VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

Transkripsi

1 HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus yang masing-masingnya saling tegak lurus dan berpotongan di satu titik (ketiga garis tersebut disebut dengan sumbu-sumbu), dan ditentukan oleh himpunan semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilangan nyata. Z P (x,y,z) Y Bila titik P memiliki koordinat x,y,z, kita dapat menuliskannya dengan P (x,y,z) dimana x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut Aplikat. X Dengan diterapkannya suatu sistem koordinat tegak lurus, maka ruang akan terbagi menjadi delapan bagian. Masing-masing bagian disebut dengan oktan dan diberi nomor dengan aturan sebagai berikut: z + Oktan I : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z > 0 Oktan II : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z > 0 Oktan III : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z > 0 III II Oktan IV : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z > 0 IV I Oktan V : berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, z < 0 VII Oktan VI : berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, z < 0 Oktan VII : berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, z < 0 VIII Oktan VIII : berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, z < 0 V VI x + y + Gambarlah koordinat titik-titik berikut: A (3,3,) B (3,-4,) C (3,-4,0) D (3,3,0) E (-,-4,0) F (-,3,0) B G (-,3,) H (-,-4,) C H E A D G F

2 B. Jarak Dua Titik Amatilah gambar paralel epipedum berikut ini T Z U Apakah RQ bidang PQVW? Apakah RQ WQ? X S P W(x y z ) R (x y z ) Y V Q Berdasarkan Teorema Phytagoras WR WQ RQ WQ WP PQ sehingga WR WQ RQ WP PQ RQ WR WP PQ RQ maka WR x x y y z z C. Koordinat yang Membagi Ruas Garis dengan Perbandingan m:n X : : Sehingga Koordinat titik R adalah Z H m P (x y z ) L ; ; R N n Q(x y z ) K M ; ; Y (karena tadi bidang XOY, maka) berdasarkan rumus membagi bidang, sehingga : : Terdapat R yang membagi garis PQ, dimana R (x,y,z) dengan perbandingan m:n. Gambarlah PL,RN, dan QM bidang XOY. Dari gambar tersebut diperoleh LNM adalah perpotongan bidang XOY dengan bidang PRQMNL. Tarik garis HRK sejajar LNM. Sehingga segitiga PRH sebangun dengan segitiga KRQ. Jika R adalah titik tengah ruas garis PQ maka R membagi PQ dengan perbandingan m : n = :. Sehingga dengan mensubstitusikan nilai perbandingan maka didapatkan Secara umum, perbandingan m:n = k, dimana k positif atau negatif tergantung R terletak diantara PQ ataukah perpanjangannya. Jika k > 0 maka R terletak diantara PQ - < k < 0 maka R terletak di perpanjangan QP (pada pihak P) k = - maka menunjukkan suatu titik tak berhingga k < - maka R terletak diperpanjangan PQ (pada pihak Q) sehingga koordinat R menjadi : dimana k : :

3 D. Vektor Notasi suatu vektor dapat dituliskan dengan dua huruf besar serta suatu strip atau tanda panah di atas huruf-huruf tersebut. Huruf pertama menyatakan titik awal dan huruf kedua menyatakan titik ujungnya. Sering pula suatu vektor diberi nama dengan sebuah huruf kecil (yang dicetak tebal), misalnya, atau, atau ataupun. Besar panjang vektor ditulis PQ atau Q a Vektor PQ a P Suatu vektor dimana titik awal dan ujungnya berimpit disebut vektor nol. Vektor-vektor yang terletak pada garis lurus yang sama atau sejajar disebut segaris. vektor-vektor disebut sama jika mereka segaris serta mempunyai panjang dan arah yang sama. Sebuah vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor a tetapi mempunyai panjang yang sama, dinya takan sebagai a. a b a a b Jumlah dari vektor-vektor a dan b adalah sebuah vektor c = a + b, yang diperoleh dengan menempatkan titik awal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor a lalu menghubungkan titik awal vektor a dengan titik ujung vektor b. metode ini disebut metode segitiga dari penjumlahan vektor. Metode lain adalah metode jajaran genjang, yaitu dengan menempatkan titik-titik awal vektor-vektor a dan b berimpit, lalu membentuk sebuah jajaran genjang dengan dua buah sisinya a serta b. a + b adalah diagonal jajaran gejang tersebut, yang bertitik awal a dan b tersebut. a a a a a+b a a+b Metode segitiga E. Vektor dan Sistem Koordinat Suatu vektor disebut vektor satuan bila panjangnya satu. Maka bila a vektor dengan panjang a 0 maka a/a adalah vektor satuan yang searah dengan a. pandanglah sistem koordinat cartesian berikut:

4 i z + k j y + i yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu X positif; j yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Y positif; k yang titik awalnya titik (0,0,0) dan arahnya searah sumbu Z positif. Kita tulis : I = i + 0j +0k J = 0i +j +0k k = 0 + 0j +k i = [,0,0] j = [0,,0] k = [0,0,] x +. Panjang Vektor Dengan Titik Awal 0 Pandanglah sembarang vektor a yang titik awalnya titik (0,0,0) dan titik ujungnya titik (a, a, a 3 ). Jelas menurut metode segitiga bahwa 3 3. Bilangan-bilangan 3 disebut dengan komponen-komponen dari vektor a dan vektor itu (yang titik awalnya adalah 0) disebut dengan vektor posisi (radius vektor) dari titik ( 3). z + a i i k a j a a a 3 a 3 k a j y + a a a a 3 x +. Panjang Vektor dengan Titik Awal Bukan Titik 0 z + P u 0 p v Q y + Misalkan vektor p dengan titik awalnya adalah P (p p p 3 ), dan titik ujungnya adalah Q (q q q 3 ). Jika ditarik vektor-vektor u dan v, berturut-turut vektor posisi P dan Q maka: u p i p j p 3 k v q i q j q 3 k Sedangkan p v u q p i q p j q 3 p 3 k atau p q p q p q 3 p 3 x + Bila 3 3 dan k suatu skalar, maka 3 3 dan 3 3.

5 F. Dot Product Bila a dan b vektor-vektor, adalah sudut antara a dan b (0, maka: Dot product: Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:. a.b = b.a. a.(b+c) = ab +ac 3. m(a.b) = (ma).b = a.(mb) = (a.b)m 4. bila a = 3, b = 3 maka a.b = a.a = 3 6. a.b = 0 (a 0, b 0) maka a tegak lurus b (ortogonal) contoh: a = 3i +4j + 5k dan b = i+6j, tentukan cos! jawab : a.b = = 30 a = 0 dan 0 0 Maka cos = G. Cross Product Bila a dan b vektor-vektor, = sudut antara a dan b (0, maka: Cross Product: { } 3 Arah dari a x b ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau sekrup putar kanan. 3 5 axb a b a bxa b Jika a dan b adalah vektor-vektor, dan m merupakan skalar maka berlaku:. a x b = -b x a. a x (b +c) = (a x b) + (a x c) 3. m(axb) = ma x b = a x mb =(a x b)m 4. i x i = j x j = k x k = 0. i x j = k, j x k = i, k x i = j j x i = -k, k x j =-i, i x k = -j 5. bila a = 3 = 3 bila b = 3 = 3

6 maka a x b = [ ] = panjang dari a x b yaitu a x b = absin menyatakan luas jajaran genjang yang dua buah sisinya a dan b. 7. jika a x b = 0 dan a 0, b 0 maka a sejajar dengan b. contoh: a = [,,], b = [-3,6,7], maka a x b adalah jawab: a x b = [ H. Arti Suatu Persamaan ] = [, -7, 5] Pada sistem koordinat cartesius XYZ suatu bidang dinyatakan sebagai sebuah persamaan yang terdiri dari 3 variabel x,y,z. Bidang nyata misalnya mempunyai mempunyai persamaan derajat pertama f(x,y,z) = Ax + By + Cz + D = 0. Suatu titik (x 0, y 0, z 0, ) terletak pada suatu bidang F(x,y,z) = 0 apabila terpenuhi F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 Persamaan yang bebas dari suatu peubah : - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan semua garis pelukisnya sejajar sumbu Z - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu Y - Persamaan f(x,y) = 0 menyatakan sebuah permukaan silinder dengan garis pelukisnya sejajar sumbu X Contoh : a. Persamaan x + 3y + 5z = 30 menyatakan permukaan, yang merupakan sebuah bidang rata b. Persamaan y + z = 9 menyatakan suatu permukaan, yang merupakan sebuah silinder sejajar sumbu X. Z 6 0 Y X 5 x + 3y + 5z = 30

7 Persamaan hanya mengandung satu peubah : - Persamaan f(x) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang YOZ - Persamaan f(y) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOZ - Persamaan f(z) = 0 menyatakan himpunan bidang rata, yang sejajar bidang XOY Contoh: a. Persamaan x = menyatakan sebuah bidang rata, yang sejajar bidang YOZ dengan jarak (ke arah sumbu positif). b. Persamaan z 4 = 0 menyatakan dua buah bidang rata z = dan z = -, yang sejajar bidang XOY berjarak z c. Persamaan y 3 y y = 0 menyatakan tiga buah bidang rata y = 0, y = 4, y = - yang sejajar bidang XOZ Z Z Y Y X Z X Y X

8 I. Proyeksi Garis Lengkung Pada Bidang Koordinat Pada garis lengkung c : f(x,y,z) = 0, g(x,y,z) = 0 jika salah satu peubah (misalnya z) dieleminasi, terdapat suatu persamaan baru F(x,y) = 0, merupakan silinder yang garis pelukisnya // sumbu Z serta melalui c, berarti merupakan silinder proyektor dari garis lengkung c di atas, ke bidang XOY. Jadi proyeksinya mempunyai F(x,y) = 0, z = 0, untuk proyeksi ke bidang YOZ maupun XOZ Kita dapat melakukan hal yang sama pada proyeksi ke bidang XOY. Dimana : - Jika kita mengeliminasi x, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany YOZ. - Jika kita mengeliminasi y, maka kita akan mendapatkan proyeksi pada bidany XOZ. f(x,y) = 0 z =0 Contoh: Tentukan proyeksi garis lengkung (lingkaran) perpotongan bola-bola x + y + z = dan x + (y -) + (z ) = ke bidang XOY. Jawab : Menentukan silinder proyektor dengan mengeliminasi z dari persamaan () dan (). x + y + z =.. () x + (y - ) + (z - ) = () - x + y + z = - x + (y - ) + (z - ) = x + (y y + ) + (z z + ) = x + y y + z z = - - x + y + z = x + y y + z z = - y + z = z = y z = y (3)

9 Subtitusikan z ke dalam persamaan () x + y + z = x + y + ( y) = x + y + (y y + ) = x + y + y y = 0 x + y y = 0, merupakan persamaan silinder proyektor. Jadi proyeksi : x + y y = 0 z = 0 yang dapat dijabarkan menjadi : x + y y = 0 x + (y y) = 0 x + {(y ) - } = 0 x + {(y ) - } = 0 x + {(y ) = x + 4{(y ) = Suatu elips dengan pusat (0,,0) Latihan Soal. Buktikan bahwa segi empat yang titik-titik sudutnya adalah tengah-tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang, merupakan suatu jajaran genjang!. Buktikan bahwa bila a = [a,a,a 3 ], b = [b,b,b 3 ], maka Buktikan bahwa segitiga dengan satu sisinya garis tengah lingkaran dan titik yang ketiga sebarang pada busur lingkaran adalah segitiga siku-siku! 4. Gambarkan grafik dari 3x + 4y + z = 5. Gambarlah grafik persamaan linear x + 3y = 6 dalam ruang dimensi 3

10 6. Berikan analisis persamaan dan buatlah sketsa grafiknya 7. Tentukan proyeksi garis lengkung x + y = 3z dan x y + z = 0 J. Persamaan Vektoris Bidang Rata Jika di dalam suatu bidang rata tertentu terdapat tiga buah titik (yang tidak segaris), misalkan diketahui tiga titik pada bidang rata V: Z P R Q X Titik P (x,y,z ), Q(x,y,z ), R(x 3,y 3,z 3 ) PQ = [x -x, y -y, z -z ] PR = [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ] O Y X Untuk setiap titik sebarang X (x,y,z) pada bidang rata V berlaku: PX = PQ + PR ( ). Terlihat jelas pada gambar di atas bahwa OX = OP + PX Atau [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ].() Persamaan tersebut merupakan persamaan vektoris bidang rata melalui tiga buah titik. Kedua vektor PQ dan PR disebut vektor-vektor arah bidang (setiap dua vektor, yang tidak segaris, pada bidang merupakan vektor-vektor arah bidang tersebut). Sehingga persamaan vektoris bidang rata diketahui melalui satu titik P (x,y,z ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [x a,y a,z a ] dan b = [x b,y b,z b ] adalah: [x,y,z] =[x,y,z ] + [x a,y a,z a ]+ [x b,y b,z b ] () Dan persamaan () dapat ditulis menjado tiga persamaan: x = x + x a + x b.. (3) y = y + y a + y b.. (4) z = z + z a + z b.. (5) Disebut dengan persamaan parameter bidang rata

11 Contoh: Tentukan persamaan vektoris dan persamaan parameter bidang rata yang melalui titik (,,), (,3,5), dan (,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ], sehingga [x,y,z] = [,,]+ [-,3-,5-]+ [-,3-,7-] [x,y,z] = [,,]+ [,,3]+ [0,,5] Persamaan parameter : x = + y = + + z = K. Persamaan Linier Bidang Rata Jika dan kita eliminasikan dari persamaan (3) dan (4) di atas, maka diperoleh: ; ; ; dan ; ; ; Dimana C = dimana c 0. (6) Kemudian, jika dan diatas kita substitusikan ke persamaan (5), maka akan diperoleh: { } { } 0 atau 0.(7.) 0..(7.) Dimana: dan Dan Sehingga persamaan (7) menjadi Ax +By +Cz + D = 0...(8) Persamaan (8) tersebut merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang rata.

12 L. Vektor Normal dari Bidang Rata V = Ax + By + Cz + D = 0 Terlihat bahwa vektor Vektor di atas merupaka vektor yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh a dan b, dalam hal ini bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. Dimana n = [A,B,C] disebut dengan vektor normal dari bidang rata V = 0 tersebut. Dimana vektor normal tersebut akan memegang peranan penting di dalam pembahasan suatu bidang rata. Dari persamaan (7) di atas, suatu bidang rata yang diketahui melalui satu titik (x,y,z ) denganvektor normalnya [A,B,C] berbentuk: A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0.(9) Catatan : Hal-hal khusus dari bidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0 adalah:. Bila D = 0 maka bidang rata akan melalui titik asal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiap bidang rata yang melalui titik asal, persamaannya akan mempunyai harga D = 0.. Apabila D 0 persamaan Ax + By + Cz + D = 0 dapat ditulis menjadi dan sebut berturut-turut dengan, maka didapatkan persamaan yang mana memotong sumbu X di (p,0,0), sumbu Y di (0,q,0), dan sumbu z di (0,0,r). 3. Bila A = 0, bidang rata sejajar sumbu X Bila B = 0, bidang rata sejajar sumbu Y Bila C = 0, bidang rata sejajar sumbu Z 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajar bidang XOY Bila A = C = 0, bidang rata sejajar bidang XOZ Bila B = C = 0, bidang rata sejajar bidang YOZ Catatan :. Jika persamaan (7.) 0 kita tulis dalam bentuk dot product, maka akan menjadi:

13 [ ( ) ] [ ) 0 (0) Atau (r r ).n = 0, dimana r = vektor posisi sebarang titik pada bidang, r vektor posisi suatu titik tertentu pada bidang, dan n = vektor normal bidang.. Tetapi n = a x b, dimana a dan b adalah vektor-vektor pada bidang, sehingga (0) dapat ditulis sebagai (r r ).(a x b) = 0 atau: 0..() Adalah persamaan bidang melalui titik P (x,y,z ) dengan vektor arah a = [x a,y a,z a ] dan b = [x b,y b,z b ]. 3. Jika a bertitik awal di P (x,y,z ) dan titik ujungnya adalah Q (x,y,z ), serta b titik awalnya di P (x,y,z ) dan titik ujungnya R (x 3,y 3,z 3 ), maka bentuk () menjadi: 0..() Adalah persamaan bidang rata dengan diketahui tiga titik P (x,y,z ), Q (x,y,z ), dan R (x 3,y 3,z 3 ) yang ditulis dalam bentuk determinan. 4. Sehingga, empat buah titik (x,y,z ), (x,y,z ), (x 3,y 3,z 3 ), dan (x 4,y 4,z 4 ) akan sebidang jika dan hanya jika: Contoh : 0..(3) Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik (,,), (,3,5), dan (,3,7)! Penyelesaian: Persamaan vektoris : [x,y,z] = [x,y,z ]+ [x -x, y -y, z -z ]+ [x 3 -x, y 3 -y, z 3 -z ], sehingga [x,y,z] = [,,]+ [-,3-,5-]+ [-,3-,7-] [x,y,z] = [,,]+ [,,3]+ [0,,5] Untuk mengubah persamaan vektoris ke persamaan linier dapat dilakukan dengan cara mencari vektor normal sebagai hasil cross product [,,3] x [0,,5] = [4,-5,]

14 Sehingga: A(x x ) + B(y y ) + C(z z ) = 0. (9) 4(x ) + (-5)(y ) + (z ) = 0 4x 5y + z - 3 = 0 Contoh : Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang x + 3y + 4z = - Penyelesaian : Berdasarkan catatan no. didapatkan dan, sehingga:, akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0), dan (0,0,3) Z 3 4 Y X 6 Contoh 3: Tentukan persamaan bidang rata melalui tiga titik (,-,), (3,,-), dan (-,3,) Penyelesaian: Latihan: 0 atau 0 0. Tentukan persamaan vektoris, persamaan parameter, dan persamaan linier bidang rata melalui tiga titik: a. (3,4,), (-,-,5), (,7,) b. (3,,4), (,,6), (3,,4) c. (3,,), (,3,), (,-,3)

15 Misalkan n = [A,B,C] adalah vektor normal bidang V = Ax + By + Cz + D = 0,. Apakah empat titik berikut sebidang? Jika sebidang, tentukan persamaan liniernya a. (,,3), (4,,), (-,-,4), (0,0,5) b. (4,,), (-,-,), (0,4,-5), ( 0) c. (3,,), (4,-,-),(,,4), (,,) 3. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik P(,3,-), Q(3,,) dan R(-,,3) 4. Tentukan titik potong sumbu-sumbu dari persamaan bidang y + z = 4 M. Persamaan Normal Bidang Rata berturutturut adalah sudut antara n dengan sumbu-sumbu koordinat ( yang arahnya ditentukan oleh vektor i, j, dan k). Z n cosá n i n i A n k ã cosâ n j n j B n (4) á â j Y cosã n k n k C n i X Atau: [cos, cos, cos ] = [A, B, C]/n = n/n.(5), yaitu vektor satuan yang searah dengan n, juga berarti bahwa cos + cos + cos =. = [cos, cos, cos ] disebut vektor cosinus dari bidang V, atau boleh dikatakan juga vektor normal yang panjangnya satu. Misalkan p = jarak titik (0,0,0) ke bidang V = 0, dimana p 0 dan X(x,y,z) titik sebarang pada bidang, maka p adalah proyeksi OX = [x,y,z] pada yaitu: p = OX. = [x,y,z]. [cos, cos, cos ] atau xcos + ycos + zcos = p..(6)merupaka persamaan normal (HESSE) dari bidang V = 0. Untuk mengubah bentuk V = Ax + By + Cz + D = 0 ke bentuk normal maka (dari persamaan (4) diperoleh: n(xcos + ycos + zcos ) = -D..(7). Kita selalu menghendaki bahwa D/n= p positif. Jadi, jika D negatif, maka

16 masing-masing ruas persamaan (7) kita bagi +n = + dan kalau D positif, masing-masing ruas kita bagi -n. Contoh: Carilah bentuk normal dari 3x +6y z +6 = 0 Jawab: D = 6 adalah positif, sedangkan n = =. Jadi persamaan normalnya adalah N. Sudut Antara Dua Bidang Rata 6 7 Sudut antara vektor V = A x + B y + C z + D = 0 dan V = A x + B y + C z + D = 0 adalah sudut antara normal-normal n = [A, B, C ] dan n = [A, B, C ] yaitu: : : : : : : Contoh : Sudut antara x + y + z + 3 = 0 dan x + y + z = 0 adalah.. Jawab: 5 : : : : 3 3 Atau cos =arccos Catatan: - Kedudukan sejajar: bila V dan V sejajar, maka n dan n sama (atau berkelipatan), yang berarti bahwa: [A, B, C ] = [A, B, C ], adalah syarat bidang V dan V sejajar, ( sebarang 0). - Kedudukan tegak lurus: bila V tegak lurus V maka vektor normalnya akan saling tegak lurus, n n, atau n.n = 0 A A + B B + C C = 0. Contoh:. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui (0,,) dan sejajar bidang rata V = x + y +5z = 9!

17 Jawab: V = x + y +5z = 9 memiliki normal [,,5], akan berbentuk x + y + z + D = 0 V melalui (0,,) maka terpenuhi D = D = 0 D = -7 Sehingga persamaan bidang rata V adalah x + y + 5z -7 = 0. Tentukan persamaan bidang rata V yang tegak lurus bidang rata V = x + y + z = serta melalui titik- titik (0,0,0) dan (,,0)! Jawab: Misalkan V = A x + B y + C z + D = 0 V berarti: A A + B B + C C = 0.A +.B +.C = 0 A + B + C = 0 C = -A B.(*) Karena V melewati (0,0,0), maka D = 0, dan melewati (,,0) berarti: A + B = 0 atau A = -B (**) Dari (*) dan (**) C = -A B C = -(-B ) B C = 0 Jadi persamaan V : A + B + C + D = 0 V = -B x + B y + 0z + 0 = 0 atau x +y = 0 O. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar Pandang bidang. Kita akan menentukan jarak antara titik R (x,y,z ) ke bidang V. Selanjutnya kita buat V yang melalui R sejajar dengan V. Jadi vektor normal V dan V sama. Sedangkan jarak dari titik asal 0 ke V adalah p d (tergantung letak V dan V terhadap titik 0). V xcosá ycosâ zcosã p d dan karena R (x,y,z ) pada V, sehingga: x cosá y cosâ z cosã p d atau d x cosá y cosâ z cosã p, adalah jarak titik R (x,y,z ) ke bidang V xcosá ycosâ zcosã p. Jika V berbentuk Ax +By +Cz + D = 0, maka: d Ax By Cz D A B C

18 Contoh:. Tentukan jarak titik (4,7,3) ke bidang x +6y -3z -3 = 0 Jawab: : : : : : 4:6 7: ;3 3;3 :6 : ;3 = 8:4;9;3 8 4:36: Diketahui V = x + y + z - = 0 dan V = x + y + z 5 = 0, jika R pada V, hitunglah jarak tersebut ke V! Jawab: Ambil sebarang titik R pada V, x = 0, y = 0, z = 5, sehingga R (0,0,5), maka jarak R ke V : : : : : : : : 5; 3 : : 3 P. Berkas Bidang Rata Bidang-bidang V = A x + B y + C z + D = 0 dan V = A x + B y + C z + D = 0 berpotongan menurut sebuah garis lurus. Setiap titik pada garis potong tersebut akan memenuhi persamaan V + V = 0, (dimana dan parameter). Persamaan di atas merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui garis potong V dan V. Bila 0 kita dapat menulis menjadi V + ( / )V = 0 atau V + V = 0 adalah persamaan berkas bidang melalui garis potong bidang-bidang V = 0 dan V = 0. Jika V dan V sejajar berkas bidang V + V = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang sejajar V = 0 dan V = 0, dapat kita tulis menjadi: A x + B y +C z = k, dimana k = parameter. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang V = x +3y +4 = 0 dan V = x y +z =

19 Jawab: V dapat dimisalkan berbentuk : V + V = 0 : x + 3y (x y + z ) = 0 (*) Karena V melalui (0,0,0), maka terpenuhi: ( ) = = 0 =, kemudian substitusikan = ke (*), maka akan diperoleh: x + 3y (x y + z ) = 0 x + 3y x y + 4z 4 = 0 4x + y + 4z = 0, bidang yang diminta. Q. Jaringan Bidang Rata Pandang bidang-bidang rata V = 0, V = 0, dan V 3 = 0 yang tidak terletak dalam sebuah berkas yang sama (tidak berpotongan pada satu garis ataupun sejajar satu sama lain). Persamaan V + λv + ìv 3 = 0 merupakan himpunan bidang-bidang yang melalui titik potong ketiga bidang disamping (pada gambar melalui titik T), dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang. Contoh: Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z = serta melalui titik potong bidang-bidang V = x 3 = 0, V = y 4 = 0, V 3 = z = 0 Jawab: Bidang rata V berbentuk V + V + V 3 = 0 x 3 + (y 4) + (z) = 0 x 3 + y z = 0 x + y + z 3-4 = 0 (*) karena sejajar dengan U, maka [,,] adalah normal dari V, atau [,, ] kelipatan dari [,,] sehingga = = substitusikan = = ke (*) sehingga menghasilkan V = x + y + z -7 = 0, yang diminta. Latihan Soal:. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui (-,,4) dan sejajar bidang rata x - 3y-5z +6 = 0

20 . Tentukan persamaan linier bidang rata yang sejajar bidang rata 3x 6y z 4 = 0 dan berjarak 3 dari titik asal (0,0,0). 3. Tentukan persamaan bidang rata melalui (3,-,4) dan tegak lurus bidang-bidang rata 7x 3y + z 5 = 0 dan 4x y z + 9 = 0 4. Tentukan persamaan bidang rata melalui P(,,) dan Q(9,3,6) serta tegak lurus bidang V = x + 6y +6z = 9 R. Persamaan Vektoris Garis Lurus P = (x, y, z ), Q = (x, y, z ), X = (x, y, z) OP = [x 0, y 0, z 0] = [x, y, z ] OQ = [x 0, y 0, z 0] = [x, y, z ] = [x q x p, y q y p, z q z p ] = [x x, y y, z z ] titik sebarang X (x, y, z) pada g berlaku PX = PQ, ( ) OX = OP + PX = OP + PQ OX = [x, y, z ] + [x x, y y, z z ] Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui dua titik P dan Q. PQ 0 yang terletak di g, disebut vektor arah garis lurus. Misalkan sebuah garis lurus melalui satu titik P = (x, y, z ), dan mempunyai vektor arah a = [a,b, c], maka persamaannya menjadi: [x, y, z] = [x, y, z ]+ [a,b,c] x = x + a y = y + b Persamaan Parameter Garis Lurus z = z + c a = x x b = y y c = z z = ; () ; = () ; = (3) dari pers. (), (), dan (3): ; ; ; persamaan linear garis lurus melalui titik P dengan vektor arah a ; ; ; ; ; ; Merupakan persamaan linear garis lurus melalui titik P dan Q Contoh : Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier garis lurus melalui titik (,, ) dan (-, 3, )!

21 Jawab : [x,y,z] = [x, y, z ] + [x x, y y, z z ] [x,y,z] = [,, ] + [--, 3-, -] = [,, ] + [-3,, ] ; ; ; ; ; ;; ; ;3 ; ; 3; ; ; ; ; ; S. Garis Lurus Sebagai Perpotongan Dua Bidang Rata Persamaan { adalah persamaan persamaan garis lurus yang merupakan perpotongan bidang-bidang dan. Tentukan persamaan garis lurus dari perpotongan bidang-bidang tersebut! Jawab : a = n x n [a,b,c] = [A,B,C ] x [A,B,C ] 0 Titik potong kedua bidang Misalnya XOY, maka z = 0 sehingga x x - Sehingga titik potongnya adalah (,-3,0) Maka persamaan garis tersebut adalah : [x,y,z] = [, -3,0] + [-9,-, 5] T. Kedudukan Dua garis Lurus Jika g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] kasus : g //g (sejajar) maka [a, b, c ] = [a, b, c ]

22 kasus : g berimpit g maka [a, b, c ] = [a, b, c ] dan [x x, y y, z z ] = [a, b, c ] kasus 3 : g berpotongan dengan g 0 Contoh: Tunjukkan bahwa Sedangkan bidang yang memuat g dan g 0 berpotongan dengan Tentukan titik potong serta bidang yang memuat g dan g Jawab : g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] = [x,y,z] = [4, -3, -] + [, -4, 7] g = [x,y,z] = [x, y, z ] + [a, b, c ] = [x,y,z] = [, -, -0] + [, -3, 8] >> Akan dibuktikan apakah g berpotongan dengan g : (kasus 3) Maka terbukti bahwa g dan g berpotongan. 0 >> Akan dicari bidang yang memuat g dan g (bidang yang memuat g dan g ) >> untuk mencari titik potong lihat g dan g, maka:

23 () () (3) Eliminasi () dan () x Substitisikan ke persamaan () Jadi, [x,y,z] = [4, -3, -] + [, -4, 7] = [4, -3, -] + [, -4, 7] = [5, -7, 6], titik potongnya adalah [5,-7,6] U. Kedudukan Garis Lurus dan Bidang Rata g sejajar bidang V g tegak lurus bidang V g terletak pada bidang V. g sejajar dengan bidang V jika dan hanya jika vektor arah g tegak lurus dengan normal bidang, atau a.n = 0 [a,b,c][a,b,c] = 0 aa + bb + cc = 0. g tegak lurus bidang V jika dan hanya jika vektor arah g = vektor normal bidang rata (atau kelipatannya). a/a = b/b = c/c atau a. a >> [A,B,C] = [a,b,c] 3. g terletak seluruhnya pada bidang V jika terpenuhi a.n = 0 contoh : Buktikan bahwa g : sejajar bidang rata V = x + y + z + 7 = 0 Jawab : g // V jika dan hanya jika a.n = 0 [,-3,].[,,] = [ 3 + ] = 0, maka terbukti bahwa g sejajar V.

24 V. Jarak Antara Dua Garis Lurus g dan g ; ; Tentukan jarak garis lurus g : dan g ;4 : 3 3 Jawab : g : [x,y,z] = [,0,] + [,3,] g : [x,y,z] = [0,4,8] + [,3,] g //g karena [a,b,c ] = [a,b,c ]. Pilih titik yang ada di g, titik P (,0,). Buat bidang yang melalui (,0,) tegak lurus g ;8 a(x x ) +b(y y ) + c(z z ) =0 (x ) + 3(y 0) + (z ) = 0 x 4 + 3y 0 + z = 0 x + 3y + z 6 = 0 3. Mencari titik Q, yaitu titi tembus g pada W g dapat ditulis dalam persamaan parameter x = y = 4 +3 z = 8 + substitusikan persamaan parameter tersebut ke persamaan x + 3y + z 6 = 0, maka ( ) + 3(4+3 ) + (8+ ) 6 = = = 0 4 = -4 = - Substitusi kembali = - ke persamaan parameter x = maka x = (-) = - y = 4 +3 maka y = 4 + 3(-) = z = 8 + maka z = 8 - = 7 sehingga Q (-,,7) 4. Panjang PQ adalah jarak g ke g PQ = PQ = 0

25 PQ = PQ = W. Perpotongan Tiga Bidang Rata Pandang tiga bidang rata V : A x + B y + C z + D = 0 V : A x + B y + C z + D = 0 V 3 : A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 Ketentuan : 0.() 0..() Terdapat tiga kemungkinan kedudukan. Hanya mempunyai satu titik persekutuan (membentuk jaringan bidang), jika tidak memenuhi () dan ().. Mempunyai satu garis lurus (membentuk berkas bidang), jika memenuhi () dan (). 3. Membentik prisma sisi tiga, jika memenuhi () dan persamaan () tidak terpenuhi. Contoh : Tunjukkan bahwa bidang bidang x + y + z + 3 = 0, 3x + y z + = 0, dan x + 4y + 7z -7 = 0 membentuk prisma sisi tiga! Jawab : Persamaan () 0 0

26 0 0 0.(persamaan terpenuhi) Persamaan () (persamaan tidak terpenuhi) Maka ketiga persamaan bbidang tersebut membentuk prisma sisi tiga. Latihan:. Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik (0,0,0) serta melalui garis potong bidang : V = 3x + y + = 0 dan V = x + y - 3z = 0. Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U = x + y + z =serta melalui titik potong bidang-bidang V = x + 3 = 0, V = y = 0, V 3 = z = 0 3. Tunjukkan bahwa kedua garis lurus berikut berpotongan! Tentukan bidang yang memuat kedua garis berikut, serta titik potong kedua garis berikut! 0 dan 4. Tunjukkan bahwa kedua garis ini sejajar, dan hitunglah jaraknya! dan 5. Tentukanpersamaan vektoris dan persamaan linear garis lurus melalui (,-3,) dan (4,,0) X. Persamaan Bola Persamaan umum bola : 0 Secara simbolis ditulis dengan S = 0 Pusat bola : ( Jari-jari bola : 4 4 ) 4 Catatan : Pada persamaan 0 terdapat tiga kemungkinan terhadap antara lain yaitu: Bila > 0 : bola disebut bola sejati. Bila = 0 : bola berjari-jari nol (titik) 3. Bila < 0 : bola merupakan bola khayal.

27 Contoh:. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 0 0. Tentukan jari-jari dan pusat bola dari 0 0 Jawab:. A = 8, B = -0, C = -6, D = Pusat = ( Jari jari = 4 4 )= ( 4 = 4 0. A =, B =, C = 4, D = 0 Pusat = ( )= ( 4 0 )) = (-4, 5, 3) )= (-, -, -) 4 = = 7 Jari jari = = = = khayal Y. Bola dan Bidang Rata Bola S = 0 berjari-jari r, dengan pusat M. Bidang V = 0, dengan d = jarak pusat M ke bidang.. V memotong bola, jika d < r, perpotongannya sebuah lingkaran.. V menyinggung bola, jika d = r, perpotongannya sebuah titik (bidang menyinggung bola). Bidang singgung di N (x, y, z ) pada bola S = 0 Pusat M ( ) Titik singgung N (x, y, z ) - Jika bola (x a) + (y b) + (z c) = r, maka bidang singgungnya adalah (x a)(x a) + (y b)(y b) + (z c)(z c) = r - Jika bola x + y + z = r, maka bidang singgungnya adalah x x +y y + z z = r 3. V tidak memotong bola, jika d > r Contoh: Bagaimana kedudukan bola S = 0 dan bidang 0. Bila berpotongan, tentukan jari-jari lingkaran perpotongannya! Jawab: Pusat Bola : ( )= ( )) = (-, -, -) Jari jari bola : 4 d = jarak M ke bidang V = 0 yaitu: d = ; : ; : ; : : 4 4 = = = 5

28 ternyata d < r, maka bidang memotong bola, dan perpotongannya sebuah lingkaran. S = 0 NP = (phytagoras) M 3 N 5 P V = 0 Garis g