Pertemuan ke-5 ALJABAR BOOLEAN III

Transkripsi

1 Pertemuan ke-5 ALJABAR BOOLEAN III Kompetensi Umum Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat memahami bentuk kanonik dan menuliskan suatu ekspresi aljabar dalam bentuk kanonik. Kompetensi Khusus Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat: 1. Menjelaskan pengertian bentuk kanonik. 2. Menuliskan eskpresi aljabar dua variable dalam bentuk kanonik. 3. Menuliskan eksptesi aljabar tiga variable dalam bentuk kanonik. A. Bentuk Kanonik Bentuk kanonik adalah bentuk standar dari suatu fungsi. Pada bentuk kanonik suatu fungsi akan dinyatakan dalam suatu persamaan operasi AND atau OR antara variabel-variabelnya secara lengkap pada setiap suku. Bentuk kanonik ada 2 cara penulisan: a. Bentuk minterm atau SOP (Sum of Product) b. Bentuk maxterm atau POS (Product of Sum) Bentuk minterm atau SOP (Sum of Product = penjumlahan dari suatu perkalian) atau dikenal dengan Disjunctive Normal Form adalah suatu ekspresi aljabar yang suku-suku dalam fungsi tersebut dihubungkan dengan operasi OR (+) dan variable-variabel dalam setiap sukunya memiliki hubungan operasi AND (.) Halaman 1 dari 8

2 Contoh bentuk minterm atau SOP : f (x,y,z) = x y z + x y z + x yz + x yz + xy z + xy z f (x,y,z) = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5 f (x,y,z) = (0,1,2,3,4,5) Sedangkan ekspresi aljabar yang dinyatakan dalam maxterm atau POS (Product of Sum = perkalian dari suatu penjumlahan) atau disebut dengan Conjunctive Normal Form maka suku-suku dalam fungsi tersebut dihubungkan dengan operasi AND (.) dan variable-variabel dalam setiap sukunya memiliki hubungan operasi OR (+) Contoh bentuk maxterm atau POS : f (x,y,z) = (x+y+z). (x+y+z ). (x+y +z). (x+y +z ). (x +y+z). (x +y+z ) f (x,y,z) = M0. M1. M2. M3. M4. M5 f (x,y,z) = (0,1,2,3,4,5,7) Bentuk minterm adalah komplemen dari bentuk maxterm, demikian pula sebaliknya, bentuk maxterm adalah komplemen dari bentuk minterm. B. Bentuk Kanonik Dua Variabel Tabel bentuk kanonik dua variabel x y Minterm (SOP) Maxterm (POS) Suku Lambang Suku Lambang 0 0 x y m0 x+y M0 0 1 x y m1 x+y M1 1 0 xy m2 x +y M2 1 1 xy m3 x +y M3 Halaman 2 dari 8

3 Contoh Soal: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk SOP dan POS f (x,y) = x + xy Jawab: Bentuk minterm atau SOP Untuk menentukan bentuk minterm atau SOP maka lakukan ekspansi suatu suku berdasarkan hukum komplemen penjumlahan 1 = a+a Sehingga: f (x,y) = x + xy f (x,y) = x 1 + xy f (x,y) = x (y+y ) + xy f (x,y) = xy + xy + xy f (x,y) = xy + xy f (x,y) = m3 + m2 f (x,y) = Σ(2,3) Bentuk maxterm atau POS Untuk menentukan bentuk maxterm atau POS maka lakukan ekspansi hukum distribusi penjumlahan terhadap perkalian. Hukum Distribusi Penjumlahan, a + (bc) = (a+b). (a+c) Sehingga: f (x, y) = x + xy f (x, y) = (x+x). (x+y ) Hukum distributif penjumlahan terhadap perkalian f (x, y) = x. (x+y ) Karena x = x + x f (x, y) = (x+0). (x+y ) Karena x = x + 0 f (x, y) = (x+yy ). (x+y ) Karena yy = 0 f (x, y) = (x+y). (x y ). (x+y ) f (x, y) = (x y). (x y ) f (x, y) = M0. M1 f (x, y) = (0,1) Halaman 3 dari 8

4 Perhatikan bahwa jika bentuk SOP f (x, y) = Σ(2,3) maka bentuk POS adalah f (x, y) = (0,1) Latihan 5-1: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk SOP dan POS 1). f (x, y) = xy + y 2). f (x, y) = x + x y 3). f (x, y) = x C. Bentuk Kanonik Tiga Variabel Tabel bentuk kanonik tiga variable sebagai berikut x y z Minterm Maxterm Suku simbol Suku Symbol x y z m0 x+y+z M x y z m1 x+y+z M x yz m2 x+y +z M x yz m3 x+y +z M xy z m4 x +y+z M xy z m5 x +y+z M xyz m6 x +y +z M Xyz m7 x +y +z M7 Contoh Soal: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk minterm atau SOP dan dalam bentuk maxterm atau POS f (x, y, z) = x y + xy + y Jawab Halaman 4 dari 8

5 Bentuk minterm atau SOP Untuk menentukan bentuk minterm atau SOP maka lakukan ekspansi suatu suku berdasarkan hukum komplemen penjumlahan 1 = a+a Sehingga: f (x, y, z) = x y + xy + y f (x, y, z) = x y1 + xy 1 + y 11 f (x, y, z) = x y(z+z ) + xy (z+z ) + y (x+x ) (z+z ) f (x, y, z) = x yz + x yz + xy z + xy z + (xy + x y ) (z+z ) f (x, y, z) = x yz + x yz + xy z + xy z + xy z + xy z + x y z + x y z f (x, y, z) = m3 + m2 + m5 + m4 + m5 + m4 + m1 + m0 f (x, y, z) = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5 f (x, y, z) = (0,1,2,3,4,5) Bentuk maxterm atau POS Untuk menentukan bentuk maxterm atau POS maka lakukan ekspansi hukum distribusi penjumlahan terhadap perkalian. Hukum Distribusi Penjumlahan, a + (bc) = (a+b). (a+c) Sehingga: f (x, y, z) = x y + xy + y f (x, y, z) = { (x y+x). (x y+y ) } + y f (x, y, z) = { y + (x y+x) }. { y + (x y+y ) } f (x, y, z) = { (y +x+x y) }. { (y +y +x y) } f (x, y, z) = (y +x+x y). (y +x y) f (x, y, z) = (y +x+x ). (y +x+y). (y +x ). (y +y) f (x, y, z) = (x +y ). 1 f (x, y, z) = x +y f (x, y, z) = x +y +zz (karena 0 = zz ) f (x, y, z) = (x +y +z). (x +y +z ) f (x, y, z) = M6. M7 f (x,y,z) = (6,7) Halaman 5 dari 8

6 Perhatikan bahwa jika bentuk SOP f (x,y,z) = Σ(0,1,2,3,4,5) maka bentuk POS adalah f (x,y,z) = (6,7) D. Konversi Bentuk Kanonik Perhatikan bahwa jika suatu fungsi dalam bentuk minterm atau SOP dinyatakan dalam persamaan : f (x,y,z) = Σ(0,1,2,3,4,5) maka bentuk maxterm atau POS dari fungsi terebut adalah : f (x,y,z) = (Σ (6,7) ) Perhatikan penjelasan berikut : Bentuk minterm atau SOP f (x,y,z) = Σ(0,1,2,3,4,5) Bentuk maxterm atau POS adalah: f (x,y,z) = (Σ (6,7)) f (x,y,z) = (m6 + m7) f (x,y,z) = (xyz + xyz) f (x,y,z) = (xyz ). (xyz) (dituliskan dalam term suku-sukunya) (ekspansi berdasarkan hukum De Morgan) f (x,y,z) = (x +y +z). (x +y +z ) f (x,y,z) = M6. M7 f (x,y,z) = (6,7) Latihan 5-2: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk SOP dan POS 1). f (x,y,z) = x + y z 2). f (x,y,z) = x + z 3). f (x,y,z) = x Halaman 6 dari 8

7 E. Bentuk Kanonik Empat Variabel Tabel bentuk kanonik empat variabel w x y Z Minterm Maxterm Suku simbol suku Symbol w x y z m0 w+x+y+z M w x y z m1 w+x+y+z M w x yz m2 w+x+y +z M w x yz m3 w+x+y +z M w xy z m4 w+x +y+z M w xy z m5 w+x +y+z M w xyz m6 w+x +y +z M w xyz m7 w+x +y +z M wx y z m8 w +x+y+z M wx y z m9 w +x+y+z M wx yz m10 w +x+y +z M wx yz m11 w +x+y +z M wxy z m12 w +x +y+z M wxy z m13 w +x +y+z M wxyz m14 w +x +y +z M wxyz m15 w +x +y +z M15 Contoh Soal: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk minterm atau SOP dan dalam bentuk maxterm atau POS f (w,x,y,z) = wx y + wx Jawab Halaman 7 dari 8

8 Bentuk minterm atau SOP f (w,x,y,z) = wx y + wx f (w,x,y,z) = wx y1 + wx11 f (w,x,y,z) = wx y(z+z ) + wx(y+y )(z+z ) f (w,x,y,z) = wx yz + wx yz + (wxy + wxy ) (z+z ) f (w,x,y,z) = wx yz + wx yz + wxyz + wxyz + wxy z + wxy z f (w,x,y,z) = m11 + m10 + m15 + m14 + m13 + m12 f (w,x,y,z) = Σ(10,11,12,13,14,15) Bentuk maxterm atau POS f (w,x,y,z) = (Σ(1,2,3,4,5,6,7,8,9)) f (w,x,y,z) = (m1+m2+m3+m4+m5+m6+m7+m8+m9) f (w,x,y,z) = M1. M2. M3. M4. M5. M6. M7. M8. M9 f (w,x,y,z) = (1,2,3,4,5,6,7,8,9) Latihan 5-3: Tuliskan ekspresi aljabar berikut dalam bentuk SOP dan POS 1). f (w,x,y,z) = w xy + wx z + wyz + xyz 2). f (w,x,y,z) = x + z Halaman 8 dari 8