KESEBANGUNAN. Matematika

Transkripsi

1 KESENGUNN. Gambar erskala, Foto, dan Model erskala Gambar berskala, foto, dan model berskala banyak digunakan dalam bidang matematika, arsitektur, geografi, dan lain-lain. Seorang arsitek yang akan membuat gedung bertingkat misalnya, harus membuat gambar berskala atau model berskala (maket). Dengan gambar atau model berskala ia dapat merancang tata ruang dan bentuk bangunan yang megah. 1. Skala pada Peta Gambar berskala sering disebut peta atau denah. Dengan peta kita dapat memperkirakan jarak antara kota satu dengan kota yang lain. Perbandingan antara ukuran pada peta dengan ukuran dalam keadaan sebenarnya disebut skala. Misalnya, suatu peta menggunakan skala 1 : artinya 1 cm pada peta mewakili cm atau 5 km dalam keadaan sebenarnya. ontoh: Jarak antara Waikabubak dengan Waingapu pada peta (skala 1 : ) adalah 4 cm. erapakah jarak sebenarnya? Skala 1 : atau 1 cm mewakili 24,6 km. Jarak sebenarnya adalah 4 24, 6 km = 98, 4 km. ontoh: Jarak antara dua kota pada peta 2 cm. Jarak sebenarnya antara kedua kiota itu 60 km. Tentukan skala peta tersebut! Jarak pada peta 2 cm. Jarak sebenarnya 60 km = Skala peta adalah 2 : = 1 : ontoh: Jarak sebenarnya antara kota P dan kota Q adalah 75 km. Tentukan jarak antara kota P dan kota Q pada peta, jika peta tersebut menggunakan skala 1 :

2 Skala 1 : berarti 1 cm mewakili 50 km. Jarak sebenarnya 75 km. Jarak pada peta = 1,5 cm Jadi, jarak antara kota P dan kota Q pada peta adalah 1, 5 cm. Latihan 1 1. Pada peta yang berskala 1 : jarak antara kota P dan Q adalah 5 cm. Tentukan jarak sebenarnya antara kota P dan Q! 2. Kota dan b pada peta berjarak 3,5 cm. Jika jarak sebenarnya antara kota dan adalah 14 km, tentukan skala peta itu! 3. Jarak sebenarnya antara kota X dan Y adalah 150 km. Tentukan jarak antara X dan Y pada peta yang berskala 1 : ! 4. Kota dan pada peta berjarak 4,5 cm. Pada peta yang sama jarak kota P dan Q adalah 5 cm. Jika jarak sebenarnya antara kota P dan Q adalah 70 km, tentukan jarak sebenarnya antara kota dan! 2. Menentukan Ukuran Foto atau Model dan Ukuran Sesungguhnya Foto termasuk gambar berskala. Ukuran foto tidak selalu lebih kecil daripada keadaan sebenarnya. Pada mikroskop misalnya, bayangan (gambar) dari jasad renik dapat diperbesar hingga ribuan kali sehingga memudahkan untuk diamati. Untuk keperluan reklame kadang-kadang foto dibuat lebih besar dari keadaan benda sebenarnya. Pada foto, setiap ukuran dalam keadaan sebenarnya diperkecil atau diperbesar dengan perbandingan yang sama. Oleh karena itu, setiap ukuran pada foto dengan ukuran yang bersesuaian dalam keadaaan sebenarnya mempunyai perbandingan ukuran yang sama. ontoh: Lebar rumah dan tinggi jendela pada foto berturut-turut adalah 6 cm dan 1,3 cm. Lebar rumah sebenarnya adalah 6 m. erapakah tinggi jendela sebenarnya? Misalnya, tinggi jendela sebenarnya adalah t. untuk memudahkan perhitungan kita buat tabel berikut ini. 2

3 Lebar Rumah Tinggi Jendela Pada Foto 6 cm 1,3 cm Sebenarnya 6 m = 600 cm t Jadi, tinggi jendela sebenarnya adalah 130 cm. ontoh: Model suatu mobil panjangnya 25 cm dan tingginya 10 cm. Jika tinggi mobil sebenarnya 1,5 m, berapakah panjang mobil sebenarnya? Misalnya panjang mobil sebenarnya x Sebenarnya Pada Model Panjang mobil Tinggi mobil x 1,5 m 25 cm 10 cm Jadi, panjang mobil sebenarnya 3,75 m. Latihan 2 1. Pada layar televisi tinggi sebatang pohon 9 cm dan tinggi rumah di sampingnya 6 cm. Jika tinggi pohon sebenarnya 15 m, berapakah tinggi rumah sebenarnya? 2. Suatu pesawat udara panjang badannya 24 m dan panjang sayapnya 32 m. Jika pada model panjang sayapnya 12 cm, hitunglah panjang badan model tersebut! 3. Suatu gedung bertingkat panjangnya 45 m, lebar 9 m, dan tinggi 27 m. Jika panjang model gedung itu 50 cm, tentukan lebar dan tinggi model tersebut! 3

4 . angun-angun yang Sebangun 1. Syarat Dua angun yang Sebangun D 6 cm 12 cm S 3 cm R P 6 cm Q Gambar di atas menunjukkan dua trapesium yang sebangun. Sisi bersesuaian dengan sisi PQ Sisi D bersesuaian dengan sisi PS Sisi bersesuaian dengan sisi QR Sisi D bersesuaian dengan sisi SR Perhatikan bahwa: : PQ = 12 : 6 = 2 : 1 D : PS = D : SR = 6 : 3 = 2 : 1 Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa : SR = 2 : 1. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian antara trapesium D dengan trapesium PQRS mempunyai perbandingan yang sama. : PQ = D : PS = D : SR = 2 : 1. Sudut bersesuaian dan sama besar dengan sudut P. Sudut bersesuaian dan sama besar dengan sudut Q. 4

5 Sudut bersesuaian dan sama besar dengan sudut R. Sudut D bersesuaian dan sama besar dengan sudut S. Jadi, dua bangun dikatakan sebangun jika memenuhi dua syarat: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. 2. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi yang elum Diketahui dari Dua angun yang Sebangun Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun yang sebangun adalah sebanding, artinya mempunyai perbandingan yang sama. Dengan pengertian tersebut, dapat dihitung panjang salah satu sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang sebangun. ontoh: D 18 cm Pada gambar di samping, diketahui jajargenjang R 12 cm Q PQR sebanyak dengan jajargenjang D. 15 cm Tentukan panjang sisi PQ! x P D = 18 cm, QR = 12 cm = 15 cm, PQ = x D = QR = : PQ tau Jadi, panjang sisi PQ adalah 10 cm. 5

6 Latihan 3 1. S R 6 cm 8 cm P 4 cm 12 cm Q Perhatikan gambar di atas! uktikan bahwa persegi panjang PQRS sebangun dengan persegi panjang S! 2. D H G 12 cm 7 cm 3 cm E F Persegi panjang D sebangun dengan persegi panjang FGHE. Hitunglah panjang!. Segitiga-Segitiga yang Sebangun 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun Perhatikan gambar! M Segitiga kita kalikan dengan faktor skala 2 dari titik M. Dengan demikian jarak titik (bayangan dari ) terhadap M adalah dua kali jarak terhadap M demikian pula titik dan Jadi, merupakan hasil dilatasi dari dengan faktor 2 terhadap titik pusat M, sehingga sebangun dengan. 6

7 pabila kita ukur dengan mistar kita peroleh: bersesuaian dengan bersesuaian dengan bersesuaian dengan Pada dua segitiga yang sebangun, sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama. pabila kita ukur sudut-sudutnya, kita peroleh:, bersesuaian dengan, bersesuaian dengan, bersesuaian dengan Pada dua segitiga yang sebangun, sudut-sudut yang bersesuaian besarnya sama. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. ontoh: Dari gambar di samping, buktikan bahwa sebangun dengan DFE. Sebutkan sisi-sisi yang P bersesuaian! Pada, = = 30 Pada DEF, F = = 60 Jadi, = E = F sebangun dengan DEF Sisi bersesuaian dengan DF. Sisi bersesuaian dengan DE. Sisi bersesuaian dengan EF. Q 7

8 2. Menghitung Panjang Salah Satu Sisi Segitiga yang elum Diketahui dari Dua Segitiga yang Sebangun Dengan pengertian bahwa pada dua segitiga yang sebangun, sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama, maka dapat dihitung salah satu sisi segitiga yang belum diketahui. ontoh: Pada segitiga yang sebangun dengan segitiga DE seperti gambar di samping, tentukan panjang sisi DE! 6 cm x 2 cm D Misal panjang DE = x DE bersesuaian dengan D bersesuaian dengan Jadi, cm 3. Menggunakan Segitiga-Segitiga Sebangun untuk Menentukan Perbandingan Ruas Garis pada Segitiga Gambar di bawah memperlihatkan bahwa titi,,, dan D terletak pada satu garis lurus dengan perbandingan : : D = 1 : 2 : Kita dapat menentukan perbandingan-perbandingan yang lain misalnya, : D = (1 + 2) : 5 = 3 : 5 : D = (1 + 2) : (2 + 5) = 3 : 7 8

9 : D = 1 : (2 + 5) = 1 : 7 Dengan cara yang sama kita dapat menentukan perbandingan ruas garis pada segitiga-segitiga yang sebangun. ontoh: Pada gambar di samping, E sebangun dengan D. E : D = 1 : 3 Tentukan: a. : 1 b. : 3 E a. : = E : D =1 : 3 D b. : = 1 : 3 Jadi, = 3 1 =2 Dengan demikian : = 1 : 2 4. Menyelesaikan Soal erita yang erkaitan dengan Kesebangunan ontoh: Untuk membuat sebuah pesawat terbang, dibuat model dengan ukuran panjang badan 9 cm dan panjang sayap 12 cm. Jika panjang badan pesawat sebenarnya 42 m, berapakah panjang sayap sebenarnya? Model pesawat sebangun dengan pesawat sebenarnya. Panjang model bersesuaian dengan panjang pesawat. Panjang sayap model bersesuaian dengan panjang sayap pesawat. Misal panjang sayap sebenarnya x, maka: Jadi, panjang sayap sebenarnya 56 m. 9

10 Latihan 4 1. Dalam dan KLM, = 42, = 83, M = 55 dan L = 83. uktikan bahwa sebangun dengan KLM. Tulislah sisi-sisi yang bersesuaian! 2. Pada gambar di samping segitiga siku-siku di. DE tegak lurus. = 6 cm, DE = 3 cm, dan = 8 cm a. uktikan bahwa sebangun dengan DE! b. Hitunglah panjang D! D 3. E Pada, D adalah garis tinggi. Dengan sifat-sifat kesebangunan buktikan bahwa: D 2 = D 2 = D D 2 = D D 4. Pada gambar di samping, E sebangun dengan D. Tentukan: a. E : D b. E : ED 1 3 E D 5. Sebuah foto yang lebarnya 6 cm dan tingginya 9 cm diperbesar sehingga tingginya menjadi 81 cm. erapakah lebar foto setelah di perbesar? 6. Sebuah tongkat tingginya 2 m dan panjang bayangannya 1,5 m. Pada saat yang sama bayangan suatu pohon panjangnya 4,5 m. Tentukan tinggi pohon itu! (Matematika 3 Kurikulum SLTP 1994, Jakarta, 1999) 10