LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI. Pertemuan 9

Transkripsi

1 LIMIT DAN KESINAMBUNGAN FUNGSI Pertemuan 9

2 SUB PEMBAHASAN : 1. Pengertian Limit 2.Limit Sisi Kiri, Limit Sisi Kanan 3.Kaidah-Kaidah Limit 4.Penyelesaian Kasus-Kasus Khusus

3 1. PENGERTIAN LIMIT Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan berkembang jika variabel di dalam fungsi yang bersangku tan terus-menerus berkembang mendekati suatu nilai ter tentu. f x = L Dibaca: Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang juga hingga mendekati L

4 y = f x = 1 2x 2 Catatan: x a dibaca x mendekati a, buka berarti x = a f(x) = L dibaca bahwa L adalah it fungsi f(x), bukan berarti L adalah nilai fungsi F(x) Maka: x 2 x 3 f x = x 2 1 2x2 f x = x 3 1 2x2 = 7 = 17

5 Tabel x y = f x = 1 2x2 y = f x = 1 2x 2 3, ,50 2 = 23,5 Dari tabel di samping: Jika x bergerak mendekati 2, maka f(x) akan mendekati -7. Dan jika x bergerak mendekati 3 maka f(x) akan berkembang mendekati -17. Limit suatu fungsi hanya mempunyai dua kemungkinan: 1. Terdefinisi Jika itnya adalah L atau L atau 0 atau ~ atau -~ 2. Tak terdifinisi Jika 0 0 atau ~ ~ 3, ,10 2 = 18,22 3, ,05 2 = 17,605 3, ,01 2 = 17,1202 2, ,99 2 = 16,8802 2, ,95 2 = 16,405 2, ,90 2 = 15,82 2, ,50 2 = 11,5 2, ,10 2 = 7,82 2, ,05 2 = 7,405 2, ,01 2 = 7,0802 1, ,99 2 = 6,9202 1, ,95 2 = 6,005 1, ,90 2 = 6,22 1, ,50 2 = 3, = 1,0

6 2. LIMIT SISI KIRI, LIMIT SISI KANAN Limit Sisi Kiri: Jika menganalisis f(x) dari x < a Jadi jika f x = L berarti L merupakan it sisi-kiri dari F(x) untuk x a. Limit Sisi Kanan: Jika menganalisis f(x) dari x > a Jadi jika f x = L + berarti L + merupakan it sisi-kanan dari F(x) untuk x a. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika it sisi-kiri dan it sisi-kanannya ada serta sama. f x = f(x) = f(x) + Jika salah satu dari ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka it dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian it sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika it salah satu sisinya tidak ada, atau it kedua sisinya tidak ada, atau it kedua sisinya ada tetapi tidak sama.

7 1. x 2 (1 2x 2 ) = 7 Terdefinisi, karena: 1 x 2 2x2 = 1 x 2 + 2x2 = 7 Penjelasan: Gerakan x 2 dari kiri (dari x=1; x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkan nilai -7. Begitu juga gerakan x 2 dari kanan (dari x=2,99; x=2,95; x=2,90 dan seterusnya) menyebabkan f(x) mendekati nilai x 0 ( 3 x ) Tak Terdefinisi, karena: f x = 3 x 0 x 0 x = +~ f x = 3 x 0 + x 0 + x = ~ Penjelasan: Karena x 0 ( 3) x x 0 +( 3 ) x Maka ) tidak terdefinisi. ( 3 x 0 x

8 Penjelasan lanjutan, ( 3 ) tidak terdefinisi x 0 x 4 Dari gambar di samping, jika x mendekati 0 dari kiri (dari x = -3, x = -2, x = -1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak terhingga. Tetapi jika x mendekati 0 dari kanan (dari x = 3, x = 2, x = 1 dan seterusnya) maka f(x) akan menjadi negatif tak hingga. Itulah sebabnya untuk x 0, it f(-3/x) ini tidak terdefinisi. -4

9 3. KAIDAH-KAIDAH LIMIT 1. Jika y = f x = x n dan n > 0, maka xn = a n x 2 x3 = 2 3 = 8 x 5 x3 = 5 3 = Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih) dari it fungsi-fungsinya. f x ± g x = f(x) ± g(x) 2. Limit dari suatu konstansa adalah konstanta itu sendiri. k = k x 2 3 = 3 1 x 2 2x2 + x 3 = 1 2x 2 x 2 = = = 1 + x 2 x 3 4. Limit dari suatu perkailiang fungsi adalah perkalian dari it fungsi-fungsinya. f x g x = f x. g(x) 1 x 2 2x2 x 3 = 1 2x 2. (x 3 ) = 7 8 = 56 x 2 x 2

10 Lanjutan... Kaidah-kaidah it 5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari it fungsifungsinya, dengan syarat it fungsi pembagiannya 0 f(x) g(x) = f(x) g(x) dengan syarat g(x) 0 x 5 (x 2 25) (x 5) (x 2 25) = x 5 = (x 5) x 5 = x 5 x + 5 = 10 (x 5)(x + 5) x 5 (x 5) x 5 6. Limit dari suatu fungsi berpengkat n adalah pangkat n dari it fungsinya: {f x }n = f(x) n {f 1 x 2 2x2 } 3 = (1 2x 2 ) 3 = ( 7) 3 = 343 x 2

11 Lanjutan... Kaidah-kaidah Limit 7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari it fungsinya. n f(x) = n f(x) n > 0 x 5 3 x 2 x + 44 = 3 (x 2 x + 44) = 3 64 = 4 x 5

12 4. PENYELESAIAN KASUS-KASUS KHUSUS 1. Bentuk Tak Tentu 0 0 Limit yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 dapat dihindari dengan cara menguraisederhanakan fungsinya. 0 Jika f x = (x 3)2 9, berapa f(x) untuk x 0? x Penyelesaian: Jika substitusi langsung x = 0 ke dalam f(x) akan menghasilkan bentuk tak tentu 0 0 Namun, jika diurai-sederhanakan menjadi; f x = (x2 6x + 9 9) x = (x2 6x) x = x 6 Dengan demikian: x 0 x x = x 0 x 6 = 6

13 Lanjutan... Penyelesaian kasus-kasus khusus 2. Bentuk Tak Tentu ~ ~ Hasil ~ dapat dihindari dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya ~ dengan variabel berpangkat tertinggi pada penyebut. x ~ 4x5 +x2 3x 6 +7x 3 = x ~ x ~ 6x 3 +x x 3 +5x 2 4 = x ~ 4 x + 1 x = 0+0 = 0 x x + 9 x x 4 x 3 = = 3

14 Lanjutan... Penyelesaian kasus-kasus khusus 3. Penyelesaian Pintas Limit Fungsi-Pembagian untuk x ~ y(x) x ~ = 0 jika m < n = a m b n jika m = n = + ~ jika m > n dan a m > 0 = - ~ jika m > n dan a m < 0 y x = (x2 +25) maka y x = ~ (x 5) Karena m > n dan a m > 0 y x = (25 x2 ) maka y x = ~ (x 5) Karena m > n dan a m < 0 y x = (4x5 +x 2 ) maka y x = 0 (3x 6 +7x 3 ) Karena m = 5, n = 6, a m = 4 dan b n = 3 y x = (6x3 +x 2 +9) maka y x = 3 (2x 3 +5x 2 4) Karena m = 3, n = 3, a m = 6 dan b n = 2

15 1. x 2 ( 2x 2 3x + 1) Latihan: 2. x 3 ( 3x 4 2x 2 + 4x + 5) 3. x 4 {( 2x 3) + (x + 1)} 4. x 5 x 1 x x2 +1 x ~ x 2 1 x x x ~ 4x 2 +12x

16 TERIMA KASIH