Kajian Mengenai Syarat Cukup Polynomial Kromatik Graf Terhubung Memiliki Akar-Akar Kompleks

Transkripsi

1 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 1 Kajian Mengenai Syarat Cukup Polynomial Kromatik Graf Terhubung Memiliki Akar-Akar Kompleks Yuni D. P. Sari, Darmaji, dan Soleha Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya Indonesia darmaji@matematika.its.ac.id Abstrak Polinomial kromatik P(G, λ) adalah suatu fungsi yang menghitung banyaknya cara mewarnai graf G dengan λ buah warna. Banyaknya warna terkecil yang dibutuhkan untuk mewarnai graf G sehingga dua simpul bertetangga mempunyai warna berbeda disebut bilangan kromatik χ(g). Sehingga, diperoleh hubungan berikut: jika λ < χ(g), maka P(G, λ) = 0, sementara jika λ χ(g), maka P(G, λ) > 0. Akar suatu polinomial kromatik bisa disebut dengan akar kromatik. Letak akar kromatik real terpadatkan pada selang [ 3, ). Akan tetapi 7 tidak memiliki akar kromatik real pada selang (, 3 ] kecuali 7 untuk 0 dan 1. Sedangkan letak akar kromatik kompleks terpadatkan pada seluruh bidang kompleks. Di dalam Tugas Akhir ini, dikaji syarat cukup suapaya suatu polinomial kromatik dari graf terhubung memiliki akar yang bernilai kompleks. Sehingga, diperoleh graf yang memenuhi syarat cukup untuk memiliki akar kromatik yang bernilai kompleks, seperti graf roda dengan simpul n 5 dan graf sikel dengan simpul n 4. Kata Kunci Akar kromatik, akar kromatik kompleks, bilangan kromatik, polinomial kromatik. I. PENDAHULUAN ebuah graf G adalah pasangan himpunan (V, E) dimana V Shimpunan tidak kosong, dan E adalah himpunan pasangan tak berurutan dari anggota-anggota V (yang mungkin kosong). Himpunan V beranggotakan simpul graf G dan E adalah himpunan yang beranggotakan sisi graf G [9]. Salah satu kajian dalam teori graf yang menarik perhatian sejumlah ilmuwan dalam teori graf adalah pewarnaan graf. Masalah pewarnaan pertama kali muncul pada lebih dari 150 tahun yang lalu, yaitu mengenai masalah empat-warna, yang mempertanyakan apakah sebarang peta dapat diwarnai dengan tidak lebih dari 4 warna. Pewarnaan graf G didefinisikan sebagai penetapan warna pada simpul G sedemikian hingga dua simpul yang bertetangga menerima warna yang berbeda. Jika G mempunyai p buah simpul, maka G pasti dapat diwarnai dengan p buah warna. Hanya saja, lebih menarik jika dapat ditemukan banyaknya warna terkecil yang dapat digunakan untuk mewarnai graf G. Banyaknya warna terkecil yang dibutuhkan untuk mewarnai graf G disebut bilangan kromatik, yang dinotasikan dengan χ(g). George David Birkhoff mengenalkan polinomial kromatik pada tahun 191 sebagai usaha untuk membuktikan teorema empat warna. Polinomial kromatik menghitung banyaknya cara suatu graf dapat diwarnai dengan menggunakan bilangan yang telah diberikan [15]. Polinomial kromatik P(G, λ) adalah suatu fungsi yang menghitung banyaknya cara mewarnai graf G dengan λ buah warna. Jelas diperoleh hubungan antara polinomial kromatik P(G, λ) dengan bilangan kromatik χ berikut ini: jika λ < χ(g), maka P(G, λ) = 0, sementara jika λ χ(g), maka P(G, λ) > 0. Sebagaimana halnya polinomial pada umumnya, polinomial kromatik juga memiliki pembuat nol atau akar. Akar suatu polinomial kromatik bisa disebut dengan akar kromatik. Akar kromatik dapat bernilai real maupun kompleks. Penentuan letak akar real maupun akar kompleks dari polinomial kromatik telah menjadi bahan diskusi sejumlah ilmuwan. Sebarang graf G dikenal tidak memiliki akar kromatik pada selang (, 3 ] kecuali untuk 0 dan 1 [11]. 7 Akan tetapi, letak akar kromatik terpadatkan pada selang [ 3, ) [14]. Sementara pada graf planar, 4 bukan akar 7 kromatik [1] []. Selain itu dugaan Birkhoff-Lewis yang terkenal menyatakan bahwa graf planar tidak memiliki akar kromatik pada selang [4, ) [6]. Sedangkan untuk letak akar kromatik pada bidang kompleks, akar seluruh polinomial kromatik terpadatkan pada seluruh bidang kompleks[13]. Telah ditemukan syarat cukup supaya suatu polinomial kromatik memiliki akar yang bernilai kompleks[5]. Syarat cukup ini dibahas ulang di dalam [4] dengan sedikit perluasan. Di dalam Tugas Akhir ini akan dikaji syarat cukup polinomial kromatik suatu graf terhubung sehingga memiliki akar yang bernilai kompleks berdasarkan [4]. II. ISTILAH DAN NOTASI DALAM GRAF Graf terdiri atas simpul dan sisi atau bahkan dapat terdiri atas simpul saja. Graf yang hanya terdiri dari simpul saja disebut dengan graf kosong. Jika u dan v adalah simpul dari graf G, u disebut bertetangga dengan v jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan u dan v. Sedangkan suatu simpul u dikatakan terkait dengan sisi e jika u adalah titik ujung dari e. Dalam hal ini, dapat juga dikatakan e terkait dengan u jika u menjadi titik ujung dari e [9]. Banyaknya simpul dalam graf G disebut order G dan banyaknya sisi dalam graf G disebut ukuran (size) G. Sementara derajat dari sebuah simpul v adalah banyaknya sisi yang terkait dengan v[8].

2 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) Subgraf dari graf G adalah sebuah graf yang setiap simpulnya merupakan simpul di G, dan setiap sisinya juga merupakan sisi di G. Dengan kata lain, suatu graf H bisa disebut subgraf dari graf G, dinotasikan H G, jika V(H) V(G) dan E(H) E(G). Graf G 1 dan G disebut dengan isomorf jika dapat dibentuk pemetaan f: V(G 1 ) V(G ) sedemikian ketetanggaan di G 1 dipertahankan di G. Dari graf G 1 dan G pada Gambar.1 dapat dibentuk pemetaan f(0) 0, f(1) 1, f(), dan f(3) 3 sedemikian hingga ketetanggaan di G 1 dipertahankan di G. Maka, G 1 isomorfik dengan G. Gambar. Graf garis L(K 4 ) Sedangkan graf G pada Gambar.1(b) adalah contoh dari graf roda W 4. Karena telah terbukti bahwa G 1 isomorfik dengan G, maka graf lengkap K 4 isomorfik dengan graf roda W 4. Begitu pula halnya dengan graf garis L(K 4 ) dan graf garis L(W 4 ), kedua graf garis tersebut isomorf sebagaimana terlihat pada Gambar. di atas dan pada Gambar.3 berikut ini. a. Graf G 1 b. Graf G Gambar.1 Graf G 1 yang isomorf dengan graf G Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk sebarang dua simpul a dan b, terdapat lintasan dari a ke b. Sikel dengan panjang n, yang dinotasikan dengan C n, adalah graf dengan n buah simpul x 0, x 1,, x n 1 dan sisi x 0 x 1, x 1 x,, x n 1 x 0. Graf sikel dengan order k bisa disebut dengan k-sikel. Sebuah graf 3-sikel seringkali disebut graf segitiga. Sikel dengan order 4 akan disebut sebagai graf C 4. Graf C 4 ini bisa juga disebut dengan quadilateral. Quadilateral yang tidak memiliki diagonal, disebut quadilateral murni. Perhatikan bahwa jika sebuah graf terhubung memuat sebuah sikel, maka penghilangan sebuah sisi dari sikel tersebut tidak akan membuat graf tersebut menjadi tidak terhubung[9]. Suatu graf K n dengan order n disebut graf lengkap jika setiap simpul bertetangga dengan setiap simpul lainnya. Dengan kata lain, graf lengkap K n pasti berukuran n = n(n 1). Sebuah graf disebut pohon jika dalam suatu graf terhubung tidak memuat subgraf yang isomorfik dengan sebuah sikel. Contoh pohon yang sederhana adalah lintasan dengan panjang n, yang dinotasikan dengan P n. Roda dengan n buah simpul, W n, adalah graf yang terdiri dari sebuah n 1-sikel dan satu buah simpul tambahan yang bertetangga dengan seluruh simpul dari sikel. Graf garis (line graph) juga termasuk graf terhubung. Untuk suatu graf terhubung G, graf garis dari G yang dinotasikan dengan L(G) didefinisikan sebagai suatu graf yang masingmasing simpul L(G) mewakili sisi G, dan dua simpul L(G) adalah bertetangga jika dan hanya jika kedua sisi G yang diwakili tersebut terkait.[16] Graf G 1 pada Gambar.1(a) adalah contoh dari graf lengkap K 4. Graf garis dari graf lengkap K 4 yang dinotasikan dengan L(K 4 ) dapat dilihat pada Gambar. berikut ini. Gambar.3. Graf garis L(W 4 ) Dari Gambar. dan.3, terlihat bahwa graf garis dari graf roda dan graf lengkap tidak isomorfik dengan graf roda dan graf lengkapnya. Berbeda dengan graf garis dari graf sikel. Graf garis dari graf sikel isomorfik dengan graf sikelnya. III. POLINOMIAL Definisi 3.1.[3] Suatu fungsi dari peubah tunggal t disebut sebuah polinomial pada domainnya jika dapat dinyatakan dalam bentuk a n t n + a n 1 t n a 1 t + a 0 (3.1) dengan a n, a n 1,, a 1, a 0 adalah konstanta dengan a n 0. Definisi ini menyatakan bahwa setiap polinomial dapat dinyatakan sebagai jumlahan suku monomial berhingga a k t k yang mana peubahnya memiliki pangkat bulat tak negatif. Pada Polinomial (3.1), a i disebut koefisien, untuk i = 0, 1,,, n. sedangkan a n adalah koefisien pemimpin (leading coefficient) dan a n t n adalah suku pemimpin. Lebih lanjut, a 0 adalah suku konstan atau koefisien konstan, a 1 adalah koefisien linier, sedangkan a 1 t adalah suku linier. Ketika koefisien pemimpin a n bernilai 1, polinomial tersebut dikatakan sebagai polinomial monik. Bilangan bulat tak negatif n pada Polinomial (3.1) adalah derajat dari polinomial. Sebuah polinomial konstan hanya memiliki sebuah suku tunggal a 0. Polinomial konstan tak nol memiliki derajat 0. Beberapa nama khusus diberikan pada polinomial dengan derajat rendah. Polinomial derajat 1 disebut polinomial linier. Polinomial derajat disebut polinomial kuadratik. Polinomial derajat 3 disebut polinomial kubik. Polinomial derajat 4 disebut dengan polinomial kuartik. Dan polinomial derajat 5 disebut dengan polinomial kuintik. Pembuat nol polinomial p(t) adalah sebarang bilangan r yang membuat p(r) bernilai 0. Ketika p(r) = 0, maka r disebut sebagai akar atau penyelesaian dari persamaan p(t) = 0. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu polinomial memiliki akar real dan mendapatkan banyaknya akar yang ada dalam suatu selang

3 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 3 yang diberikan tanpa mencari nilai akarnya terlebih dahulu secara numerik. Salah satu di antaranya adalah Metode Sturm. Diberikan polinomial real p(t). Untuk mendefinisikan barisan polinomial (p 0 (t), p 1 (t), p (t), ) yang dibutuhkan, dibuatlah algoritma pembagian yang terus-menerus digunakan. Diberikan p i (t) yang memenuhi: p 0 (t) = p(t) p 1 (t) = p (t), dimana p (t) adalah turunan dari p(t) p 0 (t) = p 1 (t)q 1 (t) p (t), deg p < deg p 1 p 1 (t) = p (t)q (t) p 3 (t), deg p 3 < deg p p (t) = p 3 (t)q 3 (t) p 4 (t), deg p 4 < deg p 3 dan seterusnya sampai diperoleh sisa nol. Jadi, pada masingmasing tingkatan untuk k, p k (t) adalah sisa negatif ketika p k (t) dibagi oleh p k 1 (t). Jika terdapat akar berganda, maka sisa tak nol terakhir akan konstan. Ini disebut sebagai barisan sturm untuk p(t). Teorema 3..[3] Diberikan a < b. Misalkan A menyatakan banyaknya perubahan tanda pada barisan (p 0 (a), p 1 (a), p (a), p 3 (a), ) dan B menyatakan banyaknya perubahan tanda pada barisan (p 0 (b), p 1 (b), p (b), p 3 (b), ). Banyaknya akar real dari polynomia p(t) yang berada di antara selang a dan b (dimana setiap akar gandanya dihitung tepat sekali) adalah tepat A B. Teorema 3. di atas dikenal dengan Teorema Sturm. Berikut ini adalah cara Teorema Sturm bekerja. Contoh 3.1 Gunakan Teorema Sturm untuk menentukan banyaknya akar antara dan dari polinomial t t + 1. Pertama, dicari dulu barisan sturm dari polinomial tersebut. Untuk polinomial p(t) = t t + 1, p 0 (t) = p(t) = t t + 1 p 1 (t) = p (t) = t 1 Karena p 0 (t) = p 1 (t)q 1 (t) p (t), maka p (t) dapat kita peroleh dari sisa pembagian p 0(t) p 1 (t), sedangkan q 1(t) merupakan hasil dari pembagian tersebut. Dengan perhitungan sederhana ini, diperoleh p 0 (t) = t t + 1 = (t 1) 1 t p 1 (t) = t 1 = t Sehingga diperoleh nilai p (t) = 3 dan nilai p 4 3(t) = 0. Oleh karena itu, barisan sturm dari polinomial t t + 1 adalah t t + 1, t 1, 3. Langkah selanjutnya, 4 Teorema Sturm siap digunakan. Karena a = dan b =, maka kita dapatkan barisan berikut ini p 0 ( ), p 1 ( ), p ( ) = 7, 5, 3 4 p 0 (), p 1 (), p () = 3, 3, 3 4 Terlihat bahwa A = 1 dan B = 1. Sehingga banyaknya akar real dari polinomial t t + 1 adalah A B = 0. Jadi, polinomial t t + 1 tidak memiliki akar real. Dari Teorema 3. di atas, diperoleh akibat berikut ini. Akibat 3.3.[3] Seluruh akar dari polinomial monik adalah real jika dan hanya jika seluruh polinomial tak nol pada Barisan Sturmnya memiliki koefisien pemimpin positif. Selain Teorema Sturm, dalam bagian pembahasan selanjutnya, digunakan Teorema Newton yang diberikan sebagai berikut Teorema 3.4.[4] Diberikan polinomial n k=0 a k x n k dengan koefisien yang bernilai real. Syarat perlu agar seluruh akar dari polinomial tersebut bernilai real adalah k n k n k + 1 k + 1 a k a k 1 a k+1 0 (3.) untuk k = 1,,, n 1. Diberikan suatu polinomial dengan koefisien bernilai real berikut ini, n k=0 a k x n k = a 0 x n + a 1 x n a n 1 x + a n (3.3) Dengan mengikuti Teorema 3.4, dapat dibentuk suatu barisan untuk Polinomial (3.3) dengan mengambil nilai k = 1,, 3,, n 1. Selanjutnya, barisan tersebut nantinya disebut dengan Barisan Newton. 1 n n a 1 a 0 a = n n a 1 a 0 a n 1 n 3 a (n ) a 1 a 3 = 3(n 1) a a 0 a Dan seterusnya hingga barisan ke k 1. Dari Teorema 3.4, apabila seluruh barisan Newton dari polinomialnya bernilai tak negatif, maka seluruh akar dari polinomialnya akan bernilai real. Di samping Teorema 3. dan 3.4, akan digunakan juga satu Teorema lagi, yaitu Teorema Gauss-Lucas. Teorema 3.5.[10] Sebarang bidang-paruh tertutup yang memuat seluruh pembuat nol dari polinomial p juga memuat seluruh pembuat nol dari turunan p, yaitu p. Teorema 3.5 mengakibatkan bahwa akar dari p termuat dalam bidang-paruh tertutup yang memuat akar dari p. Irisan ini juga dikenal sebagai konveks hull tertutup dari himpunan akar. Dan irisan ini boleh juga dideskripsikan sebagai polygon konveks terkecil yang memuat seluruh akar[10]. IV. POLINOMIAL KROMATIK Pada bagian ini akan dibahas mengenai polinomial kromatik dari graf umum yang telah dibahas pada bagian. Suatu graf disebut dengan graf kosong jika tidak memiliki satupun sisi. Graf kosong dengan order n dinotasikan dengan O n. Graf kosong O n memiliki polinomial kromatik sebagai berikut P(O n, λ) = λ n [6]. (4.1) Setiap simpul graf lengkap K n harus memiliki n(n 1) buah sisi. Polinomial kromatik dari graf lengkap K n order n adalah P(K n, λ) = λ(λ 1) (λ n + 1)[6]. (4.) Graf pohon T n order n memiliki polinomial kromatik P(T n, λ) = λ(λ 1) n 1 [6]. (4.3) Graf C n merupakan sikel dengan order n. Berikut ini adalah polinomial kromatik dari sikel C n yang memiliki n buah simpul P(C n, λ) = (λ 1) n + ( 1) n (λ 1)[1]. (4.4) Sikel C n 1 yang setiap simpulnya bertetangga dengan sebuah simpul lain yang terletak di tengah sikel C n 1 dikenal dengan roda W n. Polinomial kromatik roda W n yang memiliki n buah simpul adalah

4 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 4 P(W n, λ) = λ(λ ) n 1 + λ( 1) n 1 (λ )[1]. (4.5) V. KOEFISIEN POLINOMIAL KROMATIK Diberikan graf terhubung G dengan order n dan ukuran m. Koefisien dari λ n, λ n 1, dan λ n secara berturut-turut adalah: 1, m, dan m t 1, dengan t 1 adalah banyaknya subgraf dari G yang berupa graf segitiga[7]. Sedangkan rumusan untuk mendapatkan koefisien suku keempat keempat polinomial kromatik ada pada teorema berikut ini. Teorema 5.1.[7] Koefisien dari λ n 3 dalam P(G, λ) adalah m 3 + (m )t 1 + t t 3, (.4.1) dengan t 1, t, dan t 3 berturut-turut menyatakan banyaknya subgraf dari G yang berupa segitiga, quadilateral murni, dan K 4. Untuk mencari koefisien suku kelima dari suatu polinomial kromatik graf terhubung sebarang, dapat digunakan Teorema 5.3. Perhatikan Gambar 5.1 berikut. a. Permutasi pertama graf order 5 b. Permutasi kedua graf order 5 c. Permutasi ketiga graf order 5 Gambar 5.1 Graf Terhubung Order 5 Gambar 5.1(a), 5.1(b) dan 5.1(c) merupakan gambar dari tiga buah permutasi graf order 5. Permutasi graf order 5 s endiri berjumlah sebanyak 1. Teorema 5..[7] Koefisien dari λ n 4 dalam polinomial kromatik P(G, λ) dari suatu graf terhubung G adalah sebagai berikut: m m 4 t 1 + t 1 (m 3)t + (m 9)t 3 t 4 6t 5 + M + P + 3R. dengan t 1, t, t 3 dan t 4 berturut-turut menyatakan banyaknya subgraf dari graf terhubung G yang berupa segitiga, quadilateral murni, graf lengkap K 4 dan graf lengkap K 5, sementara M, P, dan R berturut-turut menyatakan banyaknya subgraf yang isomorf dengan graf pada Gambar 5.1(a), 5.1(b) dan 5.1(c). VI. SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS Akan dikaji syarat cukup polinomial kromatik P(G, λ) dari suatu graf terhubung G sehingga memiliki akar kompleks. Syarat cukup ini ditinjau dari banyaknya subgraf yang berupa segitiga, quadilateral murni, serta graf lengkap K 4 pada graf terhubung G. Teorema 6.1 berikut ini merupakan hasil yang diperoleh dengan menerapkan metode Sturm pada polinomial kromatik P(G, λ). Teorema 6.1. Diberikan graf G dengan order n, ukuran m dan t 1 menunjukkan banyaknya subgraf segitiga. Jika t 1 < (6.1) (n ) Maka polinomial kromatik P(G, λ) memiliki akar kompleks. Bukti. Dengan menggunakan metde sturm, akan dibuktikan bahwa P(G, λ) memiliki akar kromatik kompleks jika pertidaksamaan (6.1) terpenuhi. Bentuk umum polinomial kromatik P(G, λ) dengan tiga suku pertama adalah sebagai berikut P(G, λ) = λ n m λ n 1 + m t 1 λ n Jika graf G bukanlah graf kosong, maka G memiliki bilangan kromatik χ(g). Sehingga λ(λ 1) membagi P(G, λ). Maka diperoleh P(G, λ) λ(λ 1) = λn (m 1)λ n 3 + m 1 t 1 λ n 4 (6.) Selanjutnya, Persamaan (6.) dinamakan dengan polinomial g(λ) dan jelas bahwa polinomial g(λ) merupakan faktor dari polinomial kromatik P(G, λ). Berdasarkan Akibat 3.3, jika terdapat koefisien pemimpin dari barisan sturm polinomial monik g(λ) yang bernilai negatif, maka akan terdapat akar dari g(λ) yang bernilai kompleks. Karena polinomial monik g(λ) merupakan faktor dari P(G, λ), maka P(G, λ) akan memiliki akar kromatik kompleks jika terdapat koefisien pemimpin dari barisan sturm polinomial monik g(λ) yang bernilai negatif. Oleh karena itu, akan didapatkan koefisien pemimpin dari barisan sturm g(λ) yang bernilai negatif. Berikut ini akan dibentuk barisan sturm dari polinomial g(λ). Karena g 0 (λ) = g(λ), maka g 0 (λ) = λ n (m 1)λ n 3 + m 1 t 1 λ n 4 Karena g 1 (λ) = g (λ), maka g 1 (λ) = (n )λ n 3 (m 1)(n 3)λ n 4 + (n 4) m 1 t 1 λ n 5 Untuk memperoleh g (λ), digunakan operasi pembagian pada g 0 (λ) oleh g 1 (λ) sedemikian hingga didapat persamaan g 0 (λ) = g 1 (λ)q 1 (λ) g (λ). sehingga diperoleh g (λ) = m 1 n t 1 + (m 1) (n 3) λ n 4 (6.3) (n ) Telah dibentuk barisan Sturm dari g(λ) yang terdiri dari (g 0 (λ), g 1 (λ), g (λ)). Dari Persamaan (6.3), koefisien pemimpin dari g akan bernilai negatif jika n m 1 t 1 + (m 1) (n 3) (n ) < 0 Dengan menjabarkan nilai m 1 didapat 1)(m ) (m t n 1 + (m 1) (n 3) (n ) < 0 Kemudian suku pertama di ruas kiri disederhanakan menjadi (m 1)(m ) + t 1 n n + (m 1) (n 3) (n ) < 0 Kemudian, suku pertama dan ketiga di ruas kiri dipindah ke ruas kanan t 1 (m 1)(m ) < (m 1) (n 3) n n (n ) Selanjutnya, karena kedua suku di ruas kanan memiliki kesamaan faktor m 1, maka pertidaksamaan menjadi: n

5 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 5 n t 1 < m 1 (m 1)(n 3) (m ) n n Kemudian, kedua ruas Pertidaksamaan dikalikan dengan n t 1 < m 1 (m 1)(n 3) (m ) n Kemudian, suku di ruas kanan disederhanakan menjadi t 1 < m 1 (m )(n ) (m 1)(n 3) n t 1 < m 1 m(n ) (n ) m(n 3) (n ) 1(n 3) t 1 < m 1 (m(n n + 3) n n 3) (n ) Akibatnya, t 1 < m 1 (m n + 1) (n ) t 1 < (n ) Hal ini menunjukkan bahwa koefisien pemimpin dari polinomial monik g (λ) akan bernilai negatif jika Pertidaksamaan (6.1) terpenuhi. Karena polinomial kromatik P(G, λ) akan memiliki akar kompleks jika terdapat koefisien pemimpin dari barisan Sturm polinomial monik g(λ) yang bernilai negatif, maka terbukti bahwa polinomial kromatik P(G, λ) akan memiliki akar kompleks jika Pertidaksamaan (6.1) dipenuhi. Contoh 6.1 Graf yang memiliki akar kompleks karena memenuhi syarat cukup yang diberikan oleh Teorema 6.1 adalah graf sikel C 4. Graf C 4 memiliki order n = 4, ukuran m = 4, subgraf segitiga t 1 = 0, quadilateral murni t = 1, subgraf K 4 berupa t 3 = 0 dan bilangan kromatik χ(c 4 ) =. Sehingga diperoleh (n ) = 3 1 = 3 4 Karena t 1 = 0 < 3, maka Teorema 6.1 terpenuhi. 4 Contoh graf dengan akar kromatik kompleks yang lain adalah graf garis L(C 4 ). Graf garis L(C 4 ) isomorf dengan graf C 4. Sehingga graf garis L(C 4 ) juga memiliki akar kompleks sebagaimana graf C 4. Contoh 6.. Dengan metode Sturm, akan ditunjukkan bahwa graf garis L(K 4 ) memiliki akar Graf garis dari graf lengkap L(K 4 ) yang tidak isomorf dengan graf K 4 nya. Dari polinomial kromatik graf lengkap K n, jelas bahwa P(K n, λ) memiliki akar real. Sehingga graf K 4 tidak memiliki akar kemudian, akan diterapkan Teorema 6.1 pada graf garis L(K 4 ). Graf garis L(K 4 ) memiliki order n = 6, ukuran m = 1, bilangan kromatik χ L(K 4 ) = 3 dan subgraf segitiga sebanyak t 1 = 8. Sehingga diperoleh (n ) = 77 8 = , Terlihat bahwa t 1 = 8 < 9 3. Sehingga, berdasarkan Teorema 8 6.1, graf garis L(K 4 ) memiliki akar Syarat cukup akar kromatik dari suatu graf terhubung G bernilai kompleks pada Teorema 6.1 hanya terbatas pada banyaknya subgraf segitiga t 1 dari graf G. Selanjutnya, akan dibahas syarat cukup yang berhubungan dengan banyaknya subgraf segitiga, quadilateral murni, dan graf lengkap K 4. Akan tetapi, perlu diperhatikan Preposisi 6. berikut ini. Preposisi 6.. Diberikan suatu graf G dengan bilangan kromatik χ yang berorder n > χ + 1 dan berukuran m. Polinomial kromatik dari graf terhubung G dapat dinyatakan menjadi P(G, λ) = λ(λ 1)(λ ) λ (k 1) S n k (G, λ), dengan deret S n k (G, λ) didefinisikan sebagai berikut S n k (G, λ) = λ n k + s 1,k λ n k 1 + s,k λ n k + s 3,k λ n k 3 + Maka untuk suatu bilangan bulat k, dimana 1 k χ, koefisien dari S n k (G, λ) adalah s 1,k = k m, k 1 s,k = m t 1 k + 1 m + j j, s 3,k = m 3 + (m )t 1 + t t 3 + k m t 1 k 1 m j j + j k j j + j + 1 j + i i. Pada Teorema 6.3 berikut ini, akan diuraikan syarat cukup polinomial kromatik graf terhubung memiliki akar kromatik kompleks yang berhubungan dengan banyaknya subgraf segitiga, quadilateral murni, dan graf lengkap K 4 Teorema 6.3. Diberikan suatu graf G dengan ukuran m, bilangan kromatik χ serta order n > χ + 1. Jika t 1 < t atau (t 3 t ) > g, dengan t 1, t serta t 3 berturut-turut merupakan subgraf segitiga, quadilateral murni serta graf lengkap K 4, dan i=1 t = m(m n χ + χ) (n χ 1) χ (n χ) (n χ) k 1 (n χ) j + 1 j + (n χ)

6 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 6 g (n χ ) = 3 m χ m (n χ 1) t 1 χ m + j + 1 j m 3 + (m )t 1 + χ m t 1 m j j + j j 1 + j j + j + 1 j + i i. maka polinomial kromatik P(G, λ) mempunyai akar kompleks. Untuk mempermudah dalam mencari nilai dari t dan g, dalam Tabel 6.1 di bawah ini adalah penyederhanaan dari t dan g untuk χ = hingga χ = 5. Tabel 6.1 Tabel t dan g untuk χ = sampai dengan χ = 5 χ = t = (n ) i=1 g = n 4 3 (m 1)(n 3) m t 1 m + 1 m m 5 3 m(m n 3) + 5n 6 χ = 3 t = (n 3) + (m 3)t 1 m + 1 g = n 5 3 (m 3)(n 4) m t 1 3m + 7 m m 11 3 m(m n 8) + 14n 0 χ = 4 t = (n 4) + (m 5)t 1 7m + 15 g = n 6 3 (m 6)(n 5) m t 1 6m + 5 m m 0 3 m(m n 15) + 30n 50 χ = 5 t = (n 5) + (m 8)t 1 5m + 90 g = n 7 3 (m 10)(n 6) m t 1 10m + 65 m m 3 + (m 1)t m Pada pembahasan sebelumnya telah dibuktikan bahwa graf garis L(K 4 ) memenuhi syarat cukup pada Teorema 6.1 untuk memiliki akar Graf garis L(W 4 ) isomorf dengan graf garis L(K 4 ). Sehingga, graf garis L(W 4 ) pasti memiliki akar kromatik kompleks yang nilainya sama dengan graf garis L(K 4 ). Oleh karena itu, akan dibukrikan bahwa graf garis L(W 4 ) memenuhi syarat cukup untuk memiliki akar kromatik kompleks yang diuraikan pada Preposisi 6.3. Contoh 6.3. Graf garis L(W 4 ) memiliki order n = 6, ukuran m = 1, bilangan kromatik χ = 3, subgraf segitiga t 1 = 8, subgraf quadilateral murni t =, dan t 3 = 0. Karena χ = 3, maka diperoleh t m(m n 3) + 5n 6 = (n 3) 1(3) = (3) = 60 6 = 10 Terlihat bahwa t 1 < t. Sehingga, sebagaimana Preposisi 4.3, syarat cukup graf garis L(W 4 ) memiliki akar kromatik kompleks terpenuhi. Dengan menggunakan deret S n χ, Preposisi 6. dan Teorema 3.5, didapatkan Preposisi 6.4 berikut ini. Preposisi 6.4. Untuk suatu graf G dengan bilangan kromatik χ, order n > χ + 1, dan ukuran m, diberikan B χ = m χ n χ dan D χ = (n χ 1) χ m (n χ 1)(n χ)s,χ dengan s,χ = m t 1 χ + 1 m + j j, Jika D χ 0 maka polinomial kromatik P(G, λ) memiliki sebuah akar r dengan D χ re(r) B χ + (n χ)(n χ 1) dan jika D χ < 0, maka polinomial P(G, λ) memiliki akar r 1 dan r sedemikian hingga re(r 1 ) B χ dan D χ im(r ) (n χ)(n χ 1) Di awal pembahasan telah diuraikan bahwa graf roda W 4 isomorf dengan graf lengkap K 4, sehingga graf roda W 4 tidak memiliki akar Akan tetapi, berbeda dengan graf roda order 5, W 5. Dengan menggunakan Preposisi 4.4, akan ditunjukkan bahwa graf roda W 5 memenuhi syarat cukup untuk memiliki akar Contoh 6.4 Graf roda W 5 memiliki order n = 5, ukuran m = 8, bilangan kromatik χ = 3, subgraf t 1 = 4, t = 0, dan t 3 = 0. Sehingga, diperoleh D χ = (n χ 1) χ m (n χ 1)(n χ)s,χ = (1) ( ) (1)()s,χ = 4 4 m t 1 χ + 1 m + j j = = 4 4(1 + 6) = 4 8 = 4

7 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 7 Terlihat bahwa D χ < 0. Sebagaimana Preposisi 4.4, graf roda W 5 memiliki akar kromatik r 1 dan r sedemikian hingga re(r 1 ) B χ = m χ n χ 8 3 re(r 1 ) = 5 = 1 dan D χ im(r ) (n χ)(n χ 1) im(r ) 4 ()(1) = 6 = 6 Dengan memperhatikan Contoh 4.5 dan Lampiran, graf roda W n, untuk n 5 memiliki akar Sedangkan dari Contoh 6.1 dan Lampiran 1, graf sikel C n, untuk n 4, juga memiliki akar VII. KESIMPULAN 1. Graf lengkap K n dengan n order, tidak memiliki akar kromatik bernilai kompleks. Begitu pula halnya dengan graf pohon T n dengan n order.. Graf garis L(K n ) yang tidak isomorf dengan graf lengkap K n nya, bisa jadi memiliki akar Sebagai contoh, graf garis L(K 4 ). 3. Graf roda W n dengan order n 5, memiliki akar 4. Graf sikel C n dengan order n 4, memiliki akar LAMPIRAN Graf Sikel C n, dengan n 5, yang memenuhi Teorema 4.1 untuk memiliki akar kromatik kompleks 1. Graf sikel C 5 t 1 = 0, n = 5, m = 5, (m 1)(m n+1) = 4 1 = (n ) 3 3 (n ) 5 memiliki akar. Graf sikel C 6 t 1 = 0, n = 6, m = 6, (m 1)(m n+1) (n ) = = 5 8 (n ) 6 memiliki akar 3. Graf sikel C 7 t 1 = 0, n = 7, m = 7, (m 1)(m n+1) (n ) = = 3 5 (n ) 7 memiliki akar 4. Graf sikel C 8 t 1 = 0, n = 8, m = 8, (m 1)(m n+1) (n ) = = 7 1 (n ) 8 memiliki akar 5. Graf sikel C 9 t 1 = 0, n = 9, m = 9, (m 1)(m n+1) (n ) = = 4 7 (n ) 9 memiliki akar 6. Graf sikel C 10 t 1 = 0, n = 10, m = 10, (m 1)(m n+1) = 9 1 = 9 (n ) 8 16 (n ) 10 memiliki akar 7. Graf sikel C 11 t 1 = 0, n = 11, m = 11, (m 1)(m n+1) = 10 1 = 5 (n ) 9 9 (n ) 11 memiliki akar 8. Graf sikel C 1 t 1 = 0, n = 1, m = 1, (m 1)(m n+1) = 11 1 = 11 (n ) 10 0 (n ) 1 memiliki akar 9. Graf sikel C 13 t 1 = 0, n = 13, m = 13, (m 1)(m n+1) = 1 1 = 6 (n ) (n ) 13 memiliki akar Graf W n, dengan n 6, yang memenuhi Preposisi 4.3 untuk memiliki akar kromatik kompleks 1. Graf roda W 6 t 1 = 5, n = 6, m = 10, χ = 4 t = m(m n 8)+14n 0 (n 4) Diperoleh t = 6, sehingga t 1 < t. Jadi, W 6 memiliki akar. Graf roda W 7 t 1 = 6, n = 7, m = 1, χ = 3 t = m(m n 3)+5n 6 (n 3) Diperoleh t = 6 5 8, sehingga t 1 < t. Jadi, W 7 memiliki akar 3. Graf Roda W 8 t 1 = 7, n = 8, m = 14, χ = 4 t = m(m n 8)+14n 0 (n 4) Diperoleh t = 8, sehingga t 1 < t. Jadi, W 8 memiliki akar 4. Graf roda W 9 t 1 = 8, n = 9, m = 16, χ = 3 t = m(m n 3)+5n 6 (n 3) Diperoleh t = 8 3 4, sehingga t 1 < t. Jadi, W 9 memiliki akar 5. Graf Roda W 10 t 1 = 9, n = 10, m = 18, χ = 4 t = m(m n 8)+14n 0 (n 4) Diperoleh t = 10, sehingga t 1 < t. Jadi, W 10 memiliki akar 6. Graf roda W 11 t 1 = 10, n = 11, m = 0, χ = 3 t = m(m n 3)+5n 6 (n 3) Diperoleh t = , sehingga t 1 < t. Jadi, W 11 memiliki akar 7. Graf Roda W 1 t 1 = 11, n = 1, m =,χ = 4 t = m(m n 8)+14n 0 (n 4) Diperoleh t = 1, sehingga t 1 < t. Jadi, W 1 memiliki akar 8. Graf roda W 13 t 1 = 1, n = 13, m = 4, χ = 3 t = m(m n 3)+5n 6 (n 3) Diperoleh t = , sehingga t 1 < t. Jadi, W 13 memiliki akar

8 JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol., No.1, (013) (301-98X Print) 8 9. Graf Roda W 14 t 1 = 13, n = 14, m = 6, χ = 4 t = m(m n 8)+14n 0 (n 4) Diperoleh t = 14, sehingga t 1 < t. Jadi, W 14 memiliki akar DAFTAR PUSTAKA [1] Appel, K. dan Haken, W. (1977). "Every Planar Graph is Four Colorable Part I. Discharging". Illinois Journal of Mathematics Vol. 1, Hal [] Appel, K. dan Haken, W. (1977). "Every Planar Graph is Four Colorable Part II. Reducibility". Illinois Journal of Mathematics Vol. 1, Hal [3] Barbeau, E. J. (1989). Polynomials. New York: Springer Verlag. [4] Bielak, H. (001). "Roots of Chromatic Polynomials". Discrete Mathematics Vol. 31, Hal [5] Brown, J. I. (1998). "On The Roots of Chromatic Polynomials". Journal of Combinatorial Theory Series B Vol. 7, Hal [6] Dong, F.M. (005). Chromatic Polynomial and Chromaticity of Graph. World Scientific Publishing Company, illustrated edition. [7] Farrell, E. J. (1980). "On Chromatic Coefisien". Discrete Mathematics Vol. 9, Hal [8] Hardy, G. H., Littlewood, J. E., Polya, G. (195). Inequallities. Cambridge: Cambridge University press. [9] Hartsfield, N. dan Ringel, G. (003). Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction. New York: Dover Publications. [10] Henrici, P. (1974). Applied and Computational Complex Analysis Vol. I. New York: Wiley-Interscience. [11] Jackson, B. (1993). A zero-free interval for chromatic polynomials of graphs. Combinatorics, Probability and Computing Vol., Hal [1] Lo va sz, L. (007). Combinatorial Problems and Exercises nd edition. American Mathematical Society. [13] Sokal, A. D. (004) "Chromatic roots are dense in the whole complex plane". Combinatorics, Probability and Computing, Vol. 13, Hal [14] Thomassen, C. (1997). The Zero-Free Intervals for Chro-matic Polynomials of Graphs. Combinatorics, Probabili-ty and Computing, Vol. 6, Hal