SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS
|
|
- Utami Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia atau 5 Februari 2005 Abstract Secara umum, catatan ini bermaksud menjelaskan tentang cara penyelesaian problem sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss. Tapi intinya, catatan ini mengulas konsep dasar metode eliminasi gauss dan algoritmanya serta dilengkapi dengan scriptnya dalam Fortran. 1 Penyederhanaan Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut P n : a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n (1) dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, n =1, 2, 3,... Contoh pertama Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P 1, P 2, P 3, dan P 4 seperti berikut ini: P 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 = 4 P 2 : 2x 1 + x 2 x 3 + x 4 = 1 P 3 : 3x 1 x 2 x 3 + 2x 4 = -3 P 4 : x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 4 1
2 Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari nilai pengganti bagi variabel x 1, x 2, x 3, dan x 4 sehingga semua persamaan diatas menjadi benar. Langkah awal penyelesaian problem tersebut adalah dengan melakukan penyederhanaan sistem persamaan linear. Ada banyak jalan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, namun masalahnya, kita ingin mendapatkan sebuah algoritma program yang nantinya bisa berjalan di komputer, sedemikian rupa sehingga apapun persamaannya, bisa disederhanakan oleh komputer. Kita akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi untuk menyederhanakan sistem persamaan linear di atas, yaitu Persamaan P i dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P i. Simbol operasi ini adalah (λp i ) (P i ). Persamaan P j dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan P i, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P i. Simbol operasi ini adalah (P i + λp j ) (P i ). Persamaan P i dan P j dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah (P i ) (P j ). Maka dengan berpegang pada aturan-aturan tersebut, problem sistem persamaan linear di atas akan diselesaikan dengan langkah-langkah berikut ini: 1. Gunakan persamaan P 1 untuk menghilangkan variabel x 1 dari persamaan P 2,P 3 dan P 4 dengan cara (P 2 2P 1 ) (P 2 ), (P 3 3P 1 ) (P 3 ) dan (P 4 + P 1 ) (P 4 ). Hasilnya akan seperti ini P 1 : x 1 + x 2 +3x 4 = 4, P 2 : x 2 x 3 5x 4 = 7, P 3 : 4x 2 x 3 7x 4 = 15, P 4 : 3x 2 +3x 3 +2x 4 = 8 2. Gunakan persamaan P 2 untuk menghilangkan variabel x 2 dari persamaan P 3 dan P 4 dengan cara (P 3 4P 2 ) (P 3 ) dan (P 4 +3P 2 ) (P 4 ). Hasilnya akan seperti ini P 1 : x 1 + x 2 +3x 4 = 4, P 2 : x 2 x 3 5x 4 = 7, P 3 : 3x 3 +13x 4 = 13, P 4 : 13x 4 = 13 2
3 Kalau x 3 masih ada di persamaan P 4, dibutuhkan satu operasi lagi untuk menghilangkannya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis menghilangkan x 3. Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk triangular. Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan linear yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Suatu sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan seluruh nilai pengganti variabelnya dengan cara yang lebih mudah atau dengan usaha yang tidak memakan waktu lama dibandingkan sebelum disederhanakan. Sekali kita mendapatkan nilai pengganti bagi variabel x 4, maka x 3, x 2 dan x 1 akan diperoleh dengan mudah dan cepat, sebagaimana yang dijelaskan pada langkah berikutnya. 3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x 4, kemudian x 3, lalu diikuti x 2, dan akhirnya x 1. P 4 : x 4 = = 1, P 3 : x 3 = 1 3 (13 13x 4) = 1 (13 13) = 0, 3 P 2 : x 2 = ( 7+5x 4 + x 3 ) = ( 7+5+0)=2, P 1 : x 1 =4 3x 4 x 2 = 4 3 2= 1 Jadi solusinya adalah x 1 = 1, x 2 =2, x 3 =0dan x 4 =1. Coba sekarang anda cek, apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang pertama, yaitu yang belum disederhanakan? OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali lagi. Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain. 3
4 Contoh kedua Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P 1, P 2, P 3, dan P 4 seperti berikut ini: P 1 : x 1 x 2 + 2x 3 x 4 = -8 P 2 : 2x 1 2x 2 + 3x 3 3x 4 = -20 P 3 : x 1 + x 2 + x 3 = -2 P 4 : x 1 x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 4 Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah-langkah berikut ini: 1. Gunakan persamaan P 1 untuk menghilangkan x 1 dari persamaan P 2,P 3 dan P 4 dengan cara (P 2 2P 1 ) (P 2 ), (P 3 P 1 ) (P 3 ) dan (P 4 P 1 ) (P 4 ). Hasilnya akan seperti ini P 1 : x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 8, P 2 : x 3 x 4 = 4, P 3 : 2x 2 x 3 + x 4 = 6, P 4 : 2x 3 +4x 4 = 12 Perhatikan persamaan P 2! Akibat dari langkah yang pertama tadi, x 2 hilang dari persamaan P 2. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisi P 2 mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaitu P 3 atau P 4. Supaya proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok adalah ditukar dengan P Tukar posisi persamaan P 2 dengan persamaan P 3, (P 2 P 3 ). Hasilnya akan seperti ini P 1 : x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 8, P 2 : 2x 2 x 3 + x 4 = 6, P 3 : x 3 x 4 = 4, P 4 : 2x 3 +4x 4 = 12 4
5 3. Gunakan persamaan P 3 untuk menghilangkan x 3 dari persamaan P 4 dengan cara (P 4 2P 3 ) (P 4 ). Hasilnya akan seperti ini P 1 : x 1 x 2 +2x 3 x 4 = 8, P 2 : 2x 2 x 3 + x 4 = 6, P 3 : x 3 x 4 = 4, P 4 : 2x 4 = 4 Sampai disini proses triangularisasi telah selesai. 4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali didapat solusinya adalah x 4, kemudian x 3, lalu diikuti x 2, dan akhirnya x 1. P 4 : x 4 = 4 2 = 2, P 3 : x 3 = 4+x 4 1 = 2, P 2 : x 2 = 6+x 3 x 4 2 = 3, P 1 : x 1 = 8+x 2 2x 3 + x 4 = 7 Jadi solusinya adalah x 1 = 7, x 2 =3, x 3 =2dan x 4 =2. Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diperlukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backwardsubstitution kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan proses triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dikenal sebagai metode eliminasi gauss. 2 Matrik dan Eliminasi Gauss Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak, mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti 5
6 berikut ini: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... = =... a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Sementara, kalau dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, maka akan seperti ini: a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b 2 =..... a n1 a n2... a nn x n b n Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linear dengan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n +1)seperti berikut ini: a 11 a a 1n b 1 a 11 a a 1n a 1,n+1 a 21 a a 2n b 2 a 21 a a 2n a 2,n+1 = (3) a n1 a n2... a nn b n a n1 a n2... a nn a n,n+1 Berdasarkan contoh pertama yang ada dihalaman depan catatan ini, saya akan tunjukkan proses triangularisasi dan substitusi-mundur dalam operasi matrik terhadap sistem persamaan linear yang terdiri dari empat persamaan matematika, yaitu (silakan lihat kembali contoh pertama): x x x 3 = Lalu kita dapat membuat matrik augment sebagai berikut: x 4 (2)
7 Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama, yaitu lalu dilanjutkan ke kolom berikutnya Sebelum dilanjutkan ke substitusi-mundur, saya ingin menegaskan peranan angka-angka indeks dari masing-masing elemen matrik augment tersebut. Silakan perhatikan posisi masing-masing elemen berikut ini: a 11 a 12 a 13 a 14 a a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 Dengan memperhatikan angka-angka indeks pada matrik augment di atas, kita akan mencoba membuat rumusan proses substitusi-mundur untuk mendapatkan seluruh nilai pengganti variabel x. Dimulai dari x 4, x 4 = a 45 = 13 a =1 ini dapat dinyatakan dalam rumus umum, yaitu lalu dilanjutkan dengan x 3, x 2, dan x 1. x n = a n,n+1 a nn x 3 = a 35 a 34 x 4 a 33 = x 2 = a 25 (a 23 x 3 + a 24 x 4 ) a 22 = x 1 = a 15 (a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 ) a 11 = 7 13 [(13)(1)] =0 3 ( 7) [( 1)(0) + ( 5)(1)] =2 ( 1) 4 [(1)(2) + (0)(0) + (3)(1)] = 1 1
8 ini juga dapat dinyatakan dalam rumus umum yaitu: x i = a i,n+1 n j=i+1 a ijx j a ii Proses triangularisasi dan substitusi-mundur dibakukan menjadi algoritma metode eliminasi gauss yang dapat diterapkan dalam berbagai bahasa pemrograman komputer, misalnya fortran, C, java, pascal, matlab, dan lain-lain. 3 Algoritma eliminasi Gauss Secara umum, sistem persamaan linear adalah sebagai berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. =. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Algoritma dasar metode eliminasi gauss, adalah sebagai berikut: 1. Ubahlah sistem persamaan linear tersebut menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n +1)seperti berikut ini: a 11 a a 1n b 1 a 11 a a 1n a 1,n+1 a 21 a a 2n b 2 a 21 a a 2n a 2,n+1 = (4) a n1 a n2... a nn b n a n1 a n2... a nn a n,n+1 Jelas terlihat bahwa elemen-elemen yang menempati kolom terakhir matrik augment adalah nilai dari b i ; yaitu a i,n+1 = b i dimana i =1, 2,..., n. 2. Periksalah elemen-elemen pivot. Apakah ada yang bernilai nol? Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu matrik, yaitu a 11, a 22,..., a nn atau disingkat a ii. Jika a ii 0, bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang bernilai nol, a ii =0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (P i ) (P j ) dimana j = i +1,i+2,..., n, sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol, 8
9 a ii 0. (Kalau kurang jelas, silakan lihat lagi contoh kedua yang ada dihalaman 3. Sebaiknya, walaupun elemen diagonalnya tidak nol, namun mendekati nol (misalnya 0,03), maka proses pertukaran ini dilakukan juga). 3. Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut: P j a ji P i P j (5) a ii dimana j = i + 1, i+ 2,..., n. Maka matrik augment akan menjadi: a 11 a 12 a a 1n a 1,n+1 0 a 22 a a 2n a 2,n a a 3n a 3,n+1 (6) a nn a n,n+1 4. Hitunglah nilai x n dengan cara: x n = a n,n+1 a nn (7) 5. Lakukanlah proses substitusi-mundur untuk memperoleh x n 1,x n 2,..., x 2,x 1 dengan cara: x i = a i,n+1 n j=i+1 a ijx j (8) a ii dimana i = n 1,n 2,..., 2, 1. Demikianlan algoritma dasar metode eliminasi gauss. Selanjutnya algoritma dasar tersebut perlu dirinci lagi sebelum dapat diterjemahkan kedalam bahasa pemrograman komputer. 3.1 Algoritma Algoritma metode eliminasi gauss untuk menyelesaikan n x n sistem persamaan linear. P 1 : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 P 2 : a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... =. P n : a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n 9
10 INPUT: sejumlah persamaan linear dimana konstanta-konstanta-nya menjadi elemen-elemen matrik augment A =(a ij ), dengan 1 i n dan 1 j n +1. OUTPUT: solusi x 1,x 2,x 3,..., x n atau pesan kesalahan yang mengatakan bahwa sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Langkah 1: Inputkan konstanta-konstanta dari sistem persamaan linear kedalam elemen-elemen matrik augment, yaitu suatu matrik yang berukuran n x (n +1) seperti berikut ini: a 11 a a 1n b 1 a 11 a a 1n a 1,n+1 a 21 a a 2n b 2 a 21 a a 2n a 2,n+1 = (9) a n1 a n2... a nn b n a n1 a n2... a nn a n,n+1 Langkah 2: Untuk i =1,..., n 1, lakukan Langkah 3 sampai Langkah 5. Langkah 3: Definisikan p sebagai integer dimana i p n. Lalu pastikan bahwa a pi 0. Jika ada elemen diagonal yang bernilai nol (a ii =0), maka program harus mencari dan memeriksa elemen-elemen yang tidak bernilai nol dalam kolom yang sama dengan kolom tempat elemen diagonal tersebut berada. Jadi saat proses ini berlangsung, integer i (indeks dari kolom) dibuat konstan, sementara integer p (indeks dari baris) bergerak dari p = i sampai p = n. Bila ternyata setelah mencapai elemen paling bawah dalam kolom tersebut, yaitu saat p = n tetap didapat nilai a pi =0, maka sebuah pesan dimunculkan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP. Langkah 4: Namun jika sebelum integer p mencapai nilai p = n sudah diperoleh elemen yang tidak nol (a pi 0), maka bisa dipastikan p i. Jika p i maka lakukan proses pertukaran (P p ) (P i ). Langkah 5: Untuk j = i +1,.., n, lakukan Langkah 6 dan Langkah 7. Langkah 6: Tentukan m ji, m ji = a ji a ii 10
11 Langkah 7: Lakukan proses triangularisasi, (P j m ji P i ) (P j ) Langkah 8: Setelah proses triangularisasi dilalui, periksalah a nn. Jika a nn =0, kirimkan pesan: sistem persamaan linear tidak memiliki solusi yang unik. Lalu program berakhir: STOP. Langkah 9: Jika a nn menentukan x n, 0, lakukan proses substitusi mundur, dimulai dengan x n = a n,n+1 a nn Langkah 10: Untuk i = n 1,..., 1 tentukan x i, x i = a i,n+1 n j=i+1 a ijx j a ii Langkah 11: Diperoleh solusi yaitu x 1,x 2,..., x n. Algoritma telah dijalankan dengan sukses. STOP. Saya telah membuat program sederhana dalam fortran untuk mewujudkan algoritma eliminasi gauss. Saya berasumsi bahwa anda sudah menguasai dasar-dasar pemrograman dalam fortran. Program ini sudah dicoba di-compile dengan fortran77 under Linux Debian dan visual-fortran under windows-xp. Langkah-langkah yang tercantum pada program ini disesuaikan dengan langkah-langkah yang tertulis di atas. Dalam program ini, ukuran maksimum matrik augment adalah 10 x 11, untuk mencari 10 variabel yang tidak diketahui. Jika anda bermaksud memperbesar atau memperkecil ukuran matrik augment, silakan sesuaikan angka ukuran matrik yang anda inginkan pada statemen pertama dari program ini, yaitu statemen DIMENSION. Inilah programnya, C DIMENSION A(10,11), X(10) REAL MJI WRITE (*,*) =PROGRAM ELIMINASI GAUSS= WRITE (*,*) LANGKAH 1: MEMASUKAN NILAI ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT WRITE (*, (1X,A) ) JUMLAH PERSAMAAN? READ (*,*) N 11
12 WRITE (*,*) WRITE (*,*) MASUKAN ELEMEN-ELEMEN MATRIK AUGMENT M = N + 1 DO 50 I = 1,N DO 60 J = 1,M WRITE (*, (1X,A,I2,A,I2,A) ) A(,I,,,J, ) = READ (*,*) A(I,J) 60 CONTINUE 50 CONTINUE WRITE (*,*) C MENAMPILKAN MATRIK AUGMENT WRITE (*, (1X,A) ) MATRIK AUGMENT: DO 110 I = 1,N WRITE (*, (1X,5(F14.8)) ) (A(I,J),J=1,M) 110 CONTINUE WRITE (*,*) C LANGKAH 2: MEMERIKSA ELEMEN-ELEMEN PIVOT DAN PROSES TUKAR POSISI NN = N-1 DO 10 I=1,NN C LANGKAH 3: MENDEFINISIKAN P P = I 100 IF (ABS(A(P,I)).GE.1.0E-20.OR. P.GT.N) GOTO 200 P = P+1 GOTO IF(P.EQ.N+1)THEN C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK WRITE(*,5) GOTO 400 END IF C LANGKAH 4: PROSES TUKAR POSISI IF(P.NE.I) THEN DO 20 JJ=1,M C = A(I,JJ) A(I,JJ) = A(P,JJ) 12
13 A(P,JJ) = C 20 CONTINUE END IF C LANGKAH 5: PERSIAPAN PROSES TRIANGULARISASI JJ = I+1 DO 30 J=JJ,N C LANGKAH 6: TENTUKAN MJI MJI = A(J,I)/A(I,I) C LANGKAH 7: MELAKUKAN PROSES TRIANGULARISASI DO 40 K=JJ,M A(J,K) = A(J,K)-MJI*A(I,K) 40 CONTINUE A(J,I) = 0 30 CONTINUE 10 CONTINUE C MENAMPILKAN HASIL TRIANGULARISASI WRITE (*, (1X,A) ) HASIL TRIANGULARISASI: DO 120 I = 1,N WRITE (*, (1X,5(F14.8)) ) (A(I,J),J=1,M) 120 CONTINUE C LANGKAH 8: MEMERIKSA ELEMEN A(N,N) IF(ABS(A(N,N)).LT.1.0E-20) THEN C MENAMPILKAN PESAN TIDAK UNIK WRITE(*,5) GOTO 400 END IF C LANGKAH 9: MENGHITUNG X(N) X(N) = A(N,N+1)/A(N,N) C LANGKAH 10: PROSES SUBSTITUSI MUNDUR L = N-1 DO 15 K=1,L I = L-K+1 JJ = I+1 SUM =
14 DO 16 KK=JJ,N SUM = SUM+A(I,KK)*X(KK) 16 CONTINUE X(I) = (A(I,N+1)-SUM)/A(I,I) 15 CONTINUE C LANGKAH 11: MENAMPILKAN HASIL PERHITUNGAN WRITE (*,*) WRITE (*,7) DO 18 I = 1,N WRITE (*, (1X,A,I2,A,F14.8) ) X(,I, ) =,X(I) 18 CONTINUE 400 STOP 5 FORMAT(1X, SISTEM LINEAR TIDAK MEMILIKI SOLUSI YANG UNIK ) 7 FORMAT(1X, SOLUSI UNIK ) END 4 Penutup Silakan anda coba aplikasikan program di atas dengan berbagai sistem persamaan linear yang pernah dijadikan contoh pada catatan terdahulu. Saya cukupkan sementara sampai disini. Insya Allah akan saya sambung lagi dilain waktu. Kalau ada yang mau didiskusikan, silakan hubungi saya melalui yang tercantum di halaman paling depan. References [1] Burden, R.L., Faires, J.D., Numerical Analysis, 7-edition, Brooks/Cole,
LU DECOMPOSITION (FAKTORISASI MATRIK)
LU DECOMPOSITION (FAKTORISASI MATRIK) Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com 5 Februari 2005 Pada semua catatan
Lebih terperinciINVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS
INVERS MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com 5 Februari 2005 Secara umum, sistem
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I Laboratorium Jaringan Komputer Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2006 Untuk Muflih Syamil dan Hasan Azmi... Mottoku : Tenang,
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi II Revisi terakhir tgl: 12 Februari 2008 Departemen
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi II Revisi terakhir tgl: 28 April 2008 Departemen
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl: 25
Lebih terperinciMETODE ITERASI DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR
METODE ITERASI DALAM SISTEM PERSAMAAN LINEAR Penulis: Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Penulisan vektor-kolom Sebelum
Lebih terperinciREGRESI LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS
REGRESI LINEAR DAN ELIMINASI GAUSS Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Diketahui data eksperimen tersaji dalam tabel berikut ini
Lebih terperinciSCRIPT PERSAMAAN CRAMER
SCRIPT PERSAMAAN CRAMER Program ; Uses crt; var a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,c1,c2,c3 : integer; D, Dx, Dy, Dz, x, y, z: real; Begin clrscr; writeln ('PENYELESAIAN PERS ALJABAR LINEAR':50); writeln
Lebih terperinciMetode Matematika untuk Geofisika
Metode Matematika untuk Geofisika Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.ac.id ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri9@gmail.com ) Edisi I Revisi terakhir tgl: Desember 009 Departemen
Lebih terperinciMATRIK DAN KOMPUTASI
MATRIK DAN KOMPUTASI Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Fukuoka, 5 Feb 2005 Catatan ini bermaksud menjelaskan secara singkat
Lebih terperinciSyarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.
Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System
Lebih terperinciBAB II ISI ( ) (sumber:
BAB II ISI A. Permasalahan yang Diberikan Soal saudara dalam UTS ini harus terus digunakan untuk mengerjakan tugas proyek ini, yaitu: prediksi sifat-sifat tekanan uap murni suatu fluida hidrokarbon sebagai
Lebih terperinciMETODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR
METODE FINITE-DIFFERENCE UNTUK PROBLEM LINEAR Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com November 12, 2006 Suatu
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciPENDAHULUAN A. Latar Belakang 1. Metode Langsung Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS) Metode Eliminasi Gauss Dekomposisi LU (DECOLU),
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa.
Lebih terperinciBentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Lebih terperinciSolusi Persamaan Linier Simultan
Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem
Lebih terperinciBAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
Lebih terperinciPenghitungan Polusi Udara Dalam Ruangan dengan Metode Eliminasi Gauss
Penghitungan Polusi Udara Dalam Ruangan dengan Metode Eliminasi Gauss Tri Hastuti Yuniati (23515009) 1 Program Studi Magister Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciBAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
1 BAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Pembahasan berikut ini akan meninjau salah satu implementasi operasi matrik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan. Selain menggunakan
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciMetode Simpleks M U H L I S T A H I R
Metode Simpleks M U H L I S T A H I R PENDAHULUAN Metode Simpleks adalah metode penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciBAB IV. METODE SIMPLEKS
BAB IV. METODE SIMPLEKS Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan. Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Lebih terperinciSolusi Numerik Sistem Persamaan Linear
Solusi Numerik Sistem Persamaan Linear Modul #2 Praktikum AS2205 Astronomi Komputasi Oleh Dr. Muhamad Irfan Hakim Program Studi Astronomi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi
Lebih terperinciISSN (Media Cetak) ISSN (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab
JITEKH, Vol, No, Tahun 27, -5 ISSN 28-577(Media Cetak) ISSN 2549-4 (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab Silmi, Rina Anugrahwaty 2 Staff Pengajar
Lebih terperinciDasar Komputer & Pemrograman 2A
Dasar Komputer & Pemrograman 2A Materi 3 Reza Aditya Firdaus STATEMENT INPUT OUTPUT Dalam bahasa Pascal untuk keperluan input (membaca input) digunakan identifier standar READ atau READLN. Identifier standart
Lebih terperinciMembentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik
Membentuk Algoritma untuk Pemecahan Sistem Persamaan Lanjar secara Numerik Bervianto Leo P - 13514047 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR
PERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR Achmad Dimas Noorcahyo NIM 3508076 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0, Bandung
Lebih terperinciPelatihan fortran JURUSAN TEKNIK SIPIL 2014 / 2015
Pelatihan fortran JURUSAN TEKNIK SIPIL 2014 / 2015 STRUKTUR PROGRAM FORTRAN STRUKTUR DARI PROGRAM FORTRAN DIBAGI MENJADI 5 BAGIAN KOLOM DAN TIAP-TIAP BARIS DI DALAM PROGRAM DAPAT BERISI : 1) METACOMMAND
Lebih terperinciPerulangan Muh. Izzuddin Mahali, M.Cs. Pertemuan 3. Algoritma dan Struktur Data. PT. Elektronika FT UNY
Perulangan Pertemuan 3. Algoritma dan Struktur Data Pendahuluan Digunakan untuk program yang pernyataannya akan dieksekusi berulang-ulang. Instruksi dikerjakan selama memenuhi suatu kondisi tertentu. Jika
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciPengenalan Algoritma & Pemrograman
Pengenalan Algoritma & Pemrograman I Gusti Agung Made Wirautama, S.Kom Agenda ALGORITMA PEMROGRAMAN BAHASA PEMROGRAMAN Definisi Algoritma Algoritma adalah urutan langkahlangkah logis penyeselaian masalah
Lebih terperinciSTATEMEN GO TO DAN IF-THEN. Pertemuan IX
STATEMEN GO TO DAN IF-THEN Pertemuan IX Statemen Alih Kontrol Pada bahasa pemrograman BASIC tidak hanya melakukan eksekusi baris demi baris atau secara berurutan yang tiap barisnya dieksekusi hanya satu
Lebih terperinciSistem Persamaan Aljabar Linier
Sistem Persamaan Aljabar Linier Dimana: a ij = koefisien konstanta; x j = unknown ; b j = konstanta; n = banyaknya persamaan Metode-Metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Aljabar Linier: 1. Metode
Lebih terperinciInterpolasi Cubic Spline
Interpolasi Cubic Spline Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com December 13, 2006 Figure 1: Fungsi f(x) dengan
Lebih terperinciELEMEN DASAR PROGRAM FORTRAN. Kuliah ke-2
ELEMEN DASAR Kuliah ke-2 1 Mengapa dengan FORTRAN? FORmula TRANslation adalah bahasa pemrograman komputer tingkat tinggi yang langsung berorientasi pada permasalahan teknik, dan umum dipakai oleh para
Lebih terperinciBAB 4 Sistem Persamaan Linear. Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear
BAB 4 Sistem Persamaan Linear berbentuk Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear Dengan koefisien dan adalah bilangan-bilangan yang diberikan. Sistem ini disebut
Lebih terperinciPerulangan. Bentuk Proses. 1. Perulangan For positif contoh 1 : perulangan positif untuk satu statement :
Perulangan Bentuk bentuk Perulangan Dalam hampir setiap program yang kompleks mutlak memerlukan suatu perulangan. Tujuan perulangan disini adalah untuk mengulang statement atau blok statement berulang
Lebih terperinciDasar Pemrograman. Kondisi dan Perulangan. By : Hendri Sopryadi, S.Kom, M.T.I
Dasar Pemrograman Kondisi dan Perulangan By : Hendri Sopryadi, S.Kom, M.T.I Kondisi dan Perulangan Pendahuluan Dalam sebuah proses program, biasanya terdapat kode penyeleksian kondisi, kode pengulangan
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciPengantar dalam Bahasa Pemrograman Turbo Pascal Tonny Hidayat, S.Kom
Pengantar dalam Bahasa Pemrograman Turbo Pascal Tonny Hidayat, S.Kom Pengantar Bahasa Pemrograman Pascal Page 1 / 11 Pengenalan Pascal Pascal merupakan salah satu bahasa pemrograman tingkat tinggi. Pemrograman
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciSTATEMENT FORMAT, DATA, PARAMETER, SPESIFIKASI DAN PENGERJAAN. Kuliah ke-3
STATEMENT FORMAT, DATA, PARAMETER, SPESIFIKASI DAN PENGERJAAN Kuliah ke-3 1 PROGRAM FORTRAN STATEMENT FORMAT Bentuk umum penulisan statement FORMAT adalah ; < label statement > FORMAT Penjelasan
Lebih terperinciBAB 2 ARRAY, OPERATOR DAN FORMAT DALAM FORTRAN
BAB 2 ARRAY, OPERATOR DAN FORMAT DALAM FORTRAN TUJUAN Tujuan Instruksi Umum: Menerangkan Operator-Operator Yang Terdapat Dalam FORTRAN. Menerangkan Tentang Array. Menerangkan Tentang Format Specifier Tujuan
Lebih terperinciKomputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-
Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl:
Lebih terperinciMODUL PEMROGRAMAN DENGAN MENGGUNAKAN BAHASA PASCAL CONTOH PROGRAM DENGAN MENGGUNAKAN BAHASA PASCAL (FPC)
MODUL PEMROGRAMAN DENGAN MENGGUNAKAN BAHASA PASCAL CONTOH PROGRAM DENGAN MENGGUNAKAN BAHASA PASCAL (FPC) 1. PENGGUNAAN MASUKAN (INPUT ) fileinp: text ; A,B,C : real ; assign(fileinp, 'input.txt'); reset(fileinp);
Lebih terperinciII. SISTEM PERSAMAAN LANJAR I. PENDAHULUAN
Solusi Sistem Persamaan Lanjar Homogen dengan Eliminasi Gauss-Jordan Sandy Socrates 135844 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciAplikasi OBE Untuk Mengurangi Kompleksitas Algoritma Program Penghitung Determinan Matriks Persegi
Aplikasi OBE Untuk Mengurangi Kompleksitas Algoritma Program Penghitung Determinan Matriks Persegi Alif Bhaskoro / 13514016 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciMATERI 4 PENYELEKSIAN KONDISI
MATERI 4 PENYELEKSIAN KONDISI Terkadang suatu program akan membutuhkan suatu penyeleksian kondisi Dengan menyeleksi suatu kondisi, program dapat menentukan tindakan apa yang harus dikerjakan, tergantung
Lebih terperinciAlgoritma dan Pemrograman Format Laporan dengan Pascal
Eko Nur Wahyudi Fakultas Teknologi Informasi, Universitas Stikubank Semarang email : eko@unisbank.ac.id ABSTRAK : Perlu dipahami bahwa format atau desain suatu laporan sangatlah penting berkaitan dengan
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciMODUL 3 ALGORITMA PEMROGRAMAN
MODUL 3 ALGORITMA PEMROGRAMAN Pada Modul ini anda akan mempelajari 1. Pengenal 2. Nilai 3. Variabel dan Konstanta 4. Penugasan (Assignment) 5. Jenis-jenis tipe data 6. Jenis-jenis operasi dan kaitannya
Lebih terperinciSTRUKTUR KENDALI. Memanfaatkan struktur kendali untuk kasus komputasi
STRUKTUR KENDALI Modul TIK XI Memanfaatkan struktur kendali untuk kasus komputasi Statement kendali digunakan untuk proses pengambilan keputusan. ( PROSES DECISION ) Dimana proses akan dikerjakan bila
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciAlgoritma. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia Algoritma adalah urutan logis pengambilan putusan untuk pemecahan masalah.
Algoritma Algoritma Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia Algoritma adalah urutan logis pengambilan putusan untuk pemecahan masalah. suatu metode khusus yang tepat dan terdiri dari serang kaian langkah
Lebih terperinciMODUL PRAKTIKUM PERCABANGAN DAN PENGULANGAN
PERCABANGAN DAN PENGULANGAN Pada BAB ini akan membahas tentang PERCABANGAN dan PERULANGAN. PERCABANGAN : a) IF THEN b) CASE OF PENGULANGAN: a) REPEAT N TIMES b) REPEAT UNTIL c) WHILE DO d) ITERATE STOP
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciBab 2 DASAR-DASAR ALGORITMA
Bab 2 DASAR-DASAR ALGORITMA Pada bab ini anda akan mempelajari 1. Nama (pengenal) 2. Nilai 3. Variabel dan Konstanta 4. Penugasan (Assignment) 5. Jenis-jenis tipe data 6. Jenis-jenis operasi dan kaitannya
Lebih terperinciPenggunaan Metode Dekomposisi LU Untuk Penentuan Produksi Suatu Industri Dengan Model Ekonomi Leontief
Penggunaan Metode Dekomposisi LU Untuk Penentuan Produksi Suatu Industri Dengan Model Ekonomi Leontief Achmad Dimas Noorcahyo - 13508076 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika
Lebih terperincia. TRUE b. FALSE c. Jawaban A dan B keduanya dimungkinkan benar d. Tidak dapat ditentukan e. Tidak ada jawaban di antara A, B, C, D yang benar
Bidang Studi : Informatika / Komputer Kode Berkas : KOM-L01 (solusi) 1. Jika : A bernilai FALSE B bernilai TRUE Maka pernyataan di bawah bernilai? ((A and B) or (B and not A)) xor (A and B) a. TRUE b.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciPEMROGRAMAN STRUKTURAL
BAHAN AJAR PEMROGRAMAN STRUKTURAL KODE MATA KULIAH : SEMESTER : 2 SKS : 3 SKS DOSEN PENGAMPU : Eko Riswanto, S.T., M.Cs PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER
Lebih terperinciPengantar Algoritma & Flow Chart
PRAKTIKUM 1 Pengantar Algoritma & Flow Chart A. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Mampu memahami suatu masalah dan mampu mencari solusi pemecahannya dan mampu menuangkan langkah-langkah pemecahan masalah tersebut
Lebih terperinciPertemuan 6 Array Objektif: 1. Memahami cara mendeklarasi tipe indeks dalam array 2. Dapat membuat program sederhana menggunakan array Pertemuan 6 53
Pertemuan 6 Array Objektif: 1. Memahami cara mendeklarasi tipe indeks dalam array 2. Dapat membuat program sederhana menggunakan array Pertemuan 6 53 P4.1 Teori Larik / array adalah tipe terstruktur yang
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH PEMROGRAMAN PASCAL * (TK) KODE / SKS: KK /2 SKS
MATA KULIAH PEMROGRAMAN * (TK) Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU 1. Algoritma Konsep Dasar Bahasa Pascal secara singkat sejarah dirancangnya bahasa Memberikan konsep dasar pembuatan program dalam bahasa
Lebih terperinciBAB 3 STRUKTUR KENDALI, SUBROUTINE, DAN FUNGSI
BAB 3 STRUKTUR KALI, SUBROUTINE, DAN FUNGSI TUJUAN Tujuan Instruksi Umum: Menjelaskan kepada mahasiswa mengenai struktur kendali pada Fortran Menjelaskan Kepada mahasiswa mengenai Function dan subroutine
Lebih terperinciPENGULANGAN Bagian 1 : Notasi. Tim Pengajar KU1071 Sem
PENGULANGAN Bagian 1 : Notasi Tim Pengajar KU1071 Sem. 1 2009-2010 1 Tujuan Mahasiswa memahami jenis-jenis pengulangan dan penggunaannya serta memahami elemenelemen dalam pengulangan. Mahasiswa dapat menggunakan
Lebih terperinciSTUDI KASUS TERHADAP PENYELESAIAN SISTEM PERSAMANAAN LINEAR DENGAN ELIMINASI GAUSS. Krisnawati STMIK AMIKOM Yogyakarta
JURNAL DASI ISSN: 4- Vol. No. Maret 9 STUDI KASUS TERHADAP PENYELESAIAN SISTEM PERSAMANAAN LINEAR DENGAN ELIMINASI GAUSS Krisnawati STMIK AMIKOM Yogyakarta Abstraksi Salah satu metode yang digunakan untuk
Lebih terperinciARRAY. Larik / array adalah tipe terstruktur yang terdiri dari sejumlah komponen-komponen yang mempunyai tipe yang sama.
ARRAY Larik / array adalah tipe terstruktur yang terdiri dari sejumlah komponen-komponen yang mempunyai tipe yang sama. 1.1 Deklarasi yang akan dipergunakan harus di deklarasikan terlebih dahulu. Deklarasi
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
Lebih terperinciOperasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
Lebih terperinciCLIQUE MAKSIMAL SEBAGAI KONSEP DASAR PEMBUATAN ALGORITMA CLIQUE-BACK UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH N-RATU
CLIQUE MAKSIMAL SEBAGAI KONSEP DASAR PEMBUATAN ALGORITMA CLIQUE-BACK UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH N-RATU Diny Zulkarnaen Dosen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi dinyzul@gmail.com ABSTRAK Masalah N-ratu
Lebih terperinciKomponen Terhubung dan Jalur Terpendek Algoritma Graf Paralel
Komponen Terhubung dan Jalur Terpendek Algoritma Graf Paralel Yosef Sukianto Nim 13506035 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciBAB 5 PERULANGAN DAN ARRAY
Bab 5 Perulangan dan Array 66 BAB 5 PERULANGAN DAN ARRAY TUJUAN PRAKTIKUM 1. Praktikan mengerti apa yang dimaksud dengan perulangan 2. Praktikan mengerti apa yang dimaksud dengan seleksi kondisi 3. Praktikan
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciP9 Seleksi & Perulangan
P9 Seleksi & Perulangan A. Sidiq Purnomo Program Studi Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Yogyakarta Tujuan Mahasiswa mampu mengetahui dan memahami : Mengetahui dan memahami lebih lanjut Perulangan
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciAlgoritma Brute Force
Algoritma Brute Force Deskripsi Materi ini membahas tentang algoritma brute force dengan berbagai studi kasus Definisi Brute Force Straighforward (lempeng) Sederhana dan jelas Lebih mempertimbangkan solusi
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinciPROSES PENJUALAN BUKU
PROSES PENJUALAN BUKU MAKALAH Makalah ini disusun guna untuk memenuhi tugas TIK akhir tahun kelas XI semester 2 yang membahas tentang Proses Penjualan Buku. OLEH : Ida Mariyatuz Zulfa ( 14 ) Mar atu Sholekhah
Lebih terperinci5. Teknik Pengulangan
5. Teknik Pengulangan Counter Teknik kounter dipakai untuk mengontrol pengulangan proses. Pengontrolan ini dilakukan dengan memeriksa isi variabel yang digunakan sebagai kounter, sehingga junlah pengulangan
Lebih terperinciPERKEMBANGAN PASCAL. Pascal adalah bahasa tingkat tinggi ( high level language) yang orientasinya pada segala tujuan
PERKEMBANGAN PASCAL Pascal adalah bahasa tingkat tinggi ( high level language) yang orientasinya pada segala tujuan Nama pascal diambil sebagai penghargaan terhadap BLAISE PASCAL seorang ahli matematika
Lebih terperinciBAB III. METODE SIMPLEKS
BAB III. METODE SIMPLEKS 3.1. PENGANTAR Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk menyelesaikannya
Lebih terperinciTeori Algoritma. Algoritma Perulangan
Alam Santosa Teori Algoritma Perulangan Algoritma Perulangan Seperti pernah dibahas sebelumnya, kemampuan komputer adalah melakukan pekerjaan yang sama tanpa merasa lelah maupun bosan. Syarat utama memanfaatkan
Lebih terperinciOPERASI MATRIKS. a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44
OPERASI MATRIKS Topik yang akan dibahas transpose perkalian TRANSPOSE Definisi: a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 11 a 21 a 31 a 41 A T = a 12 a 22 a
Lebih terperinciBAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN
1 BAB IV MENGHITUNG AKAR-AKAR PERSAMAAN Dalam banyak usaha pemecahan permasalahan, seringkali harus diselesaikan dengan menggunakan persamaan-persamaan matematis, baik persamaan linier, persamaan kuadrat,
Lebih terperinciARRAY. Vektor adalah bentuk yang sederhana dari array, yang merupakan array dimensi satu. Array N dapat kita bayangkan :
ARRAY Array adalah suatu himpunan hingga elemen, terurut dan homogen. Terurut adalah elemen tersebut dapat diidentifikasikan sebagai elemen pertama, kedua, sampai dengan elemen ke-n. Homogen adalah bahwa
Lebih terperinci