RUANG BANACH PADA RUANG BARISAN, DAN Wahidah Alwi* * Dose ada Jurusa Mateatia Faultas Sais da Teologi UIN Alauddi Maassar e-ail: wahidah.alwi79@gail.co Abstract: The ai object of the vectors are the vectors ca be added together ad geerate a vector, ad roduces a uber is ultilied b aother vector. A set of objects with roerties lie this are called "vector sace". Matheatical structure to be defied is a Baach sace. Clearl defied Baach sace vector sace of real / cole ored ad colete with resect to the or. Baach sace i this stud eaied the seuece sace, ad. Based o the urose of this stud is to assess the Baach sace withi a seuece sace, ad, it is obtaied that a seuece sace, ad for Baach sace if it eets the reuireets of that seuece sace, ad is a vector sace, ored seuece sace, ad ored seuece sace with colete. Ke words: vector sace, Baach sace, seuece sace,. ad I. PENDAHULUAN R uag vetor eruaa suatu hiua obe ag daat dijulaha satu saa lai da dialia dega suatu bilaga, ag asigasig eghasila aggota lai dala hiua itu. Strutur ateatia ag aa didefiisia adalah ruag Baach. Secara gablag ruag Baach diartia ruag vetor riil/oles berora da lega terhada ora tersebut. Ruag vetor berora V diataa lega jia terhada ora. dega da,b = a b, V eruaa ruag etri lega, aitu jia utu setia barisa Cauch di dala V aitu dega sifat - 0, terdaat V sehigga 0. Ruag Hilbert adalah ruag vetor riil atau oles ag dilegai dega hasil ali dala ier roduct da lega. Setia ruag Hilbert eruaa ruag Baach. Ruag Baach da ruag Hilbert eruaa rasarat 39
40 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 dala eelajari suatu ruag barisa ag aa diaji dala tulisa ii. Berdasara hal tersebut di atas, aa eulis aa egaji ruag Baach ruag Baach dala suatu ruag barisa aitu ruag barisa, da II. KAJIAN PUSTAKA A. Ruag Vetor Obe utaa tetag vetor adalah vetor-vetor daat dijulaha da eghasila vetor, da dialia dega suatu bilaga eghasila vetor lagi. Sebarag hiua obe dega sifat seerti ii disebut ruag vetor. Pada bagia ii seua aggota hiua bilaga oles diadag sebagai salar. Sebelu edefiisia ruag vetor V atas aa ada dua oerasi ag harus dierhatia aitu:. Oerasi tabah di dala hiua V. Masuda adalah jia a, b V, aa a + b juga di V. Dala hal ii, V harus tertutu terhada oerasi tabah. 2. Oerasi eralia salar atara aggota aggota hiua dega aggota aggota hiua V. Masuda adalah jia da a V aa juga di V. Defiisi 2.. Berberia, 96:3 Ruag vetor V atas adalah hiua obe obe,, z, disebut vetor. Vetor ol diotasia dega, utu setia vetor, egatif dari diotasia dega. Asioa asioa beriut diasusia berlau: A Utu setia asaga vetor, di V terdaat vetor ag disebut julah da, diotasia + di V, da berlau: A + = + utu setia, V A2 + + z = + + z utu setia,, z V A3 Terdaat dega tuggal V sedeiia sehigga + = utu setia V A4 Utu setia V, terdaat dega tuggal V ag disebut egatif sedeiia sehigga + - = M Utu setia salar da setia vetor di V, terdaat vetor disebut hasil ali dega, diotasia dega di V, da berlau: M + = + utu setia, V da adalah salar
Wahidah Alwi, Ruag Baach Pada Ruag Barisa, da _ 4 M2 + = + utu setia V da, adalah salar M3 = utu setia V da, adalah salar M4. = utu setia V Sebagai catata, + - biasa ditulis dega. Teorea 2..2 Berberia, 96: 6 Utu sebarag ruag vetor: i Persaaa vetor + = z euai satu da haa satu eelesaia ii Jia z + z = z aa z = iii = utu setia salar iv 0 = utu setia vetor v Jia = aa = 0 atau = Aibat 2..3 Berberia, 96:7 Utu sebarag ruag vetor V berlau: i. - = - = - ii. = - iii. - = - B. Ruag Baach Strutur ateatia ag aa didefiisia adalah ruag Baach. Secara gablag ruag Baach diartia ruag vetor real/oles berora da lega terhada ora tersebut. Defiisi 2.2. Ruag vetor V diataa berora jia terdaat fugsi berilai riil ada. : V R dega sifat-sifat sebagai beriut:. a 0 utu setia a V a = 0 jia da haa jia a = 2. a = a utu setia R, a V 3. a + b a + b utu setia a, b V Sebarag hiua ta osog X, disebut ruag etri, jia utu setia asaga a,b X X didefiisia bilaga riil da,b eeuhi: i. da,b 0 da,b = 0 jia da haa jia a = b ii. da,b = db,a
42 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 iii. da,b da,c + dc,b utu setia c X Jia V ruag vetor berora ruag berora, aa fugsi d dega da,b = a b eeuhi sifat-sifat etri i, ii, iii tersebut di atas. Ii berarti setia ruag berora eruaa ruag etri terhada etri d, dega, da,b = a b. Jia utu setia sebarag barisa Cauch di dala ruag etri X terdaat X sehigga d, 0, aa ruag etri X diataa lega. Searag aa didefiisia ruag Baach sebagai beriut: Defiisi 2.2.2 Ruag vetor berora V disebut ruag Baach jia V lega di dala ruag etri ag didefiisia oleh ora. Defiisi 2.2.2 eataa bahwa ruag vetor berora V diataa lega jia terhada ora. dega da,b = a b, V eruaa ruag etri lega, aitu jia utu setia barisa Cauch di dala V aitu dega sifat - 0, terdaat V sehigga 0. C. Ruag Barisa Klasi Barisa bilaga =, 2, = dega R utu setia disebut barisa bilaga riil. Kolesi seua barisa bilaga riil ditulis dega W aitu = { barisa bilaga riil} da didefiisia. Pejulaha dua barisa + = { + } 2. Peralia barisa dega bilaga riil _ = { }. Terhada oerasi ag didefiisia ada i da ii, cuu jelas bahwa W eruaa ruag vetor terhada R. Selajuta W disebut ruag barisa bilaga riil da setia subruag vetor dari W eruaa ruag barisa. Ruag barisa ag diaji dala eelitia ii adalah: = { ; }, = { } dega < <, da = _ { ;su } Defiisi 2.4. Ruag barisa lasi adalah olesi dari seua barisa bilaga riil ag eeuhi, da ditulis dega : = { ; }. Diberia ora ada sebagai beriut:
Wahidah Alwi, Ruag Baach Pada Ruag Barisa, da _ 43. Defiisi 2.4.2 Ruag barisa lasi adalah olesi seua barisa bilaga riil ag eeuhi da ditulis dega, = { } dega < <, dega ora ada diberia sebagai beriut : Defiisi 2.4.3 Ruag barisa lasi / dega < <. dega ora su{ ; }, ditulis sigat: = { ;su }, adalah olesi seua barisa bilaga terbatas dega ora ada diberia sebagai beriut: su. III. TUJUAN PENELITIAN Peelitia ii bertujua utu egaaji ruag Baach dala suatu ruag barisa aitu ruag barisa, da. IV. PEMBAHASAN A. Ruag Barisa Klasi Tujua bahwa = { ; } terhada ora. dega eruaa:. Ruag vetor 2. Ruag barisa berora 3. Ruag barisa berora ag lega Ruag Baach Buti: a. Aa ditujua bahwa = { ; } eruaa ruag vetor. Abil sebarag =, = da R, aa +, sebab dieuhi:
44 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 2, sebab dieuhi: b. Aa ditujua bahwa = { ; } eruaa ruag barisa berora. Abil sebarag =, = da R, aa: 0, jelas, area 0,. 0 0 0 0 2 3 = = c. Aa ditujua bahwa = { ; } eruaa ruag barisa berora ag lega. Diabil sebarag barisa Cauch, dega, 2,..., aa utu setia bilaga > 0 terdaat 0 N sehigga utu seua, > 0 berlau:.. dieroleh, utu setia =, 2,, berlau utu setia, > 0 2 Diilih teta. Dari 2 daat dilihat bahwa, 2, barisa Cauch atas bilaga riil. Karea R lega, aa barisa tersebut overge, isala, utu atau li. Dega egguaa liit tersebut didefiisia =, 2,, dari sii tiggal ditujua bahwa Dari dieroleh: da.
Wahidah Alwi, Ruag Baach Pada Ruag Barisa, da _ 45, =, 2, Dega egabil da > 0, aa dieroleh:, =, 2, Dega egabil, aa utu > 0, dieroleh: 3 Dega ata lai terbuti Searag,, sebab dieuhi:, utu. Karea eruaa ruag berora da lega aa eruaa ruag Baach. D. Ruag Barisa Klasi < <. Tujua bahwa terhada ora. dega ora. Ruag vetor 2. Ruag barisa berora = { } dega < < / 3. Ruag barisa berora ag lega Ruag Baach Buti: eruaa: a. Aa ditujua bahwa = { } dega < < eruaa ruag vetor. Abil sebarag =, = da R, aa +, sebab dieuhi: 2 2 as 2 2, sebab dieuhi:, 2
46 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 b. Aa ditujua bahwa = { } dega < < eruaa ruag barisa berora. Abil sebarag =, =, da R aa: 0 /, jelas, area 0,. 0 0 0 0 / 2 / / / 3 Misala = - da area { + }. Maa dieroleh { + - }. Da dega egguaa etasaaa Holder Misala > da isala =, jia da, aa deret overge utla da / / deret da overge da, / / / / = / / /. / / /
Wahidah Alwi, Ruag Baach Pada Ruag Barisa, da _ 47 Terbuti c. Aa ditujua bahwa = { } dega < < eruaa ruag barisa berora. Abil sebarag barisa Cauch, dega, aa utu setia bilaga > 0 terdaat 0 N sehigga utu seua, > 0 berlau: /.. dieroleh utu, berlau utu setia, > 0 2 Diilih teta. Dari 2 daat dilihat bahwa, 2, barisa Cauch atas bilaga riil. Karea R lega, aa barisa tersebut overge, isala, utu atau li. Dega egguaa liit tersebut didefiisia =, 2,, dari sii tiggal ditujua bahwa da. Dari dieroleh: /, utu, 0 dega egabil da > 0, aa dieroleh: / / 3 Dega ata lai terbuti, utu. Searag,, utu < < sebab dieuhi: 2 2 2 2, 2 as
48 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 Karea, utu < < eruaa ruag berora da lega aa, utu < < adalah ruag Baach. E. Ruag Barisa Klasi. dega Tujua bahwa su eruaa:. Ruag vetor 2. Ruag barisa berora = { ;su } terhada ora. 3. Ruag barisa berora ag lega Ruag Baach Buti: a. Aa ditujua bahwa = { ;su } eruaa ruag vetor. Abil sebarag = ; R = R da R, aa +, sebab su su Sehigga: su su su su 2, sebab dieuhi: su su su b. Aa ditujua bahwa = { ;su } eruaa ruag barisa berora. Abil sebarag =, = aa: su 0, jelas, area 0,. 0 su 0 0 0 0,0,... 2 su su da R,
Wahidah Alwi, Ruag Baach Pada Ruag Barisa, da _ 49 3 su su su su = c. Aa ditujua bahwa = { ;su } eruaa ruag barisa berora ag lega. Diabil sebarag barisa Cauch, dega, 2,..., aa utu setia bilaga > 0 terdaat 0 N sehigga utu seua, > 0 berlau:.. eivale dega su..2 Ii berarti bahwa utu =, 2, da, 0. Selajuta diilih teta. Barisa, 2, adalah barisa Cauch atas bilaga riil da R lega. Jadi barisa tersebut overge; ataa overge e, utu atau li. Dega egguaa liit tersebut didefiisia =, 2,, dari sii tiggal ditujua bahwa da. Dari 2 dieroleh: su : ;,2,... Dega egabil da > 0, aa dieroleh: su : ;,2,..., Dega egabil, aa utu > 0, dieroleh: su su 3 Dega ata lai terbuti Searag,, sebab dieuhi: su su su su, utu. su Karea eruaa ruag berora da lega aa eruaa ruag Baach. V. KESIMPULAN Berdasara tujua eelitia ii aitu utu egaji ruag Baach dala suatu ruag barisa, da, aa dieroleh bahwa suatu ruag
50 _ Jural Teosais, Volue 8 Noor, Jauari 204, hl. 39 50 barisa, da ebetu ruag Baach jia eeuhi sarat-sarat, da eruaa ruag vetor, ruag barisa aitu ruag barisa berora, da ruag barisa berora ag lega. DAFTAR RUJUKAN Ato, Howard. 998. Aljabar Liear Eleeter. Erlagga, Jaarta. Bartle, G. Robert. 982. Itroductio to Real Aalsis. Joh Wile & Sos. Ic, New Yor Berberia.K, Sterlig. 96. Itrodutio to Hilbert Sace. Oord Uiversit Press, New Yor Echols, Joh. M da Hassa Shadil. 975. Kaus Iggris Idoesia. PT Graedia Pustaa Utaa, Jaarta Klabauer, Gabriel. 973. Real Aalsis. Aerica Elseviser Publishig Coa, Ic, New Yor. Maddo, I. J. 970. Eleet of Fuctioal Aalisis. Cabridge at The Uiversit Press. P. Y. Lee. Zeller Theor Ad Classical Seuece Saces. Natioal Uiversit of Sigaore, Sigaore. Radolh. F, Joh. 968. Basic Riil ad Abstract Aalisis. Acadeic Press, New Yor ad Lodo. Rudi, Walter. 986. Riil ad Cole Aalisis. Mc Graw-Hill Iteratioal Editio, New Yor. Suarjoo. 2000. Aljabar Liear da Peeraaa. Uiversitas Negeri Yogaarta, Yoaarta.