PENGANTAR GEOMETRI DAN KALKULUS PEUBAH BANYAK

Transkripsi

1 i CATATAN KULIAH PENGANTAR GEOMETRI DAN KALKULUS PEUBAH BANYAK Oleh: Eridani Departemen Matematika Universitas Airlangga SURABAYA

2 ii Kata Pengantar Bismillahirrahmanirrahim. Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wata ala yang telah melimpahkan karunia-nya, sehingga penulis telah dapat menyusun catatan kuliah ini. Mempelajari Geometri untuk siswa Sekolah Menengah berarti terasosiasi dengan jenis-jenis, berikut beberapa sifat, kurva sederhana, semisal garis (lurus), lingkaran, dan parabola, di bidang datar. Untuk beberapa siswa Sekolah Menengah yang berminat mempelajari materi geometri di Olimpiade Sains, materi tersebut dapat ditambah dengan beberapa kurva atau permukaan pada ruang (dimensi 3). Selain itu, oleh karena bidang datar dan ruang (yang berturut-turut, biasa dinotasikan dengan R 2 dan R 3 ) mempunyai struktur yang sangat kaya, seperti yang telah dijelaskan dalam perkuliahan Aljabar Linier Elementer, maka materi elementer dalam Struktur Aljabar juga layak untuk diperkenalkan di sini. Materi tersebut dipilihkan berdasarkan keperluannya saja. Dimulai dengan vektor, sampai dengan penggunaannya dalam menyajikan persamaan garis dan bidang (dalam bentuk notasi vektor). Tidak lupa pula disajikan pengertian sudut (dan hasil kali dalam, sebagai perumumannya) yang pada akhirnya akan mengarahkan kita kepada pengertian panjang vektor (berikut ke konsep norma vektor sebagai perumumannya). Penyajian materi dimulai dengan melakukan orientasi pada materi geometri Sekolah Menengah, khususnya Trigonomeri, untuk memberikan gambaran awal tentang beberapa jenis benda-benda geometris baik di bidang maupun dalam ruang. Kemudian dilanjutkan dengan penyajian tentang garis dan beberapa sifat pentingnya. Kemudian geometri pada bidang diakhiri dengan penyampaian beberapa jenis irisan kerucut dalam bidang datar. Sebagai aplikasinya, mulai disajikan tentang kinematika benda (yang bergerak di sepanjang kurva pada bidang datar), berikut memperkenalkan beberapa definisi penting dalam mekanika sederhana untuk melengkapi materi ini. Puncaknya, materi tentang kinematika akan disajikan kembali tapi dengan setting yang berbeda, yaitu dalam ruang dimensi 3. Mudah-mudahan bimbingan dan bantuan dari semua pihak mendapat balasan yang setimpal dari Allah yang Maha Adil. Akhir kata dengan mengucapkan tiada gading

3 iii yang tak retak, penulis mohon maaf atas segala kekurangan, dan berharap semoga tulisan ini bermanfaat setidak-tidaknya bagi penulis sendiri, maupun bagi para peminat matematika pada umumnya.

4 DAFTAR ISI Kata Pengantar ii DAFTAR ISI iv I Pendahuluan 1 I.1 Pengantar Trigonometri I.2 Sistem Koordinat Kartesius I.2.1 Sistem Koordinat dan Garis Lurus I.2.2 Garis pada sistem koordinat miring II Vektor 12 II.1 Vektor dan Penggunaannya II.1.1 Vektor pada Bidang Datar II.1.2 Penggunaan sifat-sifat Vektor dalam Geometri Datar II.1.3 Persamaan Garis pada Bidang II.1.4 Garis dan Bidang dalam Ruang IIIIrisan Kerucut 19 III.1 Lingkaran III.2 Parabola III.3 Ellips IVKurva di Bidang atau Ruang 27 IV.1 Pengertian Kurva di Bidang IV.1.1 Persamaan Garis pada Bidang IV.1.2 Pengertian Garis dan Bidang dalam Ruang IV.2 Pengertian Ruang Vektor iv

5 Bab I Pendahuluan Seekor tiram berjemur di tepi pantai dengan kulit terbuka, tatkala seekor bangau menghampiri dan mematuk dagingnya. Tiram itu mengatup dengan tiba-tiba, sambil menjepit paruh panjang sang bangau. Tak satu pun mau mengalah. Akhirnya seorang nelayan mendekati dan menangkap keduanya. (Cerita rakyat Cina). I.1 Pengantar Trigonometri Subbab ini berisi tentang materi trigonometri sekolah menengah secara singkat. Diharapkan pembaca dapat menyerap informasi di dalamnya sekaligus melakukan orientasi terkait penotasian yang dituliskan di dalamnya, dan yang terpenting, pembaca dapat menjadikan penguasaan materi trigonometri di dalamnya dapat dijadikan sebagai dasar untuk persiapan mengerti konsep-konsep geometri yang akan disajikan dalam bab-bab selanjutnya. Dalam ABC akan digunakan notasi sebagai berikut. a := BC, b := AC, c := AB, dan α := BAC, β := ABC, γ := BCA. Diketahui bahwa titik-titik K, L, M, terletak pada ruas-ruas garis AB, BC, dan CA. Ruas-ruas garis AL,BM, dan CK disebut garis ceva, atau cevian ABC. Sedangkan L( ABC) menyatakan luas ABC. 1

6 BAB I. PENDAHULUAN 2 (Teorema Pythagoras). Jika dalam ABC berlaku γ := 90, maka c 2 = a 2 + b 2. Jika c 2 = a 2 + b 2, dapatkah kita simpulkan bahwa γ = 90? Konstruksikan persegi KLM N dengan panjang sisi a + b. Pasangkan titik-titik D,E,F, dan G pada sisi-sisi persegi sedemikian hingga KD = LE = MF = NG = a, dan DL = EM = FN = GK = b. Konstruksikan persegi DEFG. Dengan menggunakan fakta bahwa luas persegi yang besar sama dengan luas persegi kecil ditambah luas empat segitiga, maka terbuktilah apa yang diminta. (Aturan Sinus). Dalam ABC berlaku sin α a = sin β b = sin γ. c Catatan: Misalkan 0 < α,β < 90. Pengerjaan dimulai dari kasus γ = 90, kemudian dilanjutkan dengan 0 < γ < 90, dan γ > 90. Buktikan bahwa dalam ABC berlaku a = b cos γ + c cos β, sin(β + γ) = sin β cos γ + cos β sin γ, a(sin β sin γ) + b(sin γ sin α) + c(sin α sin β) = 0. (Aturan Cosinus). Dalam ABC berlaku a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α. Dapatkah anda memperoleh aturan sinus dari aturan cosinus, atau sebaliknya? Misalkan diketahui bahwa rumus cosinus berlaku dalam ABC. Ini berarti a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α, b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β,

7 BAB I. PENDAHULUAN 3 c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Oleh karena (b 2 +c 2 a 2 ) 2 = 4b 2 c 2 cos 2 α = 4b 2 c 2 (1 sin 2 α), maka dengan mengingat bahwa 2s := a + b + c, akan kita punyai 4b 2 c 2 sin 2 α = 4b 2 c 2 (b 2 + c 2 a 2 ) 2 = (2bc + b 2 + c 2 a 2 )(2bc b 2 c 2 + a 2 ) = (b + c + a)(b + c a)(b + a c)(a + c b) = 16s(s a)(s b)(s c) =: 16K 2. Dengan demikian sin 2 α a 2 = 4K2 a 2 b 2 c 2, atau sin α = 2K a abc. Dengan cara serupa, pada akhirnya akan kita peroleh sin α a = sinβ b = sinγ c = 2K abc. Sebaliknya, misalkan dalam ABC berlaku rumus sinus sin α a = sin β b = sin γ c = 1 L. Oleh karena α + β + γ = 180, maka sin 2 α = sin 2 (β + γ) = (sin β cos γ + cos β sin γ) 2 = sin 2 β + sin 2 γ + 2sin β sinγ(cos β cos γ sin β sin γ) = sin 2 β + sin 2 γ + 2sin β sinγ cos(β + γ) = sin 2 β + sin 2 γ 2sin β sinγ cos α. Dengan demikian, a 2 = L 2 sin 2 α = L 2 sin 2 (β + γ) = L 2 sin 2 β + L 2 sin 2 γ 2L 2 sinβ sin γ cos α = b 2 + c 2 2bccos α. Ini mengakhiri pembuktian. Pada ABC, buktikan keberlakuan identitas berikut:

8 BAB I. PENDAHULUAN 4 tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ, sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2(1 + cos α cos β cos γ), (a + b) : c = cos α β 2 : sin(γ/2), 2 = cos α sinβ sinγ + cos β sin αsinγ + cos γ sinβ sinα, (a + b) : (a b) = tan α+β 2 : tan α β 2. Jika dalam ABC berlaku a 2 (1 + cos α) = 2bcsin 2 α, buktikan bahwa ABC samakaki. Jika dalam ABC berlaku a + b = c(cos α + cos β), buktikan bahwa ABC siku-siku. (Panjang Cevian). Misalkan m := AK, dan n := BK, maka CK 2 = a2 m + b 2 n m + n mn. Sederhanakan rumus di atas dalam hal K adalah titik tengah atau median AB. Hasil ini disebut Teorema Stewart, yang dituliskan oleh M. Stewart pada Sejarah mencatat, kemungkinan Archimedes telah menuliskan teorema ini pada 300 SM. Tetapi teorema berikut bukti lengkapnya pertamakali ditulis oleh R. Simson pada Misalkan digunakan notasi θ := AKC, dan ω := BKC. Dengan menerapkan rumus cosinus pada AKC, dan BKC, akan kita punyai b 2 = m 2 + CK 2 2m CK cos θ, a 2 = n 2 + CK 2 2n CK cos ω. Oleh karena cos ω = cos θ, maka n 2 + CK 2 a 2 2n CK = cos θ = m2 + CK 2 b 2. 2m CK Ini mengakhiri pembuktian.

9 BAB I. PENDAHULUAN 5 (Teorema Ceva). Jika ketiga cevian ABC berpotongan pada satu titik (konkuren), maka AK KB BL LC CM MA = 1. Catatan: Hasil ini dibuktikan oleh matematikawan Italia Giovanni Ceva, pada Misalkan ketiga garis ceva AL,BM, dan CK berpotongan di P. Oleh karena APK mempunyai tinggi yang sama dengan BPK, dan juga ACK memiliki tinggi yang sama dengan BCK, cukup jelas bahwa Dengan demikian, akan kita peroleh L( ACK) L( BCK) = AK KB = L( APK) L( BPK). AK L( ACK) L( APK) = KB L( BCK) L( BPK) = L( APC) L( BPC). Dengan cara yang sama, kita dapatkan fakta-fakta berikut. Yaitu Ini mengakhiri pembuktian. BL LC = L( BPA) L( CPA), CM MA = L( CPB) L( APB). (Konvers Teorema Ceva). Jika ketiga cevian ABC bersifat maka ketiga cevian konkuren. AK KB BL LC CM MA = 1, Misalkan K, L, M adalah median dan ketiga cevian konkuren di G, maka ABC terbagi menjadi enam segitiga yang mempunyai luas sama, dan CG GK = BG GM = AG GL = 2 1. (Teorema Trigono Ceva). Pada ABC, diberikan garis-garis ceva AL, BM, dan CK. Ketiga garis ceva akan konkuren jika dan hanya jika sin CAL sin LAB sin ABM sin BCK sin MBC sin KCA = 1. Tunjukkan bahwa Teorema Ceva dipenuhi dalam hal ketiga garis ceva merupakan garis bagi sudut. Misalkan ABC merupakan segitiga lancip. Tunjukkan bahwa Teorema Ceva berlaku dalam hal ketiga garis ceva adalah garis tinggi. Apakah yang terjadi jika salah satu sudut ABC merupakan sudut tumpul?

10 BAB I. PENDAHULUAN 6 I.2 Sistem Koordinat Kartesius I.2.1 Sistem Koordinat dan Garis Lurus Pada subbab ini kita mulai dengan mengenal sistem koordinat Kartesius yang akan menjadi acuan kerja kita dalam menelaah berbagai macam irisan kerucut. Kita dapat menganggap garis lurus merupakan bentuk paling sederhana dari hasil persinggungan antara kerucut dengan suatu bidang datar. Hitunglah jarak antara dua titik di bidang koordinat. Catatan: Misalkan kedua titik tersebut tersebut terletak di kuadran I. Dengan menggunakan teorema Pythagoras dapat ditemukan rumus jarak yang diinginkan. Secara umum dapat ditinjau dalam hal kedua titik terletak di dua kuadran yang berbeda. Misalkan P 0 suatu titik yang terletak pada ruas garis P 1 P 2 sedemikian sehingga P 1 P 0 : P 2 P 0 = m : n. Tentukan koordinat P 0. Jika koordinat P 0 dan P 1 diketahui, dapatkah koordinat P 2 ditentukan? Catatan: Soal dapat disederhanakan dalam hal P 1 dan P 2 terletak di kuadran yang sama. Misalkan diberikan titik-titik P 1 (x 1,y 1 ), P 0 (x,y), dan P 2 (x 2,y 2 ) di Kuadran I dengan ketentuan 0 < x 1 < x < x 1, dan 0 < y 1 < y < y 2. Untuk titik-titik A(x,y 1 ) dan B(x 2,y 1 ), kita ketahui bahwa PAP 1 dan BP 2 P 1 kongruen. Dengan demikian Hal ini mengakibatkan P 1 A PP 1 = P 1B P 1 P 2, dan PA PP 1 = P 2B P 1 P 2. x = mx 2 + nx 1 m + n, dan y = my 2 + ny 1 m + n. Misalkan diberikan a,b,c taknol yang bersifat: a+b+c = 0, ax 1 +bx 2 +cx 3 = 0, dan ay 1 + by 2 + cy 3 = 0. Tunjukkan bahwa (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) dan (x 3,y 3 ) ketiganya segaris. Carilah titik P yang berjarak sama terhadap titik-titik ( am 1, a m 1 ), ( am 2, a m 2 ), ( am 3, a m 3 ), dan ( ) a,am 1 m 2 m 3. m 1 m 2 m 3

11 BAB I. PENDAHULUAN 7 Jika dalam ABC, D merupakan titik tengah BC, buktikan bahwa AB 2 + AC 2 = 2( AD 2 + DC 2 ). Catatan: Sebagai langkah awal, soal dapat diselesaikan dalam hal ABC segitiga sikusiku di A. Selanjutnya dapat ditinjau untuk sebarang segitiga. (Pusat massa suatu segitiga). Misalkan D, E, dan F berturut-turut menyatakan titik tengah ruasgaris BC,CA, dan AB dalam ABC. Jika titik X bersifat AX : XD = 2 : 1, buktikan bahwa BX : XE = CX : XF = 2 : 1. Misalkan l menyatakan garis yang melalui (2,0) dan (0,3). Jika (x,y) terletak di l, buktikan bahwa 6 = 3x + 2y. Catatan: Setelah mensketsa garis yang dimaksud, dapat ditinjau tiga macam kemungkinan, yaitu (x,y) berada di kuadran I, II atau IV. Tunjukkan bahwa A = {(x,1 x) : x R} menyatakan kumpulan titik yang terletak pada garis yang melalui (1,0) dan (0,1). Catatan: Salah satu sifat dari garis (lurus) adalah AB A, jika A,B A. Misalkan A(a,b), B(c,d) menyatakan sebarang titik pada A. Ini berarti b = 1 a dan d = 1 c. Akan ditunjukkan bahwa AB A, atau dengan kata lain, semua titik pada AB juga berada di A. Misalkan X(x,y) sebarang titik pada AB, ini berarti x = ma + nc m + n y = mb + nd m + n, untuk suatu m, n > 0. Oleh karena 1 x = 1 ma + nc m + n = m ma + n nc m + n = mb + nd m + n = y, kita simpulkan bahwa X terletak pada A. Ini mengakhiri pembuktian. Tunjukkan bahwa, untuk a, b > 0, x a + y b = 1,

12 BAB I. PENDAHULUAN 8 menyatakan persamaan garis yang melalui (a,0) dan (0,b). Misalkan O menyatakan pusat koordinat, dan digunakan notasi A(a, 0), B(0, b), dan P(x,y) terletak pada garis yang dimaksud. Misalkan P terletak di kuadran IV. Jika Q(x,0) terletak pada garis, maka cukup jelas bahwa OAB = QAP. Dengan demikian b a = OB PQ = tan OAB = tan QAP = OA QA = y x a. Situasi dimana P terletak di kuadran I atau II ditinggalkan sebagai latihan. Misalkan c > 0. Tentukan persamaan garis yang melalui (0,c) dan membentuk sudut lancip α dengan sumbu-x positif. Misalkan K(0,c) dan P(x,y) (titik di kuadran I) terletak pada garis yang dimaksud. Jelas bahwa KPL adalah segitiga siku-siku, jika L(x,c), dan α := (KL,PC). Jelas bahwa m := tan α = PL KL = y c, atau y = mx + c, x adalah garis yang dimaksud. Sebagai latihan, dapat dicoba pencarian persamaan garis saat P di kuadran II atau III. Buktikan bahwa y = m x+c menyatakan persamaan garis yang melalui (0,c) dan membentuk sudut α := arctan m dengan sumbu-x positif. Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ), dan (x 3,y 3 ) adalah 1 2 det x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Catatan: Notasi det(a) menyatakan nilai determinan sebarang matriks bujursangkar A. Buktikan bahwa Ax + By + C = 0 selalu menyatakan persamaan garis di bidang, jika A, dan B tidak bersama-sama bernilai nol. Pembuktian dapat dimulai dengan memisalkan A atau B bernilai nol. Misalkan P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) terletak pada garis yang dimaksud. Harus ditunjukkan bahwa sebarang titik pada ruasgaris P Q juga terletak pada garis yang dimaksud. Tetapi hal ini sangat mudah karena telah dibuktikan dalam soal sebelumnya.

13 BAB I. PENDAHULUAN 9 Misalkan y = m 1 x+c 1 dan y = m 2 x+c 2 menyatakan dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut α. Buktikan bahwa tan α = m 1 m m 1 m 2. Misalkan K adalah titik potong kedua garis yang dimaksud. Pandang ABK, dengan A( c 1 /m 1,0) dan B( c 2 /m 2,0). Kita definisikan α = (AK,BK), β := arctan m 1, γ := arctan m 2. Karena jumlah sudut-sudut dalam ABK adalah 180, maka tan α = tan(β γ). Ini mengakhiri pembuktian. Tentukan syarat agar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 keduanya berimpit, sejajar atau saling tegak lurus. Misalkan A 1 B 2 A 2 B 1 0, dan titik P(x 0,y 0 ) menyatakan perpotongan kedua garis. Jelas bahwa x 0 = B 1C 2 B 2 C 1 A 1 B 2 A 2 B 1, dan y 0 = A 2C 1 A 1 C 2 A 1 B 2 A 2 B 1. Misalkan α menyatakan sudut yang dibentuk oleh kedua garis, maka tan α = A 2B 1 A 1 B 2 A 1 A 1 + B 1 B 2. Jika kedua garis saling tegaklurus, maka α = 90 dan tan α =. Ini berarti A 1 B 2 A 2 B 1 0, dan A 2 B 1 A 1 B 2 = 0. Misalkan dalam ABC titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak di AB, BC, dan CA. Jika AB CD,BC AE, dan AC BF, buktikan bahwa CD,AE, dan BF berpotongan di satu titik. Buktikan bahwa persamaan garis yang melalui (acos 3 θ,asin 3 θ) dan tegak lurus garis xsec θ + y csc θ = a adalah xcos θ y sinθ = acos 2θ. Misalkan garis l berpotongan tegak lurus dengan y = mx di (x 0,y 0 ). Jika y = mx membentuk sudut α dengan sumbu-x positif, buktikan bahwa l mempunyai persamaan xcos α + y sin α = x y2 0.

14 BAB I. PENDAHULUAN 10 Misalkan α adalah sudut lancip yang bersifat m = tan α. Jelas bahwa l mempunyai persamaan m(y y 0 ) = x x 0, atau x cos α + y sin α = x 0 cos α + y 0 sin α. Dengan mengingat sin α = y 0 x y 2 0 dan cos α = x 0, x y0 2 maka kita akan sampai pada kesimpulan. Misalkan l adalah garis yang melalui (x 0,y 0 ) dan membentuk sudut α dengan garis y = mx + c. Buktikan bahwa l mempunyai persamaan y y 0 = m + tan α 1 m tan α (x x 0), atau y y 0 = m tan α 1 + m tan α (x x 0). Misalkan garis l, yang melalui P 1 (x 1,y 1 ) dan P 2 (x 2,y 2 ), memotong Ax+By+C = 0 di P 0. Jika P 0 terletak diantara P 1 dan P 2, buktikan bahwa (Ax 1 + By 1 + C)(Ax 2 + By 2 + C) < 0. Misalkan (x 0,y 0 ) tidak terletak pada garis Ax + By + C = 0. Buktikan bahwa jarak titik tersebut terhadap garis adalah Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2. Jelas bahwa Ax+By (Ax 0 +By 0 ) = 0 menyatakan persamaan garis yang melalui (x 0,y 0 ) dan sejajar Ax + By + C = 0. Pandang garis y = mx, m := B/A, yang tegak lurus kedua garis sebelumnya. Jika y = mx memotong kedua garis di P dan Q, jelas bahwa ( P AC BC ) ( A(Ax0 + By 0 ) A 2 + B 2, A 2 + B 2, Q A 2 + B 2, B(Ax 0 + By 0 ) A 2 + B 2 Oleh karena jarak (x 0,y 0 ) ke garis Ax + By + C = 0 sama dengan PQ, dan maka kita sampai pada akhir bukti. PQ 2 = (Ax 0 + By 0 + C) 2 A 2 + B 2, Buktikan bahwa syarat agar tiga garis a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, a 2 x + b 2 y + c 2 = 0, a 3 x + b 3 y + c 3 = 0 ).

15 BAB I. PENDAHULUAN 11 berpotongan di satu titik adalah a 1 b 1 c 1 det a 2 b 2 c 2 = 0. a 3 b 3 c 3 Misalkan l 1, dan l 2 berturut-turut mempunyai persamaan a 1 x+b 1 y +c 1 = 0 dan a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Jika l 3 adalah garis yang mempunyai sifat (l 1,l 3 ) = (l 2,l 3 ), buktikan bahwa persamaan untuk l 3 adalah a 1 x + b 1 y + c 1 a b 2 1 = ± a 2x + b 2 y + c 2. a b 2 2 Catatan: Notasi (l 1,l 2 ) menyatakan besar sudut yang dibentuk oleh garis l 1 dan l 2. I.2.2 Garis pada sistem koordinat miring Misalkan bidang datar kita dilengkapi dengan sistem koordinat sedemikian sehingga kedua sumbu koordinatnya membentuk sudut lancip ω. Untuk selanjutnya, sistem koordinat yang seperti itu akan kita sebut sistem koordinat miring. Tentukan jarak antara dua titik pada sistem koordinat miring. Buktikan bahwa luas segitiga dengan titik-titik sudut (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ), dan (x 3,y 3 ) adalah 1 (sin ω)det 2 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 Jika garis l memotong sumbu-y di (0, c), c > 0, dan membentuk sudut α dengan sumbu-x, buktikan bahwa persamaan garis l adalah y = mx + c, m := sin α sin(ω α). Jika y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 berpotongan dan membentuk sudut α, buktikan bahwa tan α = (m 1 m 2 )sin ω 1 + (m 1 + m 2 )cos ω + m 1 m 2. Tentukan syarat agar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 dan A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 keduanya sejajar atau saling tegak lurus.

16 Bab II Vektor Ketika kuat, wujudkan kelemahan. Ketika siap, wujudkan ketidaksiapan. Ketika dekat, wujudkan seolah-olah jauh. Ketika jauh, wujudkan seolah-olah dekat. Ketika ia mencari keuntungan, pancinglah ia. Ketika ia berada dalam kekacauan, seranglah ia. Ketika ia berbobot, bersiaplah melawannya. Ketika ia kuat, hindarilah ia. Ketika ia penuh amarah, lecehkanlah dia. Seranglah dia, ketika ia tidak siap. Muncullah di tempat yang tidak disangkanya. (Sun Tzu, tema sentral strategi). II.1 Vektor dan Penggunaannya II.1.1 Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah, kurang, kali, dan bagi), dan pengertian urutan. Pada dasarnya, R 2 := {(x,y) : x,y R} dapat didefinisikan (selain sebagai himpunan semua titik pada bidang datar) sebagai kumpulan semua vektor dengan titik awal pusat koordinat O := (0, 0), dan titik akhir (x, y). Misalkan A := (x 1,y 1 ) R 2, maka A dapat juga dituliskan dalam bentuk OA, atau a saja. Jika B := (x 2,y 2 ), maka kita definisikan vektor lokasi AB dengan AB := b a. Dengan demikian, AB = (x2 x 1,y 2 y 1 ). Jelas bahwa A dan B berturut-turut menyatakan titik awal, dan titik akhir vektor AB. Misalkan a 2 menyatakan panjang vektor a. Dengan menggunakan rumus Phy- 12

17 BAB II. VEKTOR 13 tagoras, buktikan bahwa a 2 = (x y2 1 )1/2, dan a 2 = 0 a = O. Jika didefinisikan, untuk setiap k R, k a := (kx 1,ky 1 ), hitunglah k a 2. Berikan interpretasi geometris untuk k a. Berikan definisi tentang dua vektor yang sejajar. Misalkan a = O := (0,0). Jelas bahwa a 2 = 0. Sebaliknya, misalkan diberikan a := (x,y) yang bersifat a 2 = 0. Ini berarti a 2 2 = 0, atau x 2 + y 2 = 0. Oleh karena 0 x 2, y 2, maka 0 x 2 x 2 + y 2 = 0. Ini berarti x 2 = 0, atau x = 0. Dengan cara yang sama, akan kita peroleh pula y = 0. Jika α := ( a, b ), buktikan berturut-turut, bahwa a b 2 2 = a b a 2 b 2 cos α, dan cos α = a b a 2 b 2, dengan a b := 1 2 ( a b 2 2 a ) b 2 2. a b biasanya didefinisikan sebagai hasil kali titik antara a dan b. Tunjukkan pula bahwa a a = a 2 2, dan a ( b + c ) = a b + a c. Berapa besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor sejajar? Misalkan diberikan OAB dengan A(x 1,y 1 ), dan B(x 2,y 2 ). Cukup jelas bahwa α := ( a, b ) = (OA,OB). Dengan demikian sisi-sisi OAB masing-masing mempunyai panjang a 2, b 2, dan a b 2. Dengan menerapkan rumus cosinus pada OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. (Teorema Phytagoras). Jika α := ( a, b ), buktikan bahwa α = 90 a + b 2 2 = a b 2 2 a + b 2 = a b 2. Misalkan α = 90. Dari rumus sebelumnya, jelas bahwa a + b 2 2 = a ( b ) 2 2 = a b a 2 b 2 cos 90 = a b 2 2 = a b 2 2.

18 BAB II. VEKTOR 14 Misalkan diketahui a + b 2 2 = a b 2 2. Jelas bahwa a b 2 2 = a + ( b ) 2 2 = a b 2 2 = a b 2 2 = a + b 2 2. Misalkan a + b 2 = a b 2. Dengan mengingat bahwa 180 α = ( a, b ), maka kita akan sampai pada kesimpulan cos α = 0, atau α = 90. (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, dan ketaksamaan segitiga). Untuk sebarang a dan b, buktikan bahwa a b a 2 b 2, dan a + b 2 a 2 + b 2. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dengan mudah dibuktikan dengan mengingat definisi sudut antara dua vektor dan fakta bahwa cos α 1. Dari fakta dibawah ini a + b 2 2 = a b a 2 b 2 cos α = a b a b a b a b a b a 2 b 2 ( = a 2 + ) 2 b 2, kita sampai pada kesimpulan bahwa ketaksamaan segitiga untuk vektor bernilai benar. Dengan mengingat bahwa a + b 2 a 2 + b 2 a b a 2 b 2, maka bisa diperoleh cara lain untuk membuktikan kebenaran ketaksamaan segitiga dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz. (Proyeksi). Misalkan c = k b, untuk suatu k R. Jika a 2 2 = c a c 2 2, carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal tersebut. Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi a sepanjang b. Nilai k didefinisikan sebagai komponen dari a sepanjang b.

19 BAB II. VEKTOR 15 II.1.2 Penggunaan sifat-sifat Vektor dalam Geometri Datar Pada subbab ini akan dijelaskan sebagian sifat-sifat penting beberapa bangun geometri pada bidang datar. Penjelasan sifat tersebut memanfaatkan sifat-sifat natural vektor bidang. Misalkan dalam ABC, diketahui bahwa M dan N berturut-turut adalah titik tengah AB dan BC. Tunjukkan bahwa CA sejajar dengan MN. Berapa panjang MN? Kita tahu bahwa CM = CN + NM = CA + AM. Dengan demikian 1 2 CB + NM = CA dan ini berarti NM sejajar AC. AB NM = 1 ( ) AB + BC = 1 AC, 2 2 Misalkan m,n > 0. Jika BN : NC = BM : MA = m : n, masihkah CA sejajar dengan MN? Yang dimaksud dengan paralelogram, dinotasikan dengan P(ABCD), adalah segiempat yang dibentuk dari dua pasang ruas garis yang sejajar. Jika AC dan BD berpotongan di K, tunjukkan bahwa K adalah titik tengah kedua ruas garis tersebut. Cukup jelas bahwa AB = DC, dan AD = BC. Pilih s, m > 1 yang bersifat s AK = AC = AB + BC, dan m KB = DB = AB AD = AB BC. Beberapa penyederhanaan, akan mengarahkan kita kepada (sm s m) AB = (m s) BC. Tetapi kita ketahui bahwa kedua vektor tidak sejajar, dengan demikian sm s m = 0 = m s, atau s = m = 2. Dalam suatu paralelogram P(ABCD), diketahui bahwa M dan N berturut-turut adalah titik tengah AB dan DC. Tunjukkan bahwa P(AMCN) juga suatu paralelogram. Bagaimana cara mengkonstruksi suatu paralelogram, jika diberikan a dan b sebagai dua diagonalnya?

20 BAB II. VEKTOR 16 Misalkan dalam paralelogram P(ABCD) diketahui bahwa M adalah titik tengah BC. Jika AM memotong BD di P, tunjukkan bahwa BP : P D = 1 : 2. Jika dua diagonal segiempat berpotongan dikedua titik tengahnya, tunjukkan bahwa segiempat tersebut adalah paralelogram. Buktikan bahwa C terletak pada AB jika dan hanya jika terdapat λ (0,1) sedemikianhingga c = λ a + (1 λ) b. II.1.3 Persamaan Garis pada Bidang Dalam subbab ini kita akan membicarakan tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus l, dan l terletak pada suatu bidang datar. Jika vektor b sejajar dengan garis l, maka sebarang titik C pada l dapat disajikan dalam bentuk a + t 0 b, untuk suatu t0 R. Dengan kata lain, terdapat t 0 R sedemikian hingga c = a + t 0 b. Di sini dikatakan bahwa b merupakan vektor arah garis l. Cukup jelas bahwa l := { a + t b : t R}, dan X(t) := a +t b = (x 1 +t x 2,y 1 +t y 2 ) menyatakan posisi titik pada l untuk setiap t R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis lurus. Carilah persamaan garis yang melalui titik-titik A(a 1,a 2 ), dan B(b 1,b 2 ). Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu sejajar dengan AB. Dengan demikian dapat ditemukan t R yang bersifat AX = t AB. Ini berarti OX a = t( b a ), atau X(t) = ((1 t)a 1 + t b 1,(1 t)a 2 + t b 2 ), t R. Tentukan garis yang melalui titik A(a 1,a 2 ), dan tegaklurus vektor c := (c 1,c 2 ). Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu tegaklurus dengan c. Dengan demikian AX c = 0. Ini berarti OX a = t( b a ), atau X(t) = ((1 t)a 1 + t b 1,(1 t)a 2 + t b 2 ), t R. Misalkan X 1 (t), dan X 2 (t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik. Tentukan syarat agar X 1 (t) dan X 2 (t) saling tegak lurus. Jika α := (X 1,X 2 ), hitunglah tan α.

21 BAB II. VEKTOR 17 Misalkan diberikan persamaan garis X k (t) := a k + t b k, t R, dengan k = 1,2. Jika α := (X 1,X 2 ), maka α := ( b 1, b 2 ). Dengan demikian cos α = b1 b 2 b 1 2 b 2 2. Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik dalam bentuk persamaan parametrik X(t). Jika P(x 0,y 0 ) tidak terletak pada garis l 1, hitunglah jarak P terhadap l 1. Kita cari salah satu titik, namakan A(x 1,y 1 ), yang terletak di l 1, dan a := OA. Misalkan l 1 mempunyai persamaan parametrik X(t) := a + t b, t R. Kita definisikan sudut lancip α := ( AP, b ). Jika R adalah suatu titik pada l 1 sedemikian hingga PR tegak lurus b, maka cukup jelas bahwa PR 2 dapat dianggap sebagai jarak P ke l 1. Dari APR kita tahu bahwa PR 2 = PA 2 sinα. Oleh karena karena cos α dapat dihitung dengan mudah, maka kita sampai pada akhir solusi. II.1.4 Garis dan Bidang dalam Ruang Sebarang bidang (datar) dikarakterisasi oleh suatu vektor yang tegak lurus dengan bidang tersebut dan satu titik tertentu yang dilalui bidang tersebut. Secara geometris, jika P dan Q sebarang dua titik pada bidang P, maka ruas garis PQ juga terletak pada P. Ini berarti bahwa semua titik dalam PQ juga terletak di P. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua vektor dalam ruang. Jika vektor a := (a 1,a 2,a 3 ) tegak lurus bidang P, dan B(x 0,y 0,z 0 ) terletak di P, tentukan persamaan P dalam notasi vektor. Catatan: Vektor a disebut vektor normal atau normal dari bidang P. Misalkan O adalah pusat koordinat, dan X sebarang titik pada bidang P. Jelas bahwa BX tegak lurus dengan a. Dengan demikian a BX = 0, atau dengan kata lain OX a = OB a.

22 BAB II. VEKTOR 18 Tentukan persamaan garis yang suatu titik tertentu dan sejajar suatu vektor tertentu. Tentukan persamaan garis yang melalui dua titik yang diberikan. Misalkan garis l 1 dan l 2 berpotongan di P(x 0,y 0,z 0 ). Tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. Misalkan a := (a 1,a 2,a 3 ) dan b := (b 1,b 2,b 3 ) berturut-turut adalah vektor arah l 1 dan l 2. Misalkan c := (c 1,c 2,c 3 ) adalah normal bidang yang dimaksud. Dengan demikian komponen c dapat dicari dari sistem persamaan linier (SPL) a c = 0, dan b c = 0, dan kita sampai pada akhir solusi. Misalkan diberikan tiga titik taksegaris A k (x k,y k ), dengan k = 1,2,3. Tentukan bidang yang memuat ketiga titik tersebut. Misalkan a := (a 1,a 2,a 3 ) menyatakan vektor normal bidang yang dimaksud. Jelas bahwa A 1 A 2, A 1 A 3, dan A 2 A 3 tegak lurus terhadap a. Dengan demikian komponen a dapat dicari dari SPL a A 1 A 2 = 0, dan a A 2 A 3 = 0. Tentukan syarat agar tiga titik terletak dalam sebuah garis. Tentukan syarat agar empat titik terletak dalam sebuah bidang. Misalkan suatu garis l berpotongan dengan bidang P, dan membentuk sudut (lancip) α. Tentukan besarnya α. Misalkan a, dan b berturut-turut adalah vektor arah l dan vektor normal P. Cukup jelas bahwa α = (l, P) = ( a, P). Selain itu, karena P b, maka 90 α = ( a, b ). Dengan melakukan pertimbangan untuk beberapa situasi yang mungkin muncul, tentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang berpotongan. Bagaimana dengan besar sudut yang terjadi antara perpotongan dua garis? Misalkan diberikan dua bidang yang berpotongan. Tunjukkan bahwa perpotongannya merupakan suatu garis (lurus). Tentukan jarak antara suatu titik terhadap suatu bidang yang tidak memuat titik tersebut.

23 Bab III Irisan Kerucut Nasehat untuk sang Jendral: Bertekad mati, engkau bisa tewas. Bertekad hidup, engkau bisa tertangkap. Cepat marah, engkau bisa dihasut. Murni dan jujur, engkau bisa dipermalukan. Mengasihi orang banyak, engkau bisa dibuat jengkel. (Sun Tzu, 350 sebelum Masehi). III.1 Lingkaran Lingkaran didefinisikan sebagai himpunan semua titik yang berjarak sama (disebut jejari lingkaran) terhadap satu titik tertentu (disebut pusat lingkaran). Misalkan diketahui suatu titik P 0 (x 0,y 0 ), dan r > 0. Lingkaran yang berpusat di P 0 dan berjari-jari r > 0 (atau himpunan semua titik yang jaraknya terhadap P 0 sebesar r) dinyatakan sebagai himpunan L(P 0,r) := { (x,y) R 2 : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2}. Posisi sebarang titik P 1 terhadap L(P 0,r) mempunyai kemungkinan sebagai berikut: P 1 terletak di luar lingkaran, jika P 0 P 1 > r; P 1 terletak pada lingkaran, jika P 0 P 1 = r; P 1 terletak di dalam lingkaran, jika P 0 P 1 < r. Tentukan pusat dan jejari lingkaran yang memenuhi persamaan x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0. 19

24 BAB III. IRISAN KERUCUT 20 Dengan metode melengkapkan kuadrat, kita akan sampai pada bentuk (x + g) 2 + (y + f) 2 = g 2 + f 2 c, yang merupakan persamaan lingkaran asalkan memenuhi syarat-syarat tertentu. Sebagai contoh, oleh karena g 2 +f 2 c menyatakan kuadrat jejari lingkaran yang dimaksud, maka haruslah g 2 + f 2 c > 0. Sebaliknya, jika g 2 + f 2 c = 0, maka lingkaran yang dimaksud hanya terdiri satu titik saja (dalam hal ini adalah titik pusat lingkaran), yaitu ( g, f). Misalkan P 1 dan P 2 merupakan perpotongan lingkaran x 2 + y 2 = a 2, a > 0, dengan garis y = mx + c. Hitunglah P 1 P 2. Jika P 1 (x 1,y 1 ), dan P 2 (x 2,y 2 ), merupakan perpotongan antara garis dan lingkaran, maka cukup jelas bahwa x 1,x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (1 + m 2 )x 2 + 2mcx + c 2 a 2 = 0. Menurut sifat-sifat akar persamaan kuadrat, kita punyai Hal ini akan mengarahkan kita kepada x 1 + x 2 = 2mc 1 + m 2 dan x 1 x 2 = c2 a m 2. (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 4 (1 + m 2 ) 2(a2 (1 + m 2 ) c 2 ). Karena P 1, dan P 2 terletak di garis y = mx + c, maka y 1 y 2 = m(x 1 x 2 ). Dengan demikian P 1 P 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 = (1 + m 2 )(x 1 x 2 ) 2 = 4 (a2 (1 + m 2 ) c 2 ) 1 + m 2. Beberapa catatan perlu diberikan di sini. Jika garis yang dimaksud melalui pusat koordinat, maka c = 0. Ini akan berakibat P 1 P 2 = 2a. Sesuatu yang sudah cukup jelas, karena P 1 P 2 merupakan busur terbesar, yaitu merupakan diameter lingkaran, jika garis melalui pusat lingkaran. Jika P 1 = P 2, maka P 1 P 2 = 0. Akibatnya, kita akan memperoleh c 2 = a 2 (1 + m 2 ). Ini juga cukup jelas. Jika P 1 = P 2, maka garis yang dimaksud akan menyinggung lingkaran di titik P 1.

25 BAB III. IRISAN KERUCUT 21 Tetapi jika kita perhatikan, maka hanya salah satu dari garis l 1 atau l 2, dengan persamaan y = mx + a 1 + m 2 atau y = mx a 1 + m 2 saja yang meyinggung lingkaran di P 1. Sementara yang lainnya juga menyinggung lingkaran di titik, katakanlah, di P 3. Dengan demikian, jika kita ingin menemukan garis (dengan gradien m) yang menyinggung lingkaran, maka akan diperoleh l 1 dan l 2 dengan persamaan seperti di atas, tidak ada yang lain. Penjelasan geometris dari fakta aljabar tersebut adalah: Garis y = mx + a 1 + m 2 dan y = mx a 1 + m 2 sejajar, masing-masing garis menyinggung lingkaran di P 1 dan P 3, dan, kedua titik berposisi diametral di lingkaran. Misalkan P terletak di l 1. Carilah jarak P ke l 2. Secara geometris, jarak yang dicari pasti sama dengan diameter lingkaran. Misalkan P(x 1,y 1 ) terletak di L((0,0),a). Carilah garis singgung (yang menyinggung lingkaran L((0, 0), a)) di titik P. Misalkan P(x 1,y 1 ), dan Q(x 2,y 2 ), merupakan perpotongan antara garis l dan lingkaran. Cukup jelas bahwa persamaan l adalah y y 1 = m(x x 1 ), dengan m := y 2 y 1 x 2 x 1. Karena P,Q terletak pada lingkaran, maka x y2 1 = a2 = x y2 2. Ini berarti x 2 1 x 2 2 = y 2 2 y 2 1, Dengan demikian, persamaan l adalah atau y 2 y 1 x 2 x 1 = x 1 + x 2 y 1 + y 2. y y 1 = x 1 + x 2 y 1 + y 2 (x x 1 ). Agar l menyinggung lingkaran di P, maka kita harus menggerakkan Q di sepanjang lingkaran untuk mendekati P. Secara analitis, ini berarti x 2 x 1, dan y 2 y 1 secara bersamaan. Dengan demikian m x 1 /y 1. Hal ini akan mengarahkan kita kepada x 1 x + y 1 y = x y 2 1 = a 2,

26 BAB III. IRISAN KERUCUT 22 yang merupakan persamaan garis singgung yang dimaksud. Buktikan bahwa lingkaran ax 2 + ay 2 + 2gx + 2fy + c = 0 menyentuh sumbu-x, jika g 2 = ac. Carilah syarat agar lingkaran tersebut menyentuh sumbu-y. Misalkan lingkaran L(P 0,r) melalui titik-titik P 1,P 2, dan P 3, dengan P 1 P 3 = 2r. Jika l 1, dan l 2 berturut-turut adalah garis lurus yang melalui P 1,P 2, dan P 2,P 3, hitunglah (l 1,l 2 ). Misalkan r > 0. Karena alasan kesederhanaan, akan kita tinjau situasi berikut. Pandang titik-titik P 1 ( r,0), P 2 (x 0,y 0 ), P 3 (r,0) yang terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2. Jelas bahwa l 1 dan l 2 berturut-turut mempunyai persamaan y y 0 = y 0 x 0 + r (x x 0), dan y y 0 = y 0 x 0 r (x x 0). Jika α := (l 1,l 2 ), maka α = 90. Tentukan syarat agar suatu lingkaran melalui titik-titik sudut suatu segitiga (bujursangkar/persegi). Misalkan O adalah pusat koordinat. Kita tinjau situasi khusus berikut. Misalkan diberikan OAB, dengan A(a, 0), dan B(0, b), a, b > 0. Ini berarti x 2 + y 2 ax by = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang melalui sebarang segitiga siku-siku, dan sekaligus persegipanjang dengan panjang sisi-sisi a > 0 dan b > 0. Sedangkan x 2 + y 2 ax ay = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sebarang persegi dengan panjang sisi a > 0. Bagaimana dengan situasi yang lebih umum? Misalkan diberikan titik-titik P 1 (x 1,y 1 ) dan P 2 (x 2,y 2 ). Buktikan bahwa (x x 1 )(x x 2 ) + (y y 1 )(y y 2 ) = 0 menyatakan persamaan lingkaran yang berpusat di titik tengah P 1 P 2. Tentukan syarat agar suatu lingkaran memotong sumbu-sumbu koordinat di tiga (empat) titik berbeda.

27 BAB III. IRISAN KERUCUT 23 Carilah persamaan lingkaran yang melalui (1, 2), (4, 3) dan titik pusatnya terletak di 3x + 4y = 7. Misalkan P 1 terletak di luar lingkaran L(P 0,r). Buktikan bahwa akan selalu ada dua garis singgung terhadap L(P 0,r) yang melalui P 1. Misalkan tiga garis singgung suatu lingkaran membentuk segitiga siku-siku. Carilah persamaan lingkaran tersebut. Catatan: Tinjaulah lingkaran di kuadran I dan pilihlah garis-garis singgung yang relevan. Misalkan P 1 (x 1,y 1 ) terletak di luar lingkaran x 2 +y 2 = r 2. Jika l 1 dan l 2 garis-garis singgung terhadap lingkaran di P 2 dan P 3 yang berpotongan di P 1, carilah persamaan garis yang melalui P 2 dan P 3. Misalkan l 1 dan l 2 menyinggung lingkaran x 2 +y 2 = r 2. Jika l 1 dan l 2 berpotongan di (x 1,y 1 ), dan α := (l 1,l 2 ) adalah sudut lancip, buktikan bahwa tan α = 2r x y2 1 r2 x y2 1 2r2. Tentukan nilai p agar garis x cos α + y sin α = p menyinggung lingkaran x 2 + y 2 2axcos α 2by sin α = a 2 sin 2 α. Misalkan P 1, dan P 2 adalah titik-titik potong garis y = mx+c terhadap lingkaran x 2 + y 2 = 2ax + 2by. Misalkan l 1, dan l 2 (keduanya melalui pusat koordinat) masingmasing adalah garis yang melalui P 1, dan P 2, tentukan syarat yang harus dipenuhi agar l 1 l 2. III.2 Parabola Grafik parabola telah cukup dikenal saat di Sekolah Menengah. Saat membicarakan lintasan peluru yang ditembakkan dari suatu meriam, maka para ahli mekanika langsung terasosiasi dengan grafik yang berbentuk parabola sebagai lintasan peluru tersebut. Misalkan p > 0. Parabola didefinisikan sebagai kumpulan semua titik yang jaraknya terhadap titik (p, 0) (disebut fokus parabola) sama dengan jaraknya terhadap garis x = p (disebut direktriks parabola). Tentu saja salah satu titik yang memenuhi

28 BAB III. IRISAN KERUCUT 24 ketentuan tersebut adalah (0, 0) (disebut verteks parabola). Ini berarti (0, 0) juga terletak pada parabola tersebut. Kelak akan diketahui pula bahwa (0, 0) sekaligus dapat dianggap sebagai puncak parabola tersebut. Pencarian persamaan parabola dapat dijelaskan melalui cara berikut ini. Misalkan (x 0,y 0 ) terletak pada parabola. Cukup jelas bahwa: y (x 0 p) 2 = (x 0 + p) 2. Melalui beberapa penyederhanaan, akan kita peroleh y 2 0 = 4p x 0. Ini berarti (x 0,y 0 ) terletak pada kurva y 2 = 4p x yang merupakan persamaan parabola yang dicari. Tentukan persamaan parabola yang mempunyai fokus (a,b) dan direktriks x a + y b = 1. Misalkan suatu parabola mempunyai ketentuan bahwa verteks dan fokusnya terletak pada sumbu-x dan masing-masing berjarak a 1 dan a 2 terhadap pusat koordinat. Buktikan bahwa persamaan parabolanya adalah y 2 = 4(a 2 a 1 )(x a 1 ). Misalkan OP menyatakan busur pada parabola y 2 = 4p x. Jika P bergerak disepanjang parabola, buktikan bahwa tempat kedudukan titik tengah busur juga merupakan parabola. Misalkan A dan B terletak pada parabola y 2 = 4p x. Jika AB = 8p, dan AB tegak lurus sumbu-x, buktikan bahwa AOB = 90. Jika A dan B terletak pada parabola y 2 = 4p x, hitunglah AB. Tentukan syarat agar sebarang garis menyinggung parabola. Tentukan syarat agar garis y = m x + c menyinggung parabola y 2 = 4p (x + p). Tentukan persamaan garis singgung pada sebarang titik di parabola. Misalkan A tidak terletak pada parabola y 2 = 4p x. Ada berapa banyak garis singgung pada parabola yang melalui A? Misalkan l 1 dan l 2 menyinggung parabola y 2 = 4p x di A dan B. Jika kedua garis tersebut berpotongan di (x 1,y 1 ), buktikan bahwa y 1 y = 2p(x + x 1 )

29 BAB III. IRISAN KERUCUT 25 menyatakan garis yang melalui kedua titik singgung tersebut. Misalkan AB busur pada y 2 = 4p x. Buktikan bahwa titik tengah semua busur pada parabola yang sejajar AB terletak pada garis yang sejajar sumbu-x. Jika l melalui A dan menyinggung parabola y 2 = 4p x di B, hitunglah AB. Buktikan bahwa (p t 2,2p t) terletak pada parabola y 2 = 4p x untuk setiap t R. Tentukan garis singgung pada (p t 2,2p t). Tentukan titik potong dua garis singgung dalam t. Catatan: Garis di sini biasa kita sebut garis-t. III.3 Ellips Grafik ellips telah cukup dikenal saat kita mempelajari lintasan bumi yang mengelilingi matahari. Hukum Kepler dapat menunjukkan hal tersebut, jika diperlukan penjelasan logis mengenai hal ini. Diberikan titik-titik berikut: A(a,0), B(0,b), F 1 (c,0) dan F 2 ( c,0), dengan b > 0, dan a > c > 0. Diketahui suatu kurva dengan sifat-sifat berikut: Kurva tersebut melalui A dan B. Sebarang titik P(x,y) pada kurva tersebut bersifat PF 1 + PF 2 = konstan. Oleh karena kurva tersebut melalui A, maka cukup jelas bahwa PF 1 + PF 2 = 2a. Dengan demikian, jika P(x,y) terletak pada kurva tersebut akan kita peroleh x 2 a 2 + y2 a 2 c 2 = 1. Oleh karena kurva tersebut melalui B, dan a > c > 0 maka b 2 = a 2 c 2. Dengan demikian x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, menyatakan persamaan kurva tersebut, yang biasa kita sebut ellips. Titik F 1 dan F 2 disebut fokus ellips. Titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x biasa disebut verteks dari ellips. Sumbu mayor ellips didefinisikan sebagai ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-x, sedangkan sumbu minor ellips adalah ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik potong ellips terhadap sumbu-y.

30 BAB III. IRISAN KERUCUT Jika suatu garis memotong ellips di P dan Q, tentukan PQ. 2. Tentukan syarat agar garis y = mx + c selalu menyinggung ellips. 3. Buktikan, bahwa selalu terdapat dua garis singgung terhadap ellips dengan besar gradien tertentu. 4. Tentukan titik-titik pada ellips sedemikian hingga garis singgung pada titik-titik tersebut membentuk sudut 45 terhadap sumbu-x. 5. Misalkan y = m x memotong ellips di P 1 dan P 2. Buktikan bahwa garis singgung di P 1 dan P 2 sejajar. 6. Jika garis normal pada suatu titik di ellips didefinisikan sebagai garis yang tegak lurus garis singgung di titik tersebut, tentukan garis normal di sebarang titik di ellips. 7. Buktikan bahwa titik potong ellips n 2 x 2 + m 2 y 2 = n 2 m 2 dan m 2 x 2 + n 2 y 2 = n 2 m 2 terletak pada suatu lingkaran.

31 Bab IV Kurva di Bidang atau Ruang Biarkan mata-mata musuh memasuki benteng pertahanan kita. Pasok mereka dengan informasi palsu dan menyesatkan untuk menyebarkan perselisihan dalam kubu mereka sendiri. (J. Edgar Hoover, pendiri Federal Bureau Investigation). IV.1 Pengertian Kurva di Bidang Secara informal, pengertian kurva adalah grafik sebarang fungsi, baik itu mempunyai panjang hingga ataupun takhingga. Dengan demikian kurva biasa disajikan dalam bentuk parametrik C = C(t) := (f(t),g(t)), a < t < b, dengan f : (a,b) R dan g : (a,b) R sebarang fungsi yang diketahui. Jika a := atau b :=, maka kurva tersebut dikatakan mempunyai panjang takhingga. Pandang garis y = 2 x dan titik-titik A(1, 2) dan B(3, 6), pada garis tersebut. Misalkan X(x,y) sebarang titik pada ruas garis AB. Jika AX : XB = m : n, maka cukup jelas bahwa x = 3m + n m + n, Misalkan t := m/(m + n). Cukup jelas bahwa 6m + 2n dan y = m + n. X = X(t) := (3t + (1 t),6t + 2(1 t)) = (2t + 1,4t + 2), 0 t 1, menyatakan sebarang titik di AB, untuk setiap t [0,1]. Jika t kita gerakkan mulai dari t = 0, sampai dengan t = 1, akan kita lihat bahwa X(t) juga akan bergerak sepanjang AB, dimulai dari A(1,2) sampai ke B(3,6). 27

32 BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG 28 Sebaliknya, untuk s := n/(m + n), akan kita punyai Y = Y (s) := (s + 3(1 s),2s + 6(1 s)) = (3 2s,6 4s), 0 s 1, yang menyatakan pergerakan suatu benda sepanjang AB dimulai dari B(3, 6) sampai ke A(1,2). Misalkan untuk kurva X(t) = (2t + 1, 4t + 2), 0 t 1, dilakukan transformasi peubah t 2k, maka kita akan memperoleh U(k) := X(2k) = (2(2k) + 1,4(2k) + 2), 0 2k 1, atau U(k) = (4k + 1,8k + 2), 0 k 1/2. Selain itu, transformasi peubah t p/3, akan menghasilkan R(p) := X(p/3) = (2(p/3) + 1,4(p/3) + 2), 0 p/3 1, atau R(p) = (1 + 2p/3,2 + 4p/3), 0 p 3. Misalkan a 2 menyatakan panjang vektor a. Dengan menggunakan rumus Phytagoras, buktikan bahwa a 2 = (x y2 1 )1/2, dan a 2 = 0 a = O. Jika didefinisikan, untuk setiap k R, k a := (kx 1,ky 1 ), hitunglah k a 2. Berikan interpretasi geometris untuk k a. Berikan definisi tentang dua vektor yang sejajar. Misalkan a = O := (0,0). Jelas bahwa a 2 = 0. Sebaliknya, misalkan diberikan a := (x,y) yang bersifat a 2 = 0. Ini berarti a 2 2 = 0, atau x 2 + y 2 = 0. Oleh karena 0 x 2, y 2, maka 0 x 2 x 2 + y 2 = 0. Ini berarti x 2 = 0, atau x = 0. Dengan cara yang sama, akan kita peroleh pula y = 0. Jika α := ( a, b ), dan a b := x 1 x 2 +y 1 y 2 (yang kita definisikan sebagai hasil kali titik antara a dan b ), buktikan berturut-turut, bahwa a b 2 2 = a b a 2 b 2 cos α,

33 BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG 29 dan cos α = a b b 2 b 2. Tunjukkan pula bahwa a a = a 2 2, dan a ( b + c ) = a b + a c. Misalkan diberikan OAB dengan A(x 1,y 1 ), dan B(x 2,y 2 ). Cukup jelas bahwa α := ( a, b ) = (OA,OB). Dengan demikian sisi-sisi OAB masing-masing mempunyai panjang a 2, b 2, dan a b 2. Dengan menerapkan rumus cosinus pada OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. (Teorema Phytagoras). Jika α := ( a, b ), buktikan bahwa α = 90 a + b 2 2 = a b 2 2 a + b 2 = a b 2. Misalkan α = 90. Dari rumus sebelumnya, jelas bahwa a + b 2 2 = a ( b ) 2 2 = a b a 2 b 2 cos 90 = a b 2 2 = a b 2 2. Misalkan diketahui a + b 2 2 = a b 2 2. Jelas bahwa a b 2 2 = a + ( b ) 2 2 = a b 2 2 = a b 2 2 = a + b 2 2. Misalkan a + b 2 = a b 2. Dengan mengingat bahwa 180 α = ( a, b ), maka kita akan sampai pada kesimpulan cos α = 0, atau α = 90. Misalkan diberikan OAB dengan A(x 1,y 1 ), dan B(x 2,y 2 ). Cukup jelas bahwa α := ( a, b ) = (OA,OB). Dengan demikian sisi-sisi OAB masing-masing mempunyai panjang a 2, b 2, dan a b 2. Dengan menerapkan rumus cosinus pada OAB, maka terbuktilah apa yang diminta. (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, dan ketaksamaan segitiga). Untuk sebarang a dan b, buktikan bahwa a b a 2 b 2, dan a + b 2 a 2 + b 2.

34 BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG 30 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat dengan mudah dibuktikan dengan mengingat definisi sudut antara dua vektor dan fakta bahwa cos α 1. Dari fakta dibawah ini a + b 2 2 = a b a 2 b 2 cos α = a b a b a b a b a b a 2 b 2 ( = a 2 + ) 2 b 2, kita sampai pada kesimpulan bahwa ketaksamaan segitiga untuk vektor bernilai benar. (Proyeksi). Misalkan c = k b, untuk suatu k R. Jika a 2 2 = c a c 2 2, carilah nilai k. Konstruksikan posisi vektor-vektor yang menggambarkan soal tersebut. Catatan: Soal ini bercerita tentang proyeksi a sepanjang b. Nilai k didefinisikan sebagai komponen dari a sepanjang b. IV.1.1 Persamaan Garis pada Bidang Dalam subbab ini kita akan membicarakan tentang konsep garis lurus pada bidang datar. Misalkan A terletak pada garis lurus l, dan l terletak pada suatu bidang datar. Jika vektor b sejajar dengan garis l, maka sebarang titik C pada l dapat disajikan dalam bentuk a + t 0 b, untuk suatu t0 R. Dengan kata lain, terdapat t 0 R sedemikian hingga c = a + t 0 b. Di sini dikatakan bahwa b merupakan vektor arah garis l. Cukup jelas bahwa l := { a + t b : t R}, dan X(t) := a +t b = (x 1 +t x 2,y 1 +t y 2 ) menyatakan posisi titik pada l untuk setiap t R. Kadangkala X(t) juga disebut sebagai persamaan parametrik suatu garis lurus. Carilah persamaan garis yang melalui titik-titik A(a 1,a 2 ), dan B(b 1,b 2 ). Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu sejajar dengan AB. Dengan demikian dapat ditemukan t R yang bersifat AX = t AB. Ini berarti OX a = t( b a ), atau X(t) = ((1 t)a 1 + t b 1,(1 t)a 2 + t b 2 ), t R.

35 BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG 31 Tentukan garis yang melalui titik A(a 1,a 2 ), dan tegaklurus vektor c := (c 1,c 2 ). Misalkan X sebarang titik pada garis tersebut, maka AX selalu tegaklurus dengan c. Dengan demikian AX c = 0. Ini berarti OX a = t( b a ), atau X(t) = ((1 t)a 1 + t b 1,(1 t)a 2 + t b 2 ), t R. 1. Carilah persamaan garis yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap suatu vektor yang diketahui. 2. Misalkan seekor kutu berjalan dari titik A ke titik B dengan waktu tempuh 1 detik. Tentukan posisi kutu pada detik ke-5, jika kutu tersebut menempuh lintasan berbentuk garis lurus. Apa yang terjadi jika waktu tempuh dari A ke B 3 detik? Apa yang terjadi jika pergerakannya berlawanan arah? 3. Tuliskan semua persamaan garis yang anda ketahui dalam Geometri Analitik dalam bentuk persamaan parametrik X(t). 4. Misalkan X 1 (t), dan X 2 (t) menyatakan dua buah garis di bidang. Tentukan syarat agar kedua garis tersebut, berturut-turut, berpotongan, sejajar, atau identik. 5. Tentukan syarat agar X 1 (t) dan X 2 (t) saling tegak lurus. Jika α := (X 1,X 2 ), hitunglah tan α. 6. Jika P tidak terletak pada garis l, hitunglah jarak P terhadap l. IV.1.2 Pengertian Garis dan Bidang dalam Ruang Sebarang bidang (datar) dikarakterisasi oleh suatu vektor yang tegak lurus dengan bidang tersebut dan satu titik tertentu yang dilalui bidang tersebut. Secara geometris, jika P dan Q sebarang dua titik pada bidang P, maka ruas garis PQ juga terletak pada P. Ini berarti bahwa semua titik dalam PQ juga terletak di P. 1. Jika vektor a tegak lurus bidang P, dan B terletak di P, tentukan persamaan P dalam notasi vektor. Catatan: Vektor a disebut vektor normal atau normal dari bidang P.

36 BAB IV. KURVA DI BIDANG ATAU RUANG Misalkan A terletak pada bidang datar P. Jika AB tegak lurus bidang P, dan X adalah sebarang titik pada P, tentukan persamaan bidangnya. 3. Jika titik-titik A, B, C tidak segaris, tentukan persamaan bidang yang memuat ketiga titik tersebut. IV.2 Pengertian Ruang Vektor Kita bisa mendefinisikan R 3 sebagai kumpulan semua vektor. Tepatnya, kita punyai R 2 := {(a,b,c) : a,b,c R}. disebut fungsi jarak atau jarak, jika memenuhi sifat-sifat berikut: ρ(a,b) = 0 jika dan hanya jika a = b; ρ(a,b) = ρ(b,a); ρ(a,c) ρ(a,b) + ρ(b,c), untuk setiap a,b,c X. 1. Misalkan R dilengkapi dengan pengertian nilai mutlak di dalamnya. Untuk sebarang a,b R, didefinisikan ρ 1 (a,b) := a b. Buktikan bahwa ρ 1 mendefinisikan pengertian jarak di R. 2. Misalkan R 2 dilengkapi dengan pengertian panjang vektor 2 di dalamnya. Untuk sebarang a,b R 2, didefinisikan ρ 2 (a,b) := a b 2. Buktikan bahwa ρ 2 mendefinisikan pengertian jarak di R 2. Dapatkah kita mendefinisikan jarak di R 3 melalui pengertian panjang vektor di ruang?