1 0
Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak Himpua kritis adalah suatu himpua yag beraggotaka eleme yag dapat meetuka eleme lai dari suatu himpua label. Himpua label ajaib adalah himpua yag elemeya berupa pasaga terurut dari posisi da label. Dega megetahui himpua kritis dari suatu graph, khususya graph caterpillar, maka dapat dikostruksi ulag pelabela dari graph tersebut beserta label yag lai sehigga graph ajaib (tetap ajaib). Dari hasil aalisa pembahasa ditemuka himpua kritis dari graph yag dicari, bahwa bayakya aggota himpua kritis graph caterpillar tergatug pada bayakya dau. Kata Kuci: Graph Caterpillar, Total Sisi Ajaib, Himpua Kritis 1 Pedahulua Bujursagkar lati adalah matriks berukura dega eleme-elemeya dipilih dari himpua bilaga asli dega eleme. Setiap eleme terdapat pada setiap baris da setiap kolom sehigga setiap eleme yag sama tidak perah terjadi pada baris atau kolom yag sama. Kosep tersebut yag diguaka utuk mecari himpua kritis. Salah satu aplikasi dari himpua kritis adalah pada bidag kriptograpi. Pada paper ii aka mecari himpua kritis pada pelabela suatu graph. Graph yag aka dikaji adalah graph caterpillar. Pelabela pada sebuah graph diberi tada dega sejumlah label pada simpul da sisi graph, sehigga setiap label sisi pada graph tersebut tergatug kepada label kedua simpul yag meempel pada Didukug oleh Hibah Pekerti DIKTI TA 006 Jurusa Matematika ITS Departeme Matematika ITB 1
sisi tersebut. Biasaya, label yag diguaka adalah bilaga bulat positif atau bilaga asli. Pelabela graph G adalah pemetaa satu-satu yaitu memetaka semua eleme (simpul da sisi) dari graph tersebut ke suatu bilaga yag biasaya merupaka bilaga bulat positif. Dega kata lai, pelabela graph adalah pemberia label pada simpul-simpul da sisi-sisi dari graph, sehigga setiap simpul da setiap sisi mempuyai label yag berbeda. Pelabela yag domaiya berupa himpua simpul, himpua sisi, atau keduaya yag biasaya disebut dega pelabela simpul, pelabela sisi, da pelabela total[4]. Pada peelitia ii, aka dibahas pelabela total, khususya pelabela total sisi ajaib yaki pelabela dimaa jumlah label sisi da label simpul-simpul yag meempel pada sisi tersebut selalu sama utuk setiap sisi. Jumlah tersebut disebut agka ajaib, yag biasa dilambagka dega huruf k. Ide pelabela ii dikealka pertama kali oleh Sedláček [6] pada 1960-a, selajutya diformulasika oleh Kotzig da Rosa [7] pada tahu 1970-a. Pada paper ii, haya membahas pelabela total sisi ajaib yag didefiisika sebagai berikut: Defiitio 1.1 [4, 8, 1, ] Pelabela total sisi ajaib pada graph G adalah pemetaa satu-satu λ dari V E kepada himpua bilaga bulat {1,, 3,..., v e} dega v = V da e = E, sedemikia sehigga ada suatu bilaga kosta k dimaa utuk setiap sisi xy E λ(x) λ(xy) λ(y) = k (1) Utuk lebih mudah, sebut λ(x) λ(xy) λ(y) sebagai pejumlaha sisi xy, da k adalah agka ajaib dari graph G. Suatu graph disebut ajaib jika graph tersebut dapat dikeaka pelabela total sisi ajaib. Suatu graph mempuyai total sisi-ajaib, maka jumlah agka ajaib pada setiap sisiya adalah jumlaha yag memuat semua label pada simpul da sisi ditambah dega d i 1 kali simpul yag mempuyai derajat d i atau k E = 1 3... (v e) Σ(d i 1)x i () Himpua kritis pelabela pada suatu graph adalah subhimpua label da posisi label tersebut yag bila dilegkapi aka meghasilka pelabela tersebut secara tuggal. Secara sederhaa, jika diberika subhimpua label suatu graph da posisiya, apakah himpua tersebut haya membagu graph yag sama dega pelabelaya tersebut secara tuggal? Jika ya, maka himpua tersebut adalah himpua kritis[3]. Himpua kritis awalya diterapka pada persegi lati. Berikut ii cotoh himpua dari kritis persegi lati L dega ukura 3 3 : Pada paper ii aka ditetuka himpua kritis dari suatu graph dega pelabela total sisi ajaibya, khususya graph caterpillar, dega megadaptasi sifatsifat himpua kritis pada persegi lati.
1 3 3 1 3 1 1 Gambar 1: Persegi Lati L Gambar : Himpua Kritis L Diberika graph G dega pelabela λ yag dikeaka padaya. Misalka Q λ = {Q 1, Q, Q 3,..., Q c }, Q λ = c, pada pelabela λ dari graph G, adalah himpua Q i = (j, x j ) dega j meujukka posisi dari suatu simpul atau sisi dega label ajaib x j. Q λ (G) adalah himpua kritis utuk pelabela λ pada graph G da, jika memeuhi[3] : 1. Q λ (G) haya dapat membagu λ pada G. Setiap subset dari Q λ (G) tidak memeuhi sifat (1) Jika suatu himpua kritis memiliki c aggota maka himpua kritis tersebut berukura c. Himpua kritis Q λ dikataka miimal jika ukura setiap himpua kritis laiya lebih dari atau sama dega Q λ. Pada paper ii aka dikaji, bagaimaa melabeli da meetuka himpua kritis pada graph caterpillar C. Hasil Pada bagia ii aka dibahas bagaimaa melabeli graph caterpillar sesuai dega Defiisi 1.1, perhatika teorema dibawah ii. Theorem.1 [1, ] Setiap Graph caterpillar C ajaib. Gambar 3: Graph Caterpillar 3
Bukti. Padag graph caterpillar C dega V = {S 1, S,..., S } dimaa S i = {v i0, v i1, v i,..., v ip1 } da p i adalah bayakya dau pada S i da v i0 adalah simpul pusat star ke i, dega i = 1,,, Jumlah simpul pada graph caterpillar C adalah jumlah semua dau pada setiap star ditambah dega jumlah simpul pusat star atau v = S i = (p i 1) = p i sedagka jumlah sisi pada graph caterpillar C adalah e = v 1 sehigga jumlah bilaga iteger yag dibutuhka utuk melabeli caterpillar adalah v e = ( p i ) 1 Pelabela graph caterpillar tergatug pada jumlah star yag ada, apakah gajil atau geap da jumlah dau pada setiap star. Perhatika pelabela berikut ii: Pelabela Simpul Utuk gasal 1 i p l 1 utuk i = 1 da j = 0 λ(v ij ) = i i i p l 1 utuk i =, 4, geap da j = 0 j i 1 p l 1 1 j 1 i j i 1 j 1 i i 1 1 p t utuk i = 3, 5, gasal da j = 0 i 1 t=1 utuk i = 1, da j = 1,,... p i p l 1 utuk i =, da j = 1,,... p i p l 1 utuk i = 3, 5,... j = 1,,... p i p l 1 1 i p t utuk i = 4, 6,... 1, da j = 1,,... p i 4
Pelabela Simpul Utuk geap 1 i p l 1 utuk i = 1 da j = 0 λ(v ij ) = i i p l 1 utuk i =, 4, geap da j = 0 1 i j i 1 j i j i 1 j i p l 1 p t utuk i = 3, 5, gasal da j = 0 i 1 t=1 utuk i = 1, da j = 1,,... p i p l 1 utuk i =, da j = 1,,... p i i 1 p l 1 utuk i = 3, 5,... j = 1,,... p i p l 1 i p t utuk i = 4, 6,... 1, da j = 1,,... p i Pelabela Sisi Utuk gasal atau geap v e j i utk i = 1, da j = 1,,..., p i, λ(v i0 v ij ) = i v e j i p l 1 utk i =, 3,...,, da j = 1,,..., p i. l= λ(v i0 v i10 ) = 1 v e i i p l utuk i = 1,,..., 1 sesuai dega Defiisi 1.1 bahwa λ(v i0 ) λ(v i0 v ij ) λ(v ij ) = k, maka ilai k utuk gasal adalah: 1 k = 3 v e p l 1 da geap adalah: k = 4 v e p l 1 Dalam suatu graph yag mempuyai sedikitya sebuah dau, maka palig sedikitya graph tersebut mempuyai dua cara, yaitu dega cara megubah label pada 5
sisi dega label pada simpul dau tapa megubah label-label yag laiya. Perhatika teorema berikut ii: Theorem. Miimal ada p pelabela total sisi-ajaib yag berbeda utuk graph Caterpillar C dega p adalah bayakya dau. Bukti. Telah diketahui bahwa graph caterpillar adalah graph terhubug yag disusu oleh graph litasa dega setiap simpulya merupaka graph star. Telah dibuktika graph star dega p i dau aka mempuyai kombiasi yag memperhatika isomorphisma sebayak p i. Jika Graph caterpillar terdiri dari star da setiap star terdiri dari p i dau dega i = 1,,...,, maka jumlah kombiasi yag dapat dibagu tapa megubah label pada litasa yag ada sebayak s dimaa s = Σ p i. Sebelum meerapka kosep himpua kritis pada pelabela suatu graph, telah diketahui bahwa himpua kritis dari suatu persegi lati tidak haya dipegaruhi oleh posisi, amu juga oleh etryya. Sekarag yag aka dicari adalah himpua kritis dari graph caterpillar. Perhatika lemma berikut ii. Lemma.3 [5] λ pelabela total sisi ajaib dari graph G. jika r adalah jumlah dau pada G, maka bayak eleme dari himpua kritis dari graph G adalah Q λ (G) r. Jika x label dau da y label sisi yag ajacet dega x, maka himpua kritisya megadug x, y atau keduaya. Bukti. Misalka {v 1, v,..., v r } adalah dau dari graph G da {e 1, e,..., e } adalah sisi yag meempel pada dau. Misalka λ(v i ) = x i da λ(e i ) = y i dimaa c i = {x i, y i } dega i = 1,,..., r. Adaika Q λ < r. Maka ada suatu i, misal i = k, sehigga Q λ tidak memuat x k da y k sekaligus. Dega meukarka posisi x k da y k aka diperoleh pelabela total sisi ajaib yag lai. Maka Q λ buka himpua X 3 Y 3 X k Yk Y 3 X 3 Y k X k Y Y 1 X X 1 X X 1 Y Y 1 Gambar 4: G Dega Dua Macam Pelabela kritis dari G, sehigga Q λ r 6
Corollary.4 Misalka adalah bayak dau yag dimiliki oleh poho T r maka Q λ (T r ) utuk setiap pelabela total sisi ajaib λ. Graph caterpillar dibagu dari gabuga graph litasa da graph star, yaitu setiap simpul dari litasa merupaka pusat star. Lihat Gambar 3 da dega megacu lemma diatas dapat ditulis teorema berikut: Theorem.5 Misal λ adalah pelabela total sisi ajaib pada C maka ada suatu Q λi (C ) dimaa Q λi (C ) = p i. Bukti. Telah diketahui diatas bahwa jumlah simpul pada graph caterpillar C adalah p i dega ricia ada simpul pusat star da p i simpul dau dari semua star. Telah diketahui diatas bahwa Q λ1 (S ) = mempuyai arti bahwa sebuah graph star yag mempuyai dau, himpua kritisya beraggotaka, sedagka aggota himpua kritis pada graph litasa tergatug pada posisi da label. Sedagka graph caterpillar merupaka gabuga dari graph litasa da graph star, maka Q λ1 (C ) = p i. Pustaka [1] Chairul Imro, Variasi Pelabela Graph Litasa da Star, Semiar Nasioal Matematika ITS, 4 Desember 004. [] Chairul Imro, Several Ways to Obtai Edge-Magic Total Labeligs of Caterpillars, Iteratioal Workshop o Graph Labelig, Batu, Malag, 6-9 Desember 004. [3] M.T. Adithia Himpua kritis suatu pelabela graph, Tesis, 000. [4] E.T. Baskoro, Pelabela Total Sisi Ajaib Prosidig Koferesi Nasioal Matematika XI Bagia I (00) 81-85. [5] E.T. Baskoro, Critical Sets i Edge-Magic Total Labeligs. 005. [6] J. Sedlacek, problem 7, Theory of Graphs ad it s Applicatios (Smoleice, 1963), 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague, 1964). [7] A. Kotzig ad A. Rosa, Magic Valuatios of Fiite Graph, Caad. Math. Bull. 13 (1970), 451-461. [8] W.D. Wallis, Magic Graphs, Birkhauser Bosto, 001. 7