1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus Representasi bilangan dalam komputer Algoritma Software Komputer...

Transkripsi

1 Daftar Isi Contents ii Daftar Tabel iii Daftar Gambar iv 1 Konsep Dasar Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus Representasi bilangan dalam komputer Algoritma Software Komputer Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Metoda Biseksi Metoda Newton-Raphson Metoda Posisi Palsu Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 18 i

2 DAFTAR ISI ii 3.1 Norm Konsep Masalah dalam Aproksimasi Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b Fungsi-Fungsi Aproksimasi Interpolasi dan Polinomial Lagrange Difrensi Terpisah Interpolasi Splin Kubik Solusi Iteratif Integral Terbatas Metoda Numeris untuk Sistem Nonlinier Metoda Titik Tetap Metoda Newton Metoda Numeris Untuk Masalah Nilai Awal Teori Dasar Beberapa Metoda Numeris Metoda Euler Metoda Runge-Kutta Metoda Multistep Linier (MML) Kesimpulan

3 Daftar Tabel 3.1 Difrensi terpisah langkah maju Difrensi terpisah langkah mundur Data f(x) Data hasil eksekusi program iterasi Newton Data hasil eksekusi program metoda Runge-Kutta iii

4 Daftar Gambar 1.1 Approksimasi oleh p 1 (x) Approksimasi oleh p 2 (x) Diagram aproksimasi Interpolasi polinomial Lagrange p 2 (x) terhadap f(x) Approksimasi NFDD p 4 (x) Approksimasi spline kubik S 3 (x) Aturan Trapesium Aturan Simpson Konstruksi automobile Diagram kekonvekan untuk D R Metoda Euler dalam grafik Metoda Runge-Kutta order iv

5 BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Definisi dan Teorema Dalam Kalkulus Pengembangan metoda numerik tidak terlepas dari pengembangan beberapa definisi dan teorema dalam mata kuliah kalkulus yang berkenaan dengan fungsi polinomial f(x). Oleh karena itu dibawah ini akan diingatkan kembali beberapa definisi dan teorema tersebut. Teorema (Nilai Tengah) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b], dan didefinisikan m = Inf a x b f(x) dan M = Sup a x b f(x) maka ada sebarang ξ pada interval [m, M], sehingga paling sedikit satu titik ζ di dalam interval [a, b] akan memenuhi f(ξ) = ζ Teorema (Nilai Rata-Rata) Jika f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b] dan terdefrensialkan pada interval (a, b), maka paling sedikit ada satu titik ξ dalam (a, b) yang memenuhi f(b) f(a) = f (ξ)(b a) Teorema (Integral Nilai Rata-Rata) Jika w(x) adalah fungsi tak negatif 1

6 BAB 1. KONSEP DASAR 2 dan terintegralkan pada interval [a, b], dan misal f(x) kontinyu pada [a, b] maka untuk semua ξ [a, b] b w(x)f(x)dx = f(ξ) b a a w(x)dx Teorema (Teorema Taylor) Jika f(x) mempunyai n+1 turunan kontinyu pada interval [a, b] untuk beberapa n 0 dan bila x, x 0 [a, b] maka f(x) p n (x) + R n+1 (x) (1.1) p n (x) = f(x 0 ) + (x x 0) f (x 0 ) + + (x x 0) n f (n) (x 0 ) (1.2) 1! n! R n+1 (x) = 1 n! untuk ξ antara x 0 dan x x x 0 (x t) n f (n+1) (t)dt (1.3) = (x x 0) n+1 f (n+1) (ξ) (1.4) (n + 1)! p1(x) 1 f(x) Gambar 1.1: Approksimasi oleh p 1 (x) Deret Taylor ini nantinya akan menjadi konsep dasar pengembangan metoda numeris. Beberapa metoda aproksimasi adalah merupakan hasil ekspansi dan pe-

7 BAB 1. KONSEP DASAR 3 menggalan dari deret ini. Sehingga deret ini sendiri juga merupakan model aproksimasi terhadap suatu fungsi f(x) sebagaimana digambarkan dalam contoh berikut ini. Contoh Diketahui f(x) = ln x, tentukan fungsi aproksimasi linear p 1 (x) dan kuadratik p 2 (x) pada x 0 = 1, dan gunakan p 1 (x), p 2 (x) untuk menghitung ln f(x) 0 p2(x) Gambar 1.2: Approksimasi oleh p 2 (x) Penyelesaian f(x) = ln x maka f(x 0 ) = ln 1 = 0, f (x) = 1 x maka f (x 0 ) = 1. Dengan menggunakan teori Taylor kita dapatkan p 1 (x) = ln 1 + (x 1).1 = x 1 p 2 (x) = ln 1 + (x 1) (x 1)2. 1 = (x 1) 1 (x 1)2 2 Dengan demikian ln 1.5 dapat ditentukan dengan cara ln 1.5 = p 1 (1.5) = = 0.5 ln 1.5 = p 2 (1.5) = (1.5 1) 1 2 (1.5 1)2 = Secara grafis aproksimasi dari p 1 (x) dan p 2 (x) terhadap f(x) = ln x dapat ditunjukkan dalam Gambar 1.2 dan 1.2.

8 BAB 1. KONSEP DASAR Representasi bilangan dalam komputer Komputer dapat melakukan operasi pada bilangan dengan mudah, misal = 4, 6 : 2 = 3, dengan pasti komputer dapat menjawab dengan benar. Namun demikian bila komputer mengoperasikan ( 3) 2 maka operasi ini tidak dilakukan dengan cara ( ) = 3 akan tetapi dengan cara melakukan pengakaran bilangan tiga dua kali kemudian keduanya dikalikan. Dapat dipahami bahwa untuk 3 = mempunyai jumlah desimal (digit) yang tidak terbatas sehingga nilai tersebut hanya merupakan nilai pendekatan. Dalam hal melakukan pendekatan ini komputer melakukan pemotongan (Chopping) atau pembulatan (Rounding) dan selanjutnya dimungkinkan muncul beberapa kesalahan yang secara umum dikenal dengan nama kesalahan pembulatan (Rounding error) dan kesalahan pemotongan (Chopping error). Selanjutnya untuk merepresentasikan bilangan real, komputer pada umumnya menggunakan sistem floating-point dengan basis bilangan 2 (biner), 8(octal) dan 16(hexadecimal). Sedangkan format penyimpanannya dalam memori komputer digambarkan sebagai berikut : x = σ ( a 1 a 2... a t ) β β e, (1.5) dimana a 1 0, dan 0 a i β 1, a 1 kemudian disebut titik radik. σ adalah tanda dengan nilai σ = +1 atau 1, dan β adalah basis. e adalah bilangan bulat dengan L e U, dimana L, U masing-masing nilai terkecil dan terbesar. ( a 1 a 2... a t ) β adalah mantisa. Bila bilangan real x dinyatakan dalam x = σ ( a 1 a 2... a t a t+1... ) β β e, (1.6)

9 BAB 1. KONSEP DASAR 5 maka representasi pemotongan desimal dapat dinyatakan dalam bentuk floating point f l(x) sebagai berikut fl(x) = σ ( a 1 a 2... a t ) β β e (1.7) Sedangkan representasi pembulatan dapat ditampilkan sebagai { σ ( a 1 a 2... a t ) β β e ; 0 a t+1 < β 2 fl(x) = σ [( a 1 a 2... a t ) β + ( ) β ] β e β ; a 2 t+1 < β Dalam hal ini f l(x) x, oleh karena itu kesalahan dapat dimunculkan dalam bentuk ɛ = x fl(x), dan kesalahan relatifnya dengan demikian x fl(x) x = ɛ R fl(x) = (1 ɛ R )x (1.8) Jika simbol-simbol operasi mesin komputer dinyatakan dalam,, dan maka operasi jumlah, kurang, kali dan bagi untuk x dan y dalam komputer dinyatakan sebagai berikut: x y = fl(fl(x) + fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)) x y = fl(fl(x) fl(y)). Dengan demikian komputer melakukan floating point terhadap masing-masing komponen bilangan sebelum dan sesudah melakukan operasi. Hal ini bertujuan untuk meminimalkan kesalahan yang dihasilkannya. Secara umum formulasi nilai kesalahannya dari perhitungan aproksimasi terhadap x A (niali eksak) oleh x T (nilai aproksimasi), dapat dinyatakan sebagai E(x A ) = x T x A (1.9)

10 BAB 1. KONSEP DASAR 6 dan kesalahan relatifnya adalah Rel(x A ) = x T x A x T (1.10) 1.3 Algoritma Teorema (Algoritma) Algoritma adalah suatu prosedur yang menggambarkan urut-urutan rapi dan logis dengan tujuan memudahkan pengimplementasian suatu masalah. Selanjutnya, sebagai prosedur logis algoritma harus dapat dengan mudah diinterpretasikan dalam fungsi-fungsi khusus pada komputer prog-ramming. Dua simbol yang digunakan dalam algoritma adalah Period ( ) dan menunjukan akhir prosedur, dan titik koma (;) memisahkan tugas dalam beberapa langkah. Teknik loop (pengulangan) dalam algoritma dapat dinyatakan dengan kontrol penyanggah F or i = 1, 2,..., n Set x i = a i + i h ataupun kontrol bersyarat W hile i < N do Steps 3 6 if... then, if... then... else Misal suatu algoritma untuk menghitung N x i = x 1 + x x N, i=1 dapat diuraikan adalah sebagai berikut INPUT N, x 1, x 2,..., x n. OUTPUT SUM= N i=1 x i. Step 1 Set SUM=0.

11 BAB 1. KONSEP DASAR 7 Step 2 For i = 1, 2, 3,..., N do set SUM = SUM + x i. Step 3 OUTPUT (SUM); STOP. 1.4 Software Komputer Banyak software programming, baik compiler ataupun semi compiler, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah numerik, diantaranya adalah 1. Fortran (LINPACK, EISPACK, LAPACK, BLAS, NAG) 2. Matlab yang library-nya berdasarkan EISPACK dan LINPACK + beberapa Matlab Toolbox 3. Maple, Pascal, Fortran, Turbo C+ dan Turbo Basic, dll.

12 BAB 1. KONSEP DASAR 8 Latihan Tutorial 1 1. Fungsi aproksimasi sebagian besar didasari oleh pengembangan deret Taylor sebutkan teorema Taylor ini. Bila diketahui f(x) = sin x terapkan deret Taylor ini untuk menentukan fungsi aproksimasi kuadratik terhadap f pada x = 0. Kemudian tentukan nilai aproksimasi dari sin 5. Disadari bahwa dalam menghitung nilai sin 5 anda akan mendapatkan kesalahan numeris sebutkan penyebab kesalahan itu. Selanjutnya untuk mengantisipasi kesalahan ini diperlukan format penyimpanan yang baik dalam memori komputer, tentukan format tersebut. Dan bila diberikan nilai eksak x A dan nilai aproksimasi x T, formulasikan kesalahan E(x A ) serta relatif kesalahan Rel(x A ). 2. Tentukan konversi dari masing-masing bilangan dibawah ini kedalam bentuk desimal biasa. (a) ( ) 2 (b) (2A3.F F ) 16 (c) ( ) 2 3. Tentukan fungsi aproksimasi p 1 (x), p 2 (x) dan p 3 (x) dari fungsi dibawah ini pada x 0 = 1. (a) f(x) = ln x + x (b) g(x) = x 2 + 4x + 2 dan tentukan nilai dari ln 3, melalui fungsi aproksimasi f(x). 4. Gunakan deret Taylor untuk menemukan rumusan dari e x, sin x, cos x, e x2 dan 1 1 x pada x 0 = 0 5. Lakukan pembulatan dan pemotongan terhadap bilangan dibawah ini sampai empat desimal dibelakang koma.

13 BAB 1. KONSEP DASAR 9 (a) (b) (c) (d) dan tentukan nilai kesalahan dan kesalahan relatifnya. 6. Gunakan metoda biseksi untuk menyelesaikan persmaan dibawah ini pada interval yang diberikan (a) x cos x = 0 pada interval [0, 1] (b) x 3 7x x 6 = 0 pada interval [1, 1.32] (c) 2x cos x (x + 1) 2 = 0 pada interval [ 3, 2] dengan toleransi ɛ = 1e 2

14 BAB 2 Solusi Persamaan Fungsi Polinomial Definition (Metoda numeris) Metoda numeris adalah suatu model pendekatan dengan menggunakan teknik-teknik kalkulasi berulang (teknik iterasi) untuk mecari penyelesaian hampiran suatu masalah tertentu. Selanjutnya teknik-teknik yang digunakan itu mempunyai potensi membuat suatu nilai kesalahan yang dievaluasi secara bertahap untuk mendapatkan nilai kesalahan yang sangat kecil. Untuk mengawali penjelasan teknik-teknik aproksimasi ini, dalam bab ini akan dimulai dengan pembahasan aproksimasi terhadap suatu titik melalui penyelesaian persamaan fungsi polinomial. f := a 1 x n + a 2 x n 1 + a 3 x n a n = Metoda Biseksi Definition (Prosedur Biseksi) Misal f adalah fungsi kontinyu terdefi-nisi pada interval [a, b], dimana f(a) berbeda tanda dengan f(b). Dengan teori nilai 10

15 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 11 tengah maka ada p (a, b) dengan f(p) = 0 dengan asumsi akar dalam interval (a, b) adalah tungal. Selanjutnya untuk melakukan perhitungan yang akurat kita set a 1 = a dan b 1 = b dan tentukan p 1 lewat p 1 = 1 2 (a 1 + b 1 ) Jika f(p 1 ) = 0, maka p = p 1. Jika tidak, f(p 1 ) akan mempunyai tanda yang sama dengan f(a 1 ) atau f(b 1 ). Jika f(p 1 ) dan f(a 1 ) mempunyai tanda yang sama maka p (p 1, b 1 ) jika tidak maka p (a 1, p 1 ). Selanjutnya set a 2 dan b 2 yang baru dan tentukan p 2 melalui perhitungan yang sama dengan p 1, dan lakukan pengulangan sampai tingkat akurasi tertentu. Untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan ɛ (selanjuntya kita sebut toleransi) dimana toleransi dalam hal ini dapat dipilih p n p n 1 < e p n p n 1 p n < e, p n 0 f(p n ) < e Algoritma Metoda Biseksi INPUT batas interval a, b, ɛ (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=1; F A = f(a) Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 3 Set p = a + (b a)/2; F P = f(p) Step 4 IF F P = 0, atau (b a)/2 < ɛ OUTPUT(p) STOP

16 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 12 Step 5 Set i = i + 1. Step 6 If F A F P > 0 then a = p, F A = F P ; else Set b = p. Step 7 OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) STOP. 2.2 Metoda Newton-Raphson Jika f C 2 [a, b], dan x [a, b] adalah nilai aproksimasi terhadap p sehingga f ( x) 0 dan x p sangat kecil, maka polynomial Taylor dapat dikembangkan untuk x sebagai: f(x) = f( x) + (x x)f (x x)2 ( x) + f (ξ(x)) ! f(x) = f( x) + (x x)f (x x)2 ( x) + f (ξ(x)); ξ(x) (x, x). (2.1) 2 Jika f(p) = 0 maka untuk x = p persamaan (5.1) menjadi 0 = f( x) + (p x)f ( x) + (p x)2 f (ξ(p)) 2 Telah diasumsikan x p sangat kecil, maka suku ketiga dapatlah diabaikan sehingga Formulasikan untuk p didapat 0 = f( x) + (p x)f ( x). p x f( x) f ( x). Dengan menggati x = p n 1 maka formulasi Newton-Raphson dapat diturunkan untuk menggeneralisasi suatu deret {p n } melalui p n = p n 1 f(p n 1) f (p n 1, for n 1. (2.2) )

17 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 13 Sama halnya dengan metoda biseksi, untuk menghentikan pengulangan penghitungan dalam mencari solusi yang akurat harus dikonfirmasikan dengan nilai kesalahan ɛ yang telah ditentukan sehingga p n p n 1 < e p n p n 1 p n < e p n 0 f(p n ) < e Algoritma Metoda Newton-Raphson INPUT nilai awal p 0, ɛ (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=1; Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 7 Step 3 Set p = p 0 f(p 0 )/f (p 0 ); Step 4 IF p p 0 < ɛ OUTPUT(p) STOP. Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p 0 = p (Perbaharui p 0 ) OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) STOP. Metoda Newton ini lebih baik dibandingkan metoda Biseksi, namun demikian proses menentukan f (x) kadangkala merupakan proses yang lebih susah dibandingkan dengan operasi artmatikanya. Untuk menghindari hal tersebut dikembangkan metoda berikut. Ingat definisi turunan Misal x = p n 2 maka f (p n 1 ) = f(x) f(p n 1 ) lim. x p n 1 x p n 1 f (p n 1 ) f(p n 2) f(p n 1 ) p n 2 p n 1 = f(p n 1) f(p n 2 ) p n 1 p n 2.

18 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 14 Substitusikan rumusan ini kedalam rumusan Newton diperoleh rumus: Rumus ini kemudian disebut Metoda Secant Algoritma Metoda Secant p n = p n 1 f(p n 1)(p n 1 p n 2 ) f(p n 1 ) f(p n 2 ). (2.3) INPUT nilai awal p 0, p 1, ɛ (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2; q 0 = f(p 0 ). q 1 = f(p 1 ). Step 2 While i N do Steps 3-6 Step 8 Step 3 Set p = p 1 q 1 (p 1 p 0 )/(q 1 q 0 ). (hitung p i ) Step 4 IF p p 1 < ɛ OUTPUT(p) STOP. Step 5 Set i = i + 1. Step 6 Set p 0 = p 1 ; (Perbaharui p 0, q 0, p 1, q 1 ) q 0 = q 1 ; p 1 = p; q 1 = f(p). OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) STOP. 2.3 Metoda Posisi Palsu Metoda ini menggabungkan ide metoda biseksi dan metoda secant. Dalam penyelesaian f(x) = 0, ditentukan suatu interval [p 0, p 1 ] dimana f kontinyu pada interval ini, dan f(p 0 ).f(p 1 ) < 0 (berlawanan tanda). Prosedur selanjutnya dapat dilihat dalam algoritma berikut ini.

19 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 15 Algoritma Metoda Posisi Palsu INPUT nilai awal p 0, p 1, ɛ (Toleransi), Jumlah iterasi maximum (N) OUTPUT nilai aproksimasi p Step 1 Set i=2; q 0 = f(p 0 ). q 1 = f(p 1 ). Step 2 While i N do Steps 3-7 Step 8 Step 3 Set p = p 1 q 1 (p 1 p 0 )/(q 1 q 0 ). (hitung p i ) Step 4 IF p p 1 < ɛ OUTPUT(p) STOP. Step 5 Set i = i + 1. q = f(p) Step 6 IF q q 1 < 0 maka p 0 = p 1, q 0 = q 1 Step 7 p 1 = p 1, q 1 = q OUTPUT (Metoda gagal setelah N iterasi) STOP.

20 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 16 Latihan Tutorial 2 1. Gunakan algoritma biseksi untuk menentukan anilai aproksimasi pada 3 dan Suatu model yang dipakai untuk mengadakan aproksimasi terhadap suatu masalah adalah metoda numeris, sebutkan definisi formal metoda ini. Selanjutnya implikasi dari penggunaan metoda ini, komputer programming merupakan hal yang sangat penting. Untuk mempermudah menginterpretasikan suatu metoda menjadi suatu programming dibutuhkan algoritma, jelaskan apa yang disebut dengan algoritma. Salah satu algoritma yang digunakan untuk menginterpretasikan proses kalkulasi metoda numeris adalah metoda Newton-Raphson dengan rumusan p n = p n 1 f(p n 1) f (p n 1 ), untuk n 1 Metoda ini adalah metoda yang cukup terkenal, namun proses menentukan f (x) kadangkala merupakan proses yang lebih sulit dibandingkan dengan operasi artmatiknya. lain yaitu Metode Secant dengan rumus Untuk menghindari hal tersebut ditawarkan metoda p n = p n 1 f(p n 1)(p n 1 p n 2 ) f(p n 1 ) f(p n 2 ) untuk n 1. Uraikan bagaimana metoda Newton dikembangkan sehingga menjadi metoda Secant ini. Kemudian bila kalkulasi iteratif diterapkan terhadap metoda ini, maka kalkulasi berulang (looping) akan terus dilakukan, jelaskan apa yang harus dilakukan untuk menghentikan kalkulasi tersebut. 3. f(x) = x 3 cos x dan p 0 = 1, gunakan metoda Newton Raphson untuk menentukan p 2 4. Gunakan algoritma Newton untuk menentukan masing-masing soal dibawah ini dengan tingkat ketelitian (toleransi) e = 1e 5

21 BAB 2. SOLUSI PERSAMAAN FUNGSI POLINOMIAL 17 (a) e x + 2 x + 2 cos x 6 = 0 untuk [1,2] (b) ln(x 1) + cos(x 1) = 0 untuk [1.3,2] (c) 2x cos 2x (x 2) 2 = 0 untuk [2,3] 5. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda secant 6. Ulangi soal nomor 8 diatas dan gunakan metoda posisi palsu

22 BAB 3 Interpolasi dan Aproksimasi Polinomial 3.1 Norm Definisi (Norm vektor) Norm vektor adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x IR N yang disimbolkan dengan x sedemikian hingga memenuhi sifat-sifat dibawah ini 1. x > 0 untuk x 0, atau x = 0, untuk x = 0 2. αx = α x 3. x + y x + y Contoh x 1 = x 2 = n x i i=1 ( n i=1 x i 2 ) 1 2, (Norm Euclid) 18

23 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 19 x p = ( n i=1 x = max 1 i n x i x i p ) 1 p Definisi (Norm matrik) Norm matrik adalah pemetaan dari suatu fungsi terhadap setiap x IR N N yang disimbolkan dengan A sedemikian hingga memenuhi sifat-sifat dibawah ini 1. A > 0 untuk A 0, atau A = 0, untuk A = 0 2. αa = α A 3. A + B A + B 4. AB A B Contoh A F = ( n i=1 n j=1 a i j 2 ) 1 2 (Norm F robenius) A v = max x 0 Ax v x v Definisi (Ruang Linier (RL)) Himpunan F dikatakan suatu ruang lini-er bila operasi penjumlahan dan perkalian terdefinisi didalamnya sehingga f g F dan αf + βg F untuk f, g F. Definisi (Ruang Linier Norm (RLN)) F dikatakan ruang linier norm bila F adalah merupakan RL dan terdapat fungsi norm sehingga 1. f > 0 untuk f 0, atau f = 0, untuk f = 0

24 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL αf = α f 3. f + g f + g untuk semua f, g F 3.2 Konsep Masalah dalam Aproksimasi Misal f F dan f / P maka masalah dalam aproksimasi sebenarnya adalah menentukan p P sedemikian hingga f p f p, p P kemudian p dikatakan suatu aproksimasi terbaik terhadap f. Hal ini dapat digambarkan dalam diagram Venn berikut ini p p* f F P Gambar 3.1: Diagram aproksimasi Beberapa fungsi aproksimasi p(x) untuk menghampiri fungsi f(x) dalam F = C[a, b] adalah sebagai berikut P = {p : p(x) = a 1 + a 2 x + + a n x n 1 } P = {p : p(x) = n r=1 a rφ r, a r R, φ r C[a, b]}

25 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 21 P = {p : p(x) = P n 0 arxr P n 0 b rx r } P = {p : p(x) = n r=1 α re λ rx }. Sedangkan dalam F = IR N adalah P = {p : p(x) = n r=1 a rφ r, a r IR N, φ r IR N } Teorema (Teorema Weirstrass) Misal f terdefinisi dan terdifrensialkan pada interval [a, b] maka terdapat polinomial p(x) yang juga terdefinisi dan terdifrensialkan pada interval tersebut sedemikian hingga untuk nilai ɛ > 0 berlaku dan x [a, b] f(x) p(x) < ɛ, Contoh F = C[a, b] dan f F, tunjukkan bahwa berikut dibawah ini merupakan RLN f p = ( b f = max a x b f(x) a ) 1 f(x) p p dx ; 1 p 3.3 Solusi Iteratif Untuk Sistem Linier Ax = b Suatu sistem linier dapat digambarkan sebagai a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 ; a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 ; a 31 x 1 + a 32 x a 3n x n = b 3 ; (3.1). a nn x 1 + a n2 x a nn x n = b n. Bila A merupakan matrik yang memuat koefisien variabel x 1, x 2,..., x n maka sistem linier itu dapat direduksi sistem Ax = b. Ada banyak metoda yang dapat

26 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 22 digunakan dalam menyelesaikan sistem ini. Diantaranya metoda langsung dan metoda iteratif. Namun demikian sesuai dengan perkembangan hardware dan software komputer solusi dengan metoda iteratif ini menjadi sangat populer dan terus dikembangkan. Metoda langsung memanfaakan konsep invers dalam matrik sehingga sistem Ax = b dapat diselesaikan melalui A 1 Ax = A 1 b x = A 1 b Teknik ini dipandang tidak efisien dan efektif, bahkan dimungkinkan suatu sistem tidak dapat diselesaikan karena proses kalkulasi panjang yang harus dikerjakan, yaitu berkenaan dengan penghitungan invers matrik A. Metoda iteratif menguraikan matrik A ini kedalam unsur matrik yang lebih sederhana dan mudah dihitung oleh komputer. Misal A=D-L-U, dimana D adalah matrik diagonal, L adalah negatif matrik segitiga bawah satu tahap dibawah diagonal utama dan U adalah negatif matrik segiatiga atas satu tahap diatas diagonal utama maka sistem diatas dapat dinyatakan sebagai berikut (D L U)x = b (3.2) Dx (L + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b x = D 1 (L + U)x + D 1 b. Misal J = D 1 (L + U) maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai x j+1 = Jx j + D 1 b. (3.3) Metoda ini disebut metoda Jacobi. Untuk meningkatkan kecepatan tingkat konvergensi dari metoda Jacobi, ditetapkanlah suatu koefisien redaman ω R sebagai faktor akselerasi terhadap metoda

27 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 23 ini sedemikian hingga dapat disajikan dengan bentuk dibawah ini x j+1 = [ (1 ω)i + ωj ] x j + ωd 1 b. (3.4) Metoda ini disebut metoda Jacobi teredam (damped Jacobi). Bentuk lain dari penyederhanaan (3.2) adalah sebagai berikut (D L)x Ux = b (D L)x = Ux + b x = (D L) 1 Ux + (D L) 1 b Misal G = (D L) 1 U maka secara iteratif dapat diformulasikan sebagai x j+1 = Gx j + (D L) 1 b (3.5) Metoda ini disebut metoda Gauss-Seidel. Metoda-metoda iteratif ini dihitung berdasarkan suatu nilai awal yang dalam hal ini x 0, kemudian dengan rumusan itu dilanjutkan perhitungan untuk x 1, x 2,... sehingga diperoleh deret {x i } n i=0. Deret ini akan konvergen terhadap nilai eksak x. Dapat dilihat disini bahwa proses penghitungan secara berulang terjadi sehingga dinamakan model solusi iteratif. Untuk menghentikan proses pengulangan ini, hasilnya harus dikonfirmasikan dengan toleransi ɛ yang dalam hal ini dapat ditentukan dari nilai dibawah ini ɛ = b Ax 1 ɛ = b Ax 2 ɛ = b Ax

28 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL Fungsi-Fungsi Aproksimasi Interpolasi dan Polinomial Lagrange Polinomial Taylor yang sementara ini sudah cukup baik melakukan interpolasi terhadap suatu fungsi masih memiliki kelemahan diantaranya kekurangakuratan melakukan suatu aproksimasi. Hal ini disebabkan polinomial ini melakukan aproksimasi hanya berdasarkan satu titik tertentu. Dengan demikian interpolasi yang paling akurat hanya terjadi disekitar titik itu. Oleh karena itu diperlukan eksplorasi terhadap polinomial lainnya, polinomial Lagrange misalnya. Polinomial ini mengembangkan interpolasi terhadap suatu fungsi dibeberapa titik terhubung, sehingga interpolasinya berdasarkan titik-titik yang telah ditentukan terlebih dahulu pada fungsi itu. Semakin dekat jarak penentuan titik yang satu dengan titik yang lainnya semakin akurat aproksimasinya. Dengan kata lain tingkat akurasinya ditentukan oleh kedekatan antara titik-titik (grid) pada fungsi tadi. Teorema (Polinomial Langrange ke-n) Jika x 0, x 1, x 2,... adalah bilangan berbeda dan f adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada titik-titik ini, maka ada dengan tungggal suatu polinomial p(x) berderajad paling besar n yang memenuhi sifat-sifat berikut f(x) = p(x) dimana p k (x) = f(x 0 )L n,0 (x) + + f(x n )L n,n (x) = n f(x k )L n,k (x) k=0 dan untuk k=0,1,2,..., n L n,k (x) = n i=0 i k (x x i ) (x k x i )

29 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 25 Dalam hal ini L n,k (x) dapat ditulis dngan L k (x) bila dianggap rancu dengan pengertian derajad n. Polinomial Lagrange ini memenuhi sifat sebagai berikut: { 0 jika i k L n,k (x i ) = 1 jika i = k Contoh 1 Gunakan titik-titik x 0 = 2, x 1 = 2.5 dan x 2 = 4 untuk menentukan interpolasi polinomial kedua terhadap f(x) = 1/x. Solusi 1 L 0 (x) = L 1 (x) = L 2 (x) = (x 2.5)(x 4) = (x 6.5)x + 10 (2 2.5)(2 4) (x 2)(x 4) ( 4x + 24)x 32 = (2.5 2)(2.5 4) 3 (x 2)(x 2.5) (x 4.5)x + 5 = (4 2)(4 2.5) 3 jika f(x 0 ) = f(2) = 0.5, f(x 1 ) = f(2.5) = 0.4, f(x 2 ) = f(4) = 0.25, maka didapat p 2 (x) = 2 f(x k )L k (x) k=0 = 0.5((x 6.5)x + 10) = (0.05x 0.425)x ( 4x + 24)x 32 3 (x 4.5)x Interpolasi oleh p 2 (x) terhadap f(x) dapat digambarkan dibawah ini Difrensi Terpisah Difrensi terpisah menyempurnakan interpolasi polinomial Lagrange dengan mengekspresikan bentuk p n (x) dalam p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) a n (x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) (3.6)

30 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL f(x) p2(x) Gambar 3.2: Interpolasi polinomial Lagrange p 2 (x) terhadap f(x) dimana a 0, a 1,..., a n adalah konstanta. Selanjutnya bila kita tentukan x = x 0 maka persamaan (3.6) menjadi dan x = x 1 maka sehingga dengan demikian dapat dikatakan dan sehingga difrensi terpisah ke k p n (x 0 ) = a 0 = f(x 0 ) f[x 0 ], (3.7) p n (x 1 ) = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) = f(x 1 ), p n (x 1 ) = f(x 0 ) + a 1 (x 1 x 0 ) = f(x 1 ), a 1 = f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 f[x 0, x 1 ], (3.8) f[x i, x i+1 ] = f[x i+1] f[x i ] x i+1 x i (3.9) f[x i, x i+1, x i+2 ] = f[x i+1, x i+2 ] f[x i, x i+1 ] x i+2 x i (3.10) f[x i, x i+1,..., x i+k ] = f[x i+1, x i+2,..., x i+k ] f[x i, x i+1,..., x i+(k 1) ] x i+k x i. (3.11)

31 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 27 Dan terakhir persamaan (3.6) menjadi p n (x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) f[x 0, x 1,..., x n ](x x 0 )(x x 1 )... (x x n 1 ) (3.12) Selanjuntya untuk maka x = x 0 + sh x = x i + (s i)h atau h = x x i s i, i = 0, 1, 2,..., n p n (x) = p n (x 0 + sh) = f[x 0 ] + shf[x 0, x 1 ] + s(s 1)h 2 f[x 0, x 1, x 2 ] + + s(s 1)... (s (n 1))h n f[x 0, x 1,..., x n ] (3.13) n = s(s 1)... (s k + 1)h k f[x 0, x 1,..., x k ] (3.14) k=0 Bukti Pada suku kedua dari persamaan (3.13) h dapat diganti dengan h = x x 0 ), pada s suku ketiga h 2 dapat diganti dengan h h = begitu juga suku keempat, kelima dan seterusnya. ( x x 0 s )( x x 1 s 1 Sekarang kita nyatakan (3.14) dalam ekspresi ( ) n s p n (x) = p n (x 0 + sh) = k!h k f[x 0, x 1,..., x k ] k k=0 dimana ( s k ) = s(s 1)... (s k + 1) k!

32 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 28 Dan diperkenalkan difrensi langkah maju sebagai berikut sehingga f(x n ) = f(x n+1 ) f(x n ) f[x 0, x 1 ] = f(x 1) f(x n ) x 1 x 0 = 1 h f(x 0) f[x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 = 1 2h [ 1 h f(x 2) 1 h f(x 0)] = 1 2h 2 f(x 0) f[x 0,..., x k ] = 1 k!h k k f(x 0 ) (3.15) x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x 0 f[x 0 ] f[x 0, x 1 ] x 1 f[x 1 ] f[x 0, x 1, x 2 ] = f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] = f[x 1,x 2,x 3 ] f[x 0,x 1,x 2 ] x 3 x 0 x 2 f[x 2 ] f[x 1, x 2, x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2, x 3, x 4 ] = f[x 2,x 3,x 4 ] f[x 1,x 2,x 3 ] x 4 x 1 x 3 f[x 3 ] f[x 2, x 3, x 4 ] = f[x 3,x 4 ] f[x 2,x 3 ] x 4 x 2 f[x 3, x 4 ] f[x 2, x 3, x 4, x 5 ] = f[x 3,x 4,x 5 ] f[x 2,x 3,x 4 ] x 5 x 2 x 4 f[x 4 ] f[x 3, x 4, x 5 ] = f[x 4,x 5 ] f[x 3,x 4 ] x 5 x 3 f[x 4, x 5 ] x 5 f[x 5 ] Tabel 3.1: Difrensi terpisah langkah maju.

33 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 29 Substitusikan ini kedalam persamaan ( n p n (x) = p n (x 0 + sh) = maka diperoleh bentuk k=0 s k ) k!h k f[x 0, x 1,..., x k ] p n (x) = p n (x 0 + sh) = n k=0 ( s k ) k f(x 0 ). Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Maju Newton (NFDD). Untuk mempermudah dapat disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah maju sebagaimana tabel 3.1. Selanjutnya bila urutan itu dibalik yaitu x n, x n 1, x n 2,..., x 0, maka p n (x) dapat dinyatakan dalam p n (x) = a 0 + a 1 (x x n ) + a 2 (x x n )(x x n 1 ) +... dimana a 0, a 1,..., a n adalah konstanta. +a n (x x n )(x x n 1 )... (x x 1 ) (3.16) Misal kita tentukan x = x n maka persamaan (3.16) menjadi dan untuk x = x n 1 maka sehingga p n (x n ) = a 0 = f(x n ) f[x n ], (3.17) p n (x n 1 ) = a 0 + a 1 (x n 1 x n ) = f(x n 1 ), p n (x n 1 ) = f(x n ) + a 1 (x n 1 x n ) = f(x n 1 ), a 1 = f(x n 1) f(x n ) x n 1 x n = f(x n) f(x n 1 ) x n x n 1 f[x n, x n 1 ]. (3.18)

34 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 30 Dengan demikian persamaan (3.16) menjadi p n (x) = f[x n ] + f[x n, x n 1 ](x x n ) + f[x n, x n 1, x n 2 ](x x n )(x x n 1 ) f[x n, x n 1,..., x 0 ](x x n )(x x n 1 )... (x x 1 ) (3.19) Selanjutnya untuk maka x = x n + sh x = x n i + (s + i)h atau h = x x n i, i = 0, 1, 2,..., n 1 s + i p n (x) = p n (x n + sh) Bukti = f[x n ] + shf[x n, x n 1 ] + s(s + 1)h 2 f[x n, x n 1, x n 2 ] + + s(s + 1)... = (s + (n 1))h n f[x n, x n 1,..., x 0 ] (3.20) n s(s + 1)... (s + k 1)h k f[x n, x n 1,..., x 0 ] k=0 Pada suku kedua dari persamaan (3.16) h dapat diganti dengan h = x n x n 1 ( )( ), pada s suku ketiga h 2 dapat diganti dengan h h = begitu juga suku keempat, kelima dan seterusnya. Sehingga kita memiliki ekspresi p n (x) = p n (x 0 + sh) = dimana ( s k ) k=0 x n x n 1 s x x n 2 s+1 ( ) n ( 1) k s k!h k f[x n, x n 1,..., x 0 ] k k s(s 1)... (s k + 1) = ( 1) k! Diperkenalkan juga bentuk difrensi langkah mundur f(x n ) = f(x n ) f(x n 1 ); n 1 k f(x n ) = ( k 1 f(x n )); k 2

35 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 31 maka x f(x) D. T. I D. T. II D. T. III x 0 f[x 0 ] f[x 1, x 0 ] x 1 f[x 1 ] f[x 2, x 1, x 0 ] = f[x 1,x 0 ] f[x 2,x 1 ] x 0 x 2 f[x 2, x 1 ] f[x 3, x 2, x 1, x 0 ] = f[x 2,x 1,x 0 ] f[x 3,x 2,x 1 ] x 0 x 3 x 2 f[x 2 ] f[x 3, x 2, x 1 ] = f[x 2,x 1 ] f[x 3,x 2 ] x 1 x 3 f[x 3, x 2 ] f[x 4, x 3, x 2, x 1 ] = f[x 3,x 2,x 1 ] f[x 4,x 3,x 2 ] x 1 x 4 x 3 f[x 3 ] f[x 4, x 3, x 2 ] = f[x 3,x 2 ] f[x 4,x 3 ] x 2 x 4 f[x 4, x 3 ] f[x 5, x 4, x 3, x 2 ] = f[x 4,x 3,x 2 ] f[x 5,x 4,x 3 ] x 2 x 5 x 4 f[x 4 ] f[x 5, x 4, x 3 ] = f[x 4,x 3 ] f[x 5,x 4 ] x 3 x 5 f[x 5, x 4 ] x 5 f[x 5 ] Tabel 3.2: Difrensi terpisah langkah mundur. dan akhirnya f[x n, x n 1 ] = f(x n) f(x n 1 ) x n x n 1 = 1 h f(x n) f[x n, x n 1, x n 2 ] = f[x n, x n 1 ] f[x n 1, x n 2 ] x n x n 2 = 1 2h 2 2 f(x n ) f[x n, x n 1,..., x 0 ] = k=0 1 k!h k k f(x n ) (3.21) Substitusikan ini kedalam persamaan ( ) n p n (x) = p n (x 0 + sh) = ( 1) k s k!h k f[x n, x n 1,..., x 0 ] k

36 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 32 maka diperoleh bentuk p n (x) = p n (x 0 + sh) = n k=0 ( 1)k ( s k ) k f(x n ). Formulasi ini disebut Difrensi Terpisah Langkah Mundur Newton (NBDD). Dalam hal ini dapat pula disusun suatu tabel difrensi terpisah langkah mudur yang disajikan dalam Tabel 3.2. Contoh 2 Suatu data diberikan dalam tabel berikut ini Tentukan interpolasi difrensi x f(x) Tabel 3.3: Data f(x) terpisal langkah maju p 4 terhadap data tersebut dan tentukan nilai aproksimasi dari f(1.5). Solusi 2 Dengan menggunakan difrensi terpisah langkah maju didapatkan tabel berikut ini Sehingga formulasi dari NFDD adalah sebagai berikut p 4 (x) = (x 1.0) (x 1.0)(x 1.3) (x 1.0)(x 1.3)(x 1.6) (x 1.0)(x 1.3)(x 1.6)(x 1.9)

37 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 33 i x i f[x i ] FDD I FDD II FDD III FDD IV Selanjutnya dapat ditentukan f(1.5) p 4 (1.5) = Gambar dibawah ini menunjukkan bagaimana p 4 (x) menginterpolasi data f(x) p4(x) Gambar 3.3: Approksimasi NFDD p 4 (x) Interpolasi Splin Kubik Definisi Fungsi f terdefinisi pada interval [a, b] dan diberikan himpunan titik x 0, x 1,..., x n dimana a = x 0 < x 1 < < x n = b, maka interpolasi splin

38 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 34 kubik S untuk f adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa sarat berikut ini 1. S(x) adalah fungsi polinomial kubik, dinotasikan dengan S j (x), yang terdefinisi pada subinterval [x j, x j+1 ] untuk masing-masing j = 0, 1,..., n 1; 2. S(x j ) = f(x j ) untuk setiap j = 0, 1,..., n; 3. S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ) untuk setiap j = 0, 1,..., n 2; 4. S j+1(x j+1 ) = S j(x j+1 ) untuk setiap j = 0, 1,..., n 2; 5. S j+1(x j+1 ) = S j (x j+1 ) untuk setiap j = 0, 1,..., n 2; 6. dan satu diantara sarat batas berikut terpenuhi (a) S (x 0 ) = S (x n ) = 0 (sarat batas bebas atau alami); (b) S (x 0 ) = f (x 0 ) dan S (x n ) = f (x n ) (sarat batas terikat); Selanjutnya jika sarat batas bebas yang terjadi maka splin ini dinamakan Splin Alami, dan sebaliknya bila sarat batas terikat yang terjadi maka disebut Splin Terikat. Splin Kubik Alami Untuk membangun splin kubik ini pertama kali kita tulis interpolasi plonomial kubik S j (x) = a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) 2 + d j (x x j ) 3 ; j = 0, 1,..., n 1 (3.22) Untuk x = x j, maka S j (x j ) = a j = f(x j ) (3.23) dan untuk x = x j+1 maka a j+1 = S j+1 (x j+1 ) = S j (x j+1 ) = a j + b j (x j+1 x j ) + c j (x j+1 x j ) 2 + d j (x j+1 x j ) 3

39 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 35 j = 0, 1,..., n 2. Bila h j = x j+1 x j a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + d j h 3 j; j = 0, 1,..., n 1 (3.24) Sekarang didefinisikan b n = S n(x) dan turunan pertama (3.22) adalah sehingga S j(x) = b j + 2c j (x x j ) + 3d j (x x j ) 2 b j+1 = S j+1(x j+1 ) = S j(x j+1 ), (lihat poin5. pada definisi) = b j + 2c j h j + 3d j h 2 j; j = 0, 1,..., n 1. (3.25) Sekarang permisalkan c = S n(x), dan turunan kedua dari (3.22) adalah 2 sehingga S j (x) = 2c j + 6d j (x x j ) Substitusikan persamaan ini ke (3.24)dan (3.25) didapat c j+1 = c j + 3d j h j d j = (c j+1 c j ) 3h j (3.26) a j+1 = a j + b j h j + c j h 2 j + (c j+1 c j )h 3 j 3h j ; dan = a j + b j h j + h2 j 3 (2c j + c j+1 ) (3.27) b j+1 = b j + 2c j h j + 3 (c j+1 c j )h 2 j 3h j ; = b j + h j (c j + c j+1 ) (3.28) Ekspresikan persamaan (3.27) dalam b j dan kemudian reduksi indeknya satu kali b j = 1 h j (a j+1 a j ) h j 3 (2c j + c j+1 ). (3.29) b j 1 = 1 h j 1 (a j a j 1 ) h j 1 3 (2c j 1 + c j ). (3.30)

40 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 36 Reduksi juga indek dari persamaan (3.28) satu kali Substitusikan (3.29) dan (3.30) ke (3.31) 1 h j (a j+1 a j ) h j 3 (2c j + c j+1 ) = Kelompokkan seluruh variabel c keruas kiri b j = b j 1 + h j 1 (c j 1 + c j ) (3.31) 1 h j 1 (a j a j 1 ) h j 1 3 (2c j 1 + c j ) + h j 1 3 (2c j 1 + c j ). h j 1 3 (2c j 1 + c j ) h j 1 (c j 1 + c j ) h j 3 (2c j + c j+1 ) = 1 h j (a j+1 a j ) + 1 h j 1 (a j a j 1 ) h j 1 (2c j 1 + c j ) + 3h j 1 (c j 1 + c j ) + h j (2c j + c j+1 ) = 3 h j (a j+1 a j ) 3 h j 1 (a j a j 1 ) Dengan demikian diperoleh bentuk indek berurut dari koefisien c h j 1 c j 1 + 2(h j 1 + h j )c j + h j c j+1 = 3 h j (a j+1 a j ) 3 h j 1 (a j a j 1 ), (3.32) dimana j = 1, 2,..., n 1. Splin kubik alami memenuhi kondisi S (x 0 ) = S (x n ) = 0, dengan demikian

41 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 37 masing-masing j dapat diformulasikan sebagai berikut j = 0 c 0 = 0; j = 1 h 0 c 0 + 2(h 0 + h 1 )c 1 + h 1 c 2 = 3 h 1 (a 2 a 1 ) 3 h 0 (a 1 a 0 ); j = 2 h 1 c 1 + 2(h 1 + h 2 )c 2 + h 2 c 3 = 3 h 2 (a 3 a 2 ) 3 h 1 (a 2 a 1 ); ;. j = n 1 h n 2 c n 2 + 2(h n 2 + h n 1 )c n 1 + h n 1 c n = 3 h n 1 (a n a n 1 ) 3 h n 2 (a n 1 a n 2 ); j = n c n = 0. Persamaan ini terdiri dari n persamaan dan n variable c j yang akan dicari, dengan kata lain menyelesaikan persamaan ini adalah sama dengan menyelesaikan suatu sistem linier Ax = b, dimana h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 A = 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h 2 0 h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n dan b = 0 3 h 1 (a 2 a 1 ) 3 h 0 (a 1 a 0 ) 3 h 2 (a 3 a 2 ) 3 h 1 (a 2 a 1 ). 3 h n 1 (a n a n 1 ) 3 h n 2 (a n 1 a n 2 ) 0, x = c 0 c 1 c 2. c n 1 c n Matrik A adalah matrik yang elemennya mendominasi diagonal sejajar dengan diagonak utama (strictly diagonally dominant), diluar itu nilainya nol. Hal ini

42 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 38 membantu dalam melakukan kalkulasi untuk x. Dengan menggunakan metoda iteratif, sistem linier itu dapat diselesaikan dengan mudah. Algoritma splin kubik alami INPUT n; x 0, x 1,..., x n ; a 0 = f(x 0 ),..., a n = f(x n ). OUTPUT a j, b j, c j, d j, untuk j = 1, 2,..., n 1(Catatan : S j (x j ) = a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) 2 + d j (x x j ) 3 untuk x j x x j+1.) Step 1 for i = 0, 1,..., n 1 dan Set h i = x i+1 x i. Step 2 Step 3 for i = 1,..., n 1 dan Set α i = 3 h i (a i+1 a i ) 3 h i 1 (a i a i 1 ) Set l 0 = 1(Langkah 3,4,5 dan sebagian dari 6 adalah algoritma µ 0 = 0; z 0 = 0. Step 4 for i = 1, 2,..., n 1 untuk menyelesaikan sistem linier tridiagonal Ax = b) set l i = 2(x i+1 x i 1 ) h i 1 µ i 1 ; µ i = h i /l i ; Step 5 Set l n = 1; z i = (α i h i 1 z i 1 )/l i. z n = 0; c n = 0. Step 6 for j = n 1, n 2,..., 0 set c j = z j µ j c j+1 ; b j = (a j+1 a j )/h j h j (c j+1 + 2c j )/3; d j = (c j+1 c j )/(3h j ). Step 7 OUTPUT(a j, b j, c j, d j, untuk j = 1, 2,..., n 1); STOP.

43 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 39 Contoh 3 Tentukan interpolasi splin kubik pada data berikut ini x j a j = f(x j ) Solusi 3 Polinomial kubik dalam hal ini adalah S j (x j ) = a j + b j (x x j ) + c j (x x j ) 2 + d j (x x j ) 3, dimana j = 1,..., n 1. Karena n = 3 maka j = 1, 2, dengan asumsi j = 0 c 0 = 0 dan j = 3 c 3 = 0 sehingga dan b = h 0 2(h 0 + h 1 ) h 1 0 A = 0 h 1 2(h 1 + h 2 ) h h 1 (a 2 a 1 ) 3 h 0 (a 1 a 0 ) 3 h 2 (a 3 a 2 ) 3 h 1 (a 2 a 1 ) 0, x = Dengan memasukkan nilai h j dan a j dapatlah diperoleh matrik dan vektor sebagai berikut A = c 0 c 1 c 2 c 3

44 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 40 dan b = Dengan menyelesaikan sistem itu diperoleh vektor x sebagai berikut c 0 0 c 1 x = = c 2 c 3 Sedang b j dan d j dapat dihitung dengan menggunakan rumus (3.29) dan (3.26). Hasil selengkapnya dapat dilihat dalam tabel berikut 0 x j a j b j c j d j Grafik dibawah ini menunjukkan interpolasi splin kubik terhadap suatu data *. 3.5 Solusi Iteratif Integral Terbatas Teknik numeris untuk menghitung integral tertentu yang dikenal sebagai Integrasi Numeris dibutuhkan untuk menyelesaikan atau menghitung nilai integral dimana fungsi yang diintegralkan tidak mempunyai antiturunan yang eksplisit atau fungsi yang antiturunannya tidak mudah ditentukan. Suatu metoda yang cukup dasar sekali adalah metoda numeris kuadratur. Metoda ini menggunakan rumus jumlah n i=0 a if(x i ) untuk menghitung nilai approksimasi terhadap b f(x)dx. a

45 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL S3(x) Gambar 3.4: Approksimasi spline kubik S 3 (x) Interpolasi fungsi approksimasi metoda ini didasarkan atas pemilihan dan pengembangan interpolasi polinomial Lagrange karena polinomial ini dianggap merupakan fungsi approksimasi yang terbaik p. Prosedur penurunannya diawali dengan menentukan himpunan titik-titik berbeda x 0,..., x n dari interval [a, b], selanjutnya mengintegralkan polinomial Lagrange dan suku kesalahan pemenggalannya dalam interval [a, b]. b a f(x)dx = = b a i=0 P n (x) = n f(x i )L i (x) i=0 n f(x i )L i (x)dx + i=0 b n 1 b a i f(x i ) + (n + 1)! a dimana ξ(x) [a, b] untuk setiap x dan a i = b a a n (x x i ) f n+1 (ξ(x)) dx (n + 1)! i=0 n (x x i )f n+1 (ξ(x))dx, i=0 L i (x)dx untuk setiap i = 0, 1, 2,..., n. Dengan demikian secara umum formula kuadratur numeris itu adalah b a f(x)dx n a i f(x i ), i=0

46 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 42 dengan kesalahan E(f) = 1 b (n + 1)! a n (x x i )f (n+1) (ξ(x))dx. i=0 Metoda ini dipandang terlampau sederhana dan tidak cukup akurat untuk mengatasi permasalahan yang lebih komplek. Bila kita cermati formulasi kesalahannya maka rumusan ini digeneralisasi dari pengembangan aproksimasi deret Taylor yang belum diekpansi, sedangkan disadari bahwa akurasi deret Taylor yang belum terekspansi level akurasinya rendah dan penetapan fungsi aproksimasinya hanya berdasarkan pada pengambilan satu titik sampel. lebih akurat adalah aturan Trapesium dan Simpson. Metoda lain yang dipandang Aturan ini dikembangkan dari perluasan interpolasi polinomial Lagrange kesatu dan kedua pada himpunan titik-titik sampel. Misal kita notasikan x 0 = a, x 1 = b, h = b a dan polinomial Lagrange linier maka b a P 1 (x) = (x x 1) (x 0 x 1 ) f(x 0) + (x x 0) (x 1 x 0 ) f(x 1). f(x)dx = x1 [ (x x1 ) (x 0 x 1 ) f(x 0) + (x x 0) x 0 x ] (x 1 x 0 ) f(x 1) dx x 0 f (ξ(x))(x x 0 )(x x 1 )dx. (3.33) Jika (x x 0 )(x x 1 ) tidak berubah tanda dalam interval [x 0, x 1 ] maka teorema nilai weighted mean untuk integral dapat diterapkan dalam suku kesalahannya sehingga diperoleh x1 x1 f (ξ(x))(x x 0 )(x x 1 )dx = f (ξ) (x x 0 )(x x 1 )dx x 0 x [ 0 x = f 3 (ξ) 3 (x 1 + x 0 ) x 2 + x 0 x 1 x 2 = h3 6 f (ξ). ] x1 x 0

47 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 43 Sebagai konsukwensinya (3.33) akan menjadi b [ (x x1 ) 2 f(x)dx = 2(x 0 x 1 ) f(x 0) + (x x 0) 2 2(x 1 x 0 ) f(x 1) a = x 1 x 0 [f(x 0 ) + f(x 1 )] h f (ξ). ] x1 x 0 h3 12 f (ξ) Dengan demikian untuk h = x 1 x 0 kita mendapatkan rumus berikut ini Aturan Trapesium b a f(x)dx = h 2 [f(x 0) + f(x 1 )] h3 12 f (ξ) (3.34) Rumus ini disebut aturan Trapesium karena jika f adalah susatu fungsi positif, maka b f(x)dx dapat diapproksimasikan dengan luas dari trapesium sebagaimana a digambarkan dalam Gambar 3.5. y f P_1 a=x_0 b=x_1 x Gambar 3.5: Aturan Trapesium. Bila kita perhatikan rumus diatas, dapatlah disimpulkan bahwa aturan Trapesium itu akan memberikan solusi eksak terhadap sebarang fungsi yang turunan keduanya adalah sama dengan nol (sebarang polinomial berorder satu atau kurang), karena suku kesalahan trapesium ini meliputi f. Dengan kata lain aturan Trapesium dikatakan berorder satu, dan suku kesalahan pemenggalannya adalah suatu fungsi O(h 2 ). Dari sisi ini kita dapat mengatakan bahwa aturan Trapesium juga tidak cukup akurat untuk menyelesaikan persoalan-persoalan yang sangat komplek

48 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 44 memandang rendahnya order dari aturan ini sehingga tetap dibutuhkan aturan lainnya. Salah satu metoda yang cukup terkenal adalah aturan Simpson. Aturan Simpson didapat dari mengintegralkan polinomial Lagrange kedua dalam batas [a, b] dengan beberapa titik x 0 = a, x 2 = b dan x 1 = a + h, untuk h = (b a) 2, lihat Gambar 3.6. Polinomial Lagrange kedua disajikan dalam Sehingga P 2 (x) = (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) b a f(x)dx = [ (x x1 )(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) f(x 0) + (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) f(x 1) + (x x ] 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ) f(x 2) dx + x1 (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) x 0 6 f (3) (ξ(x))dx. y f P_1 a=x_0 x_1 b=x_2 x Gambar 3.6: Aturan Simpson. Sebagaimana aturan Trapesium, penentuan orde aturan Simpson juga dapat dilihat dari suku kesalahannya. Suku kesalahan rumus ini hanya sampai pada suku

49 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 45 kesalahan O(h 4 ) yaitu hanya meliputi f (3) sehingga aturan Simpson yang diturunkan dari interpolasi Lagrange hanya berorder dua. Versi yang lebih baik dari aturan Simpson order dua ini adalah aturan yang diturunkan dari ekspansi polinomial Taylor ketiga f terhadap x 1. Misalkan masing-masing x [a, b] ada bilangan ξ(x) (x 0, x 1 ) maka ekspansi Taylor dan f(x) = f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) 2 x2 + f (4) (ξ(x)) (x x 1 ) 4 24 x 0 f(x)dx = [ (x x 1 ) 2 + f (x 1 ) (x x 1 ) 3 6 f(x 1 )(x x 1 ) + f (x 1 ) (x x 1 ) f (x 1 ) (x x 1 ) 3 + f ] x2 (x 1 ) (x x 1 ) x x1 f (4) (ξ(x))(x x 1 ) 4 dx (3.35) 24 x 0 Karena (x x 1 ) 4 tidak pernah bernilai negatif pada interval [x 0, x 1 ], maka teori nilai Weighted Mean untuk integral akan menjadi 1 24 x1 untuk sebarang ξ 1 (x 0, x 2 ). x2 f (4) (ξ(x))(x x 1 ) 4 dx = f (4) (ξ 1 ) (x x 1 ) 4 dx x 0 24 x 0 = f (4) x (ξ 1 ) 120 (x x 2 1) 5 Sementara kita tahu bahwa h = x 2 x 1 = x 1 x 0, sehingga (x 2 x 1 ) 2 (x 0 x 1 ) 2 = (x 2 x 1 ) 4 (x 0 x 1 ) 4 = 0 (x 2 x 1 ) 3 (x 0 x 1 ) 3 = 2h 3 dan (x 2 x 1 ) 5 (x 0 x 1 ) 5 = 2h 5 Sebagai konsukwensinya persamaan (3.35) dapat ditulis sebagai x2 x 0 f(x)dx = 2hf(x 1 ) + h3 3 f (x 1 ) + h5 60 f (4) (ξ 1 ) (3.36) x 0

50 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 46 Disisi lain kita memiliki ekspresi f(x 0 + h) = f(x 0 ) + f (x 0 )h f (x 0 )h f (x 0 )h f (4) (ξ 1 )h 4 f(x 0 h) = f(x 0 ) + f (x 0 )h 1 2 f (x 0 )h f (x 0 )h f (4) (ξ 1 )h 4 dimana x 0 h < ξ 1 < x 0 < ξ 1 < x 0 + h. Dan bila kita jumlahkan kedua ekspansi Taylor ini f(x 0 + h) + f(x 0 h) = 2f(x 0 ) + f (x 0 )h [f (4) (ξ 1 +) + f (4) (ξ 1 +)]h 4 Sederhanakan untuk f (x 0 ) didapat f (x 0 ) = 1 h 2 [f(x 0 h) 2f(x 0 ) + f(x 0 + h)] h2 24 [f (4) (ξ 1 ) +f (4) (ξ 1 +)]. (3.37) Teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk f (4) C[x 0 h, x 0 + h] maka f (4) (ξ) = 1 2 [f (4) (ξ 1 +) + f (4) (ξ 1 +)]. Dengan demikian kita dapat menulis (3.37) sebagai f (x 0 ) = 1 h 2 [f(x 0 h) 2f(x 0 ) + f(x 0 + h)] h2 12 f (4) (ξ), (3.38) untuk sebarang ξ (x 0 h, x 0 + h). Pada akhirnya (3.36) dapat ditulis dengan mengganti f (x 0 ) dengan persamaan (3.38) adalah x2 { f(x)dx = 2hf(x 1 ) + h3 1 x 0 3 h [f(x 0) 2f(x 2 1 ) + f(x 2 )] } h2 12 [f (4) (ξ 2 ) + h5 60 f (4) (ξ 1 ) = h3 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] h5 12 [ 1 3 f (4) (ξ 2 ) 1 ] 5 f (4) (ξ 1 ) Dan ingat sekali lagi bahwa kita dapat mengganti ekspresi ξ 1 dan ξ 2 dengan ξ (x 0, x 2 ) sehingga aturan Simpson secara umum adalah

51 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 47 Aturan Simpson x2 x 0 f(x)dx = h 3 [f(x 0) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )] h5 90 f (4) (ξ) (3.39) Secara definitif perbincangan order itu dapat ditafsirkan sebagai barometer keakuratan suatu teknik approksimasi. Semakin tinggi order itu berarti semakin luas ekspansi suku kesalahannya, akibatnya kesalahan pemenggalan semakin kecil. Sebagaimana dijelaskan dalam Burden dan Faires definisi derajad keakuratan dapat dijelaskan sebagai berikut: Definisi (Derajad keakuratan atau presesi) Derajad keakuratan atau presesi dari formulasi kuadratur adalah bilangan bulat positif terbesar n sedemikian hingga formula itu eksak untuk x k, dimana k = 1, 2,..., n (1997 : 89). Dengan definisi (5.1.1) ini ditambah kenyataan besarnya order pada masing-masing aturan, maka aturan Trapesium dan Simpson masing-masing mempunyai derajad presesi satu dan tiga. Maka dapatlah disimpulkan bahwa aturan Simpson akan lebih cepat konvergen dibandingkan aturan Trapesium. Artinya aturan Simpson dimungkinkan lebih akurat pendekatannya dalam menghitung nilai integral untuk jumlah iterasi yang sama dari kedua aturan tersebut.

52 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 48 Latihan Tutorial 3 1. Buktikan bahwa f = max a x b f(x) merupakan norm pada C[a, b]. 2. Jika A IR N N, A = A T dan A definit positif matrik, yakni x T Ax > 0 untuk seberang vektor x, maka buktikan bahwa x A = (x T Ax) 1 2 merupakan norm pada IR N 3. Mana diantara berikut ini merupakan norm. (a) dalam IR 2, x = max{3 x x 2, 2 x x 2 }. (b) dalam IR N, a = max 0 x 1 n k=1 a kx k Nyatakan teorema aproksimasi Weirstrass untuk f C[a, b]. Selanjutnya { } 1 p b tunjukkan bahwa untuk g p = a w(x) g(x) p dx dimana 1 p, dan diberikan ɛ > 0, maka N = N(ɛ) dan polinomial p N (x) sedemikian hingga untuk sebarang konstanta K > 0 f p N K 1 p ɛ, 5. Gunakan interpolasi polinomial Lagrange derajad satu, dua dan tiga untuk menentukan nilai aproksimasi dari masing-masing dibawah ini (a) tentukan nilai dari f(8.4) bila diketahui f(8.1) = , f(8.3) = , f(8.6) = dan f(8.7) = (b) tentukan nilai dari f(0.25) bila diketahui f(0.1) = , f(0.2) = , f(0.3) = dan f(0.4) = (c) tentukan nilai daricos bila diketahui cos = , cos = , cos = dan cos = Tentukan fungsi aproksimasi Lagrange untuk menginterpolasi fungsi berikut

53 BAB 3. INTERPOLASI DAN APROKSIMASI POLINOMIAL 49 (a) f(x) = e 2x cos 3x, x 0 = 0, x 1 = 0.3, x 2 = 0.6 (b) f(x) = sin ln x, x 0 = 2.0, x 1 = 2.4, x 2 = 2.6 (c) f(x) = cos x + sin x, x 0 = 0, x 1 = 0.25, x 2 = 0.5, x 3 = 1.0 (d) f(x) = e 2x cos 3x, x 0 = 0, x 1 = 0.3, x 2 = Suatu data disajikan dalam tabel dibawah ini maka tentukan x f(x) (a) nilai dari f(0.05) dengan menggunakan NFDD (b) nilai dari f(0.65) dengan menggunakan NBDD 8. Polinomial berderajad empat p(x) memenuhi sifat 4 p(0) = 24, 3 p(0) = 6, dan 2 p(0) = 0 dimana p(x) = p(x + 1) p(x). Hitung 2 p(10). 9. Perbincangan aproksimasi lebih luas banyak dikaitkan dengan interpolasi terhadap suatu fungsi f dengan fungsi aproksimasi p. Selanjutnya akurasi interpolasi itu diukur dari kedekatan antara f dan p, secara matematis ditulis dengan f p (dibaca : norm(f-p)). Sebutkan definisi norm ini, baik vektor ataupun matrik. Kemudian dengan pemahaman akan norm ini sebutkan apa sebenarnya inti permasalahan (konsep masalah) dalam aproksimasi itu. Jika kita memilih fungsi aproksimasi p tentunya kita pilih fungsi yang terbaik. Dalam hal ini ada beberapa fungsi aproksimasi yang dapat digunakan untuk menginterpolasi fungsi f itu, sebutkan nama-nama fungsi aproksimasi tersebut. Salah satu fungsi aproksimasi yang fleksibel adalah splin kubik. Dengan data dibawah ini tentukan fungsi aproksimasi splin kubik untuk menginterpolasi data f(x j ) dimana x j = 0, 1, Gunakan splin kubik untuk menginterpolasi fungsi-fungsi berikut ini