2.1. MATRIKS Matriks ordo m x n adalah jajaraan bilangan persegi empat terdiri dari bars m dan kolom n dalam bentuk :

Transkripsi

1 BAB SISTIM PERSAMAAN LINEAR DAN NON LINEAR Sistem persamaan linear banak dijumpai pada penelesaian persamaan dierensial parsial eliptik, parabolik dan hiperbolik an akan diberikan pada Bab 6, 7, dan 8. Dalam bab ini akan dibahas menenai matriks dan penelesaian sistim persamaan linear denan metoda eliminasi Gauss dan Iterasi Gauss-Seidel... MATRIKS Matriks ordo m n adalah jajaraan bilanan persei empat terdiri dari bars m dan kolom n dalam bentuk : a a a... a n a a a... an A am am am... amn Setiap bilanan ajk dalam matriks ini disebut suatu elemen. Subskrip j menunjukkan baris dan k menunjukkan kolom. Matrik an mempunai satu baris disebut matriks baris sedankan an mempunai satu kolom disebut matriks kolom. Matriks bujur sankar adalah matriks an mempunai jumlah baris dan kolom an sama. Matriks Nata adalah matriks an memiliki bilanan nata, sedankan Matriks Kompleks adalah matriks an mempunai bilanan kompleks. ontoh : Matriks Nata A ontoh : Matriks Kompleks i A i Dua buah matriks atau lebih an berukuran sama dapat dijumlahkan atau dikurankan. Jumlah dari matriks A [a ij ] dan B [b ij ] adalah suatu matriks an elemen-elemenna merupakan penjumlahan elemen-elemen an berhubunan dari matriks A dan B. A B [a ij ] [b ij ] [c ij ] (..) Penuranan matriks A dan matriks B menhasilkan suatu matriks an elemenelemenna merupakan elemen-elemen an berhubunan dari matriks A dan B. A - B [a ij ] - [b ij ] [c ij ] ontoh : A 5 6 A B A B 9 8 (..) B ; 5 Jika matriks A (nm) dan matriks B (mr) dikalikan akan menhasilkan : ( a b... am bm)... ( a br... am bmr) ( ) ( ) a b... a m bm... a br... a m bmr [ a ][ ] [ ] ij bij cij. ( ) ( ). a n b... a nm bm... a n br... a nm bmr Perkalian antara skalar denan matriks akan menhasilkan suatu matriks an elemenelemenna adalah perkalian skalar denan elemen matriks asal :

2 ontoh : k A, [c ij ] k [a ij ] A B 6 8 B. A A. B ; 9 Sistim persamaan linear dapat dideinisikan sebaai perkalian antara matriks A denan vektor kolom menhasilkan vektor kolom b an dapat ditulis sebaai :.. a a. a n n b, a a. a n n b,. a n a n. a nn n b n, atau dapat ditulis sebaai A b, dimana : a a... a n b a a... a n A b b. an an... ann, n, b n Sistem persamaan linear dapat diselesaikan denan metoda lansun (direct method) atau denan metoda iterasi (iterative method)... METODA ELIMINASI GAUSS Metoda Gaussion Elimation merupakan salah satu metoda lansun (direct method). Metoda ini dimulai denan membuat aumented matri, dan selanjutna dilakukan operasi baris pada aumented matri untuk mendapatkan upper trianular matri. Back subtitution diunakan pada lankah akhir untuk mendapatkan hara variabel-variabel bebas an dibutuhkan. ontoh diberikan suatu set persamaan linear : Hitun besarna,, dan. Dari set persamaan tersebut dibuat aumented matri : : : : -... Row (/) Row.. 7. Row (/) Row Row (-./.) Row Melalui back substitution an dimulai dari persamaan ketia dan kembali ke persamaan kedua dan pertama didapat :

3 ( ).7 Aloritma Metoda Eliminasi Gauss Buat aumented matri dari n n matriks denan vector sisi kanan sama denan. Menjadi matriks n (n ). Pertukarkan baris jika diperlukan aar a menjadi koeisien terbesar pada. Kolom pertama. Bentuk nol pada baris ke dua sampai ke n pada kolom pertama denan. Menurankan baris ke I denan a i /a baris pertama. Simpan a i /a Dalam a i, i,.., n. Ulani lankah () dan () untuk baris kedua sampai denan baris (n-) pertama,. Denan menempatkan koeisien bernilai terbesar pada diaonal melalui pertukaran baris, kemudian menurankan baris ke I denan a ij /a jj baris ke j untuk membentuk nol pada semua posisi kolom j dibawah diaonal. Simpan a ij /a jj dalam aij, i j,, n. Sistem an diperoleh adalah upper-trianular. Selesaikan n dari persamaan ke n melalui persamaan : 5. n a n,n / a nn, Selesaikan untuk n-, n-,., denan persamaan : 6. n i (a i,n - å a ij j ) / a ii ji.. METODA GAUSS-SEIDEL Metoda auss-seidel merupakan salah satu metoda iterasi (iterative method). Meoda ini lebih banak diunakan apabila koeisien matri dari set persamaan lebih banak merupakan bilanan nol. Penunaan metoda ini akan dijelaskan melalui suatu contoh penelesaian persamaan linear. ontoh : Selesaikan set persamaan linear berikut : 8-8, (..) (..) 9 (..) Set persamaan ini ditulis kembali kedalam suatu bentuk persamaan untuk mendapatkan variabel-variabel denan koeisien an besar, aitu : (..) (..5) (..6) Pada iterasi pertama diberikan hara aproksimasi dari,, dan. Pada iterasi berikutna hara dihitun dari persamaan (..) menunakan hara aproksimasi dan. Hara dihitun dari persamaan (..5) menunakan hara an baru dihitun dan hara approksimasi. Hara dihitun dari persamaan (..6) menunakan hara dan an baru. Persamaan (..) sampai denan (..6) dapat ditulis kedalam persamaan : (n) (..7) -.5 (n) (n).57. (n).86 (n) (..8) (n). -. (n) -. (n) (..9).5 (n) Dimana n nomor iterasi. Perhitunan dapat dimulai denan,, dan. Denan menunakan persamaan (..7) sampai denan persamaan (..9) diperoleh hasil perhitunan sebaaimana an ditampilkan pada Tabel... Dari tabel ini dapat dilihat bahwa persen kesalahan antara nomor iterasi 5 dan 6 dapat diabaikan. Hara, dan pada kolom keenam merupakan jawaban dari contoh persoalan an diberikan.

4 Var Tabel... Hasil Perhitunan Penelesaian Set Persamaan denan Metoda Gauss - Seidel Nomor Iterasi Aloritma Iterasi Gauss Seidel Untuk menelesaikan persamaan linear N, susun kembali baris-baris persamaan sehina elemen diaonal memiliki bilanan sebesar munkin dibandinkan denan bilanan dari koeisien lain pada baris an sama. Deinisikan sstem an disusun sebaai A b. Denan memisalkan hara awal (), hitun masin-masin komponen (n), untuk I,,,,,,,, N, denan persamaan : Xi(n) bi/aii - å (aij/aii) j(n) - å (aij/aii) j(n), n,,. Kondisi konverensi diberikan oleh persamaan : çaijç > å çaijê, I,,., N... SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR Sistem persamaan non linear seperti : (..) e (..) dapat diselesaikan secara raik dan numerik. Penelesaian secara raik didapat melalui perpotonan linkaran denan kurva e. (.8,.8) (, -.7)

5 ... Metoda Iterasi Persamaan (..) dan persamaan (..) disusun dalam bentuk : (, ) dan (, ) ± e e ln ( e ) ln ( ln ( ) ) (..) (..) dimulai denan -,7 diperoleh nilai dan dari persamaan (..) dan (..), aitu : :,99,6,8,, : -,7 -,76 -,786 -,799 -,796 Penelesaian :, -,796 Kriteria Koverensi Sitem persamaan : (,, z,.) (,, z,.) z h (,, z,.) akan konveren jika dalam interval di sekitar akar : z... <, z... <, h h hz... <, Metoda Newton Bentuk set persamaan unsi non linear : (..6) (, ) (..5) (, ) misalkan r, s adalah akar-akar persamaan (..5) dan persamaan (..6). Persamaan (..5) dan persamaan (..6) dapat diekspansi menunakan Deret Talor di sekitar titik (, ), titik didekat akar persamaan dalam bentuk (r ), (s ) : (r,s) (, ) (, ) (r ) (, ) (s )

6 (r,s) (, ) (, ) (r ) (, ) (s ). r s catatan : semua unsi dihitun pada (, ) ontoh : arilah akar dan sehina : (,) (,) e dimulai denan, -,7 - (, -,7) - - (, -,7), -e (, -,7) -e -,78 - (, -,7) - r (,-,7), (,-,7) -,8,,,8 r,,,78 s,,78,8,7,798,.5 Proram Penelesaian Sistim Persamaan Linear denan Metoda Gaussian Elimination TUJUAN : PENYELESAIAN SISTIM PERSAMAAN LINEAR MENGGUNAKAN METODA GAUSSIAN ELIMINATION ONTOH : SELESAIKAN SET PERSAMAAN

7 X X X X X X X X X PARAMETERPARAMETER AB KOEFISIEN AUGMENTED MATRIX N JUMLAH PERSAMAAN NP JUMLAH KOLOM DALAM AUGMENTED MATRIX NDIM DIMENSI PERTAMA DARI MATRIX U KOEFISIEN VEKTOR BERUPA HASIL PERHITUNGAN DIMENSION AB(,5),U() INTEGER N,NP,NDIM,I,J OPEN (UNIT6,FILE'ELIM.OUT',STATUS'NEW') INPUT DATA N NP NDIM AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). AB(,). NM N DO 5 I,NM IPVT I IP I DO J IP,N IF (ABS(AB(IPVT,I)).LT.ABS(AB(J,I))) IPVTJ ONTINUE IF (ABS(AB(IPVT,I)).LT..E6) THEN WRITE(6,) GO TO ENDIF IF (IPVT.NE.I) THEN DO JOL,NP SAVE AB(I,JOL) AB(I,JOL) AB(IPVT,JOL) AB(IPVT,JOL) SAVE ONTINUE ENDIF DO JROW IP,N IF (AB(JROW,I).EQ..) GO TO RATIO AB(JROW,I) / AB(I,I) AB(JROW,I) RATIO DO KOL IP,NP AB(JROW,KOL) AB(JROW,KOL) RATIO*AB(I,KOL) ONTINUE ONTINUE 5 ONTINUE IF(ABS(AB(N,N)).LT..E6) THEN WRITE(6,) GO TO ENDIF

8 NP N DO 5 KOL NP,NP AB(N,KOL) AB(N,KOL) / AB(N,N) DO 5 J,N NVBL NP J L NVBL VALUE AB(NVBL,KOL) DO K L,N VALUE VALUE AB(NVBL,K) * AB(K,KOL) ONTINUE AB(NVBL,KOL) VALUE/AB(NVBL,NVBL) 5 ONTINUE 5 ONTINUE DO 5 I,NDIM U(I) AB(I,NP) 5 ONTINUE WRITE(6,5) 5 FORMAT(' VEKTOR PENYELESAIAN ADALAH ') WRITE(6,5) 5 FORMAT(' ') DO 5 I,NDIM WRITE(6,5)I,U(I) 5 FORMAT(' I ',I5,X,' X(I) ',F8.) 5 ONTINUE FORMAT(/'SOLUTION NOT FEASIBLE. A NEAR ZERO PIVOT', $ 'WAS ENOUNTEREDD.') STOP END Output Sistim Persamaan Linear denan Metoda Gaussian Elimination VEKTOR PENYELESAIAN ADALAH I X(I). I X(I). I X(I)..5.. Proram Penelesaian Sistim Persamaan Linear denan Metoda Gauss-Seidel TUJUAN : PENYELESAIAN SET PERSAMAAN LINEAR MENGGUNAKAN METODA GAUSSSEIDEL ONTOH : SELESAIKAN PERSAMAAN 8 X X X 8 X 7 X X X X 9 X

9 PARAMETER PARAMETER A ARRAY DARI KOEFISIEN MATRIX DENGAN BILANGAN TERBESAR PADA DIAGONAL B ARRAY DARI ELEMENELEMEN VEKTOR N JUMLAH PERSAMAAN X HARGA APROKSIMASI AWAL, JUGA SEBAGAI OUPUT HASIL YANG DIINGINKAN NITER JUMLAH ITERASI YANG DIIZINKAN TOL HARGA TOLERANSI YANG DIIZINKAN NDIM JUMLAH DIMENSI PERTAMA DIMENSION A(,),B(),X() INTEGER N,NDIM,NITER,I,J REAL TOL OPEN(UNIT6,FILE'SEIDEL.OUT',STATUS'NEW') INPUT DATA B() 8 B() B() N X() X() X() NDIM NITER 5 TOL. A(,) 8 A(,) A(,) A(,) A(,) 7 A(,) A(,) A(,) A(,) 9 DO I,N SAVE A(I,I) B(I) B(I) / SAVE DO 5 J,N A(I,J) A(I,J) / SAVE WRITE(*,*)I,J,A(I,J) 5 ONTINUE ONTINUE DO ITER,NITER XMAX DO I,N SAVE X(I) X(I) B(I) DO J,N IF (J.NE.I) THEN X(I) X(I) A(I,J)*X(J) ENDIF

10 ONTINUE IF (ABS(X(I) SAVE).GT. XMAX) THEN XMAX ABS( X(I) SAVE ) ENDIF ONTINUE IF (XMAX.LE.TOL) GO TO 5 ONTINUE IF (ITER.GE.NITER) THEN WRITE(*,*)' TOLERANSI TIDAK TERAPAI SETELAH $ ITERASI ',ITER,'DAN HARGA X TERAKHIR $ YANG DIBERIKAN ' GO TO 6 ENDIF 5 WRITE(6,9)ITER 9 FORMAT(' JUMLAH ITERASI ',I5) WRITE(6,5) 5 FORMAT(' HARGA X YANG DIDAPAT ADALAH ') DO 5 I,N WRITE(6,5)I,X(I) 5 FORMAT(' I ',I5,X,' X(I) ',F8.) 5 ONTINUE 6 STOP END Output Sistim Persamaan Linear denan Metoda Gauss-Seidel JUMLAH ITERASI 8 HARGA X YANG DIDAPAT ADALAH I X(I). I X(I). I X(I)..6. SOAL-SOAL Diberikan matri A, B dan vektor, dimana. A B 6 a. b. c. 9 arilah A B, A - B, 5 - arilah A, B, T arilah A T, B T 5. Diberikan matriks

11 . A a. b. c. d. 6 5 arilah BA, B, AA T arilah det(b) arilah tr(b) arilah U dan L sehina U L B, B 5 7. Misalkan A, B 5 7 a. Tunjukkan bahwa AB BA I dimana I adalah matriks, b. c. I Tunjukkan bahwa AI IA A. Tunjukkan bahwa A A dan B B. Tulis sebaai sistim persamaan linear Selesaikan sistim persamaan linear denan metoda Eliminasi Gauss : Selesaikan sistim persamaan linear denan metoda Eliminasi Gauss : Selesaikan sistim persamaan linear denan metoda Eliminasi Gauss : a. Selesaikan denan substitusi mundur : b. Selesaikan denan substitusi maju : Selesaikan soal nomor 7a dan 7b denan iterasi Gauss-Seidel, mulai denan (,, 9. -). Selesaikan sistem :. - dan sin denan metoda iterasi.

12 Selesaikan sistem :. z 9, z, - z denan iterasi untuk memperoleh penelesaian di dekat (.5,.,.6). Selesaikan soal nomor (9) denan Metoda Newton.. Selesaikan denan Metoda Newton persamaan berikut :., Buat sketsa raik untuk menentukan nilai awal.. Selesaikan set persamaan non linear : (,) -, dan (,) e - denan metoda Hooke Jeeves Search. Petunjuk : Formulasikan unsi objekti sebaai : F F [ (, ) ] [ (, ) ] ( e ) ( ) ditentukan, denan meminimumkan nilai F