ESSENTILLY SMLL RIEMNN SUMS FUNGSI TERINTEGRL HENSTOCK-DUNFORD PD [ab] Solikhi Sumato Siti Khabibah 3 3 Jurusa Matematika FSM Uiversitas Dioegoro Jl Prof H Soedarto SH Semarag 575 solikhi@liveudiacid khabibah_ku@yahoocoid bstract I this aer we study Hestock-Duford itegral o [ab] We discuss some roerties of the itegrable We shall defie essetially small Riema sums (ESRS) ad show that it is ecessary ad sufficiet coditio for fuctio to be Hestock-Duford itegral o [ab] Keywords : Hestock-Duford itegral ad Essetially small Riema sums PENDHULUN Geeralisasi dari itegral Riema salah satuya yag mearik bayak dikaji adalah itegral Hestock Itegral Hestock didefiisika atas artisi Perro d -fie ada iterval tertutu [ a b ] Itegral ii mecaku itegral Riema da itegral Lebesgue yag ekuivale dega itegral McShae [ ] Itegral Hestock telah megalami erkembaga baik dari segi teori mauu teraaya dalam bidag matematika sediri atau bidag ilmu lai [3 4 5] Berdasarka kajia tetag itegral Hestock bayak sifat-sifat yag telah diugka baik dalam ruag real R [ ] ruag Baach [6] mauu ruag Euclide R [7] Bahka kajia tetag itegral ii juga bayak dikombiasika dega itegral lai salah satuya adalah itegral Hestock-Duford [8] Itegral Duford didefiisika oleh fugsi terukur lemah ada ruag real R [6] Diberika X ruag Baach da X = x x : X R liear kotiu ruag dualya (dual ertama) dega { : liear kotiu X = x x X R dual kedua serta [ a b] Ì R Fugsi terukur lemah f :[ a b] X dikataka teritegral Duford ada [ a b ] jika utuk setia x Î X fugsi berilai real x f :[ a b] R teritegral Lebesgue ada [ a b ] da utuk setia himua terukur Ì [ a b] terdaat vektor x( f ) Î X sehigga = f = H x fc Itegral Duford kemudia dierluas ke dalam itegral tie Riema yaitu utuk setia x Î X fugsi berilai real x f :[ a b] R teritegral Hestock Itegral ii diamaka itegral Hestock- Duford [8] Itegral jeis ii juga berhasil digeeralisasi ke dalam ruag Euclide R [9] Berdasarka hasil kajia itegral Hestock-Duford megeai sifat-sifat sederhaa da fugsi rimitifya [8] da kajia sifat-sifat lebih lajut dari itegral Hestock-Duford ada ruag R [6 ] maka berdasarka [ ] aka dikaji sifat Essetially small Riema sums (ESRS) fugsi teritegral Hestock-Duford ada [ a b ] INTEGRL HENSTOCK- DUNFORD PD [ab] Pada tulisa ii dibahas defiisi itegral Hestock-Duford ada [ab] sifat-sifat sederhaa da fugsi rimitifya yag megacu ada [8] Defiisi [8] Diberika X ruag Baach da X ruag dualya (dual ertama) dega X dual kedua serta iterval tertutu [ a b] Ì R Fugsi f :[ a b] X dikataka teritegral b a 55
Solikhi YD Sumato da Siti Khabibah (Essetially Small Riema Sums Fugsi Teritegral Hestock-) Hestock-Duford ada [ a b ] jika utuk setia x Î X fugsi berilai real x f :[ a b] R teritegral Hestock ada [ a b ] da utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] terdaat vektor x( f ) Î X sehigga x ( x ) = H x f f x X f Selajutya vektor Î di atas disebut ilai itegral Hestock-Duford ada atas fugsi f da ditulis x = HD f ( f ) Jika f teritegral Hestock-Duford ada [ a b ] ditulis f Î HD[ a b] Teorema [8] Jika f Î HD[ a b] maka vektor x( f ) Î X ada Defiisi adalah tuggal Diberika sebarag iterval tertutu Ì [ a b] daika terdaat vektor x ( f ) Î X da x ( f ) Î X sehigga = da ( f ) = ( f ) Oleh karea itu x ( x )- x ( x ) = H x f - H x f ( f ) ( f ) utuk setia x Î X x = x Jadi ( f ) ( f ) = Teorema 3 [8] Jika f Î HD[ a b] maka f Î HD utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] Jelas meurut defiisi Jika = [ c d] Ì [ a b] maka simbol a dalam tulisa ii dimaksudka sebagai a = d- c ajag iterval tertutu Cotoh 4 Didefiisika fugsi f :[ a b] X oleh f ( = c utuk setia xî [ a b] da suatu kostata cî X maka f teritegral Hestock- Duford ada [ a b ] dega ilai itegralya adalah ca utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] Diberika sebarag bilaga e > da x Î X maka daat ditemuka fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika Ì [ a b] iterval tertutu da D = sebarag artisi Perro d- fie ada berlaku D ( x f) ( a( D) - x( )( x ) f D x ca ( D) x ca x c( D a D a ) = - = - = < e Jadi x f teritegral Hestock ada [ a b ] da utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] di atas terdaat vektor x ( f ) Î X sehigga = f ( H) x ( c) = = x ca Jadi f Î HD[ a b] da ilai itegralya adalah ca utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] Teorema 5 (Kriteria Cauchy) Fugsi f Î HD[ a b] jika da haya jika utuk setia bilaga e > terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika Ì [ a b] iterval tertutu da D = da = {( P y) P masigmasig artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a ( D) - P x f ( y) a ( P) < e utuk setia x Î X 56
Jural Matematika Vol 7 No gustus 4 : 55-6 (Syarat Perlu) Diketahui f Î HD[ a b] Jadi utuk setia x Î X fugsi x f teritegral Hestock ada [ a b ] da utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] terdaat vektor x( f ) Î X sehigga = f Diberika bilaga e > sebarag da x Î X maka terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga utuk iterval Ì da = ( D ( P y) tertutu [ a b] D da P = masig-masig artisi Perro d -fie ada berlaku e x( )( x )- D x f ( a ( D) < f da e x( )( x )- P x f ( y) a ( P) < f Dega demikia dieroleh D x f ( a ( D) - P x f ( y) a ( P) D x f ( a ( D) - x ( x ) + ( f ) -P ( f ) x x x f y a P e e < + = e (Syarat cuku) Diberika bilaga e > sebarag da x Î X maka terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga utuk iterval tertutu Ì [ a b] da D = da = ( P y) P masigmasig artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a ( D) - P x f ( y) a ( P) < e Diambil e = terdaat fugsi ositif d ada [ a b] dega sifat di atas Diambil e = terdaat fugsi ositif d ada [ a b] dega d d da memeuhi sifat di atas Diambil e = terdaat fugsi ositif d ada [ a b] dega d d - d d da memeuhi sifat di atas Utuk " Î da x Î X didefiisika S = D x f ( a( D) dega jumlaha Riema diambil atas artisi Perro d- fie D = ada Diambil sebarag m Î dega m³ maka utuk setia artisi Perro dm- fie ada meruaka artisi Perro d- fie ada kibatya utuk setia artisi Perro dm- D = D x ada da sebarag fie m artisi Perro berlaku S - S = m d - fie = ( D D ada Dm D D Berdasarka sifat rchimedea [3] diberika sebarag bilaga e > maka e terdaat bilaga asli sehigga < a- D a < Selajutya jika m ³ maka dieroleh e Sm- S < < < Hal ii berarti S barisa Cauchy di R Karea R legka berarti utuk setia barisa Cauchy di dalamya adalah koverge yaitu utuk setia x Î X da Ì [ a b] di atas terdaat bilaga x x S R = Î sehigga lim S = S ( f ) Dega demikia utuk sebarag bilaga e > di atas terdaat bilaga asli da jika ³ berlaku e Diambil S - S < 57
Solikhi YD Sumato da Siti Khabibah (Essetially Small Riema Sums Fugsi Teritegral Hestock-) 58 { d ( x ) = mi d ( x ) d ( x ) xî [ a b ] Dieroleh d fugsi ositif ada [ a b ] Selajutya utuk setia P = ( P artisi Perro d-fie ada berlaku P x f ( a( P) - S P - + - x f ( a( P) S S S e e < + =e Hal ii berarti utuk setia x Î X fugsi x f teritegral Hestock ada [ a b ] da terdaat vektor x( f ) Î X sehigga x x S H x f = = f Dega kata lai f Î HD[ a b] Defiisi 6 [8] Diberika f Î HD[ a b] da I ( E) koleksi semua iterval tertutu di dalam [ a b ] Fugsi F : I ( E) X dega rumus F = x( f ) = ( HD) f da F( Æ ) = utuk setia ÎI ( E) disebut fugsi rimitif-hd fugsi f Cotoh 7 Didefiisika fugsi f :[ a b] X oleh f ( = c utuk setia xî [ a b] da suatu kostata cî X maka utuk setia iterval tertutu Ì [ a b] fugsi rimitif-hd fugsi f adalah F = ca Berdasarka Cotoh 4 telah dibuktika bahwa fugsi kosta f ( = c teritegral Hestock-Duford ada [ a b ] Hal ii berarti utuk setia bilaga e > da x Î X terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] da jika Ì [ a b] iterval tertutu terdaat vektor x( f ) Î X sehigga x( x ) = f ( H) x f ( H) x ( c) = = x c a Jadi utuk setia x Î X da Ì [ a b] iterval tertutu berlaku x ( x ) = x ca f Jadi F = x( ) = f = ca f Berdasarka Defiisi 6 maka fugsi F meruaka fugsi aditif kibat 8 [8] Jika f Î HD[ a b] dega F sebagai rimitif-hdya da E E E iterval-iterval tertutu di dalam [ a b ] yag tidak salig tumag- tidih da [ a b] =U E maka i i ( f E ) F ([ a b]) = F( E ) = x Karea f Î HD( E a) dega F sebagai rimitif-hdya E i j E Ç E = Æ utuk setia i dieroleh æ ö F( E) = Fç U Ei è ø = xæ ö ç f UEi a ç è ø =U Ei dega i ¹ j maka = x( ) + x ( ) + + x f E a f E a ( f E a) = + + + F E F E F E = F( Ei ) = x( f Ei ) a Selajutya berdasarka Defiisi da Defiisi 6 maka itegral Hestock- Duford ada [ a b ] daat diyataka seerti dalam teorema berikut Teorema 9 [8] Fugsi f Î HD[ a b] jika da haya jika terdaat fugsi aditif F ada [ a b ] sehigga utuk setia bilaga e > da x Î X terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] da jika Ì [ a b] iterval tertutu da
Jural Matematika Vol 7 No gustus 4 : 55-6 D = artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a ( D) - x F( D) < e Teorema (Lemma Hestock) Fugsi f Î HD[ a b] dega fugsi rimitif F yaitu utuk setia bilaga e > da x Î X terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika Ì [ a b] iterval tertutu da = D artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a ( D) - x F( D) < e maka utuk setia jumlaha bagia dari D berlaku D x f ( a ( D) - x F( D) < e 3 ESSENTILLY SMLL RIEMNN SUMS Berikut ii aka ditujukka bahwa syarat erlu da cuku suatu fugsi teritegral Hestock-Duford ada [ab] yaitu memeuhi sifat essetially small Riema sums ada [ab] Sifat Essetially small Riema sums meyataka bahwa fugsi yag teritegral Hestock-Duford ada [ a b ] daat didekati dega fugsi teritegral Lebesgue ada [ a b ] Sifat ii memerlemah syarat fugsi teritegral Lebesgue di dalam sifat fuctioally small Riema sums yag meruaka fugsi o egatif [] Defiisi 3 Diberika f :[ a b] X fugsi terukur ada [ a b ] Fugsi f dikataka memuyai sifat essetially small Riema sums ada [ a b ] ditulis f Î ESRS[ a b] jika utuk setia bilaga e > x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] terdaat fugsi x g teritegral Lebesgue ada [ a b ] da terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika D = artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a( D) < e x f ( ¹ x g ( Teorema 3 Jika fugsi f Î HD[ a b] maka f Î ESRS[ a b] Diketahui f Î HD[ a b] berarti utuk setia bilaga e > x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika D = artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a( D) - H x f < e Meurut Teorema [] karea f Î HD[ a b] maka f Î FSRS[ a b] yaitu utuk setia bilaga e > x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] terdaat fugsi o egatif x h teritegral Lebesgue ada [ a b ] da terdaat fugsi ositif d ada a b sehigga jika = ( D [ ] Perro d -fie ada berlaku x f ( > x h( D artisi D x f ( a( D) < e Didefiisika fugsi x g oleh ì jika ï x h x x g( =í ïî utuk setia xî [ a b] jika x f ( > x h( Dieroleh fugsi x g teritegral Lebesgue ada [ a b ] kibatya utuk setia bilaga e > x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] di atas da sebarag D = artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( ¹ x g ( a( D) 59
Solikhi YD Sumato da Siti Khabibah (Essetially Small Riema Sums Fugsi Teritegral Hestock-) = x f ( a( D) < D e x f ( > x h( Jadi f Î ESRS[ a b] Teorema 33 Jika fugsi f Î ESRS[ a b] maka f Î HD[ a b] Diketahui f Î ESRS[ a b] berarti utuk setia bilaga e > x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] terdaat fugsi x g teritegral Lebesgue ada [ a b ] da terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] D = D x artisi Perro sehigga jika d -fie ada berlaku Fugsi D x f ( a( D) < e x f ( ¹ x g ( x g teritegral Lebesgue ada [ a b ] maka terdaat fugsi ositif d ada [ a b ] sehigga jika D da D artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a( D) - D x f ( a( D) < e utuk setia x Î X da iterval tertutu Ì [ a b] di atas Diambil fugsi ositif d ada [ a b ] dega d ( = mi d ( d ( { utuk setia xî [ a b] kibatya utuk sebarag D da D artisi Perro d -fie ada berlaku D x f ( a ( D) -D x f ( a ( D) D x f ( ¹ x g ( + D x f ( ¹ x g ( + D x f ( = x g ( a( D) a( D) a ( D) + D x f ( = x g ( a( D) < e+ e + D x g( a ( D) -D x g( a ( D) < 3e Meurut Kriteria Cauchy f Î HD[ a b] Jadi f Î HD[ a b] kibat 34 Fugsi f Î HD[ a b] jika da haya jika f Î ESRS[ a b] kibat 34 meruaka syarat erlu da cuku suatu fugsi terukur teritegral Hestock-Duford ada [ab] yaitu memeuhi sifat essetially small Riema sums ada [ab] 4 PENUTUP Berdasarka hasil embahasa daat disimulka bahwa syarat erlu da cuku suatu fugsi terukur teritegral Hestock- Duford ada [ab] adalah fugsi tersebut bersifat essetially small Riema sums ada [ab] 5 DFTR PUSTK [] Gordo R (994) The Itegral of lebesgue Dejoy Perro ad Hestock Mathematical Society US [] Lee PY (989) Lazhou Lectures o Hestock Itegratio World Scietific Sigaore [3] Boccuto Skvortsov V (4) Hestock-Kurzweil Tye Itegratio of Riesz-Sace-Valued Fuctios ad licatios to Walsh Series Real alysis Echage 9(): 49-439 [4] Heikkila S () Mootoe Covergece Theorems for Hestock- Kurzweil Itegrable Fuctios ad licatios Joural of Mathematical alysis ad licatios 377(): 86-95 [5] Idrati ChR Budi Surodjo () likasi Itegral Hestock-Kurzweil ada Meda Vektor Lembaga Peelitia UGM Yogyakarta 6
Jural Matematika Vol 7 No gustus 4 : 55-6 [6] Schwabik S Guoju Ye (4) Toics i Baach Sace Itegratio Mauscri i Prearatio [7] Idrati Ch R () Itegral Hestock-Kurzweil di dalam Ruag Euclide Berdimesi- Disertasi Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta [8] Guoju Ye Tiaqig () O Hestock-Duford ad Hestock- Pettis Itegrals IJMMS 5(7): 467-478 [9] Saifullah (3) Itegral Hestock- Duford ada Ruag Euclide Tesis Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta [] Solikhi Sumato Khabibah (3) Locally da Globally Small Riema Sums Fugsi Teritegral Hestock- Duford ada [ab] Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika 9 November 3 8 halama 55-64 ISBN 978 979-6353-9-4 [] Idrati ChR dkk (3) Covergece Theorems for The Hestock Itegral Ivolvig Small Riema Sums Real alysis Echage 9(): 48-488 [] Solikhi Sumato Khabibah () Fuctioally Small Riema Sums Fugsi Teritegral Hestock-Duford ada [ab] Jural Sais da Matematika (3): - [3] Bartle R & Sherbert D (98) Itroductio to Real alysis Joh Wiley & Sos New York 6