PEMETAAN MÖBIUS. Gani Gunawan. Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No 1, Bandung,40116, Indonesia

Transkripsi

1 Jurnal Matematika Vol6 No Novemer 006 [ : 7 ] PEMETAAN MÖBIUS Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No, Banung,406, Inonesia ggan06@yahoocom Astrak Transformasi ilinear apat ikomposisikan ari transformasi linear an transformasi resiprok Sifat-sifat geometris ari transformasi ilinear apat iperoleh ari sifat geometris keua transformasi terseut Dapat iperlihatkan ahwa himpunan semua transformasi ilinear mementuk struktur grup terhaap operasi komposisi fungsi an isomorfis engan himpunan semua matriks kompleks yang invertile eroro Kata kunci: Transformasi Möius, Transformasi Bilinear Penahuluan Seelum masuk paa pemahasan transformasi ilinear terleih ahulu iahas tentang transformasi linear an transformasi resiprok Karena transformasi ilinear apat ikomposisikan ari transformasi linear an transformasi resiprok Sehingga sifat-sifat geometris ari transformasi ilinear apat iperoleh ari sifat geometris keua transformasi terseut Paa agian selanjutnya apat itunjukkan ahwa himpunan ari semua transformasi ilinear mementuk struktur grup terhaap operasi komposisi fungsi an isomorfis engan himpunan semua matriks kompleks yang invertile eroro Transformasi Linear Definisi (Transformasi Linear) Suatu transformasi yang erentuk w = f(z) = az +, engan a, C, a 0 iseut transformasi linear Sifat-sifat transformasi linear: a f z a, untuk setiap z C, maka f aalah transformasi entire atau transformasi analitik menyeluruh f aalah transformasi satu-satu, karena jika z z, maka f(z ) = az + az + = f(z ) c Karena f transformasi satu-satu, maka f mempunyai transformasi invers, yaitu f z z, engan a 0 a a Transformasi linear aalah komposisi ari ua transformasi erikut: = az an w = + Transformasi yang pertama, yaitu = az merupakan suatu rotasi yang memperpanjang atau memperpenek Aapun alasannya aalah seagai erikut: Misal: a = r cis an z = r cis, maka = az () = r cis r cis = r r {(cos + i sin ) (cos + i sin )} = r r {cos cos + sin sin + i (sin cos + cos sin )} = r r {cos ( + ) + i sin ( + )}

2 Jai, = a z an arg = arg a + arg z () Konisi yang mungkin ari transformasi yang pertama aalah seagai erikut: ) Jika a =, maka persamaan () menyatakan rotasi murni ) Jika arg a = 0 an a <, maka persamaan () menyatakan pemenekkan murni 3) Jika arg a = 0 an a >, maka persamaan () menyatakan pemanjangan murni 4) Jika a = an arg a = 0, maka iperoleh transformasi = z yang iseut transformasi ientitas Transformasi yang pertama merupakan suatu transformasi yang mengawetkan similaritas (keseangunan) karena transformasi ini merotasikan setiap titik engan suut yang sama, yaitu arg a an mengalikan moulus ari setiap titik engan faktor yang sama, yaitu a Transformasi keua, yaitu w = + merupakan translasi engan vektor konstan Jai, transformasi ini mentranslasikan setiap titik engan vektor konstan Karena merupakan translasi, maka transformasi yang keua mengawetkan kongruensi Dari pemahasan i atas kita apat menyimpulkan ahwa transformasi linear w = az + merupakan kominasi ari rotasi engan pemanjangan atau pemenekan ilanjutkan engan translasi Perhatikan grafik hasil pemetaan paraola y = i awah pemetaan w = - z + i = -z iang z iang w = -z + i w = + i iang w Gamar Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006

3 Ekspresi Regular Paa Suatu Deterministic Finite State Automata 3 3 Transformasi Resiprok Transformasi w = f(z) = z iseut transformasi resiprok Transformasi ini aalah fungsi satu- satu antara iang z (kecuali z = 0) engan iang w (kecuali w = 0) f (z) =, aa untuk z setiap z 0 Jai transformasi resiprok analitik iseluruh iang C {0} Titik z = 0 tiak mempunyai peta iawah fungsi resiprok an titik w = 0 tiak mempunyai prapeta iawah fungsi resiprok Karena itu iperkenalkan titik tak hingga ( ) Secara intuitif, iawah transformasi resiprok, titik-titik iiang z isekitar z = 0 ipetakan ke titik-titik yang jauh ari w = 0 i iang w an titik-titik i iang z yang jauh ari z = 0 ipetakan ke titik-titik yang ekat ari w = 0 i iang w Misalkan z = r cis t, maka w = z = (cos t isin t) r(cos t isin t) (cos t isin t) (cos t isin t) = cos t i sin t r(cos t sin t) r = cis( t) r Jai iawah transformasi resiprok, suatu titik yang mempunyai moulus r an argument t ipetakan ke titik yang mempunyai moulus an argument r t Sekarang amil searang titik z 0 yang mempunyai moulus r an argument t, an terletak i alam lingkaran satuan Tarik garis L yang melalui titik z ari titik O an tegak lurus ruas garis R, maka garis L akan memotong lingkaran satuan, misal i titik p an p Dari titik p an p iuat garis singgung lingkaran, misal S an T Sehingga garis S an T akan erpotongan i titik paa garis R Dalam hal ini = r an arg () = t Oleh karena itu = z Selanjutnya itentukan titik w = engan mencerminkan titik terhaap sumu real Jai w = r an arg (w) = t, maka w = z an w eraa iluar lingkaran satuan Jai secara umum, melalui transformasi resiprok, jika searang titik z 0 eraa paa lingkaran satuan, maka w juga eraa paa lingkaran satuan Jika searang titik z 0 eraa iluar lingkaran satuan, maka w eraa i alam lingkaran satuan Hal ini iseakan karena w = Akiatnya jika z >, maka w <, jika z =, maka w =, an jika z <, r maka w > Dari konstruksi geometri iatas, apat ikatakan ahwa transformasi resiprok w = z aalah komposisi ua fungsi = itunjukkan engan konjugate z an w =, yaitu inversi alam lingkaran satuan Teorema Melalui transformasi resiprok, garis an lingkaran ipetakan ke garis atau lingkaran Pemuktian iasarkan paa ua fakta erikut: Misal z = + iy an z 0, maka Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006

4 4 (i) z = iy iy y i iy iy y y y y Misal u = an v = y y (ii) Persamaan a( + y ) + + cy + = 0 merepresentasikan suatu lingkaran jika a 0 atau merepresentasikan suatu garis jika a = 0 Akiatnya, searang garis atau lingkaran aalah representasi ari persamaan engan entuk a( + y ) + + cy + = 0 (3) Sekarang misalkan K aalah suatu lingkaran atau garis, maka K mempunyai entuk persamaan a( + y ) + + cy + = 0 y Dari () kita punyai u = an v =, maka y y u + v = y y y Persamaan (3) jika iagi engan y, maka iperoleh a + c y 0 y y y atau (u + v ) + u cv + a = 0 (4) Persamaan (4) aalah seuah garis jika = 0 atau seuah lingkaran jika 0 4 Transformasi Bilinear/Transformasi Möius Definisi (transformasi ilinear): az Transformasi rasional f z, a c 0 (5) cz c iseut transformasi ilinear, jika a c = 0 maka a c cz z Akiatnya, f z cz cz fungsi konstan untuk setiap z C Jai, jika a c = 0, maka akan iperoleh c Transformasi ilinear aalah transformasi yang analitik i C ~ { } Jika c = 0, maka transformasi ilinear menjai transformasi linear Persamaan (5) merepresentasikan transformasi satu-satu ari iang z yang iperluas ke iang w yang iperluas Secara khusus, a titik z ipetakan ke titik w = an titik z = ipetakan ke w c c Sifat transformasi ilinear: a Pemetaan Möius ersifat satu-satu Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006

5 Ekspresi Regular Paa Suatu Deterministic Finite State Automata 5 Secara umum, jika w, w masing-masing aalah hasil ari transformasi Möius untuk z, z, maka az az w w = cz cz az cz az cz = cz cz a c z z = cz cz Karena a c 0, maka peta ari titik z yang erea paa iang Z menghasilkan nilainilai w yang erea paa iang W Jai, jika w = w, maka z = z Jai, pemetaan Möius ersifat satu-satu Transformasi ilinear aalah komposisi ari tiga transformasi erikut: a c a = cz +,, an w Dengan kata lain, transformasi ilinear apat c c ikomposisikan ari transformasi linear, transformasi resiprok, an transformasi linear lagi a c a a c a a c a acz a c a az w c c c c c ccz c cz cz c Transformasi ilinear memetakan garis lurus an lingkaran ke garis lurus an lingkaran (Tentu saja suatu lingkaran apat ipetakan ke garis lurus an sealiknya) Hal ini akiat langsung ari sifat an sifat transformasi resiprok az Misal: G f : f z, a c 0, maka (G, o) merupakan grup cz ) Sifat tertutup az az Misal: f an f G an fz, f z, a c 0, c z c z a c 0 maka f of z f f z Jai, f of zg az a az cz f cz az c cz aa c z a ca c z c ) Sifat asosiatif ipenuhi, karena komposisi fungsi ersifat asosiatif; 3) Memiliki elemen ientitas, yaitu f(z) = z; z 4) Memiliki invers, yaitu f z cz a az G : f f z ;a,, c, C; a c 0; z C cz e Misal: Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006

6 6 a Misal: Gl(,C):= a,, c, ; a c 0 c Diefinisikan pemetaan : G Gl(,C) engan (f(z)) = z C a c untuk setiap f G an ) Akan itunjukkan : G Gl(,C) homomorfik Misal: f, g G an z C, maka (f(z)og(z)) = (f(g(z))) = (f(w)) aw = cw pz q a = rz s pz q, untuk suatu p, q, r, s, z C engan ps qr 0 c rz s apz aq rz s = cpz cq rz s ap r z aq s = cp r z s cq ap r aq s = pc r s cq a p q = c r s = (f(z)) (g(z)) Jai (f(z)og(z)) = (f(z)) (g(z)), untuk setiap f, g G an z C : G Gl(,C) homomorfik atau G Gl(,R) ) Akan itunjukkan fungsi : G Gl(,C) aalah fungsi satu-satu az pz q Misal: f, g G maka f( z) an gz ( ) cz rz s, engan a,, c,, p, q, r, s C an a c 0 ; ps qr 0 a p q Misal: (f(z)) = (g(z)), z C, maka c r s Jai iperoleh ahwa a = p, = q, c = r an = s az pz q Akiatnya f( z) = gz ( ) cz rz s Karena : G Gl(,C) homomorfik an satu-satu, maka : G Gl(,C) aalah suatu isomorphisma Jai (G,o) (Gl(,C), ) f z 0 iseut fie point ari transformasi f jika f(z 0) = z 0 Misal: f aalah transformasi ilinear Jika aalah fie point ari f, maka terapat ilangan kompleks a, sehingga f(z) = az + Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006

7 Ekspresi Regular Paa Suatu Deterministic Finite State Automata 7 az a Misal: f z f() = jika c = 0 Akiatnya, terapat a, sehingga cz f z az g Misal: f transformasi ilinear Jika f mempunyai tiga fie point, maka f(z) = z az Misal: ukan fie point f, maka c 0 Misal: z fie point f, maka z atau cz cz + ( a) z = 0 Persamaan ini mempunyai paling anyak akar, maka f mempunyai paling anyak ua uah fie point Jai, aalah fie point ari f Karena aalah fie point ari f, maka, menurut sifat 4, terapat ilangan kompleks a, sehingga f(z) = az + Misal: z aalah fie point ari f, maka f(z ) = z atau az + = z Jika a, maka kita peroleh z aalah fie point ari f Jika a =, a maka f(z) = z + an z + = z ila hanya ila = 0 Jai, f(z) = z z z z f z aalah fungsi tunggal seemikian hingga f(z ) = 0, f(z ) =, z z z f(z 3) = Jika w = f(z) aalah fungsi seemikian hingga f(z i) = w i,untuk i =, 3,maka w w w w3 w z z z an z ihuungkan oleh rumus w w w3 w z z z i Misal: z, z, z 3 tripel titik yang erea satu sama lain i iang z an w, w, w 3 tripel titik yang erea satu sama lain i iang w, maka terapat transformasi ilinear yang tunggal yang memetakan z i ke w i, untuk i =,, 3 Anaikan transformasi ilinear yang memetakan z i ke w i, untuk i =,, 3 tiak tunggal, maka terapat f an g, engan f g yang memetakan z i ke w i, untuk i =,, 3 Akiatnya f o g - mempunyai tiga uah fie point Dari sifat g iperoleh f o g - (w i) =w i, untuk i =,, 3 Jai, f = g, kontraiksi engan pernyataan ahwa f g Jai, transformasi ilinear yang memetakan z i ke w i, untuk i =,, 3 tunggal h Fungsi 5 Penutup Dari pemahasan i atas iperoleh sifat-sifat transformasi ilinear seagai erikut: a Transformasi ilinear apat ikomposisikan ari transformasi linear, transformasi resiprok, an transformasi linear lagi; Transformasi ilinear memetakan garis lurus an lingkaran ke garis lurus an lingkaran; c Himpunan ari semua transformasi ilinear mementuk struktur grup terhaap operasi komposisi fungsi an isomorfis engan himpunan semua matriks kompleks yang invertile eroro Terapat transformasi ilinear yang tunggal yang memetakan tiga uah titik yang erea satu sama lain i iang z ke tiga uah titik yang erea satu sama lain ke iang w Daftar Pustaka [] John D Paliouras, (975) Comple Variales for Scientists an Engineers New York Macmillan Pulishing [] Serge Lang, (993) Comple Analysis New York Springer Verlag [3] WChurchil, (994) Comple Function New York Macmillan Pulishing Jurnal Matematika Vol6 No Nopemer 006