MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI

Transkripsi

1 KLH GEOETRI TRNFORI TERI ETENGH UTRN IUUN OLEH : Nama : Listiana aputri Rini uji stuti Ridu Novriansya ewi usiana uprayitno rsi roram tudi : end atematia osen enampu : Fadli, i,d EKOLH TINGGI KEGURUN N ILU ENIIKN ERTUN GURU REULIK INONEI (TKI-GRI) LUUKLINGGU THUN JRN 2009/200

2 ETENGH UTRN ( ) Gambar efinisi : ebua setena putaran pada sruatu titi adala suatu padanan didefinisian untu setiap titi pada bidan sebaai beriut : yan pabila 2 ( ) maa ( ), seina titi tena ruas aris Teorema 7 : ndaian sebua titi dan dua aris tea lurus yan berpotonan di aa uti : Ole arena, maa ita dapat membuat sebua system sumbu ortoonal denan sebaai sumbu X dan sebaai sumbu Y dipaai sebaai titi asal ( ambar 2) Y ( x, y ) ( x, X 2

3 Harus dibutian bawa setiap berlau ndaian " ( x, dan andaian pula bawa ( x, Ole arena titi tena ( + y ) " maa x + x y + (0,0), 2 2 y y 0 atau x x dan y y Jadi ( x, eratian searan omposisi pencerminan [ ] [( x, ] ( x, ) ( ) y, seina ( + x ) x 0 dan Jadi alau Jia maa maa ( ) edanan berlau : Ini berarti : ( ) jadi jua ( ) ( ) seina untu setiap pada bidan ( ) Teorema 72 : Jia dan dua aris yan tea lurus maa uti : alau ( liat ambar 2 ) maa ( ) ( ) Jua ( ) ( ), seina ( ) ( ) Untu, maa elanjutnya (( x, ) ( x, Jadi, eina diperole atatan : ini berarti bawa omposisi pencerminan teradap dua aris yan tea lurus adala omutatif Teorema 73 : Jia setena putaran, maa uti : ndaian dan dua aris yan tea lurus maa denan titi poton antara dan Jadi ( ) 3

4 Ole arena dan maa enurut teorema 72, ole arena Jadi Teorema 74 : Jia ( a, b) dan ( x, maa (2a LNJUTN ETENGH UTRN alam ab III tela ita bicaraan transformasi yan ita sebut reflesi pada sebua aris alau reflesi ini ita namaan ( ), aa seperti anda inat definisinya adala : 2, yan bersifat bawa adala sumbu ruas aris Kalau ita liat untu semua titi titi tetap ( invarian ) reflesi pada umumnya berimpit denan petanya Titi demiian dinamaan efinisi : dinamaan titi tetap (invarian) transformasi T apabila berlau T ( ) Jadi sebua reflesi pada aris memilii ta ina banyanya titi-titi tetap, yaitu semua titi pada sumbu reflesi ada sebua setena putaran di, maa satu-satunya titi invarian adala sebab dan x ( X ) X denan X dan titi tena ruas aris XX Tela ita etaui bawa apabila adala setena putaran denan sebaai pusat aa dapat disajian sebaai asil ali dua reflesi ada dan denan tit poton dan, jadi Ole arena setiap reflesi suatu isometri, maa jua suatu isometri nda jua masi inat bawa ole suatu isometri etiap aris dipetaan menjadi suatu aris pula efinisi : ebua trasformasi T yan bersifat bawa sebua aris petanya jua aris dinamaan olineasi Ole arena reflesi adala olineasi maa setena putaran jua suatu olineasi Ini tida sebab setiap isometri adala olineasi efinisi : uatu olineasi dinamaan suatu dilatasi apabila untu setiap aris berlau sifat () // ala satu conto adala setena putaran 4

5 Teorema 75 : ndaian () // uti : suatu setena putaran dan sebua aris pabila Q, maa ( ) ( Q) Q ndaian ndaian maa titi tena ruas Q maa titi tena ruas denan QQ denan Q ( Q) aa Q Q, seina Q Q sebua jajaran enjan ini berarti Q // Q jadi // () Teorema 76 : Hasil ali dua setena putaran denan pusat-pusat yan berbeda tida memilii titi tetap uti : ndaian dan pusat-pusat setena putaran tersebut ndaian dan andaian dan aris-aris tea lurus pada di dan aa berturut-turut ita perole : ( )( ) [( ) ] [ ( )] I ( I) Gambar 5

6 ndaian X titi invarian jadi ( X ) X seina ( )( X ) X Jadi pula (( ) X ) ( X ), atau [( ) ( X )] ( X ) ndaian ( X ) X Ι ( X ) ( X ) seina ( X ) ( X ) ndaian X X alam al ini dan adala sumbu dari ruas aris ole arena ruas aris memilii anya satu sumbu maa, ndaian X X maa ( X ) X dan ( X ) X Jadi X dan X yan berarti bawa dan berpotonan di X ini tida munin ada sebua titi X seina ( X ) ( X ) atau ( X ) X Jadi asil ali tida memilii titi tetap Teorema 77 : Jia memetaan pada uti : ndaian ada 2 setena putaran Jadi ( ) ( ) adala dua titi maan anya ada satu setena putaran yan dan E maa [ ( ) ] [ E ( ) ] E seina arena E ( ) dan E ( ), maa [ ()] E Jadi apabila dan E berbeda, maa ini berarti bawa adala titi tetap dari asil ali E Ini ta munin Jadi ta munin ada lebi dari satu setena putaran yan memetaan pada atu-satunya setena putaran adala T ( ) denan T titi tena ruas aris Teorema 78 : uatu setena putaran adala suatu dilatasi yan bersifat involutori uti : ndaian pusat setena putaran Kalau sebua aris, maa () // 2 Ι, denan I transformasi identitas Harus dibutian 2 al : ( ) 6

7 )Jelas bawa ( ) suatu aris ndaian, dan, edanan ( ) ( ) eina jadi ( ) ini berarti // (), jadi sebua dilatasi 2)Ole arena Jadi ( ) ( ), titi maa ( ) I( ) I ini berarti bersifat involutori Teorema 79 : pabila T suatu transformasi H impunan titi-titi dan sebua titi aa T ( H ) T uti : ( ) H ndaian T (H ) jadi ada X H seina T (X ) maa T ( ) T ( T ( X )) ( T T )( X ) I( X ) X, jadi T ( ) H 2 ndaian T ( ) H Ini berarti bawa T ( T ( )) T ( H ) atau T (H ) onto : ibawa ini diemuaan sebua conto 2 2 transformasi balian ietaui impunan [( x, x + 4y 5] (3,) jia adala sumbu y selidii apaa (E)? enyelesaian : baaimana ita dapat menunaan E ndaian (4,-3) dan Kita etaui bawa ( ) pabila (x, maa ( x, sedanan (2x3 x2x ( E x2 jadi ( ) ( ) (2, ) Ole arena titi ( 2, ) < E maa ( ) ( ) E Ini berarti bawa < ( )( E) < enan cara yan serupa Kita dapat menentuan persamaan peta suatu impunan itu, tela dietaui dalam conto diatas ita tau Teorema 79 bawa < ( )( E) jia dan anya jia ( y < E alau ( x, oal Latian pabila (2,3), tentuanla : a () pabila (2,3) c ( E) pabila E ( 4, ) b () pabila ( 2,7) d () pabila ( x, 7

8 enyelesaian : a (2,3) dan (2,3) c (2,3) dan E ( 4, ) ( ) (2a ( ) (E) [(22) 2,(23) 3] (4 2,6 3) E (2a [(22) 4,(23) ( ) ] (4 4,6 + ) ( ) (2,3) ( E) (0,7) b (2,3) dan ( 2,7) d (2,3) dan ( x, ( ) (2a (2a [(22) ( 2),(23) 7] (4 + 2,6 7) [(22) x,(23) y] (4 x,6 ( x 4, y 6) ( ) (6, ) ( 4, 6) 8