, maka masingmasing fungsi dilakukan penyederhanaan dengan masing-masing matriks Kmapnya, seperti ditunjukkan pada gambar 3.3 Gambar 3.3. Penyederhanaan dengan map Karnaugh Contoh : Suatu system memiliki tiga output dengan fungsi masing-masing outputnya adalah F1.F2 ; F2.F3 ; F1.F3. Dimana fungsi F1, F2, dan F3 nya adalah : F1 = Ʃm (0,3,4,5,6) F2 = Ʃm (1,2,4,6,7) F3 = Ʃm (1,3,4,5,6) Masing-masing fungsi output system diproses terlebih dahulu, yaitu ; F1.F2 = Ʃm (4,6)

12 F2.F3 = Ʃm (1,4,6) F1.F3 = Ʃm (3,4,5,6) Sehingga diperoleh fungsi output nya adalah : F1 = A.C F2 = A.B.C + A.C F3 = A.B.C + A.C + A.B c. Realisasi dengan NAND dan NOR NAND adalah operator logika yang tersusun dari AND dan NOT, sedangkan NOR adalah operator logika yang tersusun dari OR dan NOT. Symbol dan table kebenaran dari NAND dan NOR ditunjukkan pada gambar 3.4. Pada kenyataannya, rangkaian digital lebih banyak tersusun dari gerbang NAND dan NOR, dari pada gerbang AND dan OR. Karena keunggulan operator NAND dan NOR pada desain rangkaian digital. Seperti ditunjukkan pada gambar 3.5 dan gambar 3.6 Gambar tersebut menunjukkan bahwa operator NAND cocok untuk fungsi yang berbentuk SOP.

13 Gambar 3.4. Tabel kebenaran NAND dan NOR Gambar 3.5 Operator NANR dan NOR untuk SOP Sedangkan gambar 3.6 menunjukkan bahwa operator NOR cocok untuk fungsi yang berbentuk POS. Gambar 3.5 Operator NANR dan NOR untuk SOP Sehingga dibuat aturan dan prosedur untuk mengkonversi fungsi boolean dari operator AND, OR, dan NOT ke NAND dan NOR. Langkah-langkah untuk memperoleh rangkaian NAND (NOR) dari fungsi Boolean 2 level, yaitu :

14 1. Sederhanakan fungsi Boolean dan ubah kedalam bentuk SOP (POS) 2. Gambar NAND (NOR) pada setiap bagian product (sum) dari fungsi, dimana minimal memiliki 2 literal 3. Gambar single NAND (NOR) pada level kedua, dengan input berasal dari output level pertama. 4. Apabila terdapat literal yang hanya berjumlah satu pada level pertama, dibutuhkan NOT atau NAND (NOR) untuk pada level pertama sebelum menjadi input ke NAND (NOR) di level kedua. Namun bila literal tersebut adalah complement, leteral tersebut dapat langsung menjadi input NAND (NOR) di level kedua. Contoh : Implementasikan fungsi Boolean F(x,y,z) =(1,2 3,4,5,7) dengan operator NAND! Fungsi tersebut ditransformasi ke Kmap, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.7 Gambar 3.7. Implementasi fungsi bolean dengan NAND Selanjutnya diperoleh F(x, y, z) =(1, 2, 3, 4, 5, 7) F =x y + x y + z, dimana fungsi tersebut merupakan fungsi bentuk SOP. Pada gambar 3.8 menunjukkan 3 rangkaian yang dapat membentuk fungsi tersebut, dari rangkaian AND-OR, NAND-OR, dan NAND-NAND. Gambar 3.8. Rangkaian AND-OR, NAND-OR, dan NAND-NAND.

15 Contoh : Implementasikan fungsi Boolean F=(A+B)(C+D)E dengan operator NOR! Persamaan tersebut sudah berbentuk Pos, oleh karena itu, langsung menuju ke tahap implementasi, seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.9 Gambar 3.9. Rangkaian POS dengan gerbang NOR Pada rangkaian multilevel, aturan konversi dari NAND ke NOT, AND, dan OR seperti yang ditunjukkan pada gambar 3.10 Sedangkan aturan konversi dari NOR ke NOT, AND, dan OR seperti yang ditunjukkan pada gambar Gambar Rangkaian POS dengan gerbang NOR