3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada suatu postulat ang berbuni sebagai berikut: melalui dua buah titik ang berbeda terdapat tepat satu dan hana satu garis lurus. melalui sebuah titik di luar garis ang diberikan ada satu dan hana satu garis ang sejajar dengan garis ang diberikan tersebut. Dua postulat di atas akan digunakan dalam menganalisis secara aljabar karakteristik suatu garis dan menatakanna dalam bentuk persamaan. 3.. Persamaan Garis Bentuk Titik-Kemiringan Pandanglah suatu garis ang melalui titik tetap P(x, ) dan mempunai kemiringan m. (Perhatikan gambar 3..) Jika diambil sembarang titik P(x, ) untuk x berbeda dengan x maka dengan rumus (3) seksi., kemiringan garis PP adalah x x 3.. Bentuk Titik - Kemiringan 64
Y P(x, ) xx P(x, ) O Gambar 3. X Kemiringan garis akan sama dengan m jika dan hana jika titik P berada pada garis ang diberikan. Jadi, jika P(x, ) berada pada garis ang diberikan maka harus dipenuhi kesamaan x x = m. atau jika dilakukan penederhanaan bentuk pembagian diperoleh persamaan : = m(x x). () Persamaan () di atas disebut persamaan garis lurus bentuk titik-kemiringan dan perlu ditekankan kembali bahwa koordinat suatu titik akan memenuhi persamaan di atas jika dan hana jika titik itu berada pada garis ang melalui titik P(x, ) dan mempunai kemiringan m. 3.. Bentuk Titik - Kemiringan 65
Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui (3, ) dengan kemiringan 3/5. Jawab: Dengan menggunakan rumus () di atas diperoleh = m(x x). ( ) = 3/5(x 3). 3x 5 9 = 0. Grafik garis lurus ang melalui titik (3, ) dan mempunai kemiringan 3/5 dapat dilihat pada gambar 3. di bawah ini. P(3, ) Gambar 3. 3.. Bentuk Titik - Kemiringan 66
Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui P(, ) dan membuat sudut 45 dengan garis x 3 = 6. Jawab: Misalkan m kemiringan garis l ang akan dicari. Diketahui garis ang diminta membentuk sudut 45 dengan garis l x 3 = 6 ang mempunai kemiringan m = /3. Dalam hal ini ada dua garis kasus ang memenuhi sifat garis ang dicari aitu : Kasus : Jika = (l, l) = 45 Maka menurut rumus (3) seksi.3 didapatkan: tan = m m m m tan 45 = 3 m m 3 = 3 m 3 m m = 5 3.. Bentuk Titik - Kemiringan 67
Karena garis melalui titik P(, ) dan mempunai kemiringan m =, maka menurut rumus () persamaan garis bentuk titik-kemiringan 5 persamaan garis ang dicari adalah: = 5 (x ) atau x + 5 = 7. Kasus : Jika = (l, l) = 45 Maka menurut rumus (3) seksi.3 didapatkan: tan = m m m m tan 45 = m 3 3 m = m 3 3 m m = 5 Karena garis melalui titik P(, ) dan mempunai kemiringan m = 5, maka menurut rumus () persamaan garis bentuk titik-kemiringan persamaan garis ang dicari adalah: 3.. Bentuk Titik - Kemiringan 68
= 5(x ) atau 5x = 9. Gambar 3.3. 3.. Persamaan Garis Bentuk Titik Titik. Mengingat postulat pertama tentang karakteristik garis lurus, maka apabila diketahui dua titik ang berbeda pada bidang, maka garis ang melalui dua titik tersebut dapat dilukis. Dengan demikian persamaan garisna pun juga dapat ditemukan. 3.. Bentuk Titik- Titik 69
Y P(x, ) x x P(x, ) O Gambar 3.4 X Misalkan sebuah garis melalui titik P(x, ) dan P(x, ), x x maka menurut rumus (3) seksi. garis PP mempunai kemiringan m = x x Berdasarkan rumus () seksi 3., dengan mengganti kemiringan m = x x dan memilih satu dari dua titik ang diketahui diperoleh hubungan : = x x (x x) () atau dituliskan dalam bentuk = x x x x () 3.. Bentuk Titik- Titik 70
Persamaan ()atau () di atas disebut persamaan garis bentuk titik titik. Satu hal ang menjadi catatan bahwa penamaan titik sebagai titik pertama dan titik kedua diambil secara sembarang. Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui (4, ) dan (, 3). Jawab: Dengan menggunakan persamaan () di atas diperoleh persamaan = x x (x x). = 3 (x 4). 4 x + 3 7 = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis ang tegak lurus dengan segmen ang menghubungkan titik (5, 3) dengan B(, 7) dan melalui titik tengah segmen tersebut (bisektor). 3.. Bentuk Titik- Titik 7
Jawab: Misalkan titik tengah segmen B adalah P. Pertama kita cari koordinat titik P dengan rumus (5) seksi.8. xp = 5 = 3; P = 3 7 = Jadi koordinat titik P (3, ). Kemiringan dari segmen ang menghubungkan titik (5, 3) dan (, 7) adalah m = 3 7 5 = 5 ; sehingga kemiringan dari garis ang tegak lurus B adalah m = /5. Dengan menggunakan persamaan () seksi 3. untuk titik (3, ) dan m = /5 diperoleh persamaan ang kita cari aitu = 5 (x 3), x 5 + 4 = 0 3.. Bentuk Titik- Titik 7
3.3. Persamaan Garis Bentuk Kemiringan Titik Potong Jika sebuah garis mempunai kemiringan m dan memotong sumbu- sejauh b satuan maka dihasilkan suatu kasus khusus dari permasalahan ang diuraikan dalam seksi 3.. (Lihat gambar 3.5.) (0, b) O X Gambar 3.5 persamaan Untuk titik tetap (0, b) dan kemiringan m, maka dari () seksi 3. diperoleh b = m(x 0) atau = mx + b () Persamaan () di atas disebut bentuk kemiringan titik potong dari persamaan garis lurus. Jelasna garis dengan persamaan () merupakan garis ang 3.3. Bentuk Kemiringan - Titik Potong 73
mempunai kemiringan m, dan memotong sumbu- di b, aitu untuk x = 0, maka = b. Contoh : Tentukan persamaan garis ang mempunai kemiringan dan memotong sumbu- di 5. Jawab: = mx + b = x + 5 x + 5 = 0 Contoh : Tentukan persamaan garis p ang tegak lurus dengan garis l x + 3 = 6 dan terhadap sumbu-sumbu koordinat membentuk segitiga ang luasna 6 satuan. Jawab: Karena p tegak lurus l maka menurut teorema.3 maka diperoleh 3.3. Bentuk Kemiringan - Titik Potong 74
mp = /ml = 3 = 3 Misalkan garis p memotong sumbu- di titik B(0, b), maka persamaan garis p menurut rumus () berbentuk = 3x + b () Misalkan memotong sumbu-x di titik maka dari rumus () diperoleh x = 3 b Diketahui bahwa luas segitiga OB = 6, maka ½ O OB = 6 b b = 6 3 b = 36 b = 6 Jadi garis ang dicari ada dua macam aitu = 3x + 6 dan = 3x 6 3.3. Bentuk Kemiringan - Titik Potong 75
atau p 3x + 6 = 0 dan p 3x 6 = 0 p 3x + 6 = 0 B p 3x 6 = 0 B Gambar 3.6 3.4. Garis-garis Sejajar Sumbu Koordinat Garis-garis vertikal tidak dapat direpresentasikan dengan bentuk titikkemiringan, sebab tidak mempunai kemiringan. Perlu diingat bahwa tidak mempunai kemiringan bukan berarti kemiringan nol. Sebuah garis horisontal mempunai kemiringan nol, dan dapat direpresentasikan dengan bentuk titikkemiringan, ang memberikan bentuk persamaan = 0. Dalam hal ini persamaan tidak memuat x. Tetapi titik-titik pada garis horisontal memenuhi keadaan ini, aitu 3.4. Garis-garis Sejajar Sumbu Koordinat 76
mempunai koordinat ang sama, tanpa memandang berapa koordinat x. Dengan cara ang sama, titik-titik pada garis vertikal memenuhi kondisi bahwa semua titik mempunai koordinat x ang sama. Jadi jika (x, ) adalah salah satu titik di garis vertikal, maka setiap titik (x, ) dengan x = x atau x x = 0 berada pada garis vertikal tersebut. Y = x = x O x X Gambar 3.7 Contoh : Tentukan persamaan garis vertikal ang melalui (5, ). Jawab: Karena koordinat x dari titik ang diketahui adalah 5, maka semua titik ang berada pada garis tersebut mempunai absis 5. Jadi x = 5 atau x 5 = 0 3.4. Garis-garis Sejajar Sumbu Koordinat 77
3.5. Persamaan Umum Garis Lurus Dari pembahasan pada seksi-seksi sebelumna terlihat bahwa persamaan sembarang garis lurus adalah berderajad satu dalam koordinat tegak lurus x dan. Sebalikna akan ditunjukkan bahwa sembarang persamaan berderajad satu dalam x dan menatakan sebuah garis lurus. (Hal ini merupakan jawaban mengapa sebuah persamaan derajad satu disebut persamaan linier). Persamaan umum derajad satu dalam x dan adalah x + B + C = 0 () di mana dan B tidak keduana nol. Jika B 0, bagilah kedua ruas persamaan () dengan B dan setelah disusun ulang akaan diperoleh, = B x B C () Ini adalah sebuah garis dengan kemiringan B dan memotong sumbu- di B C, meskipun atau C atau keduana bernilai nol. Jika B = 0, maka 0 dan selanjutna akan diperoleh persamaan x = C, (3) 3.5. Persamaan Umum Garis Lurus 78
ang mana ini merupakan persamaan garis lurus ang sejajar dengan sumbu- jika C 0, dan berimpit dengan sumbu- jika C = 0. Dengan demikian dalam semua kasus, persamaan () merepresentasikan sebuah garis lurus. Seperti telah diperlihatkan bahwa kemiringan garis () adalah B dan memotong sumbu- di B C (dengan asumsi pada masing-masing kasus B 0). Untuk menentukan perpotongan dengan sumbu-x diambil = 0 akan menghasilkan x = C. (dengan asumsi 0). Pada penggambaran sketsa grafik sembarang persamaan derajad satu ang berbentuk x + B + C = 0 dapat ditentukan dengan cukup mengambil plot dua koordinat titik berbeda sembarang ang termuat dalam garis itu, kemudian lukis garis ang melalui kedua titik. Salah satu cara termudah dan tercepat dalam membuat sketsa garis adalah mengambil titik-titik potong dengan sumbu koordinat sebagai dua titik sembarang itu kemudian menghubungkan kedua titik itu sebagai garis lurus. Satu masalah ang mungkin timbul adalah apabila garis melalui titik pusat koordinat, atau kedua titik potong sangatlah dekat, atau mungkin sulit menggambarkan secara tepat dikarenakan perpotongan di kedua sumbu berupa nilai pecahan. Tetapi hal ini bisa diatasi dengan 3.5. Persamaan Umum Garis Lurus 79
mengambil sembarang titik lain ang termuat dalam garis, kemudian digambar sebagaimana cara sebelumna. Contoh : Buat sketsa grafik dari garis x 3 6 = 0 Jawab: Titik potong dengan sumbu-x dapat dicari dengan memberi nilai = 0, sehingga diperoleh x = 3. Jadi (3, 0) adalah titik potong dengan sumbu-x. Titik potong dengan sumbu- dapat dicari dengan memberi nilai x = 0, sehingga diperoleh =. Jadi (0, ) adalah titik potong dengan sumbu-. Dari titik (3, 0) dan (0, -) dapat dilukis sketsa grafik persamaan tersebut seperti pada gambar.. Gambar 3.8 3.5. Persamaan Umum Garis Lurus 80
Latihan 3. Pada soal 8, tentukan persamaan garis ang mempunai kemiringan dan melalui titik ang diberikan dan buatlah sketsa grafikna.. (, 4); m =. (, ); m = 3 3. (5, ); m = 4 4. (, 3); m = 5. (0, 0); m = 6. (0, ); m = 4 7. ( 3, ); m = 0 8. ( 4, 5); tidak mempunai kemiringan Pada soal 9 6, tentukan persamaan garis ang melalui dua titik ang diberikan dan buatlah sketsa grafikna. 9. (, 4) dan (3, 5) 0. (, ) dan (6, ). (, 4) dan (3, 5). (, ) dan (, ) 3. (0, 0) dan (, 5) 4. (, ) dan (8, 0) 5. (4, 5) dan (4, 8) 6. (, ) dan (, 4) 7. Tentukan perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat dan kemiringan masingmasing garis berikut. Gambar garisna pada bidang koordinat. a. 3x = 0, b. x + 7 = 0, Latihan 3 8
c. x 5 + 0 = 0, d. = 3x + 5, e. 4x + 3 + 8 = 0, f. x = 3 4, g. 3x + 5 = 0, h. x + 5 = 0, i. = 0, j. x + 8 + 3 = 0. 8. Tentukan persamaan bisektor tegak lurus (garis bagi) dari segmen garis ang dihubungkan oleh titik-titik: a. (4, ), (8, 6), b. (, ), (8, 3), c. (8, ), ( 3, 6), d. (, 7), (8, 4), e. (4, 6), ( 0, 0), f. (0, 5), (7, 4), g. (8, 3), ( 4, 3), h. (a, 0), (0, b), i. (7, 0), (0, 4), j. (0, 0), (a, b). 9. Tunjukkan bahwa persamaan garis ang memotong sumbu-x di a dan sumbu- di b dengan a, b 0 adalah x + = a b Persamaan ini disebut bentuk perpotongan dari persamaan garis. Latihan 3 8
0. Tentukan persamaan garis ang memotong sumbu-x di 5 dan sumbu- di.. Tentukan persamaan sisi-sisi segitiga dengan titik-titik sudutna (, 4), (3, 0), dan (, ).. Tentukan persamaan garis-garis tengah dari segitiga soal no 0. 3. Tentukan persamaan garis-garis tinggi dari segitiga soal no 0. 4. Tentukan persamaan garis ang sejajar dengan 3x + = 0 dan melalui titik (5, ). 5. Tentukan persamaan garis ang sejajar dengan x + 3 = 0 dan memotong sumbu- di 5. 6. Tentukan persamaan garis ang tegak lurus dengan x + 5 = 0 dan memuat titik (4, ). 7. Tentukan persamaan garis ang tegak lurus dengan 3x + 5 = 0 dan memotong sumbu-x di 4. 8. Tentukan persamaan garis ang mempunai kemiringan m dan memotong sumbu-x di a. 9. Tentukan persamaan garis ang di kuadran satu dengan sumbu-sumbu koordinat membentuk segitiga sama kaki dengan luas 8 satuan. Latihan 3 83
30. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (, 4) dan membentuk segitiga sama kaki dengan sumbu koordinat di kuadran empat. 3. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (4, ) dan membentuk segitiga sama kaki dengan sumbu koordinat di kuadran satu. 3. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (3, 5) dan membentuk segitiga dengan sumbu koordinat di kuadran pertama dengan luas 30 satuan. 33. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (, 3) dan membentuk segitiga dengan sumbu koordinat di kuadran kedua dengan luas satuan. 34. Tunjukkan bahwa persamaan garis ang melalui (x, ) dan (x, ) dapat dinatakan dalam bentuk x x = 0 x 35. Buktikan bahwa garis-garis x + B + C = 0 dan x + B + C = 0 adalah saling tegak lurus jika dan hana jika + BB = 0 36. Tentukan tangen sudut dari garis pertama ke garis kedua pada persamaan berikut a. x 3 + 7 = 0, 3x 4 + 6 = 0 b. x + 5 + = 0, x + + 4 = 0 Latihan 3 84
c. x + 3 = 0, 5x 6 + 40 = 0 d. x 7 5 = 0, 4x 3 7 = 0 e. + 3 = 0, x + 3 = 0 f. 5x + 7 6 = 0, 3 4 = 0 g. 7x + 4 = 0, 7x 8 = 0 h. 6x + 3 = 0, 3x 5 = 0 37. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (, 3) dan membuat sudut 45 dengan garis l 3x 4 4 = 0. 38. Tentukan tangen sudut dalam segitiga ang sisi-sisina dibentuk oleh garis-garis x + 0 = 0, x 0 + 4 = 0, dan x + 5 = 0. 39. Tentukan besar sudut dalam segitiga ang sisi-sisina dibentuk oleh garis-garis 3x + 6 = 0, 3x 5 + 4 = 0, dan 3x 3 = 0. 40. Tentukan luas segitiga pada soal nomor 36 dan 37. 4. Tentukan titik pada garis 4x + 3 4 = 0 ang berjarak sama dari titik ( 3, ) dan (7, 3). Latihan 3 85
3.6. Persamaan Garis Bentuk Normal Suatu garis dapat ditentukan dengan menentukan panjang p ang tegak lurus atau normal dari titik asal ke garis tersebut, dan sudut aitu sudut arah positif ang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis normalna ang ditetapkan sebagai arah dari titik asal terhadap garis. (lihat gambar 3.9) l Y Q O p R x P(x, ) Q M X Gambar 3.9 Untuk menurunkan persamaan garis dalam bentuk p dan diambil sembarang titik P(x, ) pada garis. Ditarik garis dari P ang tegak lurus dengan sumbu-x, hingga memotong sumbu x di M. Dari M digambar garis ang tegak lurus dengan garis normal ON dan berpotongan dititik R. Proeksi tegak lurus dari OM pada ON adalah: OR = OM cos = x cos. () 3.6. Persamaan Garis Bentuk Normal 86
Secara sama proeksi tegak lurus dari MP pada ON adalah: RQ = MP cos (90 ) = sin. () Tetapi OR + RQ = OQ = p, (3) dan dengan menggunakan hubungan (), (), dan (3) dapat dituliskan sebagai: x cos + sin p = 0 (4) Persamaan (4) disebut bentuk normal dari persamaan garis lurus ang panjang normalna p dan besar sudut normalna. Perlu diingat bahwa p adalah besaran positif (kecuali pada kasus garis melalui titik asal, ang mana dalam kasus ini nilai p adalah nol). 3.7. Reduksi Persamaan ke Bentuk Normal Untuk menunjukkan bagaimana mereduksi persamaan umum garis lurus x + B + C = 0 () ke bentuk normal, kita kalikan masing-masing ruas dengan konstanta k sehingga diperoleh : kx + kb + kc = 0. () 3.7. Reduksi Ke Bentuk Normal 87
Jika persamaan () dalam bentuk normal, maka jika dibandingkan dengan persamaan (4) seksi 3.6, maka harus dipunai k = cos ; kb = sin ; kc = p. (3) Jika dua persamaan pertama masing-masing dikuadratkan, kemudian dijumlahkan akan diperoleh: k + k B = cos + sin = (4) sehingga diperoleh k = B, k = B. (5) Jika hasil ini disubstitusikan ke persamaan (3) akan didapatkan: cos = B, sin = B B, p = C B (6) Sehingga persamaan () dapat dituliskan sebagai: x B C B 0 (7) Tanda ang berada di depan tanda akar dipilih sedemikian hingga p bernilai positif, dan tanda pada konstanta (aitu p) dalam bentuk normal adalah negatif. Hal 3.7. Reduksi Ke Bentuk Normal 88
ini berarti tanda harus dipilih ang berlawanan dengan bentuk konstanta pada persamaan asal aitu C. Jika dalam persamaan (), C = 0 tetapi B 0, maka tanda diambil sedemikian hingga koefisien dalam bentuk normal harus positif, aitu diambil tanda ang sama dengan tanda pada koefisien persamaan asal. Jika dalam persamaan (), B = C = 0 tetapi 0, maka tanda dipilih sedemikian hingga koefisien x adalah positif. Dalam kasus ini garis adalah sumbu-. Contoh : Reduksi persamaan 3x 4 5 = 0 ke dalam persamaan normal dan buat sketsa grafikna. Jawab: Menurut (5) nilai k adalah k = B = 3 ( 4) = 5 Karena C = 5 ang berarti bertanda negatif, maka k bertanda positif aitu k = 5. Kemudian kalikan ke persamaan asal diperoleh bentuk normal: 3x 4 5 = 0, atau 5 53 x 54 3 = 0, 3.7. Reduksi Ke Bentuk Normal 89
ang menunjukkan bahwa cos = 53, sin = 54, p = 3 Untuk membuat sketsa grafikna, pertama tentukan normal garis dengan sudut normal = arc tan 4 5 3 5 = 4. 3 Dengan demikian adalah sudut ang berada di kuadran empat dan dengan menggunakan tabel trigonometri maka besar sudut dapat ditemukan aitu = 360 53,3 = 306,7. Sudut dapat dikonstruksikan dengan memplot titik N(3, 4) pada bidang koordinat, kemudian buatlah garis berarah ON sebagai normal garis, maka ukuran sudut XON sama dengan. Lukisan garis ang dicari adalah garis ang tegak lurus dengan ON pada titik Q sedemikian hingga OQ = p = 3. Contoh : Reduksi persamaan 3x 4 = 0 ke dalam persamaan normal dan buat sketsa grafikna. 3.7. Reduksi Ke Bentuk Normal 90
Jawab: Menurut (5) nilai k adalah k = B = 3 ( 4) = 5 Karena C = 0 dan kofisien adalah negatif, maka k dipilih ang bertanda negatif aitu k = 5. Kemudian kalikan ke persamaan asal diperoleh bentuk normal: 3x 4 5 = 0, atau 53 x + 54 = 0, ang menunjukkan bahwa cos = 53, sin = 54, p = 0 = arc tan 4 5 3 5 = 4. 3 Kemudian dapat dicari dengan hubungan = arc tan 4 5 3 5 = 4 3. ang berarti adalah sudut ang berada di kuadran dua dan dengan menggunakan tabel trigonometri diperoleh besar sudut = 6,87. 3.7. Reduksi Ke Bentuk Normal 9
Latihan 3 B. Tentukan persamaan bentuk normal dari garis dengan dan p ang diberikan berikut ini, dan konstruksikan grafikna. (a) = 45, p = 4, (h) = 60, p = 5 (b) = 90, p = 3, (i) = 50, p = 0 (c) = 80, p = 7, (j) = 5, p = 6 (d) = 70, p =, (k) = 300, p = 3 3 (e) = 0, p =, 5 (f) = arc cos 3 di kuadran II, p = 6 7 (g) = arc cos 5 di kuadran IV, p = 8 Reduksi masing-masing persamaan berikut ke dalam bentuk normal, dan konstruksikan grafikna.. 5x + 6 = 0. 3. 3x 4 + 30 = 0. 4. 6x 8 5 = 0. Latihan 3 B 9
5. x + 3 + = 0. 6. 8x 5 + 34 = 0. 7. = x + 3. 8. 5x + = 0. 9. 5x = 0. 0. = 3.. x = 5.. = x. 3. = x. 4. Tentukan semua nilai k sedemikian hingga garis 5x + k 5 = 0 sejauh 3 satuan dari titik asal. 5. Tentukan persamaan garis ang melalui titik ( 3, ) dan berjarak satuan dari titik asal. (ada dua jawaban) 6. Tentukan persamaan garis ang melalui titik (, 7) dan meninggung lingkaran ang berpusat di titik asal dan dengan jari-jari 5. (ada dua jawab) Latihan 3 B 93
3.8. Jarak Titik ke Garis Sebelum membahas jarak titik ke garis, kita ingat kembali beberapa kenataan ang telah dibahas pada seksi sebelumna. Garis x + B + C = 0 dan x + B + C = 0 haruslah dua garis ang sejajar karena memberikan bentuk C = x C dan = x () B B B B untuk B 0 dan mereka merepresentasikan dua garis vertikal jika B = 0. Perhatikan bahwa kedua garis mempunai kemiringan ang sama. Selain itu jika diberikan garis x + B + C = 0 dan titik (x, ), maka garis ang melalui (x, ) dan sejajar garis ang diberikan mempunai persamaan x + B (x + B) = 0 () Juga garis x + B + C = 0 dan Bx + C = 0 adalah saling tegak lurus, karena mereka memberikan bentuk C = x B B B C dan = x (3) B jika dan B 0; dan memberikan garis horisontal dan garis vertikal jika = 0 atau B = 0. Perhatikan bahwa kemiringan kedua garis jika dikalikan hasilna adalah. Lebih lanjut, 3.8. Jarak Titik Ke Garis 94
3.8. Jarak Titik Ke Garis 95 Bx + (Bx ) = 0 (4) adalah garis ang memuat (x, ) dan tegak lurus x + B + C = 0. Sekarang misalkan diberikan garis l x + B + C = 0 dan titik P(x, ), maka jarak titik P ke garis l ditulis d(p, l) adalah panjang dari titik P ke titik proeksi tegak lurus titik tersebut di garis l. Menurut (4) maka l Bx (Bx ) = 0 adalah garis ang tegak lurus dengan garis l dan melalui P(x, ) (lihat gambar 3.0). Misalkan kedua garis l dan l berpotongan di titik Q maka koordinat titik Q adalah, B Bx BC B B x B C Q (5) PQ adalah jarak titik P ke garis l. Dengan menggunakan rumus jarak, maka panjang d(p, l) = PQ adalah d(p, l) = B Bx BC B B x B C x = B Bx BC B B B C x
= x B C Bx B C B B = B x B C B = x B B C d(p, l) = x B B C = x B B C (6) Tanda didepan tanda akar di penebut dipilih sedemikian hingga jarak ang dicari d(p, l) bernilai positif. P(x, ) d Bx (Bx ) = 0 Q x l x + B + C = 0 Gambar 3.0 Contoh : Tentukan jarak titik (, 4) ke garis 3x 5 + = 0. 3.8. Jarak Titik Ke Garis 96
Jawab: d = x B B C = 3 5 4 3 ( 5) = 5 34 = 5. 34 Contoh : Tentukan semua panjang garis tinggi dari segitiga dengan koordinat titik-titik sudutna (, ), B(4, 6), dan C(, 7). Jawab: C B Gambar 3. Kita cari persamaan masing-masing garis sisi segitiga BC. Persamaan garis B adalah 3.8. Jarak Titik Ke Garis 97
= x x x x ( ) 6 ( ) = x 4 7x 3 0 = 0 Kemudian kita hitung jarak titik C(, 7) terhadap garis 7x 3 0 = 0 Maka diperoleh d(c, B) = x B B C = 7 ( ) 3 7 0 7 ( 3) = 38. 58 Dengan cara ang sama jarak titik terhadap garis BC dan jarak titik B terhadap garis C dapat dicari sebagai latihan. 3.8. Jarak Titik Ke Garis 98
Latihan 3 C. Tentukan jarak garis 5x + 30 = 0 terhadap titik : (a) (9, ), (b) (, 7), (c) ( 4, ), (d) ( 6, 5).. Tentukan jarak garis 8x 5 + 79 = 0 terhadap titik : (a) ( 7, 3), (b) (4, 4), (c) (, 7), (d) (5, 0). 3. Tentukan jarak garis = x 6 terhadap titik : (a) (4, 5), (b) (3, 5), (c) ( 3, 8), (d) ( 0, ). 4. Tentukan jarak garis 4x + 3 = 0 terhadap titik : (a) (, 6), (b) (3, 6), (c) (4, ), (d) ( 8, 3). 5. Tentukan jarak garis = 3x terhadap titik : (a) (, 4), (b) (0, 45), (c) ( 8, 6), (d) (0, 0). 6. Tentukan jarak garis = 3 terhadap titik : (a) (6, 8), (b) (3, 8), (c) (, ). 7. Tentukan jarak garis x + 3 = 0 terhadap titik : (a) (7, 3), (b) (, 4), (c) (, 4). 8. Tentukan jarak titik (5, 7) terhadap garis ang melalui titik (8, 3) dan ( 4, 6). 9. Tentukan jarak titik (0, 3) terhadap garis ang melalui titik (8, 6) dan ( 6, ). 0. Tentukan titik-titik ang berabsis 3 dan berjarak 6 satuan dari garis 5x = 3. Latihan 3 C 99
. Tentukan jarak antara garis x 5 + 5 = 0 dan x 5 + 8 = 0.. Tentukan nilai a sehingga garis (x/a) + (/) = berjarak satuan dari titik (4, 0). 3. Tentukan c sedemikian hingga jarak dari garis 4x 3 4 = 0 terhadap titik (c, ) sama dengan 6. 4. Sebuah garis berpotongan dengan sumbu- di. Tentukan kemiringan garis itu jika jarakna terhadap titik (3, 4) adalah 6. 5. Tentukan panjang semua garis tinggi dari segitiga ang mempunai titik-titik sudut ( 4, 3), (8, 6), (6, 8). 6. Persamaan sisi segitiga diberikan oleh 3x 4 5 = 0, x + 5 = 0, x = 0. Tentukan panjang semua garis tinggina. 7. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap garis 3x + 4 = 0 dan terhadap titik (, 3). 8. Tentukan persamaan tempat kedudukan titik-titik ang jarakna terhadap garis x = 0 adalah dua kali jarakna terhadap titik asal. Latihan 3 C 00
3.9. Garis Bagi Sudut 0 3.9. Garis Bagi Sudut Dengan pengertian rumus atau aturan untuk jarak dari suatu garis ke suatu titik, dapat ditemukan persamaan garis bagi sudut ang dibentuk oleh dua garis ang berpotongan. Dalam hal ini garis bagi sudut adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap kedua garis ang mengapit sudut. Misalkan dua garis l x + B + C = 0 dan l x + B + C = 0 adalah dua garis sembarang ang membentuk sudut. Misalkan P(xP, P) adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama dari l dan l. Maka d(p, l) = B C B x P P dan d(p, l) = B C B x P P () Jadi tempat kedudukan titik P sedemikian hingga d(p, l) = d(p, l) adalah B C B x P P = B C B x P P () Jika koordinat titik P dijalankan maka diperoleh persamaan garis bagi sudut g dicari adalah : B C B x = B C B x (3)
l Y b P(x, ) l P(x, ) b O X Gambar 3.: Garis Bagi Sudut Contoh : Tentukan persamaan garis bagi sudut ang dibentuk oleh garis l 5x + 5 = 0 dengan l 4x 3 + 34 = 0 Jawab: Dengan menggunakan persamaan (3) maka persamaan garis bagi ang dicari adalah: 5x 5 5 4x 3 34 = 4 ( 3) Garis bagi sudut ang pertama adalah 3.9. Garis Bagi Sudut 0
5x 5 3 = 4x 3 34 5 3x + 78 = 0 Sedangkan garis bagi sudut ang kedua adalah 5x 5 3 4x 3 34 = 5 x + 3 + 6 = 0 Jadi persamaan garis bagi ang dicari adalah 3x + 78 = 0 dan x + 3 + 6 = 0 Latihan 3 D Pada soal, tentukan persamaan garis-garis bagi sudut antara dua garis ang persamaanna diberikan di bawah ini:. x 5 = 0, x 7 47 = 0. x 8 + 3 = 0, 4x 7 + = 0 3. x 3 + 9 = 0, 3x 9 = 0 4. x + 3 + 9 = 0, 3x 9 7 = 0 Latihan 3 D 03
5. 9x 7 = 0, x 3 + = 0 6. x + 0 = 0, 7x 7 + 0 = 0 7. x + 5 30 = 0, 5x = 0 8. 5x = 0, 3 = 0 9. 3x + 4 + 0 = 0, 3x + 4 = 0 0. x + 3 7 = 0, 3x 4 = 0. 5x + = 0, 3 = 0. 8x + 6 5 = 0, 5x = 0 3. Tunjukkan bahwa garis-garis bagi sudut antara dua garis adalah saling tegak lurus. 4. Tentukan persamaan garis bagi sudut segitiga ang sisi-sisina diberikan oleh persamaan: 3x 9 75 = 0, 3x + 5 = 0, x 3 + 45 = 0 5. Tentukan persamaan garis bagi sudut segitiga dengan koordinat titik-titik sudut adalah (40, 0), B(, 6), dan C( 5, 5). Latihan 3 D 04
3.0. Keluarga Garis Persamaan = x + b menatakan semua garis ang mempunai kemiringan. Untuk setiap perubahan nilai b (ang mana merupakan perpotongan dengan sumbu-) hanalah mempunai pengaruh pada pergerakan garis ke atas atau ke bawah tanpa perubahan kemiringan. Kuantitas b disebut parameter. Sebuah parameter adalah suatu konstanta ang dapat disesuaikan fungsina. Ia mempunai beberapa karakteristik variabel dan beberapa karakteristik konstanta. Parameter menjadi variabel jika dalam hal kita memberikan sembarang perubahan nilai, tetapi setelah pemberian nilaina ia dipandang sebagai tetapan atau konstan, sementara itu kita memposisikan x dan bervariasi, jadi diperoleh sebuah garis tunggal untuk setiap nilai tetap b. Y O X Gambar 3.3 : Keluarga garis = x + b. 3.0. Keluarga Garis 05
Dengan pemberian b semua nilai ang mungkin diperoleh himpunan semua garis sejajar ang mempunai kemiringan. Himpunan seperti itu disebut juga sebuah sistem atau keluarga garis. Perhatikan gambar 3.3 menunjukkan keluarga garis ang mempunai kemiringan. Secara sama, persamaan 3 = m(x ) menatakan himpunan semua garis ang melalui titik (, 3) (dengan perkecualian garis vertikal x = ). Dalam hal ini parameter m menunjukkan kemiringan garis. Keluarga garis ang melalui titik (, 3) dapat digambarkan seperti pada gambar 3.4 di bawah ini. Y O X Gambar 3.4 : Keluarga garis 3 = m(x ). Persamaan 3x = k menatakan himpunan semua garis sejajar dengan garis ang mempunai kemiringan 3/, meskipun parameter k tidak mempunai arti 3.0. Keluarga Garis 06
geometrik secara khusus. Hal ini memberikan salah satu metoda ang sedikit berbeda dalam menelesaikan masalah pada topik pembahasan persamaan umum garis lurus. Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui titik (4, ) dan sejajar dengan garis x 3 + 6 = 0. Jawab: Garis ang akan dicari merupakan anggota keluarga garis ang berbentuk x 3 = k. Karena melalui titik (4, ), maka jika titik ini disubstitusikan untuk nilai x dan ke persamaan akan diperoleh : 4 3( ) = k, atau k =. Oleh karena itu persamaan garis ang dicari adalah x 3 =. 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis Untuk menentukan perpotongan antara dua garis, berarti kita mencari dua bilangan ang tidak diketahui, ang memenuhi dua persamaan garis tersebut. Jika (, ) adalah perpotongan antara garis 3x + 8 = 0 dan garis x 3 = 0, maka 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 07
x = dan = merupakan penelesaian dari kedua persamaan tersebut atau titik (, ) terletak pada garis 3x + 8 = 0 dan juga pada garis x 3 = 0. Y 3x + 8 = 0 x 3 = 0 O P(, ) X Gambar 3.5: Dua Garis ang berpotongan Jika k adalah konstanta tertentu, maka garis dengan persamaan (3x + 8) + k(x 3) = 0 juga memuat titik (, ) aitu titik potong antara garis 3x + 8 = 0 dan garis x 3 = 0. Untuk harga k ang berbeda, maka akan terdapat garis lain ang juga melalui (, ). Sebagai contoh jika kita tentukan k = 4 maka akan didapatkan garis dengan persamaan (3x + 8) + (-4)(x 3) = 0 5x + 6 4 = 0, 5x 6 + 4 = 0. 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 08
dan garis ini juga melalui titik (, ). Jadi persamaan setiap garis ang melalui titik (, ) dapat ditulis dalam bentuk (3x + 8) + k(x 3) = 0, dengan menentukan nilai tertentu k. Secara umum jika U(x, ) = 0 dan V(x, ) = 0 adalah dua buah persamaan kurva (lurus maupun lengkung) maka U(x, ) + kv(x, ) = 0 () merupakan persamaan kurva ang melalui titik-titik potong kurva U(x, ) = 0 dan V(x, ) = 0. Jika U(x, ) = 0 dan V(x, ) = 0 tidak berpotongan maka U(x, ) + kv(x, ) = 0 juga tidak memotong kedua kurva tersebut. Persamaan U(x, ) + kv(x, ) = 0 disebut berkas kurva (lihat gambar 3.6). Jika U(x, ) = 0 dan V(x, ) = 0 merupakan persamaan garis lurus (linear) ang berpotongan maka U(x, ) + kv(x, ) = 0 disebut berkas garis. Jadi berkas garis adalah keluarga garis ang berpotongan di satu titik seperti pada gambar 3.4. Dan jika U(x, ) = 0 dan V(x, ) = 0 tidak berpotongan, maka U(x, ) + kv(x, ) = 0 disebut berkas pensil (a pencil of lines) aitu keluarga garis ang sejajar (lihat gambar 3.3). Y U(x, ) O X U(x, ) + kv(x, ) V(x, ) Gambar 3.6: Berkas Kurva 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 09
Misalkan l dan l adalah dua buah garis ang berpotongan, maka dengan memberikan semua nilai k ang mungkin dalam persamaan l + kl = 0 diperoleh semua garis ang mungkin melalui perpotongan daris l dan l kecuali garis l sendiri. Hal ini memberikan suatu motoda atau cara menemukan persamaan garis ang melalui perpotongan dua titik ang diberikan dan memenuhi satu sarat lain tanpa mencari terlebih dahulu titik perpotongan kedua garis ang diketahui. Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui titik potong garis l 3x + 8 = 0 dan garis l x 3 = 0 dan melalui (4, ). Jawab: Metoda I: Biasana untuk memperoleh persamaan ang diinginkan, pertama dicari titik potong antara dua garis tersebut baik dengan cara eleminasi maupun substitusi variabel, kemudian dicari persamaan garis ang melalui kedua titik tersebut. Cara ini mungkin menghabiskan waktu pada proses eleminasi atau substitusi. Silakhan dicoba untuk membandingkan dengan cara kedua. 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 0
Metoda II: Persamaan garis ang melalui titik potong 3x + 8 = 0 dan x 3 = 0 adalah l + kl (3x + 8) + k(x 3) = 0. Karena garis ang ditanakan juga melalui (4, ) maka berlaku: (34 + 8) + k(4 3) = 0 8 + 3k = 0, atau k = 3 8 Selanjutna dengan mensubstitusikan nilai k = 3 8, maka akan diperoleh persamaan garis ang dicari aitu : l + kl (3x + 8) + 3 8 (x 3) = 0. 3(3x + 8) 8(x 3) = 0 7x + 4 = 0 x = 0 Jadi persamaan garis ang melalui titik potong garis 3x + 8 = 0 dan x 3 = 0 dan melalui titik (4, ) adalah x = 0. 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis
Contoh : Tentukan persamaan garis ang melalui titik potong garis l 3x 8 = 0 dan garis l x + 3 7 = 0 dan melalui P(, ). Jawab: Persamaan garis ang melalui titik potong 3x 8 + = 0 dan x + 3 7 = 0 adalah l + kl (3x 8 + ) + k(x + 3 7) = 0. Karena garis ang ditanakan juga melalui P(, ) maka harus dipenuhi: (3 8 + ) + k( + 3 7) = 0 0 + k0 = 0 Dalam hal ini tidak ada nilai k ang menatakan persamaan garis ang dicari. Dengan kata lain garis ang dicari adalah garis tunggal ang melalui titik potong l dan l ang tidak diberikan oleh l + kl = 0, aitu garis l sendiri. Hal itu berarti titik P adalah berada pada garis l, di mana mudah untuk menunjukkanna. 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis
Contoh 3: Tentukan persamaan garis ang melalui titik potong garis x = 0 dan garis 3x + 4 = serta tegak lurus dengan garis 4x + 5 = 3. Jawab: Berkas garis x = dan 3x + 4 = adalah (x ) + k(3x + 4 ) = 0 ( + 3k)x ( 4k) ( + k) = 0 Persamaan garis ini mempunai kemiringan 3k. Sedangkan kemiringan 4k garis 3x + 4 = 3 adalah 5 4, maka menurut teorema.3 berlaku 4 3k 5 4k = 4( + 3k) = 5( 4k) 3 + 3k = 0 k = 3 3 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 3
Persamaan garis ang dicari adalah: ( + 3( 3 3 ))x ( 4( 3 3 )) ( + ( 3 3 )) = 0 (3 + 3(-3))x (3 4 (-3)) (3 + (-3)) = 0 55x 44 6 = 0 Jadi persamaan garis ang diinginkan adalah 55x 44 6 = 0. Contoh 4: Buktikan bahwa ketiga garis berat setiap segitiga berpotongan di satu titik. Jawab: Untuk membuktikan soal ini, kita tempatkan titik-titik ujung segitiga pada titiktitik (a, 0), B(b, 0), dan C(0, c). Sedangkan P, Q, dan R masing-masing titik tengah dari garis BC, C, dan B. Dengan menggunakan rumus titik tengah diperoleh koordinat masing-masing titik tengah aitu P(½b, ½c), Q(½a, ½c), R(½(a + b), 0) (lihat gambar 3.7 berikut). 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 4
3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 5 Gambar 3.7: Persamaan garis ang melalui titik C dan R adalah: c c 0 = 0 ) ( 0 b a x cx + (a + b) (a + b)c = 0 () Persamaan garis ang melalui titik dan P adalah: 0 0 c = a b a x cx + (a b) ac = 0 () Persamaan garis ang melalui titik B dan Q adalah: 0 0 c = b a b x cx + (b a) bc = 0 (3) R B P C Q D Y X O
Jika kita dapat menunjukkan bahwa masing-masing garis (), () dan (3) adalah anggota suatu berkas garis, dengan kata lain bahwa satu garis merupakan hasil kombinasi linear dari dua garis lainna maka kita telah membuktikan bahwa ketiga garis adalah berpotongan di satu titik. Berkas garis () dan (3) adalah (cx + (a b) ac) + k(cx + (b a) bc) = 0 Jika diambil k = maka akan diperoleh anggota berkas garis cx + (a b) ac + cx + (b a) bc = 0 cx + (a + b) (a + b)c = 0. Persamaan terakhir tidak lain adalah persamaan (). Hal ini membuktikan bahwa ketiga garis tersebut berpotongan di satu titik. Latihan 3 F. Tentukan persamaan keluarga garis ang bersifat : (a) mempunai kemiringan 3, (b) memotong dengan sumbu- di 4, (c) memotong sumbu-x di 5, (d) melalui titik (, 7), Latihan 3 F 6
(e) sejajar dengan garis x + 3 9 = 0, (f) tegak lurus dengan garis 5x + 4 0 = 0.. Tentukan keluarga garis ang jarakna terhadap titik asal adalah. 3. (a) Tentukan keluarga garis ang perpotonganna dengan sumbu- adalah dua kali perpotonganna dengan sumbu-x. (b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) ang melalui titik (7, 0). 4. (a) Tentukan keluarga garis ang perpotonganna dengan sumbu- dan perpotonganna dengan sumbu-x berjumlah 5. (b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) ang mempunai kemiringan 3 5. (a) Tentukan keluarga garis ang perpotonganna dengan sumbu- dikurangi perpotonganna dengan sumbu-x adalah 5. (b) Tentukan persamaan anggota keluarga garis di (a) ang melalui (, 4). 6. Tentukan persamaan keluarga garis ang perkalian perpotongan dengan sumbu-x dan sumbu- adalah 5. 7. Tentukan persamaan keluarga garis ang perpotongan dengan sumbu-x dibagi perpotongan dengan sumbu- adalah 5. Latihan 3 F 7
8. Tentukan persamaan keluarga garis ang membentuk sudut 45 dengan garis x 3 0 = 0. 9. Tentukan persamaan keluarga garis ang jarakna terhadap titik (6, ) adalah 5. 0. Tentukan persamaan garis ang melalui perpotongan garis x + 3 7 = 0 dan 5x 8 = 0 dan (a) melalui titik asal, 6 (b) mempunai kemiringan 5, (c) sejajar dengan garis x 3 + 7 = 0. (d) tegak lurus dengan garis 4x + 3 = 0.. Tentukan persamaan garis ang melalui perpotongan garis x 3 6 = 0 dan 6x + 6 + 97 = 0 dan (a) tegak lurus dengan garis ang pertama, (b) tegak lurus dengan garis kedua, (c) sejajar dengan sumbu-x, (d) tegak lurus dengan sumbu-x.. Tentukan persamaan garis ang melalui perpotongan garis 5x 3 0 = 0 dan x + = 0 dan (a) melalui titik (7, 6), Latihan 3 F 8
(b) membagi dua sama panjang segmen ang menghubungkan titik (, 6) dengan ( 3, ), (c) memotong sumbu-x di 4. 3. Tentukan persamaan garis ang melalui perpotongan garis x 3 3 = 0 dan x = 0 dan (a) berjarak dari titik asal, (b) memotong sumbu- di, (c) perkalian titik potong dengan sumbu koordinat sama dengan 4. 4. Tunjukkan bahwa ketiga garis tinggi suatu segitiga berpotongan di satu titik. 5. Tunjukkan bahwa titik berat suatu segitiga membagi garis berat dengan perbandingan :. 6. B dan CD adalah sisi-sisi ang sejajar dari sebuah trapesium BCD, sedangkan P dan Q masing-masing merupakan titik tengah sisi-sisi B dan CD. (a) Buktikan bahwa sisi D dan BD serta garis PQ berpotongan di satu titik. (b) Buktikan bahwa diagonal C dan BD serta garis PQ berpotongan di satu titik. Latihan 3 F 9
Table of Contents 3.. Persamaan Garis Bentuk Titik-Kemiringan 64 3.. Persamaan Garis Bentuk Titik Titik. 69 3.3. Persamaan Garis Bentuk Kemiringan Titik Potong 73 3.4. Garis-garis Sejajar Sumbu Koordinat 76 3.5. Persamaan Umum Garis Lurus 78 Latihan 3. 8 3.6. Persamaan Garis Bentuk Normal 86 3.7. Reduksi Persamaan ke Bentuk Normal 87 Latihan 3 B 9 3.8. Jarak Titik ke Garis 94 Latihan 3 C 99 3.9. Garis Bagi Sudut 0 Latihan 3 D 03 3.0. Keluarga Garis 05 3.. Garis ang Melalui Perpotongan Dua Garis 07 Latihan 3 F 6 Latihan 3 F 0