Penyederhanaan fungsi Boolean. Gembong Edhi

Transkripsi

1 Penyederhanaan fungsi Boolean Gembong Edhi

2 TujuanPerkuliahan Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau tabel kebenaran yang diketahui Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta karnaugh Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metoda tabulasi.

3 Karnaugh maps Aljabar boolean membantu kita untuk menyederhanakan persamaan dan circuit Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi boolean kedalam form : minimal sum of products (MSP) minimal product of sums(mps) Tujuan dari penyederhanaan Menghasilkan jumlah minimal dari terms product/sum Masing-masing term akan memiliki jumlah literal minimal

4 Pengaturan ulang tabel kebenaran 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan minterms. Kita dapat melakukan perubahan minterm sini kepeta karnaugh x y minterm 0 0 x y 0 x y 0 xy xy X 0 0 x y x y xy xy Sekarang kita dapat dengan mudah melihat minterms yang memiliki literal umum Minterms pada bagian kiri dan kanan mengandung y and y Minterms pada bagian atas dan bawah mengandung 0 x and x X 0 x y x y xy xy X x y x y X xy xy 4

5 PenyederhanaanKarnaughMap Bayangkan 2 variable sum pada minterms x y + x y Setiap minterms yang terlihat pada baris atas dari K-map mengandung literal x x y x y X xy xy Apa yang terjadi bila kita melakukan penyederhanaan expresi tersebut dengan aljabar boolean x y + x y? = x (y + y) [ Distributive ] = x [ y + y = ] = x [ x = x ] 5

6 Contoh 2 variabel Contoh 2 : untuk expression x y+ xy Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimana y tidak dikomplemenkan Kita dapat menyederhanakan x y+ xy to just y x y x y X xy xy Bagaimana jika x y + x y + xy? Kita memiliki x y + x y pada baris atas, yang dapat disederhanakan menjadi x Ada juga x y + xy bagian kanan yang dapat kita sederhanakan menjad iy Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi x + y x y x y X xy xy 6

7 Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z m 0 m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 x + y + z x + y + z x + y +z x + y +z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z M 0 M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 7

8 Karnaugh Map 3 variabel untuk 3 variabel dengan input x,y,z, susunannya adalah sebagai berikut : x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz m 0 m m 3 m 2 X m4 m 5 m 7 m 6 Cara lain untuk menyusun Kmap 3 variabel ( pilih yang anda sukai ) x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz m 0 m m 3 m 2 X m 4 m 5 m 7 m 6 8

9 Why the funny ordering? x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz x y z + x yz = x z(y + y) = x z = x z. x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz x y z + xy z + x yz + xyz = z (x y + xy + x y + xy) = z (y (x + x) + y(x + x)) = z (y +y) = z 9

10 K-mapsdari sebuah tabel kebenaran Kita dapat mengisi K-map langsung dari sebuah tabel kebenaran Output dari barisipada tabel dimasukkan pada kotak m i pada K-map Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map ditukar x y z f(x,y,z) X 0 m 0 m m 3 m 2 X m 4 m 5 m 7 m 6 0

11 Membaca MSP darik-map Kita dapat menemukan expression SoP minimal Setiap kotak sesuai dengan term of product Produk ditentukan dengan mencari literal umum padakotak X 0 x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz y z xy F(x,y,z)= y z + xy

12 Mengelompokkanminterms Pengelompokanpadak-map Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari,2,4, atau 8 dari nilai Semua nilai pada map harus dimasukkan paling tidak pada persegipanjang. Jangan memasukkan nilai 0 Setiap kelompok terdiri dari satu term of product X 0 2

13 PIs AND EPIs (/3) Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita harus mendapatkan : jumlah minimum literals per product term Jumlah minimum product terms Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bila mungkin Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants ) Implicant : product term yang dapat digunakan untuk mengkover minterms dari sebuah fungsi CS200 Karnaugh Maps 3

14 PIs AND EPIs (2/3) Prime implicant (PI): product term yang didapatkan dari menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan dari kotak yang terdapat pada map. ( kemungkinan pengelompokan terbesar ) Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map O P CS200 Karnaugh Maps 4

15 Tidak ada redundant groups: PIs AND EPIs (3/3) O P Essential prime implicants Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdiri setidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicant yang lain. CS200 Karnaugh Maps 5

16 K-map Simplificationof SoP Expressions Mari kita sederhanakan persamaan berikut f(x,y,z) = xy + y z + xz Kita harus mengkonversi persamaan tersebut ke minterms form Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukan mintermsnya Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm x y z f( x, y, z) Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari fungsi diatas : f(x,y,z) = x y z + xy z + xyz + xyz = m + m 5 + m 6 + m 7 6

17 UnsimplifyingExpressions Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan menggunakan aljabar boolean Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang hilang xy + y z + xz = (xy ) + (y z ) + (xz ) = (xy (z + z)) + (y z (x + x)) + (xz (y + y)) = (xyz + xyz) + (x y z + xy z) + (xy z + xyz) = xyz + xyz + x y z + xy z = m +m 5 +m 6 +m 7 Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak menyederhanakan Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map 7

18 ExampleK-map Pada contoh kita, kita bisa menuliskan f(x,y,z) dengan cara sbb: f(x,y,z) = x y z + xy z + xyz + xyz x y z x y z x yz x yz X xy z xy z xyz xyz f(x,y,z) = m + m 5 + m 6 + m 7 m 0 m m 3 m 2 X m 4 m 5 m 7 m 6 Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkan pada0k-map dibawah 0 0 ini X 0 8

19 FIGURE 4-Karnaugh maps and truth tables for (a) two, (b) three, and (c) four variables. Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.

20 FIGURE 4-2 Examples of looping pairs of adjacent s. Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.

21 FIGURE 4-4 Examples of looping groups of eight s (octets). Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.

22 Latihansoal Simplify the sum of minterms m + m 3 + m 5 + m 6 X m 0 m m 3 m 2 X m 4 m 5 m 7 m 6 22

23 Solusi Hijau dan merah muda overlap Minterm m 6 ditulis lengkap 0 0 X 0 0 Hasil minimal sum of product adalahsbb : x z+ y z+xyz 23

24 K-maps can be tricky! 0 0 X X 0 y z + yz + xy 0 0 X 0 y z + yz + xz 24

25 4 variable K-maps f(w,x,,) Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik Pengelompokan mirip dengan 3 variable, tetapi : Kita bisa mengelompokkan persegipanjang,2,4,8,6 minterms 25

26 4 variable K-maps w x y z w x y z w x yz w x yz w xy z w xy z w xyz w xyz W wxy z wxy z wxyz wxyz wx y z wx y z wx yz wx yz X m 0 m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 X W m8 m 9 m m 0 26

27 Contoh : Simplify m 0 +m 2 +m 5 +m 8 +m 0 +m 3 The expression is already a sum of minterms, so here s the K-map: X W 0 0 m 0 m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 X W m8 m 9 m m X W 0 0 MSP = MSP x z + xy z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z W w x y z w x y z w x y z w x y z X 27

28 Contoh : Simplify m 0 +m 2 +m 5 +m 8 +m 0 +m 3 The expression is already a sum of minterms, so here s the K-map: X W 0 0 m 0 m m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 m 2 m 3 m 5 m 4 X W m8 m 9 m m X W 0 0 MSP = MSP x z + xy z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z w x y z W w x y z w x y z w x y z w x y z X 28

29 FIGURE 4-8 expression. Don t-care conditions should be changed to 0 or to produce K-map looping that yields the simplest Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.

30 ContohKasus Mari kita merancang sirkuit logika yang mengendalikan pintu lift di sebuah bangunan tiga lantai. sirkuit ini memiliki empat masukan. M adalah sebuah sinyal logika yang menunjukkan saat lift bergerak (M = ) atau berhenti (M = 0). F, F2, dan F3 adalah indikator sinyal lantai yangnormally LOW, danf,f2,f3menjadi HIGHhanya ketika lift diposisikan pada tingkat dari lantai tertentu. Sebagai contoh, ketika elevator sedangberadadilantai dua, F2 = dan F = = F3 0. Output sirkuit merupakan sinyalopen, yangnormally LOWdan akanmenjadi High ketika pintu lift akan dibuka. Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.

31 Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory Moss Digital Systems: Principles and Applications, 9e Copyright 2004 by Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey All rights reserved.