BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini dielasan landasan teori dari transformasi wavelet ususnya Daubecies yan aan diperunaan dalam pembuatan apliasi untu peramalan cura uan. Untu membantu dalam merancan user interface dan arus ontrol dari apliasi yan aan diasilan, maa terlebi daulu dielasan landasaran teori perancanan State Transition Diaram... Sinyal... Penertian Freuensi Kebanyaan dari sinyal dalam pratenya, adala sinyal domain-watu dalam format mentanya. Berarti, apapun sinyal yan diuur adala funsi watu, dimana etia ita memplot sala satu sumbu denan variabel watu (variabel independen) maa variabel lainnya (variabel dependen) biasanya adala amplitudo. Ketia ita memplot sinyal domain-watu, ita mendapatan representasi watu-amplitudo dari sinyal. Serinali informasi yan pentin tersembunyi di dalam freuensi sinyal. Spetrum freuensi sinyal pada dasarnya adala omponen freuensi (spetral freuensi) sinyal yan menunuan freuensi apa yan muncul. Freuensi menunuan tinat perubaan. Jia suatu variabel serin beruba, maa disebut berfreuensi tini. Namun ia tida serin beruba, maa disebut

2 7 berfreuensi renda. Jia variabel tersebut tida beruba sama seali, maa disebut tida mempunyai freuensi (nol freuensi). Freuensi diuur dalam satuan cycle/deti atau Hertz (Hz). Gambar beriut menunuan conto elomban sinus berfreuensi Hz, Hz dan 5 Hz. Gambar. Sinyal elomban sinus freuensi Hz Gambar. Sinyal elomban sinus freuensi Hz Gambar. Sinyal elomban sinus freuensi 5 Hz

3 8... Transformasi Fourier Untu menuur freuensi ataupun mendapatan isi freuensi sinyal, diunaan transformasi Fourier. Ketia transformasi Fourier sebua sinyal domain-watu diambil, maa didapat representasi freuensi-amplitudo sinyal berupa plot freuensi di sala satu sumbu dan amplitudo di sumbu yan lain. Sumbu freuensi bermula dari nilai nol nai ina ta ina. Untu setiap freuensi, ita punya nilai amplitudo. Conto transformasi Fourier dari sinyal freuensi 5 Hz ditunuan ole ambar beriut. Gambar.4 Transformasi Fourier dari sinyal freuensi 5Hz Transformasi Fourier adala transformasi yan reversible, dimana dari sinyal asal dapat dibentu sinyal asil transformasinya dan sebalinya, dari sinyal asil transformasi dapat dibentu sinyal asalnya. Aan tetapi, tida ada informasi freuensi yan tersedia dalam sinyal domain-watu dan tida ada informasi watu yan tersedia dalam sinyal Transformasi Fourier. Dari sinyal transformasi Fourier tersebut, didapatan informasi freuensi dari sinyal, yan meninformasian berapa banya tiap-tiap freuensi yan muncul dalam sinyal, tapi tida meninformasian watu emunculan omponen freuensi tersebut. Aan tetapi informasi ini tida diperluan ia sinyal tersebut stationer.

4 9... Sinyal Stationer Sinyal stationer adala sinyal yan isi freuensinya tida beruba dari watu e watu. Denan demiian, informasi menenai watu emunculan omponen freuensi tida diperluan, arena semua omponen freuensi muncul di setiap watu. Conto : sinyal x(t) = cos(* **t) + cos(* *5*t) + cos(* *5*t) + cos(* **t) adala sinyal stationer arena memilii freuensi, 5, 5 dan Hz di setiap watu. Gambar.5 Sinyal x(t) = cos(* **t) + cos(* *5*t) + cos(* *5*t) + cos(* **t) Transformasi Fourier dari sinyal tersebut adala sebaai beriut. Gambar.6 Transformasi Fourier sinyal x(t) = cos(* **t) + cos(* *5*t) + cos(* *5*t) + cos(* **t)

5 Pada Gambar.6 terdapat 4 bua omponen spetrum yan sesuai denan freuensi, 5, 5 dan Hz...4. Sinyal Non-Stationer Bertola belaan denan sinyal pada Gambar.5, ambar beriut adala conto sinyal non-stationer, dimana freuensinya beruba-uba secara onstan dalam watu. Sinyal ini dienal denan nama sinyal cirp. Gambar.7 Sinyal non-stationer Beriut adala conto sebua sinyal non-stationer denan 4 omponen freuensi yan berbeda pada 4 interval watu yan berbeda pula. Interval ms memilii sinusoid Hz, interval 6 ms memilii sinusoid 5 Hz, interval 6 8 ms memilii sinusoid 5 Hz dan interval 8 ms memilii sinusoid Hz.

6 Gambar.8 Sinyal non-stationer denan 4 omponen freuensi Transformasi Fourier dari sinyal tersebut ditampilan dalam ambar beriut. Gambar.9 Transformasi Fourier sinyal non-stationer

7 Amplitudo dari omponen freuensi yan lebi tini punya nilai yan lebi besar daripada omponen freuensi renda, arena freuensi tini berlansun lebi lama ( dalam watu ms) daripada freuensi renda ( dalam watu ms ). Jia ita peratian Gambar.5, maa semua omponen freuensi ( freuensi Hz, 5 Hz, 5 Hz dan Hz ) muncul pada semua periode sinyal. Namun ia peratian Gambar.8, omponen freuensi tini muncul pada interval pertama dan omponen freuensi renda muncul pada interval terair. Pada Gambar.7, omponen freuensi ua beruba dari freuensi renda e freuensi tini. Pada sinyal non-stationer, omponen-omponen freuensi tida muncul di semua periode sinyal. Gambar.6 dan Gambar.9 adala asil transformasi Fourier dari Gambar.5 dan Gambar.8. Kedua ambar tersebut menunuan emiripan dalam 4 omponen spetrum tepat pada freuensi yan sama, yaitu Hz, 5 Hz, 5 Hz dan Hz mesipun edua sinyal asal tidala sama. Hal ini menunuan elemaan dari transformasi Fourier yan tida bisa memberian informasi menenai watu emunculan omponen freuensi (omponen spetrum), anya memberian informasi menenai nilai omponen spetrum yan muncul. Ketia loalisasi watu diperluan, maa arus diunaan transformasi yan menasilan representasi watu-freuensi. Transformasi Wavelet adala sala satu transformasi yan dapat menyediaan informasi watu dan freuensi secara bersamaan dan ua memberian representasi watu-freuensi dari sinyal.

8 .. Wavelet Wave didefinisian sebaai sebua funsi watu yan berera (oscillatin), seperti urva sinus. Wave menembanan sinyal ataupun funsi dalam bentu urva sinus yan tela terbuti sanat beruna untu dalam matematia, ilmu penetauan, teni mesin terutama untu fenomena periodi atau stationer. Wavelet adala sebua wave ecil, yan dimana enerinya teronsentrasi dalam watu untu menyediaan alat bantu analisis fenomena esementaraan, non-stationer atau perubaan watu. Karateristi wave berera masi tetap dimilii, namun ua dapat mensimulasian analisis watu-freuensi denan dasar matematia yan flesibel. Hal ini diilustrasian dalam Gambar. dimana wave (urva sinus) berera denan amplitudo sama pada - t dan maa dari itu memilii eneri yan ta berina, denan wavelet yan memilii eneri berina teronsentrasi pada suatu titi. Gambar. Sebua wave dan wavelet Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p) Sebua sinyal atau funsi f(t) dapat dianalisa, dielasan atau diproses ia dinyataan dalam deomposisi linier denan = l f ( t) a l ψ ( t) l

9 4 dimana l adala index bilanan untu penumlaan finite (berina) atau infinite (ta berina, a l adala expansion coefficient dan ψ (t) adala funsi impunan dari t yan dinamaan expansion set. Jia expansion set tersebut uni, maa set tersebut dinamaan basis. Jia basis tersebut ortoonal, dimana : ψ ( t), ψ ( t) ψ ( t) ( t) dt = l, l = ψ l maa oefisien-oefisien tersebut dapat diitun denan inner product menadi a = = f ( t), ψ ( t) f ( t) ψ ( t) dt. Untu espansi wavelet, sistem denan dua parameter diembanan seina = f a, ψ ( t) (.) ( t), dimana maupun adala index bilanan dan ψ ( ) adala wavelet expansion function yan biasanya membentu basis ortoonal. l, t Expansion coefficients a, dinamaan transformasi wavelet disrit/discrete wavelet transform (DWT) dari f(t) dan f(t) pada persamaan (.) adala invers transform.... Sistem Wavelet Terdapat beberapa sistem wavelet yan dapat diperunaan, namun semuanya memilii tia arateristi umum sebaai beriut : a. Sistem wavelet adala impunan dari buildin blocs untu membanun atau merepresentasian sinyal atau funsi.

10 5 b. Transformasi wavelet meloalisasi watu-freuensi dari sinyal. Ini berarti ebanyaan eneri sinyal direpresentasian denan bai ole beberapa expansion coefficients, a,. c. Peritunan oefisien dari sinyal dapat dilauan secara efisien. Kebanyaan transformasi wavelet (impunan dari expansion coefficients) memilii omplesitas operasional O(N), dimana banya peralian bilanan desimal dan penumlaan bertamba secara linier seirin pertambaan panan sinyal. Namun, transformasi wavelet lainnya memilii omplesitas O(N lo (N)). Terdapat tia arateristi tambaan (Sweldens, 996; Daubecies, 99) transformasi wavelet yan lebi spesifi : a. Sistem wavelet didapatan dari sebua scalin function atau wavelet function denan scalin dan translasi sederana. Parameterisasi dua dimensi didapatan dari sebua funsi (serin dinamaan eneratin wavelet atau moter wavelet) ψ(t) : / ψ ( t) = ( t ), Z (.), ψ Dimana Z adala impunan semua bilanan bulat dan fator / menaa onstanta normal independen dari sala. b. Hampir semua sistem wavelet memenui ondisi multiresolusi. Ini berarti bawa ia impunan sinyal dapat direpresentasian denan penumlaan bobot dari φ(t-) maa impunan sinyal yan lebi luas dapat direpresentasian denan penumlaan bobot dari φ(t-). Atau, ia transformasi sinyal dasar dan transalasi dilauan setena ali lebarnya,

11 6 maa asilnya aan tepat merepresentasian elas sinyal yan lebi besar atau baan memberian periraan yan lebi bai dari sinyal apapun. c. Koefisien resolusi bawa dapat dialulasian dari oefisien resolusi atas denan aloritma menyerupai strutur poon yan dinamaan filter ban. Hal ini memuninan alulasi yan sanat efisien dari expansion coefficients (yan ua dienal denan transformasi wavelet disrit) dan menubunan transformasi wavelet denan pemrosesan sinyal. Operasi translasi dan scalin adala dasar untu banya proses pembanitan sinyal dan prati sinyal, dan penunaannya adala sala satu alasan menapa wavelet merupaan funsi transformasi yan efisien. Gambar. memperliatan representasi rafis translasi dan scalin sebua moter wavelet denan persamaan (.). Gambar. Translasi dan scalin wavelet ψ D4 Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p4)

12 7 Seirin perubaan nilai, loasi wavelet berera sepanan sumbu orizontal, seina memuninan transformasi tersebut secara esplisit merepresentasian loasi suatu eadian dalam watu atau ruan. Seirin perubaan nilai, bentu wavelet beruba dalam sala, seina memuninan representasi dari detil atau resolusi. Selain moter wavelet, funsi basis lainnya yan diperluan dalam membentu sistem wavelet adala scalin function ϕ (t). Denan menombinasian scalin function dan wavelet function, maa sinyal yan lebi besar dapat direpresentasian denan : = = = f ( t) = c ϕ ( t ) + d, ψ ( t ). (.) Transformasi wavelet terbuti efisien dan efetif dalam menanalisa banya sinyal, diarenaan : a. Uuran dari expansion coefficients wavelet a, pada persamaan (.) atau d, pada persamaan (.) turun secara drastis untu nilai dan pada sinyalsinyal luas. Karateristi ini dinamaan unconditional basis seina wavelet sanat efetif untu ompresi sinyal dan ambar, denoisin dan detesi. b. Espansi wavelet memuninan desripsi loal yan lebi aurat, muda diintepretasian dan pemisaan arateristi omponen sinyal. c. Wavelet dapat disesuaian dan beradaptasi. Kita dapat memili enis wavelet yan sesuai terantun sinyal dan apliasi yan diembanan. d. Wavelet yan diasilan dan peritunan dari transformasi wavelet disrit dapat dioperasian denan omputer diital, tanpa operasi turunan ataupun interal namun anya melibatan operasi peralian dan pertambaan.

13 8... Scalin Function Permasalaan utama dari sistem wavelet adala merancan funsi-funsi dasar untu sistem wavelet. Perancanan funsi dasar ini didasaran pada onsep multiresolution. Konsep resolusi awalnya dirancan untu merepresentasian sinyal dimana sebua event pada sinyal dipeca edalam bentu detil-detil yan lebi rinci, namun beremban seina dapat merepresentasian sinyal dimana dibutuan desripsi watu-freuensi atau watu-sala baan etia onsep resolusi tida diperluan. Didefinisian impunan scalin function dari translasi scalin function dasar ϕ ( t) = ϕ( t ) Z ϕ L. Subimpunan dari L (R) asil perentanan funsi tersebut didefinisian sebaai v = Span{ ϕ ( )} t untu semua bilanan mulai dari - sampai denan +. Ini berarti = a ( t) untu tiap f ( t) f ( t) ϕ v Uuran dari subimpunan dapat diperluas denan menuba sala watu dari scalin function. Kelompo funsi dimensi diasilan dari scalin function dasar melalui scalin dan transalasi / ϕ, ( t) = ϕ( t ) dimana perentanan (span over) adala v = Span{ ϕ ( t)} = Span{ ϕ, ( t)} untu semua bilanan Z.Ini berarti ia f ( t) v, maa dapat dinyataan dalam

14 9 ϕ = a ( t + f ( t) ϕ ). Untu >, perentanan tersebut dapat menadi lebi lebar arena ( ) menadi lebi sempit dan ditranslasian dalam lana-lana yan lebi ecil., t Untu <, ϕ ( ) menadi lebi lebar dan ditranslasian dalam lana-lana yan, t lebi besar. Maa, scalin function yan diperlebar ini dapat merepresentasian anya informasi bentu asar dan ruan yan diperluas menadi lebi ecil. Untu lebi menelasan onsep sala dan resolusi, dirumusan persyaratan dasar dari multiresolution analysis (Mallat, 989) yaitu a nestin of te spanned spaces sebaai... v L v v v v... atau v v + untu semua Z dimana {}, v L. v = = Ruan yan menandun resolusi sinyal tini ua aan menandun resolusi renda. Karena definisi dari v, ruan-ruan tersebut arus memenui persyaratan scalin f ( t) v f (t) v + yan memastian anota-anota dalam ruan anyala anota-anota ruan beriutnya denan nilai sala tertentu.

15 Gambar. Perentanan ruan vetor nested denan scalin function Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p) Nestin perentanan ϕ ( t ), dinyataan denan v seperti terliat pada persamaan di atas diilustrasian dalam Gambar. diperole denan syarat bawa ϕ ( t) v, yan berarti ia ϕ (t) terandun dalam v, maa ϕ (t) ua terandun dalam v, impunan yan diperluas denan ϕ ( t). Ini berarti ϕ (t) dapat dinyataan denan penumlaan berbobot ϕ ( t) ϕ ( t ) = ( n) ϕ(t n), n Z (.4) n dimana oefisien (n) adala deret bilanan riil yan dinamaan scalin function coefficients atau scalin filter atau scalin vector dan mempertaanan norm dari scalin function denan nilai sala. Persamaan berulan (recursive) ini adala dasar bai teori scalin function. Persamaan tersebut dienal ua denan nama yan berbeda untu menelasan interpretasi ataupun sudut pandan yan berbeda, yaitu persamaan refinement, persamaan multiresolution analysis (MRA) atau persamaan dilation.

16 Daubecies scalin function ditunuan seperti pada Gambar. dan + + persamaan (.4) terpenui untu oefisien () =, () =, 4 4 () =, () = 4 4. Gambar. Daubecies scalin function, N=4 Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p)... Wavelet Function Fitur pentin dari sinyal dapat dielasan atau diparameterisasi lebi bai, buan denan penunaan ϕ ( ) dan menamba nilai untu meninatan uuran dari, t subruan diperluas ole scalin function, tetapi melalui impunan funsi ψ ( ), t yan memperlebar selisi antar ruan asil perentanan scalin function pada berbaai nilai sala. Himpunan funsi tersebut dinamaan wavelet function. Ada beberapa euntunan mensyaratan bawa scalin function dan wavelet function arus ortoonal. Funsi basis ortoonal memuninan untu mempermuda alulasi expansion coefficients dan penerapan teorema Parseval yan memuninan partisi dari eneri sinyal dalam domain transformasi wavelet.

17 Jia scalin function dan wavelet function membentu basis ortoonal, terdapat teorema Parseval yan menubunan eneri sinyal (t) denan eneri dalam setiap omponen dan oefisien waveletnya. Maa dari itu (Donoo, 99) perentanan wavelet dari sinyal memilii nilai yan turun denan cepat seina sinyal dapat direpresentasian secara efetif ole seumla ecil dari perentanan wavelet tersebut. Komplemen ortoonal V dalam + V dinyataan sebaai W. Ini berarti bawa semua anota V ortoonal teradap semua anota W. Kita syaratan ϕ, ( t), ψ, l ( t) = ϕ, ( t) ψ, l ( t) dt = untu semua,, l Z. Hubunan antar subimpunan yan berbeda-beda disaian sebaai beriut. Diformulasian nestin impunan-impunan yan diperluas V o V V... L. Didefinisian subimpunan perentanan wavelet W V = V W yan dapat diabaran lebi lanut V = V W W Maa dapat ditulis. L = V W W... (.5) dimana V adala impunan perentanan awal ole scalin function ϕ ( t ). Gambar.4 memperliatan nestin impunan scalin function V untu berbaai sala dan baaimana impunan wavelet adala disoint differences (ecuali untu anota nol) atau omplemen ortoonal.

18 Gambar.4 Himpunan vetor scalin function dan wavelet function Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p5) Karena wavelet ini berada dalam impunan yan diperluas ole scalin function yan lebi ecil beriutnya, W V, maa dapat direpresentasian denan penumlaan berbobot dari scalin function ϕ( t) asil translasi, denan ψ ( t ) = ( n) ϕ(t n), n Z (.6) n untu beberapa impunan oefisien ( ). Dari persyaratan bawa wavelet merentanan selisi atau impunan omplemen ortoonal dan ortoonalitas bilanan mentranslasi wavelet (atau scalin function), maa oefisien wavelet berubunan denan oefisien scalin function yaitu n n ( n) = ( ) ( ). (.7) n Funsi yan diasilan ole persamaan (.5) memberian bentu dasar atau moter wavelet ψ (t) untu elompo expansion functions dari bentu / ψ, ( t) = ψ ( t ) dimana adala sala t ( adala lo dari sala), adala translasi dalam t, dan / mempertaanan norm L dari wavelet pada sala-sala yan berbeda.

19 4 Wavelet Daubecies yan berubunan denan scalin function pada Gambar.4 diperliatan pada Gambar.5. Koefisien dalam persamaan (.6) adala + + ( ) =, () =, () =, () = yan memenui persamaan (.7). Gambar.5 Wavelet Daubecies, N=4 Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p6) Tela dirancan impunan funsi ϕ (t) dan ψ ( ), t yan dapat merentan semua L ( R). Berdasaran L = V W W..., setiap funsi ( t) L ( R) dapat ditulis = = = ( t) = c( ) ϕ ( t) + d(, ) ψ ( t (.8), ) sebaai seranaian perentanan melalui scalin function dan wavelet function. Dalam perentanan tersebut, penumlaan pertama menasilan sebua funsi beresolusi renda atau periraan asar dari (t). Untu setiap enaian nilai index dalam penumlaan edua, resolusi yan lebi tini atau lebi bai ditambaan, seina menamba tinat detil.

20 5 Jia bentu funsi perentanan adala basis ortonormal atau tit frame, maa oefisien tersebut dapat diitun denan inner product yaitu dan = c( ) = c ( ) = ( t), ϕ ( t) ( t) ϕ ( t dt d ) = (, ) = d(, ) = ( t), ψ, ( t) ( t) ψ ( t) dt. Koefisien d(, ) adan ditulis sebaai () d untu meneasan perbedaan translasi watu index dan parameter sala. Koefisien c () adan ditulis sebaai c () atau c (, ) ia sala awal umum yan diperunaan selain = untu batas bawa penumlaan funsi pada persamaan (.8)...4. Filter Bans Dalam banya apliasi, tida perlu untu terlibat lansun denan scalin function ataupun wavelet function. Hanya oefisien ( n ), ( n ) dalam persamaan (.4) dan (.6), serta c( ), d ( ) dalam persamaan (.8) yan perlu diperatian, dan oefisien-oefisien tersebut dapat ditampilan masin-masin sebaai filter diital dan sinyal diital (Gopinat et al., 99; Vaidyanatan, 99). Aar dapat lansun menunaan oefisien transformasi wavelet, arus diperole ubunan antara expansion coefficients pada sala yan lebi renda denan sala yan lebi tini. Dimulai denan persamaan recursive dasar = ( n) (t ϕ ( t ) ϕ n) (.9) n denan asumsi terdapat solusi yan uni, dilauan scalin dan translasi variabel watu untu menasilan

21 6 ϕ ( t ) = + ( n) ϕ(( t ) n) = ( n) ϕ( t n n n) dimana, setela menuba variabel m = + n, menadi + ϕ ( t ) = ( m ) ϕ( t m). Jia ita notasian v sebaai v emudian m { / ( t )} = Span ϕ ( + + = c ( ) ) / ( t f ( t) v f ( t) ) + + ϕ dapat dinyataan pada sala + anya denan scalin function dan tanpa wavelet. Pada suatu sala resolusi renda, wavelet diperluan untu detil yan tida tersedia pada sala. Terdapat / / c ( ) ϕ ( t ) + d ( ) ψ ( t f ( t) = ) dimana syarat / mempertaanan unity norm dari funsi basis pada sala yan berbeda-beda. Jia ϕ ( ) dan ψ ( ) adala ortonormal, oefisien sala level, t diperole lewat inner product, t / c ( ) = f ( t), ϕ, ( t) = f ( t) ϕ( t ) dt dimana denan menanti persamaan (.9) dan menuar penumlaan dan interalnya, dapat ditulisan sebaai ( + + ( m ) f ( t) ) / ϕ ( t c ( ) = m) dt m aan tetapi interal dari inner product denan scalin function pada sala + menasilan

22 c ( ) = ( m ) c ( m). (.) + m Hubunan yan sesuai denan oefisien wavelet adala d ( + m m ) = ( m ) c ( ). (.) Filterin dan Down-Samplin atau Decimatin Dalam ilmu pemrosesan sinyal diital, filterin (penyarinan) sederet bilanan (sinyal input) diperole denan menoperasiannya denan impunan ana yan lain yan dinamaan filter coefficients (oefisien filter), taps, weits, atau impulse response. Untu deret input x(n) dan oefisien filter (n), deret output y(n) diperole dari y ( n) = N = ( ) x( n ) Jia umla oefisien filter N adala finite (berina), filter tersebut dinamaan fitler Finite Impulse Response (FIR). Jia umlanya infinite (tida berina), maa dinamaan Infinite Impulse Filter (IIR). Masala perancanan yan diadapi adala memili (n) seina didapatan efe yan diarapan, antara lain untu menilanan noise atau memisaan sinyal (Oppeneim et al., 989; Pars et al., 987). Dua operasi dasar dalam filter multirate adala down-sampler dan up-sampler. Down-sampler menerima sinyal x(n) sebaai input dan menasilan output y ( n) = x(n) seperti pada Gambar.6.

23 8 Gambar.6 Down-sampler atau decimator Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p) Pada down-samplin, terdapat emuninan eilanan informasi arena setena dari data dibuan. Aibat yan ditimbulan, dalam domain freuensi (transformasi Fourier) dinamaan aliasin yan menyataan bawa asil dari eilanan informasi ini adala pencampuran dari omponen freuensi (Oppeneim et al.,989; Pars et al.,987). Hanya ia sinyal awalnya band-limited (setena dari oefisien Fouriernya adala nol) maa tida ada eilanan informasi yan disebaban ole down-samplin. Persamaan (.) dan persamaan (.) membaas down-samplin dan filterin diital. Persamaan tersebut menunuan bawa scalin coefficients dan wavelet coefficients pada tinat sala yan berbeda dapat diperole denan menoperasian expansion coefficients pada sala denan oefisien recursive invers-watu ( n) dan ( n ) emudian melauan down-samplin atau decimatin untu menasilan expansion coefficients pada sala beriutnya. Atau dapat diataan ua bawa oefisien pada sala difilter ole dua filter diital FIR denan oefisien ( n) dan ( n ) setela down-samplin memberian expansion coefficients dan wavelet asar beriutnya. Implementasi edua persamaan c () dan d () diatas diambaran pada Gambar.7 dimana tanda menunuan down-samplin bernilai dan ambar ota lainnya menunuan filterin FIR atau penoperasian denan ( n) dan ( ). n

24 9 Untu mempermuda penulisan, diunaan (n) dan ( ) n untu menunuan oefisien scalin function untu persamaan perentanan (.9). Gambar.7 Analysis ban dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p) Filter FIR yan diimplementasian denan ( n) adala lowpass filter dan yan diimplementasian denan ( ) adala ipass filter. Jumla data yan diproses n ole sistem ini menadi anda denan penunaan filter, emudian dibai dua denan penunaan decimation embali e umla asal. Ini berarti ada emuninan bawa tida ada informasi yan ilan dan memuninan untu menembalian sinyal asal denan lenap. Aliasin yan teradi di upper ban dapat dibatalan denan sinyal dari lower ban. Inila aasan dibali perfect reconstruction dari teori filter ban (Vaidyanatan, 99; Fliee, 994). Gambar.8 menunuan pemisaan, filterin dan decimation yan dapat diulan pada scalin coefficients untu menasilan strutur dua sala. Menulani lana-lana ini pada scalin coefficients dinamaan melauan iterasi filter ban. Men-iterasi filter ban seali lai menasilan strutur tia tinat seperti pada Gambar.9.

25 Gambar.8 Analysis tree dua tinat denan dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p4) Gambar.9 Analysis tree tia tinat denan tia band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p5) Reasi freuensi dari filter diital adala transformasi Fourier watu-disrit dari reasi (oefisien) impulse (n), yaitu n= iω n H ( ω ) = ( n) e. Besar dari funsi omples ini memberian ratio dari output teradap input dari filter untu sampel urva sinus pada freuensi ω dalam satuan radian per deti. Tinat pertama dari dua ban membai spetrum dari ( ) c + menadi lowpass dan ipass band, menasilan scalin coefficients dan oefisien wavelet pada sala yan lebi renda c () dan (). d Tinat edua emudian membai lowpass band menadi lowpass band dan ipass band lainnya yan lebi renda. Tinat pertama membai spetrum menadi dua baian yan sama. Tinat edua membai setena spetrum yan lebi renda menadi seperempat dan seterusnya. Maa diasilan

26 impunan nilai loaritmi dari bandwidt seperti pada Gambar.. Konsep ini dinamaan filter Constant-Q dalam peristilaan filter ban arena ratio dari lebar band teradap pusat freuensi band selalu onstan. Gambar. Band freuensi untu analysis tree Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p5)..6. Filterin dan Up-Samplin atau Stretcin Reonstrusi sinyal asal denan oefisien sala dapat dilauan denan ombinasi dari scalin function dan oefisien wavelet pada resolusi yan lebi asar. Hal ini dimuninan meninat sinyal dalam scalin function + f t) v. Funsi ini dapat ditulis dalam bentu scalin function sebaai ( + ( + + = c ( ) ) / ( t + impunan f ( t) ϕ ) (.) atau dalam bentu sala beriutnya (yan membutuan wavelet) sebaai / / c ( ) ( t ) + d ( ) ψ ( t f ( t) = ϕ ). (.) Substitusi persamaan (.9) dan persamaan (.6) e dalam persamaan (.) menasilan ( + + c ( ) ( n) ) / ϕ( t n + f ( t) = ) n ( + + ( ) ( n) ) / ψ ( t d n). n

27 Karena semua funsi tersebut ortonormal, melauan peralian persamaan (.) dan + funsi diatas denan ϕ( t ' ) dan interal menasilan oefisien c ( m) ( m) + d ( m) ( c ( ) = m). (.4) + m m Untu perpaduan dalam filter ban, terdapat deret up-samplin atau stretcin pertama, diiuti filterin. Berarti input edalam filter memilii nilai nol yan disisipan diantara tiap syarat-syarat awal. Atau dapat ditulis ua y ( n) = x( n) dan y(n + ) = dimana sinyal input direntanan mencapai ali panan awal dan nilai nol disisipan. Up-samplin atau stretcin dapat dilauan denan nilai fator selain dua, dan edua persamaan diatas dapat saa memilii nilai x(n) dan terbali.jelas bawa up-samplin tida menyebaban eilanan informasi. Persamaan (.4) melauan up-samplin teradap deret oefisien sala yaitu (), c yan berarti menandaan panannya denan mensisipan nilai nol diantara tiap term, emudian menoperasiannya denan scalin coefficients (n). Hal yan sama dilauan pada deret wavelet coefficients sala dan asilnya diumlaan untu menasilan scalin function coefficient +. Strutur ini diperliatan pada Gambar. dimana ( n) = ( ) dan n) = ( ). Kombinasi proses ini dapat diterusan pada n ( n level-level manapun denan menabunan oefisien sala wavelet yan sesuai. Hasil two-scale tree diperliatan pada Gambar..

28 Gambar. Syntesis ban dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p7) Gambar. Syntesistree dua tinat untu dua band Sumber: Introduction to Wavelets and Wavelets Transform A Primer(998,p7)..7. Transformasi Forward dan Inverse Wavelet Proses forward dan inverse dari transformasi wavelet dapat diterapan menunaan seumla up-sampler, down-sampler dan filter bans dua band yan berulan (recursive). Koefisien lowpass-filter diasosiasian denan scalin function. Output dari tiap lowpass-filter adala c () atau omponen approsimasi dari sinyal awal untu level dari tree tersebut. Koefisien ipass-filter diasosiasian denan wavelet function dimana = ( ). Output dari tiap ipass-filter adala () d atau omponen detil dari sinyal asal. Nilai ( ) c + dari level sebelumnya diperunaan untu menasilan nilai c () dan () d baru untu level tree beriutnya.

29 4 Gambar. Transformasi wavelet forward Transformasi wavelet inverse melauan operasi yan berebalian dari transformasi wavelet forward. Expansion coefficients diabunan untu mereonstrusi sinyal asal. Nilai oefisien c () dan () d yan sama dalam transformasi forward diperunaan, namun denan cara yan berebalian. Proses ini berlansun menuruni caban dari tree dan menabunan sinyal approsimasi dan detil menadi sinyal approsimasi denan level detil yan lebi tini. Sinyal aan diinterpolasi dimana nilai nol disisipan diantara tiap sampel approsimasi dan detil dan sinyal emudian dilewatan pada lowpass-filter dan ipass-filter. Nilai nol tersebut emudian diantian denan nilai periraan yan didapatan dari convolution. Output dari filter emudian diumlaan untu membentu oefisien approsimasi untu resolusi level beriutnya yan lebi tini. Himpunan oefisien approsimasi air pada level tree palin atas dari proses transformasi invers ini adala reonstrusi dari titi-titi data sinyal asal.

30 5 Gambar.4 Transformasi wavelet invers..8. Basis, Basis Ortoonal dan Basis Biortoonal Dalam mempelaari sistem wavelet, istila basis, basis ortoonal, basis biortoonal, frame dan tit frame diperluan dan pentin untu dipaami. Himpunan vetor atau funsi f (t) yan merentan impunan vetor F (atau F adala perentanan dari impunan tersebut) ia untu setiap anota impunan tersebut dapat dinyataan sebaai ombinasi linier anota impunan itu. Berarti, ia terdapat impunan funsi finite atau infinite (t), f ita nyataan Span { f } F impunan vetor denan semua anota dari impunan tersebut memilii bentu = = sebaai ( t) a f ( t) (.5) dimana Z dan t, a R. Inner product biasanya ditunuan ole impunan ini dan dinyataan denan f ( t), ( t). Norm didefinisian dan ditunuan denan f = f, f. Himpunan (set) f (t) adala set basis atau basis untu impunan F ia impunan dari { } a dalam persamaan (.5) adala uni untu ( t) F. Himpunan

31 6 dinamaan basis ortoonal ia f ( t), f l ( t) = untu semua l. Jia berada dalam impunan Euclidean tia dimensi, vetor basis ortoonal adala vetor oordinat yan memilii sudut 9 teradap satu sama lain. Dinamaan basis ortonormal ia f ( t), f ( t) =δ ( l) dan ua selain bersifat ortoonal, vetor basis dinormalisasi l teradap unity norm : f ( t) = untu semua nilai. Dari definisi diatas, elas ia terdapat basis ortonormal, setiap anota dalam impunan vetor, ( t) F, persamaan ( t) = a f ( t) dapat ditulis sebaai = ( t) ( t), f ( t) f ( t) (.6) dan denan melauan inner product f (t) pada edua sisi persamaan (.5) didapatan a = ( t), f ( t) (.7) dimana inner product dari sinyal (t) denan vetor basis (t) f menasilan oefisien a yan coco. Persamaan perentanan atau representasi ini sanat berara arena menunuan bawa persamaan (.6) adala operator identitas dalam penertian bawa inner product yan dioperasian pada (t) menasilan impunan oefisien (yan etia diunaan untu menombinasian vetor basis secara linier) menasilan embali sinyal asal (t). Dasar dari teorema Parseval yan menyataan bawa norm atau eneri dapat dipartisi teradap expansion coefficients a. Maa dari itu, interpretasi, penyimpanan, transmisi, periraan, ompresi dan manipulasi oefisien

32 7 tersebut sanat beruna. Jelas bawa persamaan (.) adala bentu untu semua tipe metode Fourier. Disampin euntunan basis ortonormal, ada asus-asus dimana permasalaan sistem basis tida sesuai ia dibuat ortoonal. Untu asus-asus ini masi dapat diperunaan persamaan (.6) dan ua serupa denan persamaan (.6) denan ~ menunaan dual basis set ( t ) yan anotanya tida ortoonal satu sama lain, tapi teradap anota yan berubunan dari set perentanan f ~ f ( t), f ( t) =δ ( l ). l Karena enis ortoonalitas ini membutuan dua set vetor, expansion set dan dual set, sistem ini dinamaan biortoonal. Menerapan rumus diatas denan perentanan pada persamaan (.5) menasilan ~ ( t) = ( t), f ( t) f ( t). (.8) Mesi sistem ortoonal lebi rumit, tida anya impunan perentanan asal tapi ua menemuan, menitun dan menyimpan vetor dual set bersifat umum dan dapat menasilan impunan perentanan yan au lebi besar. Namun, ia vetor basisnya memilii orelasi yan uat, sistem biortoonal dapat menasilan masalamasala numeri yan lebi besar. Peritunan expansion coefficent denan inner product pada persamaan (.7) dinamaan baian analysis dari eseluruan proses dan peritunan sinyal dari oefisien dan vetor perentanan pada persamaan (.5) dinamaan baian syntesis. Dalam dimensi yan finite, operasi analysis dan syntesis berbentu peralian matris-vetor sederana.

33 8..9. Frame dan Tit Frame Sementara persyaratan bai impunan funsi menadi basis ortonormal suda cuup untu representasi dalam persamaan (.6) dan persyaratan dari impunan (set) untu menadi basis suda terpenui untu persamaan (.8), eduanya tida diperluan. Aar dapat menadi basis, diperluan eunian dari oefisien atau dapat ua diataan impunan tersebut arus independen, yaitu tida ada anota yan merupaan ombinasi linier dari anota lainnya. Jia impunan funsi atau vetor dependen namun tetap memuninan perentanan seperti tertera pada persamaan (.8) maa dinamaan frame. Jadi, frame adala spannin set. Istila frame muncul dari definisi yan mensyaratan batas berina pada loncatan yan tida sama rata (Dauecies, 99; Youn, 98) dari inner product. Jia diarapan bawa oefisien perentanan sinyal dapat merepresentasian sinyal denan bai, oefisien-oefisien ini arus punya sifat-sifat tertentu. Koefisien ini palin bai ditetapan dalam syarat eneri dan batas eneri. Untu basis ortoonal, oefisien ini menambil bentu teorema Parseval. Untu menadi frame dalam impunan sinyal, impunan perentanan ϕ (t) arus memenui A ϕ, B (.9) untu beberapa < A dan B < dan untu semua sinyal (t) dalam impunan. Membai persamaan tersebut denan menunuan bawa A dan B dibatasi ole eneri yan dinormalisasi dari inner product. A dan B membatasi oefisien normalisasi eneri. Jia A= B maa impunan perentanannya dinamaan tit frame. Maa

34 9 A = ϕ, (.) yan merupaan eneralisasi teorema Parseval untu tit frame. Jia A= B =, tit frame beruba menadi basis ortoonal. Dari al ini, dapat ditunuan bawa untu tit frame (Daubecies, 99) ( t) = A ϕ ( t), ( t) ϕ ( t) yan adala sama denan perentanan menunaan basis ortonormal ecuali untu syarat A yaitu uuran redundansi dalam impunan perentanan. Jia impunan perentanan adala buan tit frame, tida ada teorema Parseval yan etat dan eneri dalam domain transformasi tida dapat dipartisi denan tepat. Namun, semain ecil selisi nilai A dan B, semain bai periraan partisi yan dapat dilauan. Jia A= B, diasilan tit frame dan partisi dapat dilauan secara tepat denan persamaan (.). Daubecies (Daubecies, 99) membutian bawa semain etat batasan frame dalam persamaan (.9), maa analysis dan syntesis sistem aan lebi bai. Atau, ia nilai A mendeati nol dan/atau nilai B memilii selisi yan sanat besar dibandinan nilai A, aan teradi masala dalam peritunan analysis-syntesis. Frame adala versi over-complete dari impunan basis dan tit frame adala versi over-complete dari impunan basis ortoonal. Jia diunaan frame yan tida termasu basis ataupun tit frame, impunan dual frame dapat dispesifiasian seina analysis dan syntesis dapat dilauan ua sama seperti untu basis nonortoonal. Jia tit frame yan diperunaan, peritunan yan dilauan mirip denan peritunan untu basis non-ortoonal.

35 4... Jenis-Jenis Wavelet Secara umum, transformasi wavelet dapat diateorian menadi transformasi wavelet disrit (Discrete Wavelet Transform atau DWT) dan transformasi wavelet ontinu (Continuous Wavelet Transform atau CWT). DWT adala transformasi wavelet yan palin serin diunaan arena selain lebi muda diimplementasi, DWT ua memilii watu omputasi yan lebi pende dibandinan CWT. Ada seumla funsi basis yan dapat diperunaan sebaai moter wavelet dalam transformasi wavelet. Karena moter wavelet menasilan semua funsi wavelet yan diperunaan dalam transformasi lewat translasi dan scalin, moter wavelet menentuan arateristi dari transformasi wavelet yan diasilan. Maa dari itu, detil dari apliasi yan diembanan arus diperatian aar moter wavelet yan dipili dapat menefetifan penunaan transformasi wavelet. Gambar.5 Jenis-enis wavelet (a) Haar (b) Daubecies4 (c)coiflet (d) Symlet (e) Meyer (f) Morlet () Mexican Hat

36 4 Gambar. memberian ambaran dari funsi wavelet yan umum diperunaan. Wavelet Haar adala wavelet yan tertua dan palin sederana. Wavelet Daubecies adala yan palin serin diperunaan. Wavelet-wavelet tersebut mewaili dasar dari pemrosesan sinyal denan wavelet dan banya diperunaan dalam apliasi. Dinamaan ua wavelet Maxflat arena respon freuensinya memilii nilai flatness masimum pada freuensi dan π. Sifat ini sanat diarapan pada beberapa apliasi. Wavelet Haar, Daubecies, Symlets dan Coiflets disusun ole wavelet ortoonal. Bersama denan wavelet Meyer, wavelet-wavelet tersebut mampu melauan perfect reconstruction. Wavelet Meyer, Morlet dan Mexican Hat memilii bentu simetri.... Transformasi Wavelet Daubecies D4 Transformasi wavelet Daubecies ditemuan ole matematiawan Inrid Daubecies. Transformasi Daubecies D4 memilii empat oefisien lowpass-filter (dinotasian denan ) dan empat oefisien ipass-filter (dinotasian denan Koefisien lowpass-filter adala : + = 4 = 4 + = 4 = 4 ). Setiap lana transformasi wavelet menapliasian oefisien lowpass-filter pada data input. Jia impunan data awal memilii N umla data, maa scalin function aan diapliasian dalam transformasi wavelet untu menitun N / data yan dialusan.

37 4 Kemudian nilai-nilai data yan dialusan tersebut disimpan dalam baian bawa dari setena vetor input elemen N. Koefisien ipass-filter adala : = = = = Setiap lana transformasi wavelet ua menapliasian ipass-filter pada data input. Jia impunan data awal memilii N umla data, oefisien ipass-filter aan diapliasian untu menitun N / selisi (mewaili perubaan nilai dalam data). Nilai asil peritunan tersebut aan disimpan dalam baian atas dari setena vetor input elemen N. Scalin function dan wavelet function diitun denan menunaan inner product antara oefisien lowpass-filter dan ipass-filter denan empat nilai data. Persamaan untu menitun scalin function Daubecies D4 adala : c i = si + s i+ + si+ + s i+ dan persamaan untu menitun wavelet function Daubecies D4 adala : d i = si + si+ + si+ + s i+ dimana s i adala data sinyal input denan index i. Setiap iterasi dalam transformasi wavelet menitun nilai scalin function dan nilai wavelet function. Index i di-increment sebanya dalam tiap iterasi dan nilai scalin function dan wavelet yan baru ditun. Pada transformasi forward, denan impunan data finite, index i aan diincreament ina mencapai nilai N-. Data yan pertama dari sinyal dinotasian

38 4 denan index. Pada iterasi yan terair, inner product aan diitun dari nilai data sinyal e N-, N-, N dan N+. Hal ini menadi masala arena tida ada data sinyal asal denan index N dan N+. Hal ini ditunuan pada transformasi matris beriut : s s s s s s s s Masala yan sama ua teradi pada transformasi invers, dimana dua nilai pertama invers ditun dari data sinyal e -, -, dan. Hal ini ditunuan pada matris dibawa : i i i i i i i i c a c a c a c a Untu menatasi masala ini, ada solusi yan dapat diterapan : a. Memperlauan data seola-ola data tersebut adala periodi. Data ta tersedia yan berada di awal diisi denan penulanan dari data yan berada di air (untu transformasi forward) dan data oson yan berada di air diisi denan penulanan dari data yan berada di awal (untu transformasi invers).

39 44 b. Memperlauan data seola-ola direflesian pada edua uun impunan data tersebut (pencerminan/mirrorin). c. Menerapan ortoonalisasi Gram-Scmidt untu menitun scalin function dan wavelet usus pada uun awal dan air dari impunan data.... Peramalan Denan Autoreressive Setela didapatan scalin coefficients dan wavelet coefficients dari transformasi forward, maa dilauan predisi teradap oefisien-oefisien tersebut dan nilai data asil peramalan diperole melalui transformasi invers oefisien-oefisien tersebut. Metode peramalan yan aan diunaan adala model autoreressive (AR) untu predisi linier forward dari anota x n, n =,,..., N dan x = untu n <, n > N n xˆ n = p = a x n dimana xˆ adala predisi dari x, n n a adala oefisien filter predisi, N banya data dan p adala order dari model AR. Aloritma predisi yan memperunaan DWT, lana-lananya adala : a. Menambil elemen data input x n, n =,,..., N + p. b. Menitun nilai DWT dari data input dalam interval finite dan menentuan scalin function coefficients dan wavelet function coefficients.. c. Melauan transformasi forward predisi linier dari scalin coefficients dan wavelet coefficients untu setiap level sala denan rumus : cˆ = p = a c n

40 45 p = = dˆ a d n, untu =,,..., m dimana oefisien a adala filter predisi yan diperole dari model AR. d. Memperole data yan dipredisi denan melauan transformasi invers teradap oefisien asil predisi... Alat Bantu Rancan State Transition Diaram (STD) State Transition Diaram diunaan untu menambaran urutan dan variasi layar yan muncul etia menalanan proram. Dalam State Transition Diaram, diunaan dua notasi, yaitu : a. State, yaitu ota persei panan untu mewaili tampilan layar dari baian proram tertentu. b. Ana pana berara untu mewaili arus ontrol dan eadian yan memicu seina layar menadi atif atau menerima fous. Ara dari pana menunuan urutan layar yan muncul. Kondisi Asi Untu menambaran setiap ara ontrol diunaan sebua pana yan berbeda denan labelnya masin-masin arena asi yan berbeda memicu

41 46 arus ontrol asal dan arus ontrol pada layar tuuan yan berbeda. Kondisi merupaan suatu event yan dapat didetesi ole sistem, misalnya sinyal, interupsi atau data. Asi adala al yan dilauan ole sistem ia teradi perubaan state.