PERBANDINGAN METODE ESTIMASI M DAN ESTIMASI MM (METHODE OF MOMENT) PADA REGRESI ROBUST

Transkripsi

1 PERBANDINGAN METODE ESTIMASI M DAN ESTIMASI MM (METHODE OF MOMENT) PADA REGRESI ROBUST Arlida Amalia Dewayati 1), Edy Widodo 2) 1) Mahaiwa Statitika Uiverita Ilam Idoeia, 2) Doe Statitika Uiverita Ilam Idoeia Dewayati30@gmail.com, Edykafifa@gmail.com Abtrak Aalii regrei merupaka uatu metode dalam tatitika utuk megetahui hubuga atara variabel depede dega variabel idepede. Metode yag diguaka dalam etimai parameter pada model terebut adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT).Metode ii agat peka terhadap peyimpaga-peyimpaga aumi pada data.aumi yag erig tidak terpeuhi adalah aumi ormalita.salah atu peyebab tidak terpeuhiya aumi ii karea terdapat outlier pada data. Oleh ebab itu, diguaka metode lai utuk meagai data outlier. Salah atuya adalah metode regrei robut dega megguaka etimai M da MM (Methode of Momet). Metode yag diguakai adalah etimai MKT, etimai M, da etimai MM. Pada peelitia ii aka dibaha megeai perbadiga atara M da etimai MM dega metode MKT dilihat dari ilai reidual tadard error, tadard errorda ilai koefiie regrei. Hail yag diperoleh dega imulai data meujukka bahwa utuk data yag megadug outlier etimai parameter yag diperoleh pada metode regrei robut dega metode M lebih baik diguaka dibadigka dega metode MKT. Sedagka utuk data tapa outlier etimai parameter yag diperoleh dega metode MKT lebih baik dibadigka dega metode etimai M da etimai MM Kata Kuci: Etimai M; Etimai MM; MKT; Outlier; Regrei Robut 1. PENDAHULUAN Pada berbagai kau, tidak jarag ditemuka kodii dimaa aumiaumi terebut tidak terpeuhi. Jika aumi tidak terpeuhi aka megakibatka hail etimai parameter pada MKT kurag baik Salah atu aumi yag tidak terpeuhi adalah aumi ormalita. Hal ii diebabka adaya pecila atau outlier pada data pegamata.outlieradalahkau atau data yag memiliki karakteritik uik yag terlihat agat berbeda jauh dari obervai-obervai laiya da mucul dalam betuk ilai ektrim, baik utuk ebuah variabel (Ghozali,2005). Oleh karea itu diperluka metode lai utuk meagai outlier yaitu Metode Regrei Robut (MRR). MRR adalah metode yag diguaka dalam megatai pecila tapa meghapu data pecila terebut(mahitah, dkk, 2013).Terdapat berbagai macam MRR diataraya etimai M, metode S, etimai MM (Method of Momet), LTS (Leat Terimmed Square) da LMS (Leat Media Square). Etimai M merupaka MRR yag baik utuk meduga parameter yag diebabka oleh youtlier da memiliki breakdowpoit 1/(Bekti, 2011). Etimai M dilakuka dega cara memberi bobot pada ei kemudia perhituga ilai parameter dilakuka dega WLS(Weight Leat Square). Selai itu etimai MM beruaha utuk mempertahaka ifat robutda Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 751 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

2 reitat dari etimai S. Selai itu, metode ii juga mempertahaka ifat efiie dari etimai M (Suati, dkk, 2013). Peelitia-peelitia yag perah dilakuka megeai metode etimai M da etimai MM pada regrei robut, atara lai Safitri (2015) megeai Perbadiga Metode Etimai M Da Etimai MM (Method Of Momet) Pada Regrei Robut. Selai itu ada pula peelitia megeai Aalii Regrei Pada Data Outlier dega Megguaka Leat Trimmed Square (LTS) da MM-Etimai yag dilakuka oleh Nurcahyadi (2010). Oleh karea itu, dilakuka peelitia utuk membadigka metode etimai M da etimai MM pada Regrei Robut.Tujua lai dari peilitia ii adalah utuk megetahui tigkat keakurata metode-metode terebut dalam megetimai data yag megadug outlier.selai itu, dilakuka imulai dega megguaka oftware R METODE PENELITIAN Data yag diguaka adalah imulai, metode peelitia diuraika dega diagram alur ebagai berikut ii: Mulai Membagkitka Data Medeteki Outlier Outlier MKT tidak ya Regrei Robut etimai M da etimai MM Meghitug etimai β dega tiga metode Perbadiga tiga metode dega Reidual Stadard Error Keimpula da ara Seleai Gambar 2.1Alur Tahapa Aalii Data Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 752 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

3 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Regrei robut merupaka metode yag diguaka utuk megatai outlier tapa meghapu data outlier terebut. Pada regrei robut, meurut Roueeuw(1987) metode yag erig diguaka dalam megetimai parameter diataraya adalah Huber etimai M (Maximum Likelihood Type) da etimai MM (Method of Momet) a. Etimai M Metode ii megaumika bahwa ebagia bear yag terdeteki outlier berada pada variabel idepede. Etimai M memiimumka fugi objektif (ρ) dari fugi reidualya (ei). Fugi terebut dapat dilihat dalam peramaa mi β ρ ( e i ) = mi ρ ( y i x i β ) β i=1 Dega = media e i media(e i ) merupaka kala dari uatu etimai 0,6745 robut da ρ ( e i ) merupaka fugi yag memberika kotribui pada maig-maig reidual pada fugi objektif. Berdaarka peramaa (1), dapat diperoleh etimai parameter dari peramaa regrei.sehigga diperoleh hail ebagai berikut. i=1 x ij ψ ( y i x i β ) = 0; j = 0,1,, m i=1 Dega ψmerupaka fugi ifluece yag diguaka dalam memperoleh bobot, xijadalah obervai ke-i pada repo ke-j da xi0=1. Etimaiparameter dega metode M diebut juga dega Iteratively Reweighted Leat Square (IRLS). Peyeleaia metode IRLS pada peramaa (2) meghailka peramaa (3) berikut ii. (1) (2) x ij ψ ( y ψ( i x i β i=1 ) = i=1 x ij y i x i β ) ( y i x i β ) ( y i x i β ) = 0, j = 0,1,, k (3) Jika peramaa terebut diotaika dega matrik dimaa W0merupaka diagoal matrik weight yag berukura x. Regreiterboboti terebut dapat diguaka ebagai alat utuk medapatka etimai M.Sehigga etimai parameter mejadi: β = (X W 0 X) 1 X W 0 y Proedur etimai dega megguaka etimai M atau IRLSdiuraika ebagai berikut : Dihitug etimai dari,diotaika β megguaka MKT, ehigga didapatka y i0 da i0 = y i y i0, (i = 1, 2,... ) yag diperlakuka ebagai ilai awal (yiadalah hail obervai). (4) Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 753 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

4 Dari ilai-ilai reidual ii dihitug ψ(ε i0) (ε i0 ˆ0 da pembobot awal w i0 = ). Nilai ( i0* ) dihitug euai fugi Huber, da ε i0 = ε i0. σ 0 Diuu matrik pembobot berupa matrik diagoal dega eleme w10, w20,..., w0. Dihitugetimai koefiie regrei,β Robut ke 1 = (X W 0 X) 1 X W 0 y Dega megguaka ilai β Robut ke 1 dihitug pula i=1 y i y i1 atau i=1 ε i1. Selajutya lagkah 2 ampai dega 5 diulag ampai didapatka i=1 ε im koverge. Dega kata lai, i=1 ε im cukup kecil utuk j=0,1,...,k. Jika diambil ilai tertadariai dari e, maka berdaarka imulai yag dilakuka oleh Huber, dipilih ilai k=1.345, ehigga diperoleh peramaa w i ebagai berikut. 1, jika e i w i = { 1.345, jika e i > e i (5) b. Etimai MM Pada umumya diguaka fugi Tukey Biquareβ baik pada etimai S maupu etimai M. Peramaa dari etimai MM adalah ebagai berikut: β MM = argmi β Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 754 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016 i=1 ρ ( e i ) Lagkah pertama dalam etimai ii adalah mecari ilai etimai S. Betuk peramaa etimai S dapat dilihat eperti berikut ii. (7) β S = argmi (e 1, e 2,, e k ) β Dega adalah etimai kala robut yag memeuhi 1 ρ (e i i=1 ) = K. Kmerupaka kota yag didefiiika ebagai K = E[Φ(ρ)]. Φ adalah ditribui ormal tadar. Nilai breakdow dari etimai S dapat dituli K max ρ(e) = 0,5. Setelah diketahui ilai etimai S, lagkah elajutya adalah meetapka parameter-parameter regrei megguaka etimai M. Berikut ii merupaka lagkah-lagkah etimai parameter pada model liier bergada dega regrei robut etimai MM: Meghitug ilai etimai awal koefiie β j da reidual e i dari regrei robut dega high breakdow poit (etimai S) dega pembobota tukey biquare. Reidual e i pada lagkah pertama dilakuka utuk meghitug kala etimai, da dihitug pula pembobot awal w i. (6) (8)

5 Reidual e i dega kala etimai pada lagkah kedua diguaka dalam iterai awal ebagai etimai WLS (Weight Leat Square) utuk meghitug koefiie regrei. Meghitug bobot baru w i dega kala etimai dari iterai awal WLS. Perhituga etimai koefiie regrei megguaka metode ii megguaka peramaa β (m+1) = (X W m X) 1 X W m y. Megulag lagkah 2 ampai 4 ampai medapatka e (m) i=1 i koverge (eliih β j(m+1) da β j(m) medekati 0, dega m bayakya iterai).jika diambil ilai tertadariai dari e, maka berdaarka imulai yag dilakuka oleh Tukey, dipilih ilai k=4.685, ehigga diperoleh peramaa w i ebagai berikut. w i = { [1 ( e i )2 ], jika e i , jika e i > (3.9) c. Studi Kau Berdaarka data hail pembagkita megguaka oftwarer ebayak 50 data, aka dilihat model yag terbetuk dari beberapa metode erta keakurata maig-maig metode terebut. Ada dua aalii yag dilakuka pada data yag dibagkitka, yaitu aalii data yag megadug outlier da aalii data tapa outlier (meghilagka data outlier). Perhituga juga dilakuka dega oftware R. Berikut ii pembahaaya: 1) Data Outlier Pada kau ii, ilai cutoff utuk maig-maig metode ditetuka berdaarka jumlah ampel () yaitu 50 da bayakya parameter (p).diii aka dilihat outlier pada arah y dimaa dega ilai dari R tudet > 2 maka teridetifikai adaya outlier. Berdaarka kriteria terebut, dapat diketahui obervai-obervai yag merupaka outlier.pada hail yag diperoleh dapat dilihat bahwa terdapat data obervai yag merupaka data outlier pada arah y dega melihat hail perhituga dari ilai r-tudet.data yag outlier pada arah y adalah data obervai ke-3 dega ilai 3.27 da data obervai ke-8 dega ilai Hail model peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter metode MKT adalah: ŷ = x x 2 + ε (10) Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Dilihat pada plot reidual yag dihailka mayorita reidual terletak diekitar 0. Namu, ada beberapa reidual yag terletak jauh dari 0.Hal ii megidakika bahwa data tidak memeuhi aumi keormala karea terdapat outlier dalam data. Berikut ii merupaka plot reidual metode MKT. Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 755 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

6 Gambar1. Plot Reidual Metode MKT (Data Outlier) Pada gambarteridetifikai adaya outlier ehiggaterdapat metode lai yag dapat diguaka meagai outlier yaitu regrei robut. Regrei robut pertama didapatka hail model peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter metode etimai Madalah: ŷ = x x 2 + ε Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Regrei robut kedua didapatka hailmodel peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter metode etimai MMadalah: ŷ = x x 2 + ε (12) Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Berdaarka hail etimai parameter megguaka tiga metode terebut diperoleh reidualtadard error ecara keeluruha eperti berikut: Tabel 1.Reidual Stadard Error Pada Tiga Metode Pada Data Outlier Metode Reidual Stadard Error MKT Etimai M Etimai MM (11) Pada tabel 1.dapat dilihat bahwa metode etimai M memiliki reidualtadard error palig kecil diatara metode yag lai yaitu ebear Oleh ebab itu, metode etimai M lebih baik diguaka utuk megatai outlier dari pada dua metode yag lai. 2) Data Tapa Outlier Pada data tapa outlier dilihat pada arah y tidak teridetifikai adaya outlier. Kemudia dalam hail perhituga yag dilakuka dega MKT didapatka model peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter metode MKT adalah: y = x x 2 + ε (13) Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Plot reidual pada metode MKT dapat dilihat bahwa emua reidual terletak diekitar 0.Reidual meyebar da terletak diekitar 0.Hal ii Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 756 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

7 megartika bahwa data memeuhi aumi. Berikut ii merupaka plot reidual metode MKT. Gambar 2. Plot Reidual Metode MKT (Data tapa Outlier) Namu, utuk megetahui ecara pati dilakuka perbadiga dega metode etimai M da metode etimai MM. Berikut ii merupaka hail etimai megguaka metode etimai M. Model peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter metode etimai M adalah: y = x x 2 + ε Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Pada etimai MM, model model peramaa regrei yag terbetuk dari etimai ilai parameter adalah: y = x x 2 + ε (15) Etimai pada metode ii meghailka reidualtadarderrorebear Berdaarka hail etimai parameter megguaka tiga metode terebut diperoleh reidualtadard error ecara keeluruha eperti berikut. Tabel 2.Reidual Stadard Error Pada Tiga Metode Pada Data Tapa Outlier Metode Reidual Stadard Error MKT Etimai M Etimai MM (14) Pada tabel 2.dapat dilihat bahwa MKT memiliki reidualtadard error palig kecil diatara metode yag lai yaitu ebear Oleh ebab itu, MKT lebih baik diguaka utuk data tapa megadug outlier dari pada dua metode yag lai. Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 757 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016

8 4. SIMPULAN Pada kau data megadug outlier pada arah y, metode yag palig baik diguaka adalah metode etimai M pada regrei robut dibadigka dega MKT dega model regrei yag didapatka adalah ŷ = x x 2 + ε Metode etimai MM. Pada kau data tapa outlier metode yag palig baik diguaka adalah MKT dega model yag didapatka yaitu: y = x x 2 + ε Perbadiga dilakuka dega melihat ilai reidual tadard error. Jika ilai reidual tadard errorpalig kecil maka model terebutlah yag layak diguaka. 5. DAFTAR PUSTAKA Bekti. (2011). Materi Statitik. Diake dari Ghozali, I. (2005). Aalii Multivariate dega Program SPSS Ed 3. Semarag, S: Bada Peerbit Uiverita Dipoegoro. Mahitah., Arif Wibowo., & Diah Idriai. (2013). Metode Robut Regreio o Ordered Statitic (ROS) pada Data Tereor Kiri dega Outlier. Jural Biometrika da Kepeduduka, II(2), Nurcahyadi, H. (2010). Aalii Regrei pada Data Outlier dega Megguaka Leat Trimmed Square (LTS) da MM-Etimai. Jakarta, J: Uiverita Ilam Negeri Syarif Hidayatullah. Safitri, A.D. (2015). Perbadiga Metode Etimai M Da Etimai MM (Method Of Momet) Pada Regrei Robut. Yogyakarta, Y: Uiverita Ilam Idoeia. Suati, Y., Pratiwi, H., &Sulitiowati, S. (2013). M Etimatio, S Etimatio, Ad Mm Etimatio I Robut Regreio. Iteratioal Joural of Pure ad Applied Mathematic, 91(3), , doi: Roueeuw, P. J. (1987). Robut Regreio ad Outlier Detectio. New York, NY: Wiley ad So. Koferei Naioal Peelitia Matematika da Pembelajaraya (KNPMP I) 758 Uiverita Muhammadiyah Surakarta, 12 Maret 2016