a 6 TRIGONOMETRI A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN ELAJAR Kompetensi Dasar 1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, ertanggungjawa, konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam kehidupan sehari hari.. Mendeskripsikan dan menganalisis aturan sinus dan kosinus serta menerapkannya dalam menentukan luas daerah segitiga. 3. Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait luas segitiga dan menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menyelesaikannya Pengalaman elajar Melalui pemelajaran materi trigonometri, siswa memperoleh pengalaman elajar: Menemukan konsep perandingan trigonometri melalui pemecahan masalah otentik. erkolaorasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur. erpikir tingkat tinggi (erpikir kritis dan kreatif) dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep trigonometri dalam memecahkan masalah otentik Aturan sinus Aturan kosinus Luas segitiga
. PETA KONSEP Segitiga Materi prasyarat Masalah Otentik Trigonometri Aturan sinus Aturan kosinus Luas daerah segitiga 178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
. MATERI PEMELAJARAN 1. Aturan Sinus Pada pelajaran trigonometri di kelas X, kamu telah elajar konsep trigonometri untuk segitiga siku-siku. Pada ahasan ini kita akan menemukan rumus-rumus trigonometri yang erlaku pada searang segitiga. Permasalahan pada segitiga adalah menentukan panjang sisi dan esar sudut segitiga. Jika hanya seuah panjang sisi segitiga diketahui, apakah kamu dapat menentukan panjang sisi-sisi yang lain? Atau kamu dapat menentukan esar sudutnya? Sealiknya, jika hanya seuah sudut segitiga yang diketahui, apakah kamu dapat menentukan esar sudut-sudut yang lain dan panjang sisi-sisinya? Pertanyaan selanjutnya adalah apa saja yang harus diketahui agar kamu mampu menyelesaikan masalah segitiga terseut? Agar kamu dapat memahaminya, pelajarilah masalah-masalah erikut. Masalah-6.1 Jalan k dan jalan l erpotongan di kota A. Dinas tata ruang kota ingin menghuungkan kota dengan kota dengan memangun jalan m dan memotong kedua jalan yang ada, seperti yang ditunjukkan Gamar 6.1 di awah. Jika jarak antara kota A dan kota adalah 5 km, sudut yang dientuk jalan m dengan jalan l adalah 75 dan sudut yang dientuk jalan k dan jalan m adalah 30. Tentukanlah jarak kota A dengan kota! Jalan l A Jalan m Jalan k Gamar 6.1. Jalan k, l, dan m. Matematika 179
Alternatif Penyelesaian ke-1 (dengan memanfaatkan garis tinggi pada segitiga) Untuk memudahkah perhitungan, kita entuk garis tinggi AD, dimana garis AD tegak lurus dengan garis, seperti Gamar 6. erikut. Jalan l A Jalan k D Jalan m Gamar 6.. Segitiga A dengan garis tinggi AD Ingat kemali konsep sinus pada segitiga siku-siku. Perhatikan AD! Dalam AD, diperoleh ahwa: sin = AD atau AD = A. sin...(1) A Dalam AD, diperoleh ahwa: sin = AD atau AD = A. sin...() A Dari persamaan (1) dan () diperoleh ahwa: A. sin = A. sin (3) Diketahui ahwa = 75 0 ; = 30 0 ; dan jarak A = 5. Dengan mensustitusikan nilai-nilai ini ke persamaan (3) maka diperoleh A. sin = A. sin A sin 30 0 = 5 sin 75 0 (gunakan tael sinus atau kalkulator, sinus 75 0 = 0, 965) A = 5 0, 965 1 = 10 0,965 = 9, 65 Jadi, jarak kota A dengan kota adalah 9, 65 km. 180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Perhatikan Gamar 6.3 erikut. A Q c a P Gamar 6.3 Segitiga A Dari Gamar 6.3 di samping, diketahui ahwa A dengan panjang sisi-sisinya adalah a,, dan c. Garis AP merupakan garis tinggi, dimana AP dan garis Q merupakan garis tinggi, dimana Q A. Dari AP diperoleh, sin = AP atau AP = c sin...(1) c Dari AP diperoleh, sin = AP atau AP = sin...() Dari Persamaan (1) dan () diperoleh, c sin = sin 1 (kalikan kedua ruas dengan sinsin ) csin sin = sinsin sinsin c Maka diperoleh, =...(3) sin sin Dari AQ diperoleh, sin A = Q Dari Q diperoleh, sin = Q a atau Q = sin A...(4) atau Q = a sin...(5) Dari Persamaan (4) dan (5) diperoleh, sin A = a sin 1 (kalikan kedua ruas dengan sinsin ) sin A asin = sinasin sinasin Matematika 181
a Maka diperoleh, = (6) sin sin A erdasarkan persamaan (3) dan (6), maka diperoleh a c = = sina sin sin Alternatif Penyelesaian ke- Perhatikan kemali Gamar 6.4 erikut. A lancip dan AD dan E merupakan diameter lingkaran O dengan jari-jari r. Panjang garis A = c; A = ; = a; AD = E = r. A = AD = β; A = AE = ø dan AD adalah sudut siku-siku = 90 0. Dari AD diperoleh sin β = A AD = sehingga r r Gamar 6.4. A pada lingkaran O = sin β...(1) Dari AE diperoleh A c sinθ = = E r sehingga r c =...() sinθ c Dari persamaan (1) dan persamaan () di peroleh = sinβ sinθ Latihan Dengan menggunakan a A = α, uktikanlah ahwa r =. sinα Dari uraian di atas, maka disimpulkan aturan sinus pada segitiga seperti erikut. 18 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
P Aturan Sinus r q Untuk semarang segitiga A, dengan Q panjang sisi-sisi a,, c dan A,,, erlaku a c = =. sina sin sin Latihan 6.1. Untuk segitiga tumpul PQR di samping, uktikanlah ahwa p q r = = erlaku. sinp sinq sin R p R Alternatif Penyelesaian erdasarkan gamar di atas diperoleh sin P = QX...(1) r sin R = QX...() P erdasarkan (1) dan () diperoleh QX = r sin P dan QX = p sin R karena QX = QX maka r p r sin P = p sin R sehingga = (terukti) sinr sin P Matematika 183
ontoh 6.1 Perhatikan segitiga A erikut. Panjang A = 8, = 8, A =, sudut A = 45 o, sudut A = y o dan sudut A = x o. Dengan memanfaatkan tael sinus pada sudut x o maka tentukan panjang. Gamar 6.5 Segitiga A Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh: A 8 8 = = o o o sina sin y sin45 sin y 8 8 = o 1 sin y 8 16= o sin y o 1 o o sin y = atau y = 30 Dengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu A + + = 180 o sehingga 45 o + 30 o + x o = 180 o atau x o = 105 o. Dengan menggunakan aturan sinus kemali maka diperoleh: 184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
A A 8 = = sinx sin y sin105 sin30 8 = o sin105 1 = 16 o sin105 o = 16. sin 105 o o o o Dengan memanfaatkan tael sinus atau kalkulator maka diperoleh: = 16.sin 105 o = 16 0,9659 = 15,4548. Jadi, panjang sisi A adalah 15,4548 satuan panjang.. Aturan osinus Perhatikan Gamar 6.6 di awah! Pada segitiga (i), diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga (ii), diketahui seuah sudut dan dua uah sisi yang mengapitnya. agaimana cara Anda mengetahui ukuran sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga terseut? s s (i) s s sd s (ii) Gamar 6.6. Segitiga jika diketahui (s, s, s) dan (s, sd, s) Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6. erikut. Masalah-6. Dua kapal tanker erangkat dari titik yang sama dengan arah ereda sehingga mementuk sudut 60. Jika kapal pertama ergerak dengan kecepatan 30 km/jam, dan kapal kedua ergerak dengan kecepatan 5 km/ jam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah erlayar selama jam perjalanan. Matematika 185
Alternatif Penyelesaian Untuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan ahwa pergerakan kapal mementuk segitiga seperti gamar di awah. A 60 c a Gamar 6.7 Segitiga A dengan sudut A = 60 o Dari gamar di atas, dapat kita misalkan eerapa hal seagai erikut. - Titik A merupakan titik keerangkatan kedua kapal terseut. - esar sudut A merupakan sudut yang dientuk lintasan kapal yang ereda yaitu seesar 60 0. - A merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama selama jam dengan kecepatan 30 km/jam, sehingga A = 60 km. - A merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama jam perjalanan dengan kecepatan 5 km/jam, sehingga A = 50 km. - merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh perjalanan selama jam karena itu, pertanyaan yang harus dijawa adalah erapakah. Agar kita dapat menentukan jarak, maka kita perlukan gamar erikut. Garis P merupakan garis tinggi segitiga A, dimana P A. Misalkan panjang AP adalah x maka panjang P adalah (c x). Perhatikan AP! Dari AP erlaku: A = AP + P atau P = A AP. A x P c a c-x Gamar 6.8 Segitiga A dengan garis tinggi P Dengan mensustitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, maka P = - x...(1) Dari P erlaku: = P + P atau P = P. 186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Dengan mensustitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh, P = a (c - x) = a c + cx x...() erdasarkan persamaan (1) dan () diperoleh: - x = a c + cx x = a c + cx x + x = a c + cx atau a = + c - cx...(3) erdasarkan AP, diperoleh cos A = x, maka x = cos A...(4) dengan mensustitusi persamaan. (4) ke dalam persamaan (3), maka diperoleh: a = + c - c cos A...(5) Dengan mensustitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke dalam persamaan (5) maka diperoleh a = + c - c cos A = 50 + 60 ( 50 60 cos 60 0 ) = 500 + 3600 (600 1 ) = 4100 300 = 3800 Maka jarak antara kedua kapal tanker terseut setelah perjalanan selama jam adalah 3800 km. erdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6. di atas, ditemukan aturan kosinus pada searang segitiga seagai erikut. Aturan osinus Untuk semarang segitiga A, dengan panjang sisi-sisi a,, c dan A,,, erlaku a = + c - c cos A = a + c - ac cos c = a + - a cos Matematika 187
ontoh 6. Perhatikan gamar erikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga terseut. Gamar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60 o Alternatif Penyelesaian Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: RQ = PR + PQ.PR.PQ.cos 60 o ( x + ) = (x + 1) + (x 1).(x + 1).(x 1).cos 60 o 4(x + ) = (x + 1) + (x 1) (x + 1).(x - 1) 4x + 8 = x + x + 1 + x x + 1 x + 1 x 4x 5 = 0 (ingat konsep persamaan kuadrat) (x 5)(x + 1) = 0 sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 sehingga panjang sisi-sisi segitiga terseut adalah 4, 6 dan 7. 3. Luas Segitiga Masalah-6.3 Seidang tanah erentuk segitiga A seperti pada gamar di samping. Panjang sisi A adalah 30 m, panjang sisi adalah 16 m dan esar sudut A adalah 300. Jika tanah itu dijual dengan harga Rp50.000,00 untuk setiap meter persegi. Tentukan harga penjualan tanah terseut. A 16 30 P 30 Gamar 6.10. Segitiga A 188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Alternatif Penyelesaian Garis P merupakan garis tinggi segitiga A sehingga P tegak lurus A. Luas A = 1 A P...(1) Dari segitiga AP diketahui sin A = P, sehingga P = A sin A...() A Dengan mensustitusikan pers () ke pers. (1) diperoleh Luas A = 1 A A sin A = 1 30 16 sin 300 = 10 Maka luas tanah terseut adalah 10 m. Jika harga 1 m tanah adalah Rp50.000,00, maka harga jual tanah terseut ditentukan dengan 10 50.000 = 30.000.000. Maka harga jual tanah terseut adalah Rp30.000.000,00 Perhatikan Gamar 6.11 erikut. Gamar 6.11 Segitiga A Garis P merupakan garis tinggi A sehingga A tegak lurus P. Panjang sisi A, A, dan erturut-turut adalah c,, dan a. Ingat kemali rumus menentukan luas daerah segitiga. Luas A= 1 A P...(1) Matematika 189
Dari segitiga AP diketahui sin A = P, sehingga P = A sin A...() A Dengan mensustitusikan persamaan () ke persamaan (1) diperoleh Luas A Luas A Luas A = 1 A P = 1 A A sin A = 1 c sin A Perhatikan Gamar 6.1 erikut. Garis AQ merupakan garis tinggi A sehingga tegak lurus AQ. Panjang sisi A, A, dan c erturut-turut adalah c,, dan a. Q a A Gamar 6.1 Segitiga A Luas A= 1 AQ...(1) Dari segitiga AQ diketahui sin = AQ, sehingga AQ = A sin...() A Dengan mensustitusikan pers () ke pers. (1) diperoleh Luas A Luas A Luas A = 1 AQ = 1 A sin = 1 a c sin 190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Latihan 6. Dengan menggunakan P pada Gamar 6.11 dan AQ pada Gamar 6.1, tentukanlah rumus Luas A. erdasarkan penyelesaian uraian-uraian di atas, ditemukan rumus luas searang segitiga seagai erikut. Definisi 6.1 Untuk semarang segitiga A, dengan panjang sisi-sisi a,, c dan A,, 1, erlaku Luas A = a sin = 1 c sin A = 1 ac sin. Latihan 6.3 Dengan menggunakan segitiga A tumpul seperti Gamar 6.13 diawah, uktikan ahwa Luas A = 1 c sin A. Gamar 6.13. Segitiga tumpul A erdasarkan Gamar 6.13 diperoleh ΔQA siku-siku di Q, sehingga Q = c sin A dan diperoleh juga Q = a sin karena Luas ΔA = 1 Q = 1 sin Matematika 191
ontoh 6.3 Perhatikan gamar erikut. Titik A,,, dan D ada pada lingkaran L dengan panjang A = 1, =, D = 3 dan AD = 4. Gamar 6.14 Segiempat AD pada lingkaran L Tentukan luas segiempat AD dengan panjang A = 1, =, D = 3 dan AD = 4. Alternatif Penyelesaian Langkah 1. agi daerah AD menjadi dua agian dengan menarik garis A atau D. Misalkan, kita pilih garis D sehingga gamar menjadi: Gamar 6.15 Daerah segiempat AD teragi atas dua segitiga 19 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Langkah. Manfaatkan aturan cosinus pada masing-masing daerah. Perhatikan segitiga AD Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: D = A + AD A.AD.cos A D = 1 + 4.1.4.cos A D = 17 8.cos A Perhatikan segitiga D Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: D = + D.D.cos D = + 3..3.cos D = 13 1.cos erdasarkan konsep sudut pada lingkaran maka A + = 180 sehingga = 1800 A sehingga diperoleh: 17 8.cos A = 13 1.cos 17-8.cos A = 13 1.cos (180 A) (ingat konsep trigonometri di kelas X) 17 8.cos A = 13 + 1.cos A 0.cos A = 4 cos A = 1 5 Langkah 3. erdasarkan konsep trigonometri pada kelas X maka diperoleh segitiga siku-siku dengan cos A = 1. Perhatikan Gamar! 5 Dengan Phytagoras maka diperoleh panjang sisi di depan sudut A adalah 5 1= 4= 6. Dengan konsep trigonometri dasar maka diperoleh: sin A = 6 1 5 Gamar 6.16 Nilai cos A = 5 pada segitiga siku-siku Matematika 193
Langkah 4. Jadi, luas AD = luas AD + luas D luas AD = 1.A.AD.sin A + 1..D.sin luas AD = 1.1.4.sin A + 1..3.sin (180o A) luas AD =.sin A + 3.sin A luas AD = 5.sin A luas AD = 5 6 5 luas AD = 6 Jadi, luas segiempat AD pada lingkaran terseut adalah 6satuan luas. ontoh 6.4 Pada segitiga A dengan luas L. Panjang A = p, A = q. Jika D pada sehingga AD memagi sudut A menjadi dua agian yang sama yaitu x o maka tentukan panjang AD. Alternatif Penyelesaian Soal ini diserahkan kepada siswa. Kamu kerjakan soal terseut dengan petunjuk pada langkah-langkah erikut. Langkah 1. Gamarkan segitiga yang dimaksud Langkah. Perhatikan ahwa segitiga teragi menjadi dua agian. Tentukan luas masing-masing agian. Hasil jumlah kedua agian segitiga sama dengan luas segitiga A. Langkah 3. Panjang AD telah ditemukan. 194 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Uji Kompetensi 6.1 1. Kapal laut A dan erlayar dari titik M pada waktu yang ersamaan. Kapal A erlayar dengan dengan jurusan tiga angka 10 0 dan erlayar dengan jurusan tiga angka 3 0. Hitunglah jarak kedua kapal terseut setelah erlayar selama 3 jam, jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal adalah 45 km/jam.. Tentukan sisi-sisi segitiga A, jika diketahui seagai erikut. a) a + = 10, A= 60 0, dan = 45 0 ) a = 6, A= 45 0, dan = 30 0 3. Dua sisi yang erdekatan pada suatu jajargenjang adalah 84 cm dan 68 cm. Sudut apit sisi itu adalah 7. Hitunglah luas jajargenjang terseut. 4. Diketahui segitiga A seperti gamar di samping. uktikanlah ahwa a± sina± sin =. c sin A c a 5. Hitunglah unsur-unsur yang elum diketahui erikut ini. A dengan a = 4 cm, = 3 cm, dan = 5 0 A dengan = 0 cm, = 18 cm, dan = 14 0 6. Hitunglah esar sudut-sudut pada segitiga A, jika diketahui a = 5 cm, = 7 cm, dan c = 9 cm. Q 7. Diketahui segitiga PQR seperti gamar di samping. uktikanlah ahwa p sin( Q+ R) =. r sin R P r q p R Matematika 195
8. Diketahui jajargenjang AD dengan panjang diagonal c dan d seperti gamar di samping. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga, uktikanlah ahwa c + d = (a + ). A a D d c a 9. Diketahui segiempat AD seperti gamar di samping. Jika panjang diagonal D = 6 cm, dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga tentukanlah panjang diagonal A. D A 4 cm 6 cm 5,5 cm 3,5 cm 10. Dua lingkaran dengan jari-jari 5 cm dan 3 cm erpotongan pada dua titik. Pada salah satu titik potong, garis singgung kedua lingkaran mementuk sudut 60 0 seperti gamar di samping. Tentukanlah jarak kedua titik pusat lingkaran terseut. O 5cm 60 3cm P 11. Dengan menggunakan aturan kosinus pada segitiga A, uktikanlah ahwa a) c < a + jika lancip; ) c > a + jika tumpul; dan c) c = a + jika siku-siku. 1. Untuk searang segitiga A, uktikanlah ahwa a) cos A cos cos a + + c + + = a c ac ( ) ( ) ( ) ) cosa cos cos a c a a c c + + + + + + = a + c ac 196 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK Semester 1
Projek Lukislah seuah segitiga semarang. Dengan menggunakan penggaris dan usur kemudian ukurlah panjang masing-masing sisi dan sudutnya. Selanjutnya uktikanlah ahwa aturan sinus dan aturan kosinus erlaku pada segitiga terseut (Agar perhitunganmu akurat, gunakan kalkulator untuk menghitung nilai sinus dan kosinus sudut-sudut segitiga terseut). uatlah laporan hasilnya dan persentasikan di depan kelas. D. PENUTUP erdasarkan uraian materi pada a 6 ini, eerapa kesimpulan yang dapat dinyatakan seagai pengetahuan awal untuk mendalami dan melanjutkan ahasan erikutnya. eerapa kesimpulan disajikan seagai erikut. 1. Untuk semarang segitiga A, dengan panjang sisi-sisi a,, c dan A,,, a c erlaku aturan sinus = =. sina sin sin. Untuk semarang segitiga A, dengan panjang sisi-sisi a,, c dan A,,, erlaku aturan cosinus (i) a = + c - c cos A (ii) = a + c - ac cos (iii) c = a + - a cos 3. Untuk semarang segitiga A, dengan panjang sisi-sisi a,, c dan A,,, erlaku Luas A = 1 a sin = 1 c sin A = 1 ac sin eerapa hal yang telah kita rangkum di atas adalah modal dasar agi kamu dalam elajar materi trigonometri secara leih mendalam pada jenjang pendidikan yang leih tinggi. Konsep-konsep dasar di atas harus kamu pahami dengan aik karena akan memantu dalam pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Matematika 197