09/01/2018. Capaian Pembelajaran Mahasiswa dapat menjelaskan konsep diagram Venn, teorema Boolean dan membangun fungsi Boolean.

Transkripsi

1 Prio Handoko, S. Kom., M.T.I. Capaian Pembelajaran Mahasiswa dapat menjelaskan konsep diagram Venn, teorema Boolean dan membangun fungsi Boolean. George Boole (ahli matematika asal Inggris) Aljabar yang memanipulasi variable yg hanya mempunyai dua nilai (True, Flase) 1 atau 0 Rangkaian digital menggunakan tegangan (voltage) rendah (0 volt) untuk nilai 0 atau False atau tegangan tinggi untuk nilai 1 atau True 1

2 Tabel kebenaran untuk F(x,y,z) = x + yz 09/01/2018 Kombinasi antara variables/object yg nilainya true atau false dgn operators Umumnya memiliki banyak input dan satu output Ada 3 operator Boolean yg umum: AND OR NOT Tabel kebenaran untuk AND Tabel kebenaran untuk OR Tabel kebenaran untuk NOT Operator AND biasanya ditulis dengan titik atau tidak pakai titik X AND Y X.Y atau XY Operator OR ditulis dgn tanpa plus (+) X OR Y X + Y Contoh Boolean expression: F(x,y,z) = x + y z 2

3 Tabel kebenaran untuk F(x,y,z) = x + yz 09/01/2018 (x+y) = x y Tabel kebenaran untuk AND berdasarkan Hukum DeMorgan (DeMorgan s Law) Operator Precedence 1. Parentheses 2. NOT 3. AND 4. OR DIAGRAM Venn Diagram yang digunakan untuk menggambarkan prinsip atau dasar logika melalui set/himpunan. S A A Gambar diagram Venn untuk n = 1 Awas! X Y dan X Y 3

4 Gambar diagram Venn untuk n = 2 Gambar diagram Venn untuk n = 3? S A B S ABC ABC AB C A BC AB AB A B AB C A BC A B C A B C binary variables boolean expression + pharantenses boolean expression logic operations Boolean algebra digunakan untuk menyederhanakan (simplify) rangkaian gerbang logika Contoh: F(X, Y, Z) = X + Y. Z >> F = X + Y. Z boolean equations Complement of a function F =(A + B + C) F =(A + B + C) Jika (B+C) = X =(A + X) =A.X teorema de morgan =A.(B+C) =A.B.C Jadi: (A+B+C+D+.F) =A.B.C.D.F 4

5 Complement of a function Cari complement dari fungsi sebagai berikut: 1. F1=X.Y.Z +X.Y.Z 2. F2=X(Y.Z + Y.Z) Jawab: 1. F1 =(X+Y +Z)(X+Y+Z ) 2. F2 =X +(Y+Z)(Y +Z ) Kanonikal (canonical): Menyatakan suatu persamaan dalam hubungan operasi AND atau OR antar variabel secara lengkap pada setiap suku, dan antar suku dihubungkan dengan operasi OR atau AND. Generally, in mathematics, a canonical form (often called normal form or standard form) of an object is a standard way of presenting that object. Bentuk Minterm (m) dan Maxterm (M) untuk 2 variabel biner Minterm untuk 2 variabel Maxterm untuk 2 variabel 5

6 Minterm (m): Suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR. Contoh. Tunjukkan fungsi Boolean F = A + B C dalam minterm Jawab. Fungsi mempunyai 3 variabel A,B dan C Suku pertama A: A = A. 1 = A. (B+B ). (C+C ) = ABC+ABC +AB C+AB C Suku kedua B. C: B. C = B C. 1 = B C. (A+A ) = AB C + A B C Jadi penulisan minterm untuk F = A + B C adalah: F = ABC+ABC +AB C+AB C +A B C = m 7 + m 6 + m 5 + m 4 + m 1 F (ABC) (1, 4, 5, 6, 7) Tabel kebenaran untuk F = A+B C Latihan. Tunjukkan fungsi Boolean F = A B + B C dalam minterm dan gambarkan tabel kebenarannya. 6

7 Maxterm (M): Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap, dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND. Contoh. Tunjukkan fungsi Boolean F = XY + X Z dalam Maxterm Jawab. Fungsi mempunyai 3 variabel X, Y dan Z, dengan menggunakan hukum distributif, maka: F = XY + X Z = (XY + X )(XY + Z) = (X + X )(Y + X )(X + Z)(Y + Z) = (X + Y)(X + Z)(Y + Z) Setelah dilakukan hulum distributif, maka terbentuklah 3 buah suku, yaitu: (X + Y), (X + Z), dan (Y + Z) Suku ke- 1: (X + Y) = X + Y + Z.Z = (X + Y + Z)(X + Y + Z ) 2: (X+ Z) = X + Y.Y + Z = (X + Y + Z)(X + Y + Z) 3: (Y + Z) = X.X + Y + Z = (X + Y + Z)(X + Y + Z) Ketiga suku tersebut kemudian dapat ditulis sebagai berikut: F(XYZ) = (X+Y+Z)(X+Y +Z)(X +Y+Z)(X +Y+Z ) = M 0. M 2. M 4. M 5 F(XYZ) = π (0, 2, 4, 5) 7

8 Tabel kebenaran untuk F = XY + X Z Latihan. Tunjukkan fungsi Boolean F = A B + B C dalam Maxterm dan gambarkan tabel kebenarannya. Literals: Sebuah variabel boolean atau komplemen variabel boolean itu sendiri Contoh: x, x, y, y Product Term: Single literal atau fungsi boolean OR Contoh: x, x + y + z POS (product-of-sum): Single literal atau fungsi boolean AND Contoh: y, x. y. z SOP (sum-of-product): Fungsi boolean OR yang di dalamnya terdapat fungsi boolean AND Contoh: F = xy + yz + xyz F = xy + x(y+z ) bukan SOP POS (product-of-sum): Fungsi boolean AND yang di dalamnya terdapat fungsi boolean OR Contoh: F = (x+y)(x+z )(y+z )(y+z) 8

9 b b r sum termr r r product r term r r r 9