Bab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Definisi Graf
|
|
- Ratna Budiman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Graf Suatu graf G terdiri dari himpunan tak kosong terbatas dari objek yang dinamakan titik dan himpunan pasangan (boleh kosong) dari titik G yang dinamakan sisi. Himpunan titik dari graf G dinotasikan VG atau V dan himpunan sisi dinotasikan EG atau E. Graf G, biasanya dinotasikan G = (V G,EG) atau G = (V,E). Dalam tugas akhir ini, banyaknya titik V G dan sisi EG dari suatu graf G dinotasikan n(g) dan m(g) atau n dan m. Graf G = (V,E) direpresentasikan dalam bentuk gambar. Setiap titik u V digambarkan dengan lingkaran kecil (titik) dan setiap sisi e E digambarkan dengan garis yang menghubungkan titik-titik di graf G. Posisi titik dan sisi dapat digambar secara bebas, seperti tampak pada Gambar 2.1. Titik u dan v dikatakan titik ujung dari suatu sisi e di graf G jika e = {u,v}. Lebih lanjut, u dan v dikatakan titik-titik yang bertetangga, sedangkan u dan e dikatakan terkait, begitu juga dengan v dan e. Jika e 1 dan e 2 adalah dua buah sisi yang berbeda dari graf G yang terkait pada sebuah titik yang sama, maka e 1 dan e 2 dikatakan bertetangga. Untuk memudahkan, sisi e = {u,v} dinotasikan dengan e = uv atau e = vu. Sebuah sisi yang terkait hanya pada satu titik disebut loop, 5
2 BAB 2. LANDASAN TEORI 6 Gambar 2.1: Graf G 1 sedangkan dua sisi atau lebih yang terkait pasangan titik yang sama, disebut sisi ganda. Banyaknya sisi ganda pada pasangan titik u dan v disebut multiplisitas sisi dari (u,v) dan dinotasikan µ(u, v). Sementara, bilangan terbesar dari sisi ganda yang terdapat pada setiap pasangan titik di G disebut multiplisitas dari G dan dinotasikan µ(g). Multiplisitas dari graf pada Gambar 2.1 adalah 3 (µ(g) = 3) yang merupakan multiplisitas sisi dari pasangan titik v 1 dan v 4. Gambar 2.2: Graf yang memuat loop Graf sederhana adalah graf yang tidak memuat loop dan sisi ganda. Sedangkan graf yang memiliki sisi ganda disebut multigraf. Gambar 2.1 merupakan salah satu contoh multigraf dan Gambar 2.3 merupakan salah satu contoh graf sederhana.
3 BAB 2. LANDASAN TEORI 7 Gambar 2.3: Graf sederhana Selanjutnya pada tugas akhir ini, G diasumsikan graf sederhana. Untuk setiap v V pada suatu graf G = (V,E), banyaknya sisi yang terkait dengan v disebut derajat dari v, dinotasikan d(v, G) atau d(v). Derajat minimum dari G dinotasikan δ(g). Derajat maksimum dari G dinotasikan (G). Sebuah titik yang berderajat nol disebut titik terisolasi. Jika setiap titik dari G memiliki derajat yang sama, maka G dikatakan graf (G)-teratur. Sebagai contoh, derajat minimum dan maksimum graf sederhana pada Gambar 2.3 adalah dua dan empat, yaitu derajat pada titik v 3 serta v 2 dan v 4. Sementara, Gambar 2.4 adalah contoh dari graf 2-teratur. Gambar 2.4: Graf 2-teratur Sebarang graf G berkorespondensi dengan suatu matriks berukuran n n yang disebut matriks ketetanggaan dari G. Misalkan G = {V,E} dengan v 1,v 2,...,v n V dan e 1,e 2,...,e m E. Matriks ketetanggaan adalah matriks A(G) = [a ij ], dimana a ij adalah banyaknya sisi yang berkaitan dengan pasangan titik v i dan v j. Matriks
4 BAB 2. LANDASAN TEORI 8 lainnya yang berkorespondensi dengan sebarang graf G adalah matriks keterkaitan dari G. Berbeda dengan matriks ketetanggaan, matriks keterkaitan adalah matriks B(G) = b ij yang berukuran n m dimana b ij menunjukkan keterkaitan antara titik v i dan sisi e j, yaitu 1, jika v i dan e j berkaitan; b ij = 0, lainnya. (2.1.1) Tabel 2.1: Matriks ketetanggaan dari graf pada Gambar 2.3 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v v v v v Matriks ketetanggaan dan keterkaitan dari graf pada Gambar 2.3 dapat dilihat pada Tabel 2.1 dan 2.2. Tabel 2.2: Matriks keterkaitan dari graf pada Gambar 2.3 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 v v v v v Suatu subgraf dari graf G = (V,E) adalah graf H = (V H,EH) dimana V H V dan EH E. Sebuah subgraf dikatakan subgraf pembangun jika V H = V. Jika U
5 BAB 2. LANDASAN TEORI 9 adalah sebuah subhimpunan tak kosong dari himpunan titik V dari G, maka subgraf G[U] dari G yang terinduksi oleh U adalah graf yang memiliki himpunan titik U dan himpunan sisinya adalah sisi-sisi di G yang berkaitan dengan dua anggota di U. Begitu juga, apabila X adalah subhimpunan tak kosong dari E, maka subgraf G[X] terinduksi sisi oleh X adalah graf yang himpunan titiknya memuat titik-titik yang berkaitan dengan paling sedikit satu sisi di X dan himpunan sisinya adalah X. Gambar 2.5: G 4 [v 4 ] Misalkan e merupakan sisi dari suatu graf G = (V,E). G e adalah notasi untuk graf yang didapat dari G dengan menghapus sisi e. Lebih umum, jika E adalah subhimpunan dari E, graf yang didapat dengan menghapus sisi-sisi E dari G dinotasikan G E. Sama halnya, jika v adalah titik dari G, G v adalah notasi untuk graf yang didapat dari G dengan menghapus titik v dan semua sisi yang berkaitan dengan v. Lebih umum, jika V adalah subhimpunan dari V, graf yang didapat dengan menghapus titik-titik V dari G bersama-sama dengan sisi-sisi yang berkaitan dengan titik-titik di V dinotasikan G V. Perhatikan Gambar 2.5. Graf pada Gambar 2.5(b) didapat dengan cara menghapus titik v 4 pada graf pada Gambar 2.5(a). Sehingga graf pada Gambar 2.5 dapat juga ditulis G 4 v 4. Pada titik u,v V, notasi d v(u) menunjukkan banyaknya tetangga dari v selain u yang memiliki derajat (G). Sebuah sisi uv E dikatakan dapat dieleminasi jika d(u) + d u(v) (G) atau d(v) + d v(u) (G).
6 BAB 2. LANDASAN TEORI 10 Sebuah graf G dikatakan terhubung jika untuk setiap pasang titik u,v V dapat dicari barisan dari titik dan sisi di G dalam bentuk u = u 0,u 0 u 1,u 1,u 1 u 2,...,u n 1 u n, u n = v. Komponen adalah graf terhubung maksimal. Banyaknya komponen pada sebarang graf G dinotasikan dengan ω(g). Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.6. Misalkan graf pada Gambar 2.6(a) dinamakan graf G dan graf pada Gambar 2.6(b) dinamakan graf H. Karena pada setiap pasang titik pada G dapat dicari barisan dari titik dan sisi dalam bentuk u = v i,v i v i+1,v i,...,v j 1 v j,v j = u dimana 1 i j 5 maka G dikatakan graf terhubung dan karenanya, graf G hanya memiliki satu komponen. Berbeda halnya dengan H, titik v 3 tidak memiliki satu pun pasangan sehingga dapat dibentuk barisan dari titik dan sisi yang menunjukkan bahwa H adalah terhubung. Akibatnya, H adalah graf tak terhubung. Komponen pada G adalah satu dan pada H adalah dua. Gambar 2.6: (a) Graf terhubung (b) Graf tak terhubung 2.2 Beberapa Kelas Graf Suatu graf yang setiap dua titiknya bertetangga, disebut graf lengkap. Graf lengkap dengan n titik dinotasikan dengan K n. K 1 disebut graf trivial. Graf bipartit G = (U,W,E) adalah graf yang himpunan titiknya dapat di partisi menjadi dua himpunan U dan W sehingga setiap sisi menghubungkan titik dari himpunan U
7 BAB 2. LANDASAN TEORI 11 ke titik dari himpunan W. Graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dimana setiap titik dari himpunan U bertetangga dengan setiap titik dari himpunan W. Jika himpunan U dan W memiliki r dan s titik, maka graf bipartit lengkap dinotasikan dengan K r,s. Gambar 2.7: (a) K 4 (b) Graf trivial (c) Graf bipartit Graf G dikatakan siklis, jika G adalah graf 2-teratur dan terhubung. Graf unisiklis adalah graf yang memuat paling banyak satu graf siklis. Graf asiklis adalah graf yang tidak memuat graf siklis. Sebuah graf pohon adalah graf asiklis terhubung, sementara itu, graf hutan adalah graf asiklis. Lebih lanjut, graf siklis disebut graf lingkaran. Teorema 2.1 [1] Jika G adalah suatu hutan dengan n titik maka m = n ω(g). Gambar 2.8: Graf hutan
8 BAB 2. LANDASAN TEORI 12 Pengertian pohon hampir serupa dengan pengertian hutan. Perbedaan kedua definisi hanya terletak pada kata terhubung. Karena hutan tidak harus berupa graf terhubung maka hutan bisa memiliki komponen lebih dari satu sedangkan pohon merupakan graf terhubung sehingga hanya memiliki satu komponen. Oleh karena itu, untuk pohon G dengan n titik berlaku m=n 1. Graf roda W n adalah graf dengan n + 1 titik, yang didapat dari menambahkan satu titik w pada suatu graf lingkaran G dengan n titik dan menghubungkan w ke setiap titik di G. Titik w disebut titik dasar. Graf roda W n memiliki 2n sisi. Graf lintasan P n adalah graf terhubung yang terdiri dari tepat dua titik berderajat satu dan n 2 titik berderajat dua. Graf kipas F n adalah graf yang memiliki n+1 titik, yang didapat dari menambahkan satu titik w pada suatu graf lintasan P n dan menghubungkan w ke setiap titik di P n. Titik w disebut titik dasar. Graf kipas memiliki 2n 1 sisi Gambar 2.9: (a) Graf roda (b) Graf lintasan (c) Graf kipas Misalkan s adalah bilangan bulat positif. G dikatakan graf s-degenerate jika titiktitik dari G dapat diurutkan menjadi v 1,v 2,...,v n sehingga d(v i,g i ) s untuk setiap i, 1 i n, dimana G i = G {v 1,v 2,...,v i 1 }. Degeneracy s(g) dari G adalah bilangan bulat terkecil s sehingga G adalah s-degenerate. Perhatikan Gambar Graf yang dikonstruksi pada Gambar 2.10 merupakan graf H = (V,E) dengan himpunan titik yang telah terurut, yaitu V = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6 },
9 BAB 2. LANDASAN TEORI 13 kemudian didapat d(v 1,H 1 ) = 1, d(v 2,H 2 ) = 1, d(v 3,H 3 ) = 2, d(v 4,H 4 ) = 2, d(v 5,H 5 ) = 1 dan d(v 6,H 6 ) = 0. Sehingga d(v i,h i ) 2 untuk setiap i, 1 i 6. Akibatnya, graf G merupakan graf 2-degenerate. Pengurutan titik-titik dari graf G tidaklah tunggal. Pengurutan titik-titik ini, hanyalah salah satu contoh pengurutan yang optimal sehingga s(g) = 2. Gambar 2.10: Graf 2-degenerate Pada graf kipas F n, berlaku δ(f n ) = 2. Misalkan titik-titik pada graf kipas, v V F n diurutkan menjadi v 1,v 2,...,v n+1, dimana v 1 dan v n adalah titik dengan derajat terkecil, v n+1 adalah titik dasar, dan sisanya, v 2,v 3,...,v n 1. Sehingga akan didapatkan s(f n ) = 2. (2.2.1) Pada graf roda W n, berlaku δ(w n ) = 3. Misalkan titik-titik pada graf roda, v V W n diurutkan menjadi v 1,v 2,...,v n+1, dimana v n+1 adalah titik dasar, dan sisanya,
10 BAB 2. LANDASAN TEORI 14 Gambar 2.11: Pengurutan titik pada graf kipas dan graf roda v 2,v 3,...,v n 1. Sehingga akan didapatkan s(w n ) = 3. (2.2.2) Arboricity a(g) dari graf G adalah bilangan terkecil dari banyaknya subgraf yang dapat dipartisi sisi dari G sehingga setiap subgraf menghasilkan sebuah subgraf asiklis atau hutan. Nash-Williams [3] telah membuktikan bahwa a(g) = max m(h)/(n(h) 1), (2.2.3) H G dimana H adalah setiap subhimpunan tak kosong dari G. Sebarang subgraf H dari G adalah s(g)-degenerate, akibatnya m(h) s(g)(n(h) 1) dan m(h)/(n(h) 1) s(g). Sehingga, a(g) s(g). (2.2.4) Gambar 2.12: a(g 9 ) = 2 Bilangan unisiklis a (G) dari graf G adalah bilangan terkecil dari banyaknya subgraf
11 BAB 2. LANDASAN TEORI 15 unisiklis, yang dapat dipartisi sisi dari G. Karena sebuah hutan adalah sebuah graf unisiklis dan sebuah graf unisiklis dapat dipartisi menjadi satu atau dua hutan, maka a (G) a(g) 2a (G). (2.2.5) Gambar 2.13: Graf G dengan a (G) = 2 Lemma 2.1 [7] Untuk sebarang graf taktrivial G berlaku kondisi (1)-(3) dibawah ini: 1. δ(g) 2a(G) 1; 2. δ(g) 2a (G); dan 3. jika a (G) terbatas dan U = {u V d(u,g) 2a (G)}, maka U n/(2a (G)+ 1 dan U = Θ(n). Bukti: (1.) Pertama-tama, asumsikan bahwa G tidak memiliki titik terisolasi. Misalkan n adalah banyaknya titik v dari G sehingga 1 d(v) 2a(G) 1. Maka jelas, n + 2a(G)(n n ) 2m. Dengan kata lain, G dapat dipartisi menjadi a(g) hutan dan sebarang hutan memiliki paling banyak n 1 sisi. Oleh karena itu, m a(g)(n 1). Sehingga n 2a(G)/(2a(G) 1) > 1, dan karenanya δ(g) 2a(G) 1. (2.) dan (3.) Karena setiap titik di V U memiliki derajat 2a (G) + 1, maka (2a (G) + 1)(n U ) 2m. Karena sebarang graf unisiklis memiliki paling banyak n sisi, maka m a (G)n. Sehingga U n/(2a (G) + 1). Karenanya, U φ dan
12 BAB 2. LANDASAN TEORI 16 δ(g) 2a (G). Jika a (G) terbatas, maka U = Θ(n).\\ Dengan Lemma 2.1 dan persamaan (2.2.5), akan didapat batas atas untuk s(g) dalam kaitannya dengan a(g), dan a (G). Perhatikan bahwa untuk sebarang subgraf H dari G berlaku a(h) a(g) dan a (H) a (G). Lemma 2.2 [7] Untuk sebarang graf taktrivial G berlaku kondisi dibawah ini: 1. s(g) 2a(G) 1; 2. s(g) 2a (G); 2.3 Pewarnaan Sisi-f Kapasitas titik f adalah suatu fungsi dari himpunan titik V ke himpunan bilangan asli. Pewarnaan sisi -f dari suatu graf G = (V,E) adalah suatu fungsi c f dari himpunan sisi E ke himpunan warna, yang biasanya diwakili oleh himpunan bilangan asli, sedemikian rupa sehingga sisi-sisi yang berkaitan dengan sebarang titik v V, memiliki paling banyak f(v) warna yang sama. Fungsi c f disebut pewarnaan sisi-f dengan k warna jika c f (E) {1, 2,...,k}. Bilangan terkecil k sehingga terdapat pewarnaan sisi-f dengan k warna disebut bilangan kromatik sisi-f, dan dinotasikan χ f(g). Hakimi dan Kariv [5] mendapatkan batas untuk χ f(g), yaitu d(v) + µ(v,w) f (G) χ f(g) max, (2.3.1) v,w V f(v) dimana f (G) = max v V d(v). (2.3.2) f(v) Persamaan (2.3.1) dapat disederhanakan menjadi χ f(g) f (G) + µ f (G). (2.3.3) Batas yang didapat oleh Hakimi dan Kariv merupakan perumuman dari batas Vizing [8] untuk pewarnaan sisi. Bukti dari batas (2.3.1) yang dikemukakan oleh Hakimi
13 BAB 2. LANDASAN TEORI 17 Gambar 2.14: Graf G dengan χ f (G) = 4 dan Kariv cukup sulit. Karena pada multiplisitas graf sederhana adalah satu, sehingga untuk graf sederhana berlaku χ f(g) = f (G) atau f (G) + 1. (2.3.4) Nishizeki et al [7], juga memberikan batas atas bagi χ f(g), yaitu { } χ 9 f (G) + 6 f(g) max l f (G), 8 (2.3.5) dimana l f (G) = max H G,n(H) 3 m(h) Σ v V H f(v) 2. (2.3.6) Pewarnaan sisi merupakan hal khusus dari pewarnaan sisi-f dengan f(v) = 1 untuk setiap titik v V. Pada pewarnaan sisi, bilangan kromatik sisi dinotasikan χ (G). Selanjutnya, pada bagian ini akan dibahas teorema-teorema yang berkaitan dengan pewarnaan sisi. König telah menunjukkan batas dari χ (G) untuk graf bipartit. Teorema 2.2 [8] Jika G adalah graf bipartit, maka χ (G) = (G). Selanjutnya, akan diberikan batas bawah dari (G) sehingga χ (G) = (G) yang berkaitan dengan a(g), dan a (G) pada graf sederhana. Lemma 2.3 [7] Jika uv sisi yang dapat dieliminasi dari sebuah graf sederhana G dan χ (G uv) (G), maka χ (G) = (G). Dengan demikian, jika sisi yang dieliminasi uv dihilangkan dan graf G - uv diwarnai
14 BAB 2. LANDASAN TEORI 18 dengan (G) warna maka untuk mewarnai sisi uv tidak diperlukan warna baru. Vizing telah mendapatkan teorema berikut ini. Teorema 2.3 [7] Sebarang graf sederhana taktrivial G memiliki sisi yang dapat dieliminasi jika (G) 2s(G). Bukti: Misalkan G = (V,E). Misalkan U = {u V d(u,g) s(g)}. Definisi degeneracy, menunjukkan bahwa G paling sedikit satu titik yang berderajat s(g) sehingga U. Lebih jauh, V U karena (G) 2s(G) > s(g) dan sebab itu titik-titik yang berderajat (G) tidak terdapat di U. Dengan demikian, H = G U tidak kosong dan s(h) s(g). Oleh karena itu, H memiliki sebuah titik v yang berderajat s(g). Karena s(g) + 1 d(v,g) dan d(u,h) s(g), G memiliki sebuah sisi uv yang berkaitan dengan v,u U. Karena u U,d(u) s(g) < 2s(G). Maka dari itu tidak ada tetangga dari v di U memiliki derajat (G), dan sebab itu d u(v) d(v,h) s(g). Oleh karena itu, d(u) + d u(v) 2s(G) (G) dan sisi uv dapat dieliminasi.\\ Teorema 2.4 [8] χ (G) = (G) jika (G) 2s(G). Bukti: Misalkan G adalah graf taktrivial dengan (G) 2s(G). Maka dengan Teorema 2.3 G memiliki sisi yang dieliminasi, misalkan e 1. Misalkan G 1 = G {e 1 }, maka s(g 1 ) s(g). Jika (G 1 ) = (G), maka G 1 memiliki sisi yang dapat dieliminasi, misalkan e 2. Oleh karena itu terdapat sebuah barisan sisi e 1,e 2,...,e j sehingga (G j ) = (G) 1 dimana G j = G {e 1,e 2,...e j }; dan setiap sisi e i, 1 i j, dapat dieliminasi di G i 1 = G {e 1,e 2,..e i 1 }. Dengan Teorema Vizing, χ (G j ) (G j )+1 = (G). Maka dari itu, dengan menggunakan Lemma 2.3 secara berulang, akan didapat χ (G) = (G).\\ Teorema 2.5 Misalkan F n adalah graf kipas dengan n > 2 maka χ (F n ) = (F n ).
15 BAB 2. LANDASAN TEORI 19 Bukti: Jika F n adalah graf kipas dengan n = 2, maka F n merupakan 2-teratur dengan banyaknya titik 3. Sehingga tidak mungkin untuk diwarnai dengan dua warna. Misalkan F n adalah graf kipas dengan n > 2 dan setiap sisinya akan dipetakan ke himpunan warna {1,2,..., (F n )}. Misalkan titik w merupakan titik dasar dari graf F n dan v 1,v 2,...,v n merupakan titik-titik pada graf lintasan P n. Misalkan sisi-sisi E = e 1,e 2,...,e 2n 1 pada F n diurutkan sebagai berikut. e 1,e 2,...,e n 1 merupakan sisi pada graf lintasan P n, dan sisanya adalah sisi yang terkait denga w. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan (F n ) = d(w). Kemudian, akan dikonstruksi pewarnaan sisi pada graf kipas dengan (F n ) warna. Pertama-tama warnai terlebih dahulu seluruh sisi yang berkaitan dengan w dengan warna terkecil sehingga warna yang terpakai adalah (F n ). Kemudian warnai sisi-sisi pada graf lintasan e 1,e 2,...,e n 3 dengan warna i+2, i = 1, 2,..,n 3 dan warna 1 dan 2 pada sisi e n 2 dan e n 1. Sehingga, sisi pada graf lintasan dapat diwarnai dengan (F n ) 1 warna dan sisi yang terkait dengan w dapat diwarnai dengan (G) warna. Jadi, F n dapat diwarnai dengan (F n ) warna.\\ Teorema 2.6 Misalkan W n adalah graf roda dengan n > 2 maka χ (W n ) = (W n ). Bukti: Cara mengkonstruksi pewarnaan sisi pada W n mirip dengan konstruksi pewarnaan sisi pada graf kipas F n pada bukti dari Teorema 2.5, yaitu dengan mewarnai terlebih dahulu sisi yang terkait dengan titik dasar dengan (W n ) warna. Tetapi, sisi-sisi pada graf lingkaran diwarnai dengan (W n ) warna karena pada graf lingkaran terdapat n sisi. Sehingga W n dapat diwarnai dengan (W n ) warna.\\ Dari Teorema 2.4 dan Lemma 2.1 didapat akibat sebagai berikut. Akibat 2.1: χ (G) = (G) jika salah satu dibawah ini berlaku: 1. (G) 4a(G) 2; 2. (G) 4a (G); 3. G adalah graf kipas F n dan n > 2 4. G adalah graf roda W n dan n > 2
16 BAB 2. LANDASAN TEORI Reduksi Pewarnaan Sisi-f Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa permasalahan pewarnaan sisi-f pada suatu graf sederhana G dapat direduksi menjadi permasalahan pewarnaan sisi biasa dengan graf baru G f. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan f(v) d(v) untuk setiap v V. Untuk setiap v V, ganti v dengan f(v) salinan v 1,v 2,...,v f(v), dan lampirkan d(v) buah sisi yang berkaitan dengan v pada salinan; lampirkan d(v)/f(v) atau d(v)/f(v) sisi pada setiap salinan v i, 1 i f(v). Misalkan G f adalah graf hasil dari operasi tersebut. Perhatikan bahwa konstruksi dari G f tidak tunggal. Gambar 2.15 mengilustrasikan G dan contoh konstruksi dari G f. Karena pewarnaan sisi dari G f menyebabkan pewarnaan sisi-f dari G yang sama dalam banyaknya warna yang dipakai, maka akan didapat χ f(g) χ (G f ). (2.4.1) Persamaan (2.4.1) tidak selalu berlaku dalam kesamaan. Perhatikan Gambar Pada graf G, χ f (G) = 2 yang ditunjukkan oleh dua warna, yaitu hitam dan biru. Sedangkan pada graf G f, χ (G f ) = 3 yang ditunjukkan oleh warna hitam, biru dan merah. Jelas, (G f ) = f (G) = max v V d(v)/f(v). Jika G adalah graf sederhana, maka G f sederhana juga dan karenanya, χ (G f ) (G f ) + 1 = f (G) + 1. Sehingga pewarnaan sisi dari G f dengan χ (G f ) warna tidak selalu menghasilkan sebuah pewarnaan sisi-f dari G dengan χ f(g) warna tetapi menghasilkan sebuah solusi yang mendekati solusi optimal dari pewarnaan sisi-f dari G dengan paling banyak f (G) + 1 warna. Banyaknya sisi di G f sama dengan G tetapi banyaknya titik di G f bertambah menjadi v V f(v)( 2m). Lemma 2.4 [7] Untuk suatu graf G terdapat G f sehingga 1. G f bipartit jika G bipartit; 2. s(g f ) s(g);
17 BAB 2. LANDASAN TEORI a(g f ) a(g); dan 4. a (G f ) a (G); Gambar 2.15: Reduksi graf Diketahui juga bahwa χ (G) = (G) jika G adalah graf bipartit dan χ (G) = (G) jika G graf planar dengan (G) 8. Karena itu dengan Teorema 2.5, Akibat 2.1, Lemma 3.1 didapat teorema berikut ini. Teorema 2.7 [7] χ f (G) = f(g) jika salah satu dari (1)-(8) berlaku: 1. G adalah bipartit; 2. f (G) 2s(G); 3. f (G) 4a(G) 2; dan 4. f (G) 4a (G);
18 BAB 2. LANDASAN TEORI Kompleksitas Komputasi Analisis algoritma Secara intuitif, algoritma adalah sebuah himpunan peraturan atau prosedur berhingga yang harus diikuti dalam menyelesaikan suatu permasalahan. Sebuah algoritma yang mengandung peraturan-peraturan akan berhenti dengan sukses setelah melewati beberapa langkah sehingga dapat mengubah masukan menjadi keluaran yang merupakan solusi dari masalah atau gagal setelah menolak masukan yang diberikan. Selain itu, sebuah algoritma juga dapat tidak berhenti atau dalam kata lain, berjalan selamanya. Gambar 2.16: Algoritma RataRataPrefix1 Keistimewaan dari sebuah algoritma dapat dinilai dari efisiensi waktu jalannya. Waktu jalan sebuah algoritma bergantung pada perangkat lunak dan perangkat keras yang digunakan untuk menjalankannya sehingga waktu jalan sebuah algoritma akan berbeda jika digunakan pada perangkat lunak atau perangkat keras yang berbeda. Akibatnya, analisis secara teoritis yang tidak bergantung pada perbedaan penggunaan perangkat lunak atau perangkat keras dikembangkan untuk menghitung waktu jalan dari sebuah algoritma.
19 BAB 2. LANDASAN TEORI 23 Waktu jalan dari sebuah algoritma dapat dilihat sebagai sebuah fungsi h yang memetakan setiap masukan x dalam suatu daerah asal yang ditentukan ke sebuah keluaran h(x) dalam suatu daerah hasil yang diberikan. Rata-rata waktu jalan dari sebuah algoritma seringkali sulit untuk didapat, sehingga analisis waktu jalan algoritma lebih difokuskan pada analisis waktu terburuk dari sebuah algoritma. Algoritma RataRataPrefix1 pada Gambar 2.16 memiliki n+n+n+( (n 1))+( (n 1))+n (= 4n+n(n 1)) buah operasi. Pengeksekusian setiap operasi berbeda bergantung pada penggunaan memory cells pada RAM (Random Access Machine). Definisikan a sebagai waktu operasi tercepat dan b sebagai waktu operasi terlambat. Misalkan T(n) merupakan waktu jalan terburuk, maka a(4n + n(n 1)) T(n) b(4n + n(n 1)). (2.5.1) Dalam banyak kasus, bentuk tepat dari T(n) sulit untuk dihitung. Karenanya, bentuk tepat dari T(n) diganti dengan orde asimtotiknya, O(g). Untuk sebarang fungsi g : ℵ ℵ, fungsi kelas O(g) didefinisikan sebagai berikut O(g) = {T : ℵ ℵ ( c > 0)( n 0 ℵ)( n n 0 )[T(n) c(g(n))]}. (2.5.2) Sebagai contoh, akan dianalisa kelas O(g) dari Algoritma RataRataPrefix1. Sesuai dengan definisi, T(n) c(g(n)). Sehingga n 2 + 3n c(g(n)). (2.5.3) Misalkan g(x) = n 2. Persamaan (2.5.3) menjadi n 2 + 3n c(n 2 ) (2.5.4) (c 1)n 2 3n (2.5.5) n 3/(c 1). (2.5.6) Pilih c = 2 dan n 0 = 3 sehingga Algoritma RataRataPrefix1 termasuk pada kelas O(n 2 ) atau dapat diselesaikan dalam waktu O(n 2 ).
20 BAB 2. LANDASAN TEORI 24 Sebuah permasalahan dikatakan diselesaikan dalam waktu polinom jika terdapat suatu polinom p sehingga T( x ) O(p x ) untuk semua masukan x pada permasalahan tersebut. Contohnya, jika terdapat suatu k sehingga T( x ) O( x k ). Masalah pada Algoritma RataRataPrefix1 dapat diselesaikan dalam waktu polinom Teori kompleksitas Suatu masalah dikatakan masalah keputusan jika hanya memiliki dua keluaran yang direpresentasikan dengan {1,0}. Keluaran bisa berupa jawaban {ya,tidak} atau pasangan keluaran lainnya. Contohnya pada permasalahan penentuan bilangan kromatik χ (G) dari sebuah graf G. Pada graf sederhana G, bilangan kromatik dari G adalah (G) atau (G)+1. Masalah keputusan pada penentuan bilangan kromatik memiliki dua macam keluaran yaitu { (G), (G) + 1}. Kelas dari semua masalah keputusan yang dapat diselesaikan dalam waktu polinom dinotasikan dengan P. Ketika sebuah masalah bilangan kromatik diformulasikan sebagai masalah keputusan, terdapat ketidaksimetrisan antara masukan yang menghasilkan keluaran ya dan yang menghasilkan keluaran tidak. Sebuah jawaban- ya dapat ditandai dengan sebuah informasi: suatu graf G yang memiliki bilangan kromatik (G). Lebih umum, misalkan N P menotasikan suatu kelas masalah keputusan dimana setiap masukan dengan jawaban ya ditandai y, sehingga y dibatasi oleh suatu polinom dalam x dan terdapat sebuah algoritma dengan waktu polinom untuk menguji bahwa y adalah tanda yang tepat bagi x. Setiap masalah keputusan yang dapat diselesaikan dalam waktu polinom termasuk ke dalam kelas NP (Nondeterministic Polynomial-time). Jika terdapat sebuah masalah P dan sebuah algoritma yang menghitung setiap masukan x menjadi keluaran h(x) {ya, tidak} dalam langkah polinom, maka jawaban h(x) dapat digunakan sebagai tanda. Tada ini dapat diperiksa oleh algoritma. Sehingga P juga termasuk ke dalam N P yang mengakibatkan P N P.
21 BAB 2. LANDASAN TEORI 25 Kelas NP-complete adalah kelas yang paling sulit untuk diselesaikan dalam N P. Konsep NP-complete dikenalkan oleh Stephen Cook dalam sebuah jurnal yang berjudul The Complexity of theorem-proving procedurs. Saat ini, semua algoritma yang telah diketahui yang digunakan untuk masalah NPcomplete memerlukan waktu superpolinom, tergantung dari masukannya. Belum diketahui apakah terdapat algoritma yang lebih cepat. Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah NP-complete, untuk sebarang masalah taktrivial, beberapa pendekatan digunakan, yaitu: 1. Taksiran: sebuah algoritma yang menemukan solusi suboptimal, yaitu solusi dengan daerah hasil tertentu; 2. Probabilistik: sebuah algoritma yang dapat dibuktikan memberikan kelakuan yang baik dari rata-rata waktu jalan untuk suatu distribusi yang diberikan dari masalah; 3. Kasus-kasus khusus: sebuah algoritma yang dapat berjalan dengan cepat jika masalah termasuk ke dalam suatu kelas khusus yang ditentukan; 4. Heuristik: sebuah algoritma yang bekerja cukup baik dalam banyak kasus, tetapi kecepatan dari algoritma dan ketepatan dari solusi yang dihasilkan tidak terjamin. Untuk dua buah masalah keputusan, misalkan P dan Q, P dikatakan tereduksi menjadi Q(dinotasikan P Q) jika terdapat fungsi g yang dapat dicari dengan waktu polinom yang mengubah masukan untuk P menjadi masukan untuk Q sehingga x adalah masukan dari ya untuk P jika dan hanya jika g(x) masukan ya untuk Q. Garey dan Johnson mengemukakan suatu konjektur bahwa penentuan bilangan kromatik sisi dari suatu graf termasuk ke dalam kelas NP-complete. Kemudian, Ian Hoyler telah membuktikan bahwa permasalahan dalam menentukan bilangan kromatik pada graf 3-teratur adalah 3 atau 4 merupakan masalah NP-complete. Se-
22 BAB 2. LANDASAN TEORI 26 hingga tidak terdapat algoritma yang dapat menyelesaikan masalah dalam waktu polinom. Akibatnya, pewarnaan sisi-f termasuk ke dalam kelas, karena pewarnaan sisi merupakan kasus khusus dari pewarnaan sisi-f dimana f(v) = 1 untuk setiap v.
Bab 3 HASIL UTAMA. 3.1 Penyusunan Algoritma
Bab 3 HASIL UTAMA Pada Bab ini, disajikan hasil utama dari pengerjaan tugas akhir ini, yakni algoritma untuk mengkonstruksi pewarnaan sisi-f pada graf roda, graf kipas dan graf dengan degeneracy, arboricity
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Definisi Graf
Bab 2 Teori Dasar Pada bagian ini diberikan definisi-definisi dasar dalam teori graf berikut penjabaran mengenai kompleksitas algoritma beserta contohnya yang akan digunakan dalam tugas akhir ini. Berikut
Lebih terperinciBAB 2. Konsep Dasar. 2.1 Definisi graf
BAB 2 Konsep Dasar 21 Definisi graf Suatu graf G = (V(G), E(G)) didefinisikan sebagai pasangan himpunan 2 titik V(G) dan himpunan sisi E(G) dengan V(G) dan E(G) [ VG ( )] Sebagai contoh, graf G 1 = (V(G
Lebih terperinciGraf dan Operasi graf
6 Bab II Graf dan Operasi graf Dalam subbab ini akan diberikan konsep dasar, definisi dan notasi pada teori graf yang dipergunakan dalam penulisan disertasi ini. Konsep dasar tersebut ditulis sesuai dengan
Lebih terperinciMA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun
MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciALGORITMA UNTUK MENGKONSTRUKSI PEWARNAAN SISI-f PADA GRAF
ALGORITMA UNTUK MENGKONSTRUKSI PEWARNAAN SISI-f PADA GRAF TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh: Ismail Hasbullah 10103010 Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciKonsep Dasar dan Tinjauan Pustaka
Bab II Konsep Dasar dan Tinjauan Pustaka Pembahasan bilangan Ramsey pada bab-bab berikutnya menggunakan definisi, notasi, dan konsep dasar teori graf yang sesuai dengan rujukan Chartrand dan Lesniak (1996),
Lebih terperinciBAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super
BAB II Graf dan Pelabelan Total Sisi-Ajaib Super 2.1 Graf dan Beberapa Definisi Dasar Graf G=(V,E) didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan berhingga dan tak hampa V dan himpunan E. Himpunan V dinamakan
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciBab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar
Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf.
III BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk 00) Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi pewarnaan graf Pewarnaan titik pada
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan
Lebih terperinci2. TINJAUAN PUSTAKA. Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: himpunan tak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik
2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf yang diambil dari buku Chartrand dan Zhang (2005) yaitu sebagai berikut: Suatu Graf G adalah suatu pasangan himpunan
Lebih terperinciIII. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat
III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan
Lebih terperinciI.1 Latar Belakang Masalah
Bab I Pendahuluan I.1 Latar Belakang Masalah Teori Ramsey adalah suatu area penelitian dalam teori graf yang sedang berkembang pesat dan mempunyai banyak aplikasi. Dalam makalah Rosta (2004) disebutkan
Lebih terperinciMisalkan dipunyai graf G, H, dan K berikut.
. Pewarnaan Graf a. Pewarnaan Titik (Vertex Colouring) Misalkan G graf tanpa loop. Suatu pewarnaan-k (k-colouring) untuk graf G adalah suatu penggunaan sebagian atau semua k warna untuk mewarnai semua
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY. Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
ALTERNATIF PEMBUKTIAN DAN PENERAPAN TEOREMA BONDY Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin hasma_ba@yahoo.com Abstract Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Untuk menjelaskan pelabelan analytic mean pada graf bayangan dari graf bintang K 1,n dan graf bayangan dari graf bistar B n,n perlu adanya beberapa teori dasar yang akan menunjang
Lebih terperinciBab 2 TEORI DASAR. 2.1 Graf
Bab 2 TEORI DASAR Pada bab ini akan dipaparkan beberapa definisi dasar dalam Teori Graf yang kemudian dilanjutkan dengan definisi bilangan kromatik lokasi, serta menyertakan beberapa hasil penelitian sebelumnya.
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap Terhadap Roda Genap
Vol.4, No., 49-53, Januari 08 Bilangan Ramsey untuk Graf Bintang Genap erhadap Roda Genap Hasmawati Abstrak Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas
Penerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas Achmad Baihaqi, NIM: 13508030 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa 10 Bandung e-mail: baihaqi@students.itb.ac.id
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 23 31 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK JOIN DARI DUA GRAF YULI ERITA Program Studi Matematika, Pascasarjana Fakultas
Lebih terperinci3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf. Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya
BAB III DIMENSI PARTISI n 1 3.1 Beberapa Nilai Dimensi Partisi pada Suatu Graf Dalam dimensi partisi suatu graf, terdapat kelas graf yang nilai dimensi partisinya cukup mudah atau sederhana. Kelas graf
Lebih terperinciBAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang
BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 1 6 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF ULAT AIDILLA DARMAWAHYUNI, NARWEN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari
Lebih terperinciGraf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan
54 Bab IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pen Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciPenggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku
Penggunaan Perwarnaan Graf dalam Mencari Solusi Sudoku Mahdan Ahmad Fauzi Al-Hasan - 13510104 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciALTERNATIF PEMBUKTIAN PENGEMBANGAN TEOREMA DIRAC UNTUK GRAF BERORDE KURANG ATAU SAMA DENGAN SEPULUH
ALTERNATIF PEMBUKTIAN PENGEMBANGAN TEOREMA DIRAC UNTUK GRAF BERORDE KURANG ATAU SAMA DENGAN SEPULUH Hasmawati, Jusmawati Massalesse, Hendra, Muhamad Hasbi Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanudin
Lebih terperinciPenerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Vol. 9, No.2, 114-122, Januari 2013 Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda Hasmawati 1 Abstrak Graf yang memuat semua siklus dari yang terkecil sampai ke
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika adalah salah satu ilmu yang banyak memberikan dasar bagi berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi. Seiring dengan kemajuan dan perkembangan teknologi,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. Gambar 2.1. Contoh Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai definisi graf, istilah-istilah dalam graf, matriks ketetanggaan, graf terhubung, primitivitas graf, dan scrambling index. 2.1 Definisi Graf
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Definisi 2.1 Graf (Deo,1989) Graf G adalah suatu struktur (V,E) dengan V(G) = {v 1, v 2, v 3,.., v n } himpunan tak kosong dengan elemen-elemennya disebut vertex, sedangkan E(G)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini dipaparkan beberapa hasil penelitian yang dilakukan para peneliti sebelumnya, pengertian dasar graf, operasi-operasi pada graf, kelas-kelas graf dan dimensi partisi
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Graf Gabungan
Bab IV Bilangan Ramsey untuk Graf Gabungan Kajian penentuan bilangan Ramsey untuk suatu graf dengan gabungan saling lepas beberapa graf telah dilakukan oleh Burr dkk. (1975). Burr dkk. menunjukkan bahwa
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan
Lebih terperinciOleh : Rindi Eka Widyasari NRP Dosen pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.
Study of Total Chromatic Number of -free and Windmill Graphs Oleh : Rindi Eka Widyasari NRP 1208100024 Dosen pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciKONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciSTUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA
STUDI BILANGAN PEWARNAAN λ-backbone PADA GRAF SPLIT DENGAN BACKBONE SEGITIGA Anis Kamilah Hayati NIM : 13505075 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika, Institut Teknologi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID DUA. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID DUA Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciRepresentasi Graph dan Beberapa Graph Khusus
Modul 2 Representasi Graph dan Beberapa Graph Khusus Prof. Dr. Didi Suryadi, M.Ed. Dr. Nanang Priatna, M.Pd. W PENDAHULUAN alaupun representasi graph secara piktorial merupakan hal yang sangat menarik
Lebih terperinciPelabelan Total Sisi-Ajaib (Super)
14 Bab III Pelabelan Total Sisi-Ajaib (Super) Pada bab ini diberikan sejarah singkat pelabelan graf serta konsep dasar dan hasilhasil yang sudah diketahui berkaitan dengan pelabelan total sisi-ajaib (super).
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperinciStruktur dan Organisasi Data 2 G R A P H
G R A P H Graf adalah : Himpunan V (Vertex) yang elemennya disebut simpul (atau point atau node atau titik) Himpunan E (Edge) yang merupakan pasangan tak urut dari simpul, anggotanya disebut ruas (rusuk
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf adalah cabang kajian matematika yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara sederhana, suatu graf adalah himpunan benda-benda yang disebut titik yang terhubung
Lebih terperinciAplikasi Teori Ramsey dalam Teori Graf
Aplikasi Teori Ramsey dalam Teori Graf Hasmawati Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin (UNHAS), Jalan Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar 90245, Indonesia hasma ba@yahoo.com. Abstract. Teori
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal
Aplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal Janice Laksana / 13510035 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciBAB III PELABELAN KOMBINASI
1 BAB III PELABELAN KOMBINASI 3.1 Konsep Pelabelan Kombinasi Pelabelan kombinasi dari suatu graf dengan titik dan sisi,, graf G, disebut graf kombinasi jika terdapat fungsi bijektif dari ( himpunan titik
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 90 96 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI UNTUK GRAF POHON n-ary LENGKAP AFIFAH DWI PUTRI, NARWEN Program Studi Matematika,
Lebih terperinciSEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI ( )
SEMINAR TUGAS AKHIR RAINBOW CONNECTION PADA GRAF 1-CONNECTED VOENID DASTI 08103201 Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Andalas Jumu ah 26 APRIL 2013 List of Contents
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciBAB VI PEWARNAAN GRAF.. Gambar 1 memperlihatkan sebuah graf, dengan χ ( G) = 3.
112 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1. Pendahuluan Ada tiga macam pewarnaan graf, yaitu pewarnaan simpul, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah (region). Yang akan kita bahas adalah pewarnaan simpul dan pewarnaan
Lebih terperinciBAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciKAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS
KAJIAN MENGENAI SYARAT CUKUP POLYNOMIAL KROMATIK GRAF TERHUBUNG MEMILIKI AKAR-AKAR KOMPLEKS STUDY ON SUFFICIENT CONDITION FOR THE CHROMATIC POLYNOMIAL OF CONNECTED GRAPH HAS COMPLEX ROOTS Yuni Dewi Purnama
Lebih terperinciCHAPTER 3 ALGORITHMS 3.1 ALGORITHMS
CHAPTER 3 ALGORITHMS 3.1 ALGORITHMS Algoritma Definisi 1. Algoritma adalah himpunan hingga perintah yang terinci dalam melakukan perhitungan atau pemecahan masalah. Contoh 1. Program komputer adalah suatu
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciBILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF P m P n, K m P n, DAN K m K n
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 14 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND BILANGAN KROMATIK LOKASI DARI GRAF P m P n, K m P n, DAN K m K n MARIZA WENNI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciPENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K 2, C 4 )
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 4 Hal. 83 90 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENENTUAN ANGGOTA KELAS RAMSEY MINIMAL UNTUK PASANGAN (2K 2, C 4 ) LIZA HARIYANI Program Studi Matematika,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar dalam teori graf dan teknik pencacahan dalam bentuk definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang akan dilakukan. 2.1
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Algoritma adalah urutan logis langkah-langkah penyelesaian yang disusun secara sistematis. Meskipun algoritma sering dikaitkan dengan ilmu komputer, namun
Lebih terperinciMemanfaatkan Pewarnaan Graf untuk Menentukan Sifat Bipartit Suatu Graf
Memanfaatkan Pewarnaan Graf untuk Menentukan Sifat Bipartit Suatu Graf Gianfranco Fertino Hwandiano - 13515118 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinci8/29/2014. Kode MK/ Nama MK. Matematika Diskrit 2 8/29/2014
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 2 8/29/2014 1 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 3 8/29/2014 POHON DAN PEWARNAAN GRAF Tujuan Mahasiswa
Lebih terperinciDIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF
JURNAL BUANA MATEMATIKA Vol 7, No 2, Tahun 2017 ISSN 2088-3021 (media cetak) ISSN 2598-8077 (media online) DIMENSI METRIK PADA HASIL OPERASI KORONA DUA BUAH GRAF Silviana Maya P 1, Syarifuddin N Kapita
Lebih terperinci`BAB II LANDASAN TEORI
`BAB II LANDASAN TEORI Landasan teori yang digunakan sebagai materi pendukung untuk menyelesaikan permasalahan yang dibahas dalam Bab IV adalah teori graf, subgraf, subgraf komplit, graf terhubung, graf
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) MATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. Matriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciCatatan Kuliah (2 sks) MX 324 Pengantar Teori Graf
Catatan Kuliah (2 sks) MX 324 Pengantar Teori Graf (Draft Versi Desember 2008 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana DAFTAR
Lebih terperinciAplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio
Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Muhamad Irfan Maulana - 13515037 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciPenerapan Pewarnaan Graf untuk Mencari Keunikan Solusi Sudoku
Penerapan Pewarnaan Graf untuk Mencari Keunikan Solusi Sudoku Andi Setiawan Jurusan Teknik Informatika ITB, Bandung 40116, email: andise@students.its.ac.id Abstract Makalah ini membahas tentang pewarnaan
Lebih terperinciTeori Dasar Graf (Lanjutan)
Teori Dasar Graf (Lanjutan) ATRIKS DAN GRAF Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graf dengan bantuan komputer, maka graf tersebut disajikan dalam bentuk matriks. atriks-matriks yang dapat menyajikan
Lebih terperinciBilangan Ramsey untuk Kombinasi Bintang dan Beberapa Graf Tertentu
Bab III Bilangan Ramsey untuk Kombinasi Bintang dan Beberapa Graf Tertentu Kajian penentuan bilangan Ramsey untuk bintang dan bintang telah tuntas, dilakukan Burr dkk. (1973). Penentuan bilangan Ramsey
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan
II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan
Lebih terperinci3.1 Penentuan nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap )).
BAB 3 Hasil Utama Pada bab ini akan disajikan hasil utama dari tugas akhir ini, yakni nilai tak teratur sisi dari korona graf lintasan terhadap komplemen dari graf lengkap, dinotasikan dengan P m K n Selain
Lebih terperinciAPLIKASI PEWARNAAN GRAPH PADA PEMBUATAN JADWAL
APLIKASI PEWARNAAN GRAPH PADA PEMBUATAN JADWAL Aplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal Janice Laksana / 13510035 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciBAB II. Konsep Dasar
BAB II Konsep Dasar 2. Definisi Graf Graf G = (V G,E G ) terdiri dari himpunan tidak kosong V G, disebut himpunan titik, dan himpunan E G, disebut himpunan sisi, yang beranggotakan pasangan tak terurut
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS
PEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS Nurul Miftahul Jannah, Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
Lebih terperinciBAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari
BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab
Lebih terperinciII.TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung
II.TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan tentang definisi serta konsep-konsep yang mendukung dalam penelitian ini. 2.1. Konsep Dasar Teori Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab ini terdiri dari tiga subbab. Subbab pertama adalah tinjauan pustaka yang memuat hasil penelitian yang dilakukan oleh peneliti sebelumnya dalam bidang dimensi metrik. Subbab kedua
Lebih terperinci