Bab 3 PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR

Transkripsi

1 Ba 3 PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR Model kinematika diperlukan dalam menganalisis pergerakan suatu root moil. Model kinematik merupakan analisis pergerakan sistem yang direpresentasikan secara matematis tanpa memperhitungkan gaya-gaya penyea terjadinya pergerakan terseut. Model ini erhuungan dengan persamaan-persamaan geometris yang mendeskripsikan perilaku sistem root erjalan. Selain itu, model kinematik juga menggamarkan huungan antara parameter yang dikendalikan, yaitu kecepatan dengan parameter pergerakan sistem root, yaitu posisi dan orientasi root. Pada implementasinya, model kinematik ini akan digunakan dalam proses penghitungan kecepatan, posisi dan orientasi yang dilakukan oleh mikrokontroler pada root. Pemodelan DDMR dimulai dengan mengasumsikan root terseut ergerak secara kaku (rigid) sehingga menghasilkan gerakan yang nonholonomic. Hal ini mengakiatkan root tidak dapat ergerak secara eas, seagai contoh root tidak dapat ergeser ke kiri atau ke kanan tanpa melakukan manuver (maju atau mundur samil erelok). Pada ahasan kali ini, model kinematik DDMR yang diperoleh dipakai untuk mementuk persamaan ruang keadaan. Dalam kajian kinematik ini root diasumsikan ergerak relatif pelan dan roda tidak slip terhadap permukaan jalan. Ketika posisi root eruah, setiap titik pada root eruah. Untuk mendapatkan 1

2 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 13 persamaan kinematik pada pergerakan sistem differential steering dapat dimulai dari penentuan titik referensi. Setiap titik pada sistem ini dianggap ergerak relatif terhadap titik referensi ini. Dengan pendekatan ini akan dapat diperoleh solusi yang dapat diterapkan pada model pergerakan root yang leih umum dengan titik referensi asolut. Titik yang dipilih di sini adalah titik tengah dari roda kiri. Titik ini merupakan titik kontak antara roda ideal dengan lantai. Karena roda kanan tegak lurus sumu roda kiri maka pergerakan roda kanan dengan referensi roda kiri selalu mementuk lintasan melingkar dengan jari-jari (lihat Gamar 3.1), yaitu jarak antara pusat roda kanan dan pusat roda kiri. Lintasan roda kanan ini sendiri tidak diperlukan untuk menentukan koordinat (X,Y ). Selain itu, karena kita mengasumsikan root ergerak secara rigid, maka setiap titk pada root akan memiliki orientasi yang sama. Jika root erputar 10 0 terhadap roda kiri, maka seluruh agian root akan erputar Berikut ini adalah gamaran root ketika ergerak dalam kawasan D pada kooordinat Cartesian XY Y rw Y ' V ( t) O V R V L X ' X Gamar 3.1: DDMR pada Kawasan D

3 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 14 Parameter-parameter yang digunakan erdasarkan gamar di atas adalah seagai erikut: 1. θ adalah orientasi atau sudut arah root.. ialah lear root yang diukur dari garis tengah roda ke roda. 3. O merupakan pusat gravitasi dari root. 4. r w ialah jari-jari roda root. 5. V R dan V L masing-masing merupakan kecepatan roda kanan dan kiri. 6. V (t) adalah kecepatan tangensial dari root. Roda kiri dan kanan dianggap sama dan seangun sehingga r w kiri dan kanan sama. Pusat gravitasi root (O) yang dipilih ialah titik tengah pada garis (garis yang menghuungkan ke dua roda). Titik ini nantinya digunakan seagai acuan gerak root pada koordinat XY. Misalkan pada titik O, X = V X dan Y = V Y erdasarkan Gamar, diperoleh persamaan V (t) = V X + V Y dengan V X = V (t) cosθ(t) (3.1) dan V Y = V (t) sin θ(t). (3.) Definisikan kecepatan root seagai erikut V (t) = V R(t) + V L (t). (3.3) Dengan menyutitusikan persamaan (3.3) ke persamaan (3.1) dan (3.) maka diperoleh persamaan kinematik untuk posisi sumu X dan Y seagai erikut: dx(t) = V R(t) + V L (t) cos (θ(t)) (3.4)

4 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 15 dan dy(t) = V R(t) + V L (t) sin (θ(t)). (3.5) Berikutnya, perhatikan Gamar 3. untuk mempermudah menurunkan persamaan kinematik untuk orientasi θ. Definisi sudut dalam radian ialah panjang lintasan Y V R V L X Gamar 3.: Sketsa Pemelokan DDMR pada Kawasan D melingkar yang terentuk diagi dengan jari-jari lingkaran terseut. Berdasarkan definisi gerak melingkar yaitu dθ = πradian Waktumengitarilingkaran. (3.6) Persamaan (3.6) juga merupakan definisi dari kecepatan sudut ( dθ ). Definisi ini serupa dengan definisi kecepatan iasa dimana π adalah jarak tempuh dalam radian dan waktu mengitari lingkaran seagai waktu tempuh dalam detik. Oleh karena itu, kita dapat memperoleh panjang lintasan per unit waktu dari kecepatan relatif roda kanan (selisih kecepatan antara roda kanan dan kiri) serta jari-jari lintasan lingkaran

5 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 16 dari jarak antara roda kanan ke roda kiri (). Dengan mengkominasikan fakta ini dan dua definisi seelumnya kita dapat memperoleh persamaan kinematik untuk orientasi dari DDMR dalam entuk persamaan erikut: dθ(t) = v R(t) v L (t). (3.7) Perhatikan kemali persamaan (3.4), (3.5), dan (3.7) di atas, ketiga persamaan terseut ialah persamaan kinematik yang juga merupakan persamaan ruang keadaan dari DDMR. Bila diperhatikan sistem persamaan ini memiliki keluaran x(t), y(t) dan θ(t), serta masukan V R dan V L. Masalah klasik dalam kontrol kinematik DDMR adalah ahwa root ini memiliki dua aktuator, namun parameter kontrolnya leih dari dua, yaitu arah gerak ke sumu X dan arah gerak ke sumu Y yang diukur relatif terhadap perpindahan titik O, dan gerakan sudut hadap θ yang diukur pada titik referensi yaitu, titik tengah roda kiri. Oleh karena itu, x(t), y(t) dan θ(t) harus dikontrol secara simultan untuk mendapatkan gerakan yang selaras. Persamaan ruang keadaan yang diperoleh erupa persamaan diferensial tak linier sehingga analisis kontrol sistem menjadi leih rumit. Selanjutnya akan diahas salah satu alternatif untuk menyelesaikan sistem tak linier yaitu dengan melakukan linierisasi pada persamaan ruang keadaannya. Kemudian dilanjutkan dengan pencarian solusi persamaan terseut secara numerik, hal ini erguna untuk melakukan validasi kecocokan model (persamaan kinematik) yang diperoleh. 3.1 Linierisasi Persamaan Ruang Keadaan dari DDMR Proses ini dilakukan untuk mencoa kemungkinan menyelesaikan masalah kontrol DDMR yang memiliki persamaan ruangan keadaan yang tak linier. Linierisasi dilakukan menggunakan metode ekspansi deret Taylor. Berdasarkan sistem persamaan ruang keadaan yang diperoleh seelumnya, misalkan suatu sistem dengan keluaran Ẋ = ( ẋ(t) ẏ(t) θ(t) ) T, yang merupakan fungsi dengan input u =

6 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 17 ( ) T ( ) T ( ) T. u 1 u = V R (t) V L (t) dan X = x(t) y(t) θ(t) Sehingga isa ditulis Ẋ = f(x,u) = f 1 f f 3 = v R (t)+v L (t) cos (θ(t)) v R (t)+v L (t) sin (θ(t)) v R (t) v L (t). (3.8) Pada kondisi kerja normal, input X = X ( ) Tdan = X 0 x 0 y 0 θ 0 u = ū = ( ) Tsehingga u o V L0 kecepatan root menjadi V0. Karena pada saat kerja V R0 normal dx = 0, kita mempunyai f( x, ū) = 0. Sehingga persamaan (3.8) dapat diuraikan menjadi suatu deret Taylor di sekitar titik kerja seagai erikut Ẋ = f( x, ū) + [ f 1! [ f x (x x) + f u (u ū)] + ] (x x) + f (x x)(u ū) + f (u ū) +... x x u u (3.9) Di dekat titik kerja normal entuk-entuk orde tinggi persamaan (3.9) dapat diaaikan. Oleh karena itu, model linier dari sistem (3.8) akan menjadi Ẋ = FX + Gu, (3.10) dengan F = f X u=ū,x= X dan G = f u u=ū,x= X. Jika diturunkan, maka diperoleh f 1 f 1 f V x(t) y(t) θ(t) 0 sin θ 0 F = f f f x(t) y(t) θ(t) = 0 0 V 0 cos θ 0 (3.11) dan f 3 x(t) G = f 3 y(t) f 1 u 1 f 1 u f u 1 f u f 3 u 1 f 3 u f 3 θ(t) = cos θ 0 sin θ 0 1 cos θ 0 sin θ 0 1. (3.1) Dari persamaan (3.14)-(3.11) diperoleh sistem persamaan ruang keadaan yang linear dari DDMR seagai erikut: ẋ(t) 0 0 V 0 sin θ 0 x(t) Ẋ = ẏ(t) = 0 0 V 0 cos θ 0 y(t) + θ(t) θ(t) cos θ 0 sin θ 0 1 cos θ 0 sin θ 0 1 V R(t). V L (t) (3.13)

7 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 18 Selanjutnya adalah memeriksa kemungkinan penggunaan sistem kontrol umpan alik (feedack control). Perhatikan kemali persamaan (3.13), misalkan 0 0 V 0 sin θ 0 A = 0 0 V 0 cos θ Syarat agar sistem di atas dapat dianalisis dengan pengontrol umpan alik adalah rank matriks keterkontrolan harus sama dengan anyaknya variael keadaan atau determinan dari matriks A tidak oleh 0. Karena det(a) = 0 maka sistem (3.13) tidak isa diselesaikan dengan sistem kontrol linier. 3. Mencari Solusi Numerik Persamaan Ruang Keadaan DDMR Maksud dari pencarian solusi ini adalah untuk melakukan validasi model. Pada tugas akhir ini metode yang digunakan ialah finite difference equation (FDE) atau persamaan eda hingga dengan pementukan persamaan menggunakan metode Euler Eksplisit Perhatikan kemali persamaan (3.4) yang telah diturunkan seelumnya. Selanjutnya hanya akan diturunkan langkah-langkah mencari solusi numerik persamaan terseut sedangkan untuk persamaan (3.5) dan (3.6) ide penurunannya tidak ereda jauh. Tulis kemali persamaan (3.4), dx(t) Misal agian eksak dari persamaan ini ialah = f(t,x) = v R(t)+v L (t) cos (θ(t)). x(t) = f(t, x), (3.14) dengan x(t 0 ) = x 0. Pilih n = 0 seagai titik awal (pada saat t = 0). Selanjutnya, akan ditentukan nilai x untuk n =1,,...(untuk t setelah t = 0). Bila dilakukan penurunan dari deret Taylor dapat diperoleh pendekatan FDE dari x ialah x n = x n+1 x n t 1 x(τ n ) t. (3.15)

8 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 19 Sutitusi persamaan (3.15) ke persamaan (3.14) dan lakukan perhitungan f(t, x)pada titik n, maka Sehingga diperoleh x n+1 x n t 1 x(τ n ) t = f(t, x n ) = f n. (3.16) x n+1 = x n + t f n + 1 x(τ n ) t = x n + t f n + O( t ). (3.17) Dengan menghilangkan galat (O( t )) akan diperoleh aproksimasi dari solusi eksak yaitu x n+1 = x n + tf n. (3.18) Bila kita mengasumsikan percepatan tidak terjadi selama pergerakan root atau kecepatan root konstan maka f n = V R+V L cos θ n. Oleh karena itu diperoleh solusi numerik untuk persamaan (3.4) yang menunjukan posisi X ialah ( ) VR + V L x n+1 = x n + t cos θ n. (3.19) Lakukan hal serupa untuk mencari solusi numerik persamaan (3.5) (posisi Y ) dan persamaan (??) (orientasi θ) sehingga diperoleh ( ) VR + V L y n+1 = y n + t sin θ n, (3.0) dan θ n+1 = θ n + ( V R V L ). (3.1) Tahap selanjutnya ialah melakukan simulasi sederhana untuk validasi model. Dierikan data awal root seagai erikut: 1. = 0,15 m.. kondisi awal x 0 = y 0 = 0 dan θ 0 = 1.5π (x dan y dalam meter serta θ dalam radian ). 3. t = 0, 5 detik.

9 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 0 Kita atur V R = 0,5 m/s dan V L = 0,3 m/s, lalu menyutitusikan nilai parameterparameter pada persamaan (3.19)-(3.1). Dengan Menyelesaikannya secara rekursif diperoleh grafik peruahan posisi root seperti diperlihatkan oleh Gamar (3.3) di awah ini. Gamar di atas memerikan ilustrasi ahwa root akan erelok ke arah kiri. Hal pendekatan numerik Y X Gamar 3.3: Ilustrasi Pergerakan DDMR Berdasarkan Persamaan Beda Hingganya ini sesuai dengan kenyataan karena ila kecepatan roda kanan diuat leih cepat tentunya suatu root erjalan akan memelok ke kiri. Ilustrasi lainnya diperlihatkan pada Gamar (3.4). Simulasi kali ini dilakukan dengan mengatur agar kecepatan kedua roda root sama, yaitu 0, m/s dan θ 0 = 1.5π. Berdasarkan hasil simulasi yang ditunjukkan oleh Gamar (3.4), root ergerak menyimpang dari lintasan yang diharapkan. Seharusnya root terseut ergerak sepanjang sumu Y negatif, tapi kenyataannya lintasan root terseut melenceng eerapa milimeter. Simulasi terakhir memerikan kita gamaran ahwa dari solusi dengan pendekatan numerik (menggunakan persamaan eda hingga), lintasan aktual yang terentuk akan melenceng. Oleh karena itu, perlu dicari suatu metode yang leih aik untuk memprediksi lintasan aktual root terseut. Pada a se-

10 BAB 3. PERUMUSAN MODEL KINEMATIK DDMR 1 solusi numerik Y 0 0-0,5 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 0, ,5 - -,5-3 -3,5 X Gamar 3.4: Ilustrasi Pergerakan DDMR untuk Kecepatan Kedua Roda Sama lanjutnya, akan diahas masalah ini menggunakan metode lain, yaitu jaringan saraf tiruan. Hasil simulasi pada Gamar (3.4) nantinya akan dijadikan seagai ahan pemanding dengan hasil prediksi menggunakan jaringan saraf tiruan.