METODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR

Transkripsi

1 METODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 8

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Metode Pemotongan Deret Fourier untuk Menyelesaikan Persamaan Gerak Gelombang Internal yang Periodik pada Fluida Dua Lapisan adalah karya saya sendiri dengan arahan pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir thesis ini. Bogor, Juli 8 Muhbahir NIM. G5566

3 ABSTRACT MUHBAHIR. Fourier Series Truncation Method for Solving Evolution Equations of Periodic Internal Waves at Two Layers Fluid. Under supervision of JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO. The ocean can be considered to be inviscid and incompressible fluid which consist of some layers, where each layer has different constant density. Internal waves are waves occurred in each interface between two fluid layers. Mathematical models of internal waves motion to be considered are Korteweg de Vries equation (KdV) and Benjamin Ono equation (BO) which each of them is applicable for shallow fluid and deep fluid, respectively. This research studies composite long wave equation (CLW) which has characteristics of KdV and BO equation. CLW equation is derived using assumption of two layers fluid, i.e. layers of fluid, where each layer having constant density. In the case where no upper fluid (density of upper fluid equal to null), KdV equation is obtained. Periodic solution of KdV equation is in the form of cnoidal wave. By using initial condition in the form of cnoidal wave of KdV equation, CLW equation is solved numerically by using Fourier series truncation method. Numerical simulation indicates that ever greater of thickness of sub layer fluid, ever greater wavelength. Keywords : CLW equations, periodic internal waves, numerical simulation

4 RINGKASAN MUHBAHIR. Metode Pemotongan Deret Fourier untuk Menyelesaikan Persamaan Gerak Gelombang Internal yang Periodik pada Fluida Dua Lapisan. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO. Gelombang internal adalah gelombang yang terjadi pada bidang batas antara dua lapisan fluida yang memiliki rapat massa berbeda. Gelombang internal dapat terjadi pada lapisan atmosfir atau di dalam lautan. Pada air laut perbedaan rapat massa antara lain disebabkan oleh adanya perbedaan kadar garam ataupun perbedaan temperatur. Akibat perbedaan rapat massa menjadikan air laut berlapislapis, dimana air dengan rapat massa yang lebih besar akan berada di bawah dan air dengan rapat massa yang lebih kecil berada di atas. Gelombang internal dapat menimbulkan kerusakan pada bangunan-bangunan lepas pantai. Selain itu, gelombang ini dapat menyebabkan naiknya polutan dari dasar laut sehingga dengan mengetahui sifat dari gelombang internal ini akan bermanfaat antara lain sebagai bahan pertimbangan dalam merencanakan bangunan lepas pantai atau pembuangan limbah yang biasanya dibuang di dasar laut oleh perusahaan tambang. Dalam penelitian ini bertujuan untuk dikaji gerak gelombang internal yang periodik secara matematis. Beberapa persamaan yang dapat menjelaskan gerak gelombang internal antara lain persamaan Korteweg-de Vries (KdV) untuk laut dangkal dan persamaan Benjamin-Ono (BO) untuk laut dalam. Pada penelitian ini akan diturunkan persamaan yang memiliki karakteristik dari persamaan KdV dan persamaan BO yang disebut persamaan CLW (composite long-wave). Untuk mengetahui sifat-sifat penyelesaian persamaan KdV, CLW, dan BO, maka beberapa karakteristik persamaan gerak tersebut dikaji secara numerik, khususnya pada profil gelombang. Dalam penelitian ini air laut diasumsikan sebagai fluida ideal, yaitu fluida yang tak mampat (incompressible) dan tak kental (inviscid). Kajian dimulai dengan menurunkan persamaan dasar fluida ideal. Persamaan dasar fluida ideal tersebut diturunkan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Kemudian persamaan dasar yang didapat disederhanakan dengan menggunakan asumsi bahwa fluida yang ditinjau memiliki aliran yang tunak (steady) dan tak berotasi (irrotational). Selanjutnya dengan asumsi bahwa gelombang yang ditinjau adalah gelombang panjang dengan amplitudo kecil pada fluida dua lapisan diturunkan persamaan CLW. Jika dimisalkan fluida dua lapisan tersebut memiliki rapat massa sama dengan nol pada lapisan atas, maka persamaan CLW tereduksi menjadi persamaan KdV. Salah satu penyelesaian persamaan KdV yang ditinjau adalah penyelesaian dalam bentuk fungsi cnoidal. Fungsi ini merupakan fungsi periodik. Pada penyelesaian dalam bentuk gelombang cnoidal terdapat tiga besaran, yaitu tinggi gelombang H, kedalaman fluida lapisan bawah h dan parameter m. Parameter m menentukan panjang gelombang cnoidal. Dalam hal ini semakin kecil nilai parameter m, panjang gelombang semakin pendek. Penyelesaian persamaan CLW ditentukan secara numerik. Metode numerik yang digunakan adalah metode pemotongan deret Fourier. Dalam metode pemotongan deret Fourier, penyelesaian persamaan CLW dinyatakan dalam deret

5 Fourier hingga suku tertentu. Koefisien-koefisien deret Fourier bergantung pada peubah waktu, dan diperoleh dengan cara menyelesaikan suatu masalah nilai awal dari koefisien-koefisien tersebut. Syarat awal dalam penelitian ini dimisalkan dalam bentuk penyelesaian gelombang cnoidal persamaan KdV yang merupakan gelombang periodik. Dengan bantuan software Matematica 6 ditentukan koefisien-koefisien deret Fourier dari penyelesaian periodik persamaan KdV. Proses perhitungan numerik untuk menentukan penyelesaian persamaan gerak gelombang internal dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Turbo Pascal 7 dan Matlab 6.5. Simulasi numerik menunjukkan bahwa kedalaman fluida lapisan bawah berpengaruh terhadap panjang gelombang internal. Sebagai contoh kasus, misalkan kedalaman fluida lapisan bawah diberikan berturut-turut 3 meter, 4 meter dan 5 meter, maka panjang gelombang internal masing-masing adalah 4.9 meter, 55.6 meter dan 68.8 meter. Ini berarti bahwa semakin tebal fluida lapisan bawah, panjang gelombang semakin besar. Selanjutnya perbandingan antara rapat massa fluida lapisan atas dengan rapat massa fluida lapisan bawah mengakibatkan perubahan bentuk simpangan gelombang secara signifikan. Kata kunci : persamaan CLW, gelombang internal periodik, simulasi numerik

6 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 8 Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh hasil karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilimiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 METODE PEMOTONGAN DERET FOURIER UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK GELOMBANG INTERNAL YANG PERIODIK PADA FLUIDA DUA LAPISAN MUHBAHIR Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR 8

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS.

9 Judul Tesis Nama NIM : Metode Pemotongan Deret Fourier untuk Menyelesaikan Persamaan Gerak Gelombang Internal yang Periodik pada Fluida Dua Lapisan : Muhbahir : G5566 Disetujui, Komisi Pembimbing Dr. Jaharuddin, MS. Ketua Drs. Ali Kusnanto M.Si. Anggota Diketahui, Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pasca Sarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 4 Juli 8 Tanggal Lulus :

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 7 ini adalah Metode Pemotongan Deret Fourier untuk Menyelesaikan Persamaan Gerak Gelombang Internal yang Periodik pada Fluida Dua Lapisan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, MS. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku pembimbing serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah membiayai penelitian ini, kepada rekan-rekan mahasiswa atas diskusinya, serta pihak lain yang tidak bisa disebutkan satu persatu. Semoga atas semua kebaikan dapat bernilai ibadah dan dibalas oleh Allah SWT dengan kebaikan yang berlipat. Terakhir kepada ibu, istri, mertua dan seluruh keluarga yang memberikan motivasi, semangat, do a dan kasih sayang penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih. Kepada Abdan Syakura, Annisa Sabrina, Aida Syahidah dan Abdurrazak Salahuddin penulis mohon maaf atas kurangnya perhatian dan kasih sayang. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 8 Muhbahir

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cilacap pada tanggal Agustus 97 dari Ayah Sanarja dan Ibu Bariyah. Penulis merupakan putra kesembilan dari sembilan bersaudara. Tahun 989 penulis lulus dari SMA Negeri Majenang Jawa Tengah dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Mataram melalui jalur UMPTN. Penulis memilih Jurusan MIPA Program Studi Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada Program Studi Matematika Fakultas MIPA IPB diperoleh pada tahun 6. Penulis adalah staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah Negeri Mataram sejak Juli 999. Bidang Studi yang diajarkan adalah Matematika dan TIK.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv I PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Tujuan Penelitian... II TINJAUAN PUSTAKA Penurunan Persamaan Dasar Fluida Ideal Asumsi Fluida Ideal dengan Aliran Tunak Syarat Batas Fluida Dua Lapisan Uraian Deret Fourier... 9 III METODE PENELITIAN... IV HASIL DAN PEMBAHASAN Model Persamaan Gerak Gelombang Internal Penyelesaian Periodik Persamaan KdV Metode Pemotongan Deret Fourier Hasil Numerik... 8 V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 36

13 DAFTAR GAMBAR Halaman Elemen luas fluida dalam dua dimensi... 3 Domain fluida dua lapisan Fungsi f(η) dengan semua akar positif dan dengan dua akar negatif dan satu akar positif... 4 Bentuk gelombang cnoidal dengan beberapa parameter m Bentuk gelombang cnoidal dengan m =.5, H = dan beberapa nilai kedalaman fluida lapisan bawah h Bentuk syarat awal untuk kasus H =, λ = π dan m = Penyelesaian numerik persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 3 dengan ρ /ρ =, Bentuk gelombang periodik dari persamaan CLW, KdV dan BO pada t =, t = 3, t = 6 dan t = 9 dengan ρ /ρ =, Bentuk gelombang periodik dari persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 6 dengan (a) ρ /ρ =. dan (b) ρ /ρ =

14 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Penurunan persamaan (4.6) Penurunan persamaan (4.33) Penurunan persamaan (4.47) Koefisien Fourier dari fungsi syarat awal... 4

15 I PENDAHULUAN. Latar Belakang Air laut dapat dianggap memiliki rapat massa konstan yang berbeda-beda. Perbedaan rapat massa ini antara lain disebabkan oleh adanya perbedaan kadar garam ataupun perbedaan temperatur. Akibat perbedaan rapat massa menjadikan air laut berlapis-lapis, dimana air dengan rapat massa yang lebih besar akan berada di bawah dan air dengan rapat massa yang lebih kecil berada di atas. Kondisi ini akan menyebabkan adanya lapisan antar muka (interface) dimana jika terjadi gangguan akan timbul gelombang antar lapisan yang disebut gelombang internal. Gelombang internal tidak bisa terlihat secara kasat mata karena terjadi di bawah permukaan air laut. Karakteristik gelombang internal dapat diketahui dari pengamatan atau pengukuran pada piknoklinnya, yaitu lapisan dimana rapat massa air laut berubah secara cepat terhadap kedalaman, atau pada termoklinnya, yaitu lapisan dimana temperatur air laut berubah secara cepat terhadap kedalaman dengan menggunakan sensor-sensor pengukuran temperatur dan salinitas air laut. Secara visual, gelombang ini dapat terdeteksi jika mengamatinya dari udara atau ruang angkasa dengan menggunakan teknologi penginderaan jauh (remote sensing) seperti foto satelit. Melalui foto satelit, gelombang internal terdeteksi melalui pola gelap terang yang muncul di permukaan. Gelombang internal dapat menimbulkan kerusakan pada bangunanbangunan lepas pantai, seperti rusaknya tiang penyangga anjungan minyak di laut Andaman, Thailand (Osborne 98). Selain itu, gelombang ini dapat menyebabkan naiknya polutan dari dasar laut (Gerkema 994). Sehingga dengan mengetahui sifat gelombang internal ini akan bermanfaat antara lain sebagai bahan pertimbangan dalam merencanakan bangunan lepas pantai atau menentukan lokasi pembuangan limbah bagi perusahaan tambang yang biasanya dibuang di dasar laut. Hal tersebut telah memotivasi banyak ilmuwan untuk meneliti masalah gelombang internal, termasuk memotivasi penulis dalam penelitian ini. Beberapa persamaan yang dapat menjelaskan gerak gelombang internal antara lain persamaan Korteweg-de Vries (KdV) untuk laut dangkal dan

16 persamaan Benjamin-Ono (BO) untuk laut dalam. Pada penelitian ini akan dikaji persamaan yang memiliki karakteristik dari persamaan KdV dan persamaan BO yang disebut persamaan CLW (composite long-wave). Persamaan yang serupa dengan persamaan CLW, yaitu persamaan ILW (intermediate long-wave) telah banyak dibahas antara lain oleh Segur & Hammack (98). Pada persamaan ILW, untuk fluida dengan kedalaman tak terhingga, persamaan ini tereduksi menjadi persamaan BO dan untuk fluida dengan kedalaman dangkal menghasilkan persamaan KdV. Untuk mengetahui sifat-sifat penyelesaian persamaan KdV, CLW dan BO, akan dikaji beberapa karakteristik persamaan tersebut secara numerik. Telah banyak kajian secara numerik untuk gelombang permukaan, tetapi hanya sedikit untuk gelombang internal. Simulasi numerik untuk gelombang pada batas antara dua fluida dengan rapat massa konstan yang berbeda dapat ditemukan dalam Holyer (979) dan Saffman dan Yuen (98). Persamaan gelombang yang digunakan bergantung pada besaran potensial kecepatan di interface. Sementara itu, Vanden-Broeck (98) merumuskan persamaan gelombang dalam bentuk persamaan diferensial-integral taklinear di batas antara dua fluida. Tuck dan Wiryanto (999) melakukan kajian numerik untuk gelombang internal yang periodik untuk fluida dua lapisan pada aliran tunak. Mustafa dan Mahmut (5) mengkaji penyelesaian periodik dari persamaan gelombang untuk fluida dangkal dengan melibatkan fungsi eliptik Jacobi. Pada penelitian ini akan digunakan metode pemotongan deret Fourier untuk mengkaji secara numerik persamaan gerak gelombang internal yang periodik.. Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah mempelajari penurunan persamaan CLW dan melakukan simulasi numerik untuk mengetahui karakteristik dan bentuk gelombang dengan menggunakan persamaan CLW, KdV dan BO dengan syarat awal berupa gelombang periodik persamaan KdV.

17 3 II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas penurunan persamaan dasar fluida ideal yang disarikan dari pustaka (Douglas ) dan konsep deret Fourier disarikan dari pustaka (Ross 984). Persamaan Dasar Fluida Ideal Fluida adalah merupakan zat yang dapat mengalir seperti air dan udara. Persamaan dasar fluida diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Persamaan ini merupakan dasar bagi penurunan persamaan-persamaan gerak gelombang internal, seperti persamaan CLW, KdV dan BO. Jika fluida ditinjau dalam dua dimensi, maka secara sederhana hukum kekekalan massa dalam fluida tersebut dapat dinyatakan sebagai laju perubahan massa pada suatu elemen luas sama dengan selisih antara massa yang masuk dan massa yang keluar pada elemen luas tersebut, seperti pada Gambar. ρw z+δz z+δz ρu x ρu x+δx z x ρw z x+δx Gambar Elemen luas fluida dalam dua dimensi. Misalkan rapat massa fluida dinotasikan dengan ρ, kecepatan partikel fluida arah horizontal dan vertikal masing-masing dinyatakan oleh u dan w, maka dalam dua dimensi ρ, u dan w masing-masing bergantung pada koordinat ruang x dan z serta peubah waktu t. Jika ρu x Δz dan ρw z Δx masing-masing menyatakan massa yang masuk dalam arah horisontal dan vertikal, serta ρu x+δx Δz dan ρw z+δz Δx

18 4 masing-masing menyatakan massa yang keluar dalam arah horisontal dan vertikal, maka berdasarkan hukum kekekalan massa diperoleh ρ ΔΔ x z =Δz( ρu x ρu x+δ x) +Δx( ρw z ρw z+δz). (.) t Kemudian, jika kedua ruas pada persamaan (.) dibagi dengan, dan membuat Δx dan Δz, maka diperoleh ρ ρ u ρ w = t x z atau ρ = ( uρ + ρu + wρ + ρw ). (.) t x x x Jika digunakan notasi turunan total terhadap waktu, yaitu D = + u + w D t x, z t maka didapat Dρ = ρ + uρ + wρ (.3) D t t x z. z Substitusi persamaan (.) ke dalam persamaan (.3) menghasilkan Dρ = ρu D Dengan asumsi fluida tak mampat, yaitu persamaan (.3) dan (.4) menjadi t Dρ =, D t w x ρ. z ρ + uρ + wρ = t x z (.4) (.5) dan u x + w =. z (.6) Persamaan (.5) dan (.6) disebut persamaan kontinuitas fluida yang tak termampatkan. Berdasarkan asumsi fluida ideal yang tak berotasi, maka terdapat fungsi φ(x,y,t) yaitu fungsi potensial kecepatan yang memenuhi φ = q dengan

19 5 =, x z dan q = ( u, w). Jadi φ = ( φ, φ ) = (, ). x z uw Berdasarkan persamaan (.6) dan (.7) diperoleh φ + φ =, xx zz (.7) (.8) yang merupakan persamaan dasar fluida ideal yang tak berotasi. Hukum kekekalan momentum dapat dinyatakan sebagai laju perubahan momentum sama dengan selisih antara momentum yang masuk dengan momentum yang keluar ditambah gaya-gaya yang bekerja pada elemen luas yang ditinjau. Berdasarkan Gambar : - Momentum masuk pada arah horizontal : - Momentum masuk pada arah vertikal : - Momentum keluar pada arah horizontal : - Momentum keluar pada arah vertikal : ( ρu Δ z+ ρw Δx) u x ( ρu Δ z+ ρw Δx) w x ( ρu Δ z+ ρw Δx) u x+δ x z+δz ( ρu Δ z+ ρw Δx ) w. x+δ x z+δz z z Laju perubahan momentum pada arah horizontal adalah ( ρu) ΔΔ x z =Δz( ρuu x ρuu x+δ x) +Δx( ρwu z ρwu z+δz) t + ( P P ) Δ z (.9) x x+δx dan laju perubahan momentum pada arah vertikal adalah ( ρw) ΔΔ x z =Δz( ρuw x ρuw x+δ x) +Δx( ρww z ρww z+δz) t + ( P P ) Δx ρ gδxδ z. (.) z z+δz Jika kedua ruas persamaan (.9) dan (.) dibagi dan membuat, maka persamaan (.9) dan (.) masing-masing menjadi ( u) ( uu) ( wu) P ρ t x z x = (.) dan ( w) ( uw) ( ww) P ρ ρg =. t x z z (.)

20 6 Dengan menggunakan persamaan (.5) dan (.6), persamaan (.) dan (.) masing-masing menjadi ρ ( u + uu + wu ) + P =, (.3a) t x z x ρ( w + uw + ww ) + P + ρg =. (.3b) t x z z Persamaan (.3) sering disebut persamaan momentum (persamaan Euler). Dengan demikian dari persamaan (.5), (.6) dan (.3) diperoleh persamaan dasar fluida ideal yang diberikan dalam sistim persamaan berikut : ρ + uρ + wρ = t x z u x (.4a) + w = (.4b) z ρ ( u + uu + wu ) + P = (.4c) t x z x ρ( w + uw + ww ) + P + ρg =. (.4d) t x z z. Asumsi Fluida Ideal dengan Aliran Tunak Asumsi fluida yang memiliki aliran yang tunak (steady) dapat diilustrasikan dengan suatu gelombang yang difoto. Gelombang bergerak seakan-akan bingkai foto yang bergerak. Jadi kecepatan gelombang sama dengan kecepatan bingkai. Jika gelombang terus bergerak ke kanan dengan kecepatan c (c > ), maka X X koordinat foto X dapat ditulis X = x ct. Sehingga diperoleh =, x t = c, x = X dan t = c x. Jadi dalam bentuk tunak persamaan (.4a) dapat ditulis atau cρ + uρ + wρ = x x z Uρ + wρ = x dengan U = u c. Dengan cara yang sama diperoleh bentuk tunak dari persamaan (.4). Untuk memudahkan penulisan notasi U ditulis u. Jadi persamaan dasar fluida ideal dalam bentuk tunak adalah : z

21 uρ + wρ = (.5a) x u x z 7 + w = (.5b) z ρ ( uu + wu ) + P = (.5c) x z x ρ( uw + ww ) + P + ρg =. (.5d) x z z.3 Syarat Batas Ada dua macam syarat batas yang akan dibahas, yaitu syarat batas kinematik dan syarat batas dinamik. Syarat batas kinematik terjadi karena gerak partikel dan syarat batas dinamik terjadi karena adanya gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Misalkan z = η (x) adalah persamaan kurva yang membatasi antara air dan udara. Dalam bentuk eksplisit persamaan kurva tersebut dapat dinyatakan dengan S(x,z) = - η (x) + z =. Dalam notasi turunan total DS u S = + w S =. Dt x z Berdasarkan persamaan (.7) diperoleh φ '( x) φ η = pada z = η (x). z x (.6) Persamaan (.6) disebut syarat batas kinematik pada permukaan fluida. Selanjutnya syarat batas dinamik diturunkan sebagai berikut. Misalkan Dq q q = u + w = (. q ). q Dt x z Persamaan (.7) dapat ditulis (.7) Dq = ( q) q+ ( q ). (.8) Dt Dengan asumsi fluida tak berotasi, yaitu q =, persamaan (.8) menjadi Dq φx φz = ( ( + )). (.9) Dt Persamaan (.5c) dan (.5d) dapat ditulis dalam notasi vektor berikut Dq ρ + P+ ρg =. (.) Dt Substitusi persamaan (.9) ke dalam persamaan (.) diperoleh

22 8 atau bisa ditulis P ( φx + φz + ) + g = ρ P ( φ x + φ z + + gz ) =. (.) ρ Kemudian diintegralkan terhadap koordinat ruang diperoleh persamaan Bernoulli P φ φ gz C ρ x + z + + =. (.) Konstanta C bisa digabung dalam fungsi φ. Misalkan C = dan tekanan di permukaan sama dengan tekanan atmosfir yang diasumsikan nol, maka syarat batas dinamik pada permukaan fluida adalah φx φz gη + + = pada z = η (x). (.3) Persamaan (.3) disebut syarat batas dinamik pada permukaan fluida..4 Fluida Dua Lapisan Fluida dua lapisan adalah fluida yang terdiri atas dua lapisan yang masingmasing memiliki rapat massa yang konstan. Misalkan z = η(x) adalah batas antara dua fluida ideal tak berotasi dengan aliran tunak yang memiliki arus sebesar c pada z. Fluida lapisan bawah memiliki rapat massa ρ dengan potensial kecepatan φ dan fluida lapisan atas memiliki potensial kecepatan φ dengan rapat massa ρ dengan ρ < ρ seperti diilustrasikan pada Gambar. z ρ, φ z = h z = η(x) z = ρ, φ Gambar Domain fluida dua lapisan x

23 9 Berdasarkan persamaan (.8) diperoleh persamaan dasar sebagai berikut : φ xx + φ zz = pada < z < η (.4) φ xx + φ zz = pada η < z < (.5) dengan batas bawah dan batas atas φ z = pada z = (.6) φ cx pada z. (.7) Syarat batas kinematik pada lapisan bawah dan atas masing-masing adalah φ φ η '( x) = z x pada z = η(x) (.8) dan φ φ η '( x) = z x pada z = η(x). (.9) Sedangkan syarat batas dinamiknya adalah ρ ( φ + φ + gη) + ρ ( φ + φ + gη) = P = konstan. (.3) x z x z Kemudian berdasarkan persamaan dasar dan syarat batas yang diberikan akan diturunkan persamaan CLW yang diuraikan pada bagian selanjutnya. Persamaan CLW sulit diselesaikan secara analitik, karena itu akan diselesaikan secara numerik. Metode numerik yang digunakan adalah metode pemotongan deret Fourier. Penjelasan konsep deret Fourier diberikan pada bagian selanjutnya..5 Uraian Deret Fourier Deret Fourier merupakan suatu deret yang dinyatakan oleh penjumlahan fungsi periodik dalam bentuk fungsi trigonometri (fungsi sinus dan kosinus). Berikut ini adalah salah satu definisi yang terkait deret Fourier yang digunakan pada penelitian ini.

24 Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada interval L < x < L dan integral L nπ x L nπ x f ( x)cos dx dan f ( x)sin d L L x L L (n =,,,3, ) ada, maka ruas kanan dari persamaan a nπx nπx f x = + a + b L x L ( ) ( n= n cos L nsin L ), disebut deret Fourier untuk fungsi f dengan dan L nπ x an = f( x)cos dx ( n,,,...), L = L L L nπ x bn = f( x)cos dx ( n,,3,...). L = L L Bilangan a n (n=,,, ) dan b n (n=,,3, ) dinamakan koefisien deret Fourier dari fungsi f. Berdasarkan definisi di atas, jika bentuk simpangan gelombang η(x,t) yang dicari merupakan fungsi kontinu yang periodik dengan periode π, maka fungsi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk [ k k ] (.3) η( x, t) = a ( t) + a ( t)cos( kx) + b ( t)sin( kx) k = dengan koefisien-koefisien a k dan b k tergantung pada variabel waktu t.

25 III METODE PENELITIAN Pada penelitian ini akan dibahas persamaan gerak gelombang internal secara matematis. Formulasi matematis yang dapat menggambarkan gerak gelombang internal antara lain persamaan CLW (composite long-wave) yang memiliki karakteristik persamaan Korteweg-de Vries (KdV) dan Benjamin-Ono (BO). Dalam menurunkan persamaan gerak gelombang internal, air laut diasumsikan sebagai fluida ideal yaitu fluida yang tak mampat (incompressible) dan tak kental (inviscid). Untuk penyederhanaan, domain fluida hanya ditinjau dalam dua dimensi, yaitu arah horizontal dan arah vertikal. Kajian pendahuluan dimulai dengan menurunkan persamaan dasar fluida ideal. Persamaan dasar fluida ideal tersebut diturunkan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Kemudian persamaan dasar yang didapat disederhanakan dengan menggunakan asumsi bahwa fluida yang ditinjau memiliki aliran yang tunak (steady) dan tak berotasi (irrotational). Selanjutnya dengan asumsi bahwa gelombang yang ditinjau adalah gelombang panjang dengan amplitudo kecil, maka diturunkan persamaan yang merupakan kombinasi antara persamaan KdV dan BO yang disebut persamaan CLW. Penurunan persamaan CLW dilakukan mengikuti alur yang diberikan oleh Tuck dan Wiryanto (999) Persamaan CLW yang diperoleh dapat direduksi menjadi persamaan KdV dan persamaan BO. Penurunan penyelesaian persamaan KdV menggunakan asumsi bahwa penyelesaian persamaan tersebut merupakan gelombang periodik. Sedangkan penyelesaian persamaan CLW akan dilakukan secara numerik dengan menggunakan metode pemotongan deret Fourier. Metode pemotongan deret Fourier yang digunakan berdasarkan pada Jaharuddin (995). Nilai awal untuk menentukan penyelesaian numerik persamaan CLW dimisalkan berupa penyelesaian analitik persamaan KdV. Dengan metode ini pula dapat ditentukan penyelesaian periodik persamaan KdV dan BO secara numerik. Simulasi numerik dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Turbo Pascal 7, Matematica 6 dan Mathlab 6.5. Kemudian penyelesaian numerik yang diperoleh digunakan untuk mengkaji karakteristik persamaan CLW, KdV dan BO.

26 Selain itu akan diamati pula hubungan antara perbandingan antara rapat massa fluida lapisan atas dan fluida lapisan bawah dengan bentuk simpangan gelombang.

27 3 IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan diturunkan persamaan gerak gelombang internal yang berupa persamaan CLW (composite long wave). Persamaan CLW dapat direduksi menjadi persamaan KdV (Korteweg de Vries) untuk fluida dengan kedalaman yang dangkal dan persamaan BO (Benjamin Ono) untuk fluida yang dalam. 4. Model Untuk menurunkan persamaan gerak gelombang internal, ditinjau persamaan dasar fluida ideal yang diberikan pada persamaan (.4) - (.3) yang dituliskan kembali sebagai berikut : φ xx + φ zz = pada < z < η φ xx + φ zz = pada η < z < dengan syarat batas : φ z = φ cx φ φ η '( x) = z x φ φ η '( x) = z x pada z = pada z. pada z = η(x) pada z = η(x). ρ φ + φ + η + ρ φ + φ + η = P = konstan. ( x z g ) ( x z g ) Domain fluida diberikan seperti pada Gambar. 4. Persamaan Gerak Gelombang Internal Pada penurunan persamaan gerak gelombang internal, diasumsikan bahwa gelombang yang ditinjau pada z = h relatif kecil. Oleh karena itu diperkenalkan parameter kecil tak berdimensi α = H/h dengan H tinggi gelombang dan h ketebalan fluida lapisan bawah, dan parameter kecil tak berdimensi ε = kh dengan k = π/λ. Jadi kh merupakan perbandingan antara kedalaman dan panjang gelombang yang ditinjau.

28 Untuk α kecil berakibat h, maka berdasarkan persamaan (.7) arus pada lapisan atas φ = cx yang dapat diperluas menjadi 4 φ = cx + Φ (4.) dengan Φ koreksi potensial kecepatan persamaan (4.) yang memenuhi syarat batas (.8) sehingga pada z = h. Penyelesaian persamaan (4.) adalah Φ = cη '( x) z (4.) ( x, z ) c '( )log ( x ) ( z h ) π d Φ = η ξ ξ + ξ. (4.3) Sehingga turunan fungsi Φ terhadap x di z = h adalah Φ (, ) ( ') x xh = ch η (4.4) dengan η'( ξ) H ( η') = dξ. π (4.5) ξ x Hubungan antara lapisan atas dan lapisan bawah berdasarkan pada syarat kekontinuan tekanan, yaitu ρ ( φ + φ + gη) + ρ ( cφ + gη) =konstan. (4.6) x z x Persamaan (4.6) dapat ditulis dalam bentuk dengan ρ φ x + φ z + g* η+ c Hη'( x) =konstan, (4.7) ρ ρ g*= ( )g. ρ Penurunan persamaan (4.6) diberikan pada Lampiran. Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian φ yang memenuhi persamaan (.4) dan (.6) dengan menggunakan metode asimtotik. Misalkan gelombang

29 5 yang ditinjau adalah gelombang panjang dengan amplitudo kecil, maka masalah nilai batas (.4) dan (.6) bisa ditulis εφ xx + φ zz =, φ z =, di z =. Dengan metode asimtotik, dimisalkan penyelesaian φ berbentuk φ = εφ () + ε φ () + ε 3 φ (3) + ε 4 φ (4) + ε 5 φ (5) + dengan φ (i) ( i =,,3,4,5, ) yang akan ditentukan. Jika bentuk penyelesaian untuk φ disubstitusikan ke (4), maka diperoleh εφ zz () + ε (φ () xx + φ zz () ) + ε 3 (φ () xx + φ zz (3) ) + ε 4 (φ (3) xx + φ zz (4) ) + = Koefisien ε memberikan masalah nilai batas φ () zz =, φ () z =, di z =. Jadi fungsi φ () tidak tergantung pada z, misalkan φ () = Φ (x), dengan Φ (x) fungsi sembarang. Kemudian koefisien ε dan ε 3 masing-masing menghasilkan masalah nilai batas φ () xx + φ zz () =, (4.8) dan φ z () =, di z = φ xx () + φ zz (3) =, (4.9) φ z (3) =, di z =. Dari (4.8) didapat φ () () zz = φ xx = Φ ''( x). Jika persamaan tersebut diintegralkan dua kali terhadap z, maka diperoleh () φ = z Φ ''( x). Dari persamaan (4.9) didapat (3 φ ) zz = φ () xx = z Φ ''''( x), dan jika diintegralkan dua kali terhadap z, maka diperoleh

30 6 Jadi (3) 4 φ = 4 z Φ '"'( x). φ = εφ ( x) ε z Φ ''( x) + ε z Φ '"'( x) Dengan demikian penyelesaian φ didominasi oleh tiga suku yang ditulis sebagai berikut φ =Φ ( x) z Φ ''( x) + z Φ '"'( x). (4.) 4 4 Jika persamaan (4.) disubstitusikan ke syarat batas kinematik (.8), maka diperoleh Φ z ''( x) + z Φ ''''( x) = η '( x)( Φ'( x) z Φ'''( x). 3 6 Misalkan atau ux ( ) =Φ '( x) di z = η, maka ηu' + η u''' = η'[ u η u''] ( ηu)' ( 6η u'')' =. Jika kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan terhadap x, maka diperoleh 3 ηu. (4.) 6 η u'' = konstan Kemudian, jika persamaan (4.) disubstitusikan ke persamaan (4.7) dengan u =Φ ' di z = η, maka diperoleh ( u η u") + ( ηu') + g* η+ ρ c Hη'( x) = konstan ρ atau u + η ( u' uu'') + g* η + ρ c H η'( x) = konstan. (4.) ρ Selanjutnya untuk fluida lapisan bawah, misalkan u = c + u + u dan η = h + η + η dengan u dan η berorde sama (orde satu) dan u dan η berorde dua. Jika u dan η tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (4.), maka diperoleh ch + hu + hu + cη + η u + η u + cη + η u + η u ( h + η + η ( h η + h η + hη + hη + η η + ηη ) + 6 hηη )( u " + u ") = konstan. Jika suku dengan orde lebih dari dua diabaikan, maka diperoleh

31 7 atau ch + hu + hu + c η + η u + c η ( h )( u ") = konstan 3 6 [ hu + cη ] + [ hu + cη + u η ] h u '' = konstan. (4.3) 3 6 Dengan cara yang sama, substitusi u dan η ke dalam persamaan (4.) memberikan ( c + u + u + cu + cu + u u ) + ( h + η + η + hη + hη + ηη ) ( u' cu" cu" uu " uu " uu" uu") + g* h+ g* η + g* η ρ + c Hη x = ρ '( ) konstan. Jika suku dengan orde lebih dari dua diabaikan, maka diperoleh Karena ( c + u + cu + cu ) + ( h )( cu ") + g * h + g * η + g * η ρ + c H x = ρ dan * η '( ) konstan. c g h merupakan konstanta, maka dapat digabung dengan ruas kanan sehingga diperoleh ρ [ cu + g * η ] + [ cu + g * η + u ] h cu '' + c H η' = konstan. (4.4) ρ Persamaan (4.3) dan (4.4) berorde sama, jika c = c. Misalkan c = c + c + c, dimana c adalah suku pertama dari kecepatan gelombang. Pada orde rendah, persamaan (4.3) memberikan persamaan berikut c u =. h η (4.5) Jika persamaan (4.5) disubstitusikan ke persamaan (4.3) dan (4.4), maka diperoleh dan c [ cη + cη] + [ hu + cη η ] + 6 h cη'' = konstan " η η η ρ h h h ρ h (4.6) [ cc + g * η ] + [ cu + g * η + c ] + h cc + c H η' = konstan. (4.7) Substitusikan c = c + c + c ke persamaan (4.6) dan (4.7), maka pada orde kedua diperoleh c η η η η η 6 η '' konstan c + c + c + hu + c + h c = h (4.8)

32 8 dan " η η η η * η * η c c c + g + c u + g + c h c h h h + h ρ c Hη ' = konstan. ρ + (4.9) Jika kedua ruas persamaan (4.8) dibagi h, dan kedua ruas persamaan (4.9) dibagi dengan c o, maka diperoleh η η η η 6 c + u + c c ] h c '' konstan h h + = h h (4.) dan " η η g* η g* η η η ρ h h c c h h ρ c c + + u + + c + h c + ch η' = konstan. (4.) Selanjutnya persamaan (4.) dikurangi dengan persamaan (4.) diperoleh " η η η g* η g* η η η ρ 3 3 h h h c c h h ρ c c c c + h c + c Hη ' = konstan. Jika kedua ruas persamaan tersebut dibagi dengan c, maka diperoleh atau atau " c g* g* 3 3h c c ρ η η η η η η η ρ ' konstan h h η c h h + h + H = " η η η ρ * η * η η η 3 3h Hη ρ c c c g g ' konstan c h + h + h h h = " ' 3 c η η η ρ η konstan c h + h + 3 h h + ρ h h H = (4.) dengan c = g* h. Persamaan (4.) disebut persamaan CLW yang merupakan persamaan gerak gelombang internal. Persamaan (4.) sulit diselesaikan secara analitik sehingga akan diselesaikan secara numerik. Dalam menentukan penyelesaian numerik, nilai awal akan diberikan berupa penyelesaian periodik persamaan KdV. Penurunan penyelesaian periodik persamaan KdV diberikan berikut ini.

33 9 4.3 Penyelesaian Periodik Persamaan KdV Misalkan fluida lapisan atas memiliki rapat massa sama dengan nol (ρ =), maka persamaan CLW (4.) menjadi " η 3 η η c + h konstan = r c h h + = 3 h (4.3) yang merupakan persamaan KdV. Jika η = ηdengan η = adalah permukaan h air dalam keadaan setimbang, maka persamaan (4.3) menjadi c 3 η + η + η = c 3 " h r. (4.4) Jika kedua ruas pada persamaan (4.4) dikalikan dengan η ', kemudian diintegralkan terhadap x, maka diperoleh c 3 h ( ') r s c η + η + 6 η = η + (4.5) atau dengan ( ') = ( η ) (4.6) 3 h η f f c r s c 3 ( η) = η + η + η +. (4.7) Tuliskan persamaan (4.7) dalam bentuk f ( η) = ( η y )( η y )( η y ) 3 (4.8) dengan y, y dan y 3 memenuhi : y + y + y 3 = c c (4.9a) y y + y y 3 + y y 3 = -r y y y 3 = s. (4.9b) (4.9c) Jika η =, maka f ( η) = s sehingga diperlukan syarat s positif agar η terdefinisi. Jadi berdasarkan persamaan (4.9c) diperoleh tiga kemungkinan bagi akar-akar

34 dari f ( η ), yaitu : semua akar-akar positif, satu akar positif dengan dua akar kompleks atau dua akar negatif dengan satu akar positif. Untuk kemungkinan pertama, sesuai dengan grafik f ( η ) yang diilustrasikan dalam Gambar 3a, η terdefinisi pada y < η < y yang berarti bahwa η > untuk semua x. Jadi diperoleh gelombang yang dimana-mana berada di atas garis air dalam kondisi setimbang. Hal ini bertentangan dengan hukum kekekalan massa dan secara fisik tidak mungkin. Sedangkan untuk kemungkinan kedua, untuk η = hanya ada satu nilai η yang real. Hal ini akan mengakibatkan nilai η tak terhingga pada x. Sehingga kemungkinan yang benar adalah kemungkinan ketiga yaitu dua akar negatif dan satu akar positif. f( η) f(η) y 3 y y η 3 η η a b Gambar 3 Fungsi f(η) dengan semua akar positif (a) dan dengan dua akar negatif dan satu akar positif (b) Misal y = η, y = -η, y 3 = -η 3 dengan η 3 η >, maka fungsi f ( η ) dapat ditulis f η η η η η η η3 ( ) = ( )( + )( + ) (4.3) yang grafiknya diilustrasikan dalam Gambar 3b. Agar η ' real dan terbatas, maka η η η. (4.3) Jadi η nilai η tertinggi dan η nilai terendah yang masing-masing merupakan amplitudo puncak gelombang dan amplitudo dasar gelombang (diukur dari kondisi air setimbang). Misalkan penyelesaian dari persamaan (4.6) dengan f ( η ) pada persamaan (4.3) dinyatakan dalam bentuk

35 η( x) = ηcos χ( x) η sin χ( x). (4.3) Substitusikan persamaan (4.3) ke dalam persamaan (4.6), diperoleh persamaan untuk χ sebagai berikut atau 4 h 3 d χ = ( η + η3) ( η + η) sin dx χ, (4.33) d χ Δ = msin χ dx (4.34) dengan η+ η m = η + η 3 4h dan Δ =. 3( η + η ) 3 (4.35) Penurunan persamaan (4.33) diberikan pada Lampiran. Karena untuk x = pada puncak gelombang, maka η() = η sehingga dari persamaan (4.3) diperoleh χ() =. Jadi persamaan (4.34) memberikan Δ x χ d χ dx =± (4.36) msin χ atau x ± = F( χ m) Δ (4.37) dimana F(χ m) adalah integral eliptik jenis pertama. Balikan fungsi integral eliptik jenis pertama pada persamaan (4.37) adalah x cosχ = cn m Δ dan s x inχ = sn m Δ (4.38) dimana cn dan sn adalah fungsi eliptik Jacobian. Jika persamaan (4.38) disubstitusikan ke persamaan (4.3), maka diperoleh persamaan sebagai berikut

36 x η( x) = η + ( η + η) cn m Δ (4.39) yang merupakan penyelesaian dari persamaan KdV (4.4) dalam bentuk gelombang cnoidal. Parameter m, η, η dan Δ belum diketahui, sebab konstanta integrasi r dan s belum ditetapkan. Karena cn maka -η adalah titik terendah dan η titik tertinggi dari bentuk gelombang yang diberikan pada persamaan (4.39). Misalkan η(x) memiliki perioda Λ, maka η(x) = η(x +Λ). Dari persamaan (4.34) diperoleh d χ Δ = msinχ. dx Jadi d χ mendapat nilai yang sama setelah χ bertambah π. Jadi berdasarkan dx persamaan (4.36) diperoleh atau Λ π dχ dχ dx = = Δ msin χ msin χ π (4.4) Λ = Δ F( m) = ΔK( m). π (4.4) Dari persamaan (4.35) diperoleh 4h Δ= m (4.4) 3H dengan H = η+ η (4.43) Substitusi persamaan (4.4) pada persamaan (4.4) diperoleh panjang gelombang 6hm λ = Km ( ). (4.44) 3H Sedangkan substitusi persamaan (4.4) dan (4.43) pada persamaan (4.39) diperoleh penyelesaian gelombang cnoidal η x = + λ ( x) η Hcn K( m) m. (4.45)

37 3 Selanjutnya rata-rata tinggi permukaan gelombang sama dengan tinggi permukaan air dalam keadaan setimbang. Dari kondisi ini diperoleh λ η ( x) =. (4.46) Dengan mensubstitusikan persamaan (4.3) untuk η(χ) ke dalam persamaan (4.46) diperoleh η K( m) = ( η + η ) E( m). 3 3 (4.47) Penurunan persamaan (4.47) diberikan pada Lampiran 3. Dengan demikian diperoleh dua kondisi untuk empat parameter m, η, η dan η 3 yaitu: H = η +η (4.48a) η 3 K(m) = (η +η 3 )E(m). (4.48b) Dari persamaan (4.48) diperoleh H Em ( ) η 3 =. (4.49) mkm ( ) Jika persamaan (4.49) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.48b), maka diperoleh H E( m) η =. m K( m) (4.5) Sedangkan dari persamaan (4.9a) diperoleh c c = 3 = H 3. η η η η η (4.5) Dengan mensubstitusikan persamaan (4.49) dan persamaan (4.5) ke dalam persamaan (4.5) diperoleh c H E m = 3. c m K (4.5) Jadi untuk persamaan KdV diperoleh penyelesaian gelombang cnoidal sebagai berikut

38 4 ( x, t) ( x ct) Hcn K( m) x η η η ct = = + m λ (4.53) dengan λ = 6 3H hm Km ( ) H Em ( ) η = m K( m) η = H η Km ( ) = π π d χ msin χ E( m) = msin χ dχ 4.4 Metode Pemotongan Deret Fourier Persamaan CLW sulit diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu persamaan tersebut akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan metode pemotongan deret Fourier. Untuk itu, misalkan η = hη, maka persamaan CLW (4.) menjadi c 3 " ρ η + η + h η + hh ( η' ) = konstan. (4.54) c 3 ρ Jika persamaan (4.54) diturunkan terhadap x, maka diperoleh c 3 ρ η + h η + η + hh η = c 3 ρ ' ''' ( ) ' ( ''). (4.55) Dalam bentuk tak tunak, dengan memisalkan X = x ct, dengan c = c + c + c yang berarti x = X dan - t = c X, maka persamaan (4.55) dapat ditulis dalam bentuk η + δη + μ η λ η t xxx ( ) x + H( xx) = (4.56) atau η = δη + μ η + λh η (4.57) t xxx ( ) x ( xx )

39 dengan c c 3 =, μ =, c δ = 3 h dan ρ λ = h. ρ Misalkan penyelesaian persamaan CLW (4.57) yang dicari diasumsikan berupa gelombang periodik yang merupakan fungsi periodik dengan perioda π sehingga dapat dinyatakan oleh deret Fourier berikut dengan dan 5 [ k k ] (4.58) η( x, t) = a ( t) + a ( t)cos( kx) + b ( t)sin( kx) k = π ak ( t) = ( x, t)cos( kx) dx; k,,... π πη = π bk ( t) = ( x, t)sin( kx) dx; k,,.... π πη = Persamaan (4.58) adalah merupakan uraian deret Fourier untuk fungsi η dengan koefisien-koefisien a k dan b k tergantung pada variabel waktu t. Dalam perhitungannya secara numerik dengan menggunakan bantuan komputer, dilakukan pemotongan terhadap deret tersebut hingga n suku yaitu: n [ k k ] η( x, t) = a ( t) + a ( t)cos( kx) + b ( t)sin( kx). k = (4.59) Hasil yang diperoleh dengan adanya pemotongan ini tidak akan jauh berbeda dengan penyelesaian eksaknya. Hal ini karena koefisien-koefisien a k dan b k untuk indeks k yang besar biasanya bernilai sangat kecil. Untuk memudahkan aplikasinya di komputer, maka deret di atas ditulis dalam bentuk n η( x, t) = ck( t) ψk( x) k= n (4.6) dengan cos( kx), k ψ k ( x) =. sin( kx), k < (4.6) Dengan notasi ini, maka xψ. k = kψ (4.6) k

40 6 Dalam penerapannya di komputer, deret Fourier untuk fungsi η cukup ditulis komponen c k yang dinyatakan dalam bentuk vektor sebagai berikut η = (c -n, c -n+,, c -, c, c,, c n-, c n ). (4.63) Dengan struktur data di atas, maka turunan η terhadap x juga dapat dinyatakan dalam bentuk vektor yaitu : x η = (-nc n, -(n-)c n-,, (-)c,, -(-)c -,,, -(-n+)c -n+, -(-n)c -n ) (4.64) atau x η = (-nc n, (-n+)c n-,, -c,, c -,, (n-)c -n+, nc -n ) (4.65) dan turunan η terhadap t adalah η n n+ n n t = ( c', c',..., c', c', c',..., c', c' ). (4.66) Selanjutnya untuk mencari komponen c k dari η ditentukan dengan cara sebagai berikut. Misalkan maka n [ k k ] η = c + c cos( kx) + c sin( kx), k = c c cos( kx) c sin( kx). c [ c cos( kx) c sin( kx) ] n n η = + [ k + k ] + k + k k= k= n n = c + [ cck cos( kx) + cc k sin( kx) ] + [ ck cos( kx) + c k sin( kx) ] k= k= Dari dua suku pertama diperoleh vektor. n k = ( cc, cc,..., cc, c, cc,..., cc, cc). [ ck cos( kx) + c k sin( kx) ] n n+ n n n Suku ketiga, yaitu [ ck cos( kx) + c k sin( kx) ] dapat diuraikan sebagai berikut : k = n n = [ ck cos( kx) + c k sin( kx) ] [ cm cos( mx) + c m sin( mx) ] k= m=

41 7 n = [ c c cos( kx)cos( mx) + c c cos( kx)sin( mx) + c c sin( kx)cos( mx) km, = n k m k m k m + c c sin( kx)sin( mx)] k m [ cc k m{ cos( k mx ) cos( k mx ) } cc k m{ sin( k mx ) sin( k mx ) } = km, = n { } { + c c sin( k + m) x+ sin( k m) x + c c cos( k m) x cos( k + m) x ]. k m k m [ { k m k m} cos( ) { k m k m} sin( ) = cc c c k+ mx+ cc + c c k+ mx km, = { } { } + cc + c c cos( k mx ) + cc + c c sin( k mx ) ]. k m k m k m k m Dari hasil di atas dapat ditulis n η = R + Rp cos( px) + R p sin( px) atau dalam notasi vektor berbentuk η = ( R n, R n+,..., R, R, R,..., Rn, Rn), dengan : R = ( ck) + ( c k) + c, jika k = m { } { } { } { } p= cc k m c kc m + cc p,jika k+ m= p Rp = ckcm + c kc m + ccp,jika k m = p cc k m + c kc m + cc p,jika k m= p { } { } { } cc k m + c kcm + cc p, jika k+ m= p R p = ckc m + c kcm + cc p, jika k m = p cc k m + c kcm + cc p, jika k m= p Dalam hal ini indeks p yang lebih besar dari n diabaikan karena deret Fourier yang digunakan hanya sampai suku ke n. Karena H(cos (nx)) = -sin (nx) dan H(sin (nx)) = cos (nx), maka transformasi Hilbert dari η dapat dinyatakan oleh H(η) = (c n, c n-,, c, c, -c -,, -c -n, -c -n ). (4.67). } Dengan menerapkan hasil-hasil di atas pada persamaan (4.57) diperoleh persamaan diferensial dck dt = f ( c, c,..., c, c, c,..., c, c ) (4.68) k n n+ n n

42 dengan f k suatu fungsi tertentu dan k =, ±, ±,, ±n. Persamaan-persamaan pada persamaan (4.59) merupakan persamaan diferensial biasa orde satu yang dapat diselesaikan secara numerik. Pada penelitian ini sistem persamaan diferensial tersebut akan ditentukan penyelesaiannya dengan menggunakan Metode Runge-Kuta orde empat. 4.5 Hasil Numerik Metode numerik yang digunakan untuk menentukan penyelesaian periodik persamaan CLW adalah metode pemotongan deret Fourier. Aplikasi metode ini pada persamaan CLW menghasilkan suatu masalah nilai awal. Misalkan nilai awal yang diberikan adalah berupa gelombang cnoidal yang merupakan penyelesaian persamaan KdV dan sebagai kasus khusus persamaan CLW. Penyelesaian periodik persamaan KdV yang diperoleh dalam bentuk gelombang cnoidal adalah 8 dengan ( x, t) ( x ct) Hcn K( m) x η η η ct = = + m λ λ = 6 3H hm Km ( ) H Em ( ) η = m K( m) η = H η Km ( ) = π π d χ msin χ E( m) = msin χ dχ Berdasarkan penyelesaian periodik persamaan KdV dapat disimpulkan bahwa simpangan gelombang cnoidal bergantung pada amplitudo gelombang H, ketebalan lapisan bawah h dan parameter m dengan < m <. Parameter m menentukan panjang gelombang cnoidal. Berdasarkan definisi fungsi cn berikut cn( u m) cos u + m( u sin u.cos u)sin u (4.69) 4 dan pemisalan nilai H = dan h =3, diperoleh bentuk gelombang cnoidal seperti pada Gambar 4.

43 9 m =.5 m =.5 m =.75. hhxl x Gambar 4 Bentuk gelombang cnoidal dengan beberapa nilai m Gambar 4 tersebut menunjukkan bentuk penyelesaian persamaan KdV yang merupakan gelombang cnoidal dengan beberapa nilai parameter m yang berbedabeda. Dari Gambar 4 nampak bahwa parameter m yang lebih kecil menghasilkan panjang gelombang yang lebih pendek dan sebaliknya parameter m yang lebih besar menghasilkan panjang gelombang yang lebih panjang. Sedangkan Gambar 5 menunjukkan suatu gelombang cnoidal dengan beberapa nilai ketebalan lapisan bawah h yang berbeda-beda. Gambar 5 tersebut menunjukkan bahwa semakin besar ketebalan lapisan bawah h, semakin panjang gelombang yang diperoleh. h = 3 h = 4 h = 5..5 hhxl x Gambar 5 Bentuk gelombang cnoidal dengan m =.5, H = dan beberapa nilai ketebalan lapisan bawah h

44 3 Pada penelitian ini diasumsikan bahwa penyelesaian persamaan gelombang yang dicari adalah fungsi periodik dengan perioda π. Penyelesaian numerik untuk persamaan CLW, KdV dan BO akan disajikan dengan menggunakan beberapa bentuk syarat awal yang berupa penyelesaian periodik persamaan KdV. Bentuk penyelesaian persamaan gerak gelombang internal tersebut akan ditampilkan untuk waktu tertentu dan untuk beberapa waktu. Misalkan diberikan H =, λ = π, dan m =., maka pilih syarat awal berbentuk η ( x,) = [ cn(.55 x)] dengan h = Grafik syarat awal diberikan pada Gambar 6. Gambar 6 Bentuk syarat awal untuk kasus H =, λ = π dan m =. Uraian deret Fourier dari fungsi η ( x,) dinyatakan oleh n η( x,) = a + ak cos( kx) + bk sin( kx ) k = dengan b k = dan a k diberikan pada Lampiran 4. [ ] Gambar 7 berikut ini merupakan bentuk penyelesaian persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 3 dengan ρ /ρ =.. CLW KdV BO Gambar 7 Penyelesaian numerik persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 3 dengan ρ /ρ =.

45 3 Dari Gambar 7 terlihat bahwa saat t = 3 ketiga bentuk gelombang cnoidal memiliki perbedaan yang signifikan. Jadi dalam perambatannya ketiga jenis gelombang periodik tersebut mengalami perubahan bentuk, meskipun tingkat perubahannya berbeda-beda. Gambar 8 menunjukkan perubahan bentuk gelombang periodik yang merambat berdasarkan persamaan CLW, KdV dan BO untuk beberapa waktu ( t =, t = 3, t = 6 dan t = 9) dengan ρ /ρ =.. (CLW) t = t = 3 t = 6 t = (KdV) t = t = 3 t = 6 t = (BO) 3 t = t = 3 t = 6 t = Gambar 8 Bentuk gelombang periodik dari persamaan CLW, KdV dan BO pada t =, t = 3, t = 6 dan t = 9 dengan ρ /ρ =. Gambar 9 menyajikan bentuk gelombang yang merupakan penyelesaian persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 6 dengan perbandingan rapat massa (a) ρ /ρ =. dan (b) ρ /ρ =.8. Dari Gambar 9 diperoleh bahwa perbandingan antara rapat massa fluida lapisan atas dengan rapat massa fluida lapisan bawah berpengaruh secara signifikan pada perubahan bentuk gelombang pada persamaan BO dan CLW. Tetapi tidak berpengaruh pada persamaan KdV. Hal ini konsisten dengan rumusan sebelumnya untuk persamaan KdV yang mensyaratkan rapat massa lapisan atas adalah nol.

46 3 (a) 3 CLW KdV BO (b) CLW KdV BO Gambar 9 Bentuk gelombang periodik dari persamaan CLW, KdV dan BO pada saat t = 6 dengan (a) ρ /ρ =. dan (b) ρ /ρ =.8

47 33 V KESIMPULAN DAN SARAN 5. Kesimpulan Persamaan gerak gelombang internal diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida ideal. Sedangkan persamaan dasar fluida ideal diturunkan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Dengan asumsi bahwa gelombang yang ditinjau adalah gelombang panjang dengan amplitudo kecil diturunkan persamaan CLW. Persamaan CLW diturunkan dengan menggunakan domain fluida dua lapisan, yaitu fluida yang terdiri atas dua lapisan yang masingmasing memiliki rapat massa konstan yang berbeda-beda. Untuk kasus rapat massa fluida lapisan atas sama dengan nol memberikan suatu persamaan yang sama dengan persamaan untuk gelombang permukaan, yaitu persamaan Korteweg-de Vries (KdV). Selain itu, persamaan CLW juga dapat tereduksi menjadi persamaan Benjamin-Ono (BO), yaitu suatu persamaan yang berlaku untuk kedalaman yang sangat besar. Dengan demikian persamaan CLW adalah merupakan formulasi matematis bagi gerak gelombang internal yang memiliki karakteristik persamaan KdV dan BO. Penyelesaian persamaan CLW diasumsikan dalam bentuk gelombang periodik. Oleh karena persamaan CLW sulit diselesaikan secara analitik, maka pada penelitian ini diselesaikan secara numerik. Metode yang digunakan adalah metode pemotongan deret Fourier. Dalam penerapannya deret ini hanya digunakan hingga suku tertentu. Penerapan metode pemotongan deret Fourier menghasilkan suatu masalah nilai awal. MNA ini diselesaikan dengan metode Runge Kutta orde empat. Nilai awal yang digunakan dipilih berupa penyelesaian periodik persamaan KdV yang merupakan kasus khusus dari persamaan CLW. Secara analitik, penyelesaian periodik persamaan KdV berupa gelombang cnoidal. Gelombang ini bergantung pada amplitudo gelombang, dan ketebalan fluida lapisan bawah. Semakin tebal fluida lapisan bawah, semakin panjang gelombang yang diperoleh. Berdasarkan hasil simulasi numerik, diperoleh bahwa dalam perambatannya, gelombang periodik mengalami perubahan bentuk. Selanjutnya, oleh karena dalam proses perhitungan secara numerik dilakukan pemotongan

48 34 terhadap suku dari deret Fourier yang digunakan, maka terdapat suku sisa dari deret Fourier. Suku ini menyebabkan adanya galat dari penyelesaian numerik dibanding penyelesaian yang sesungguhnya. Pengaruh galat ini tidak dianalisis lebih lanjut. 5. Saran Banyak fenomena menarik lain yang bisa dikaji dari persamaan CLW yang karena keterbatasan waktu dan kemampuan belum diungkap pada penelitian ini. Sebagai contoh kajian terhadap penyelesaian analitik persamaan CLW dan penggunaan metode numerik yang lain selain metode pemotongan deret Fourier.

49 35 DAFTAR PUSTAKA Douglas GC.. Fisika. Hanum Y, penerjemah; Wibi H, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari : Physics Fith Edition Gerkema T Nonlinear Dispersive Internal Tide : Generations Models For A Rotating Ocean [Phd-Thesis]. The Netherlands: Univ. Of Utrecht. Holyer JY Large amplitude progressive interfacial waves. J Fluid Mech 93: Jaharuddin Hampiran Penyelesaian Persamaan Koorteweg-de Vries dengan Metode Pemotongan Deret Fourier yang Mengabaikan Galat Pemotongan. Bogor: FMIPA Institut Pertanian Bogor. Mustafa I, Mahmut E. 5. Periodic wave solutions for the generalized shallow water wave equation by the improved Jacobi elliptic function method. J App Math E-Notes 5:89-96 Osborne AR, Burch TL. 98. Internal soliton in the Andaman Sea. Science 8 : Ross SL Differential Equations, New York, John Wiley & Sons. Saffman PG, Yuen HC. 98. Finite-amplitude interfacial waves in the presence of a current. J Fluid Mech 3: Segur H, Hammack JL. 98. Soliton models of long internal waves. J Fluid Mech 8: Tuck EO, Wiryanto LH On Steady periodic interfacial waves. J Engineering Math 35: 7-84 Vanden-Broeck JM. 98. Numerical calculation of gravity-capillary interfacial waves of finite amplitude. J Phys. Fluids 3:73-76.