Bab. Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga. A. Teorema Pythagoras B. Garis-garis pada Segitiga

Transkripsi

1 ab 5 Sumber: Dokumentasi Penulis Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga Televisi sebagai media informasi, memiliki banyak sekali keunggulan dibandingkan dengan media lainnya, baik media etak maupun media elektronik. Salah satu keunggulannya adalah televisi mampu memvisualisasikan suatu informasi seara langsung. Untuk memenuhi berbagai kebutuhan yang beragam, televisi diproduksi dalam berbagai maam ukuran. Pada umumnya, ukuran televisi dinyatakan dalam satuan ini (1 ini,54 m), mulai dari 14 ini, 1 ini, 35 ini, sampai 49 ini. Perlu diingat, ukuran televisi yang dinyatakan dalam satuan ini tersebut merupakan panjang diagonal layar televisi. Misalkan kamu memiliki televisi 1 ini. Jika lebar televisi tersebut adalah 16 ini, berapakah tingginya? Kamu dapat dengan mudah menghitung tinggi televisi tersebut jika kamu memahami konsep teorema Pythagoras. Pada bab ini, kamu akan mempelajari teorema Pythagoras beserta pengertian, penggunaan, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, akan diuraikan pula perhitungan garis tinggi dan garis berat pada segitiga sebagai perluasaan dari teorema Pythagoras.. Teorema Pythagoras. Garis-garis pada Segitiga 91

2 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakan soal-soal berikut. 1. Hitunglah. a ,5... b d.,4.... ar i akar kuadrat dari: a ,76 b.,56 d erapakah hasil dari: a , 5 0, 3 b Hitunglah: a b Teorema Pythagoras 1. Pengertian Teorema Pythagoras Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi yang lain. Untuk membuktikan hal ini, oba kamu lakukan Kegiatan 5.1. Sumber: Gambar 5.1 : Pythagoras Kegiatan Sediakan kertas karton, pensil, penggaris, lem, dan gunting.. uatlah empat buah segitiga yang sama dengan panjang sisi alas a 3 m, sisi tegak b 4 m, dan sisi miring 5 m. Lalu guntinglah segitiga-segitiga itu. 3. uatlah sebuah persegi dengan panjang sisi yang sama dengan sisi miring segitiga, yaitu 5 m. Warnailah daerah persegi tersebut, lalu guntinglah. 4. Tempelkan persegi di karton dan atur posisi keempat segitiga sehingga sisi segitiga berimpit dengan setiap sisi persegi dan terbentuk sebuah persegi besar dengan sisi (a + b). Lihat gambar berikut. (a) (b) b a b a b a b a a b 9 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

3 5. Isilah titik-titik untuk menari hubungan antara a, b, dan. Luas persegi besar luas persegi keil + (4 Luas segitiga)... b (a +...) (...) a + ab + b (...) +... (...) (...) (...) +... (...) (...) b (...) +... (...) + (...) (...) Ulangi langkah-langkah diatas untk nilai a 6, b 8, dan 10. Setelah melakukan kegiatan tersebut, apa yang dapat kamu ketahui tentang hubungan nilai a, b, dan? Jika kamu perhatikan dengan ermat akan diperoleh hubungan a + b, dimana adalah panjang sisi miring, a adalah panjang alas, dan b adalah tinggi. Dari hubungan tersebut dapat dikatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainya. Inilah yang disebut teorema Pythagoras. ara lain untuk membuktikan teorema Pythagoras adalah dengan menempatkan persegi di setiap sisi segitiga siku-siku. oba kamu perhatikan Gambar 5. seara saksama. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga yang memiliki persegi pada setiap sisinya. Ukuran segitiga tersebut adalah Panjang sisi miring 5 satuan. Tinggi 3 satuan. Panjang sisi alas 4 satuan. Perhatikan bahwa luas persegi pada sisi miring sama dengan luas persegi pada sisi alas ditambah luas persegi pada tinggi segitiga. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Luas persegi pada sisi miring luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi (5) (4) + (3) + Sekali lagi, uraian ini membenarkan kebenaran teorema Pythagoras. Untuk lebih jelasnya, oba kamu pelajari ontoh Soal 5.1 Gambar 5. : Segitiga siku-siku dengan persegi di setiap sisinya. ontoh Soal 5.1 Hitunglah luas persegi berikut ini sehingga memenuhi teorema Pythagoras a. b.. m 10 m 1 m 3 m 4 m 0 m Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 93

4 Jawab: a. Luas persegi pada sisi miring luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi Jadi, luas persegi adalah 5 m. b. Luas persegi pada sisi miring luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi Jadi, luas persegi adalah 6 m. 3. Luas persegi pada sisi miring luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi Jadi, luas persegi adalah 1 m. Penulisan Teorema Pythagoras Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku. oba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas, dan tinggi a. erdasarkan, teorema Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku: b + a atau b +a b a Gambar 5.3 : Segitiga siku-siku Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? seperti panjang sisi alas atau tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan sebagai berikut. b + a b a b + a a b a b. a b Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut. b +a b a a b 94 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

5 Untuk lebih jelasnya, oba kamu pelajari ontoh Soal 5. berikut ini. ontoh Soal 5. Perhatikan gambar segitiga berikut. Segitiga tersebut merupakakan gabungan dari dua segitiga siku-siku D dan D. Tentukan rumus Pythagoras untuk menghitung: a. panjang sisi p, b. panjang sisi s,. panjang sisi q, s d. panjang sisi r, e. panjang sisi t. Jawab: a. Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: p p s t p s t b. Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: s p + t s p + t. Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: q r t q r t d. Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: r q + t r q + t e. Khusus untuk nilai t, dapat diperoleh dari dua segitiga dua segitiga siku-siku D dan D Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: t s p t s p Perhatikan segitiga D. Dari segitiga tersebut diperoleh: t r q t r q t D q r 3. Penggunaan Teorema Pythagoras Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, teorema Pythagoras banyak sekali digunakan dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada suatu bangun ruang. erikut ini akan diuraikan penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga dan bangun datar. a. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-Sisi Segitiga. Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari ara menghitung panjang sisi-sisi segitiga dengan menggunakan teorema Pythagoras. Sekarang oba perhatikan dan pelajari ontoh Soal 5.3. Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 95

6 ontoh Soal Tentukanlah nilai r untuk segitiga siku-siku berikut a. m r b. 5 m Solusi Matematika Perhatikan gambar berikut. L r 3 m 4 m M. K Pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan teorema Pythagoras adalah... a. (ML) (MK) (KL) b. (KL) (MK) (ML). (ML) (ML) + (MK) d. (ML) (MK) + (KL) Jawab: L d. 5 m 6 m r 1 m r M 4 m K Pada gambar KLM di samping, sisi miring ML sisi siku-siku 1 MK sisi siku-siku KL Menurut teorema Pythagoras, (sisi miring) (sisi siku-siku 1) + (sisi siku-siku ) (ML) (MK) + (KL) Jawaban: d UN SMP, 007 e. r 9 m 1 m. Perhatikan segitiga siku-siku pada gambar berikut. gar memenuhi teorema Pythagoras, tentukan: 5 m 3r m a. nilai r, b. panjang sisi,. panjang sisi. r m 96 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

7 Jawab: 1. a. r r 9 Jadi, nilai r 9 m. b. r r 5 5 Jadi, nilai r 5 m.. r r 119 Jadi, nilai r 119 m. d. r r 0 Jadi, nilai r 0 m. e. r r 63 Jadi, nilai r 63.. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, pada segitiga berlaku hubungan sebagai berikut. + ( 5 ) (r) + (3r) 5 4r + 9r 5 13r r 5 13 r 4 r 4 r a. Dari uraian tersebut, diperoleh r. b. Panjang sisi r () 4 Jadi, panjang sisi 4 m. Panjang sisi 3r 3() Jadi, panjang sisi 6 m Plus + ( a) a Selain menghitung panjang sisi segitiga siku-siku, teorema Pythagoras pun dapat digunakan untuk menentukan jenis-jenis segitiga. Sebagaimana yang telah kamu pelajari, berdasarkan besar sudutnya segitiga dibagi menjadi tiga jenis, yaitu segitiga tumpul, segitiga siku-siku, dan segitiga lanip. pada segitiga lanip, semua titik sudutnya berukuran kurang dari 90. Segitiga siku-siku, salah satu titik sudutnya berukuran 90 Segitiga tumpul, salah satu titik sudutnya berukuran lebih dari 90 oba kamu perhatikan uraian berikut ini. Gambar 5.4 merupakan gambar segitiga lanip dengan ukuran sisi terpanjang adalah 6 m dan sisi-sisi lainnya adalah 4 m dan 5 m. 6 m 5 m 4 m Gambar 5.4 : Segitiga lanip Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 97

8 10 m 8 m 6 m Gambar 5.5 : Segitiga siku-siku 1 m 8 m 5 m Gambar 5.6 : Segitiga tumpul Kuadrat dari sisi terpanjang adalah 6 36 Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: Ternyata, kuadrat sisi terpanjang lebih keil dari jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Jadi, dalam segitiga lanip berlaku: 6 < < + Sekarang oba kamu perhatikan Gambar 5.5 seara saksama. Gambar 5.5 merupakan gambar segitiga siku-siku dengan sisi-sisinya adalah 6 m, 8 m, dan 10 m. Kuadrat dari sisi terpanjang adalah Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: Ternyata, kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain. Jadi, dalam segitiga siku-siku berlaku: Pada Gambar 5.6 terlihat sebuah segitiga tumpul dengan ukuran 1 m, 8 m dan 5 m. Kuadrat sisi terpanjang Jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang lain: Ternyata, kuadrat sisi terpanjang lebih besar dari jumlah kuadrat sisi yang lain. Jadi, dalam segitiga tumpul berlaku: 1 > > + Untuk lebih jelasnya, oba kamu pelajari ontoh Soal 5.4 berikut ini. ontoh Soal 5.4 Plus + Tiga bilangan asli yang memenuhi teorema Pythagoras disebut tripel Pythagoras. ontoh tripel Pythagoras adalah bilangan 6, 8, dan 10. Tentukan jenis segitiga yang memiliki ukuran sebagai berikut. a. m, 3 m, 5 m b. 8 m, 10 m, 11 m. 5 m, 1 m, 13 m d. 4 m, 6 m, 7 m e. m, 8 m, 10 m Jawab: a. Kuadrat sisi terpanjang: 5 5 Jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain: Diperoleh: 5 > + 3 Jadi, segitiga tersebut adalah segitiga tumpul. 98 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

9 b. Kuadrat sisi terpanjang: Jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain: Diperoleh: 11 < Jadi, segitiga tersebut adalah segitiga lanip.. Kuadrat sisi terpanjang: Jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain: Diperoleh: Jadi, segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. d. Kudrat sisi terpanjang: 7 49 Jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain: Diperoleh: 7 < Jadi, segitiga tersebut adalah segitiga lanip. e. Kuadrat sisi terpanjang: Jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain: Diperoleh: 10 > + 8 Jadi, segitiga tersebut adalah segitiga tumpul Plus + Kelipatan dari bilanganbilangan tripel Pythagoras juga merupakan tripel Pythagoras, ontohnya 1, 16, dan 0 yang merupakan kelipatan dari 6, 8, dan 10 b. Penggunaan Teorema Pythagoras pada angun Datar Pada kondisi tertentu, teorema Pythagoras digunakan dalam perhitungan bangun datar. Misalnya, menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain sebagainya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ontoh-ontoh soal berikut ini. ontoh Soal Perhatikan gambar persegi D pada gambar di samping. Jika sisi persegi tersebut adalah 7 m, tentukan: a. panjang diagonal, b. panjang diagonal D,. panjang E, d. luas persegi D.. Sebuah persegi memiliki panjang diagonal 6 m. Tentukan: a. panjang sisi persegi, b. luas persegi tersebut. D E Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 99

10 Jawab: 1. a. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku hubungan: Jadi, panjang diagonal 7 m. b. Dalam sebuah persegi, panjang diagonal memiliki ukuran yang sama dengan diagonal lain. Jadi, dapat dituliskan: panjang diagonal D panjang diagonal 7 m. Perhatikan gambar pada soal. Panjang garis E adalah setengah dari pnajang garis. Sehingga: panjang garis E 1 panjang diagonal Jadi, panjang E 7 m. d. Panjang sisi persegi D adalah 7 m. Jadi, luas persegi tersebut. Luas persegi sisi sisi Jadi, luas persegi D 49 m.. Misalkan panjang sisi persegi s m. Dengan menggunakan teorema Pyhtagoras, berlaku hubungan: kuadrat panjang diagonal jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain 6 s + s 36 s 36 s s 18 s 18 a. Dari uraian tersebut diperoleh panjang sisi persegi adalah 18 m. b. Luas persegi dapat dihitung sebagai berikut. Luas persegi sisi sisi Jadi, luas persegi tersebut adalah 18 m. 100 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

11 ontoh Soal 5.6 Perhatikan gambar persegipanjang D, D di samping. Diketahui ukuran panjang dan lebar persegipanjang tersebut berturut-turut adalah 15 m dan 8 m. Tentukan: E a. luas persegipanjang D, b. panjang diagonal D,. panjang E. Jawab: 15 m a. Luas persegipanjang D dapat dihitung sebagai berikut. Luas persegipanjang panjang lebar Jadi, luas D 10 m b. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku hubungan: D + D D D Jadi, panjang D 17 m.. Perhatikan gambar. Panjang garis E adalah 1 sehingga: panjang E 1 panjang diagonal D 8 m kali panjang diagonal D, Jadi, panjang D 8 1 m. ontoh Soal 5.7 Perhatikan trapesium D pada gambar di samping. Diketahui panjang alas trapesium 7 m, panjang sisi atas 4 m, dan tinggi trapesium 4 m. 4 m Tentukan: a. panjang sisi miring D, b. keliling trapesim D,. luas trapesim D. 3 m E 4 m Jawab: a. Perhatikan segitiga DE pada gambar. Diketahui panjang DE adalah 4 m dan panjang E adalah 3 m. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, berlaku hubungan: D E + DE D D 5 5 Jadi, panjang D 5 m. D 4 m Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 101

12 b. Untuk menari keliling trapesium, dapat dihitung sebagai berikut. Keliling trapesium D panjang + panjang + panjang D + panjang D Jadi, keliling trapesium D 0 m.. Untuk menari luas trapesium, digunakan rumus sebagai berikut. Luas trapesium D ( + D ) ( ) 4 11 Jadi, luas trapesium D m 4. Penerapan Teorema Pythagoras Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah-masalah yang dapat dipeahkan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk mempermudah perhitungan, alangkah baiknya jika permasalahan tersebut dituangkan dalam bentuk gambar. oba kamu perhatikan dan pelajari ontoh-ontoh soal berikut ini seara saksama. ontoh Soal 5.8 Perhatikan gambar di samping sebuah tangga bersandar pada tembok dengan posisi seperti pada gambar. Jarak antara kaki tangga dengan tembok meter dan jarak antara tanah dan ujung atas tangga 8 meter. Hitunglah panjang tangga. Jawab: Langkah pertama adalah menggambarkan apa yang dieritakan dalam soal. Gambar di samping menunjukkan sebuah segitiga siku-siku yang memiliki panjang (jarak tanah ke ujung atas tangga) 8 meter, panjang 8 m (jarak kaki tangga ke tembok) meter, dan dimisalkan tangga yang hendak diari panjangnya. Langkah kedua, gunakan teorema Pythagoras sehingga berlaku hubungan: + m m Jadi, panjang tangga adalah 17 tm 10 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

13 ( ontoh Soal 5.9 Gambar berikut adalah sebuah rangka layang-layang disusun dari dua bilah bambu yang panjangnya 60 m dan 50 m. ilah bambu paling panjang dijadikan rangka tegak. Jika dari tiap ujung-ujung bilah bambu tersebut di hubungkan dengan tali, hitunglah tali yang dibutuhkan (lilitan tali diabaikan). D 5 m 0 m 40 m 5 m 0 m E 40 m Jawab: Langkah pertama, gambarkan soal erita tersebut, Perhatikan gambar berikut. Langkah kedua, gunakan teorema Pythagoras sehingga diperoleh hubungan: D E + DE D D E + E Langkah ketiga, menghitung panjang tali. Oleh karena panjang D sama dengan D maka D 5 41 m. Panjang sama dengan panjang, yaitu 5 89m. Sehingga diperoleh: panjang tali + + D + D ( Jadi, panjang tali yang dibutuhkan adalah ( Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 103

14 ontoh Soal 5.10 Panjang diagonal sebuah televisi 14 ini. Jika tinggi layar televisi tersebut adalah 6 ini, berapakah lebar televisi tersebut? Jawab: Langkah pertama, gambarkan soal D erita tersebut. Perhatikan gambar disamping. Misalkan, layar televisi digambarkan sebagai persegipanjang D. Langkah kedua, untuk menentukan lebar layar televisi, yaitu panjang, gunakan teorema Pythagoras sehingga diperoleh hubungan: Jadi, lebar televisi tersebut adalah 4 10 ini. 14 ini 6 ini ontoh Soal 5.11 Sebuah kapal laut berlayar ke arah barat sejauh 11 km. Kemudian, kapal laut berbelok ke arah selatan sejauh 8 km. Hitunglah jarak kapal laut dari titik awal keberangkatan ke titik akhir. Jawab: Langkah pertama, gambarkan soal erita tersebut. Perhatikan gambar di samping. Jalur yang di tempuh oleh kapal laut 11 km digambarkan dalam bentuk segitiga sikusiku 8 km U. Langkah kedua, untuk menentukan panjang T, gunakan teorema Pythagoras sehingga diperoleh hubungan: S Jadi, jarak dari titik awal ke titik akhir adalah 185 km. 104 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

15 Uji Kompetensi 5.1 Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukan nilai x pada segitiga siku-siku berikut. a. x 4 m b.. d. e.. Perhatikan segitiga siku-siku pada gambar berikut. gar memenuhi teorema Pythagoras, tentukan: x x 44 m 8 m 1 m 5x m a. nilai x, b. panjang.. panjang. e. keliling segitiga. x 16 m 6 m 11 m 14 m 10 m 15 m 7 m x 6x m 3. Tentukan jenis segitiga yang memiliki ukuran sebagai berikut. a. 3 m, 4 m, 5 m b. 5 m, 1 m, 13 m. 10 m, 1 m, 16 m d. 8 m, 11 m, 19 m e. m, 8 m, 14 m 4. Sebidang tanah memiliki bentuk persegi dengan panjang sisi 8 meter. Tentukan: a. luas tanah, b. keliling tanah,. panjang diagonal tanah. 5. D Seutas kawat digunakan untuk membuat kerangka persegi seperti pada gambar di samping. Jika panjang sisi kerangka persegi yang diinginkan adalah 15 m, tentukan: a. panjang diagonal, b. panjang diagonal D,. panjang kawat yang diperlukan untuk membuat kerangka tersebut. 6. Perhatikan gambar trapesium berikut. Dari gambar tersebut, sebuah trapesium sebarang D memiliki ukuran seperti pada gambar. 8 m D 10 m 4 m E F 4 m Tentukan: a. tinggi trapesium b. panjang. keliling trapesium D d. luas trapesim D 7. Gambar berikut adalah layang-layang PQRS, jika diketahui panjang QS 5 m, Tentukan: a. panjang PT S b. panjang PQ 0 m. keliling PQRS 16 m d. luas PQRS P R T Q Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 105

16 8. Sebuah kapal berlayar dari titik ke arah timur sejauh 3 km. Kemudian, kapal tersebut berbelok ke arah utara sejauh 4 km dan sampai di titik. Dari titik, kapal layar tersebut melanjutkan perjalanannya ke arah timur sejauh 6 km dan berbelok ke arah utara sejauh 8 km. khirnya, sampailah kapal tersebut di titik. Tentukan: a. jarak titik ke titik, b. jarak titik ke titik,. jarak titik ke titik. 9. Sebuah televisi memiliki lebar layar 15 m dan tinggi layar 8 m. Tentukanlah a. panjang diagonal layar televisi tersebut, b. keliling layar televisi tersebut,. luas layar televisi tersebut. 10. Seorang lelaki harus berenang melintasi sungai selebar 1 m agar dapat sampai ke pohon pisang yang terletak di seberang sungai. Namun, pada jarak 7 m disebelah kanan pohon pisang itu terdapat seekor buaya. erapa jarak buaya dari lelaki itu? P (x 1,y 1 ) P' (x,y ) (a) P (x 1, y 1 ) P' (x, y ) (b) Gambar 5.7: Proyeksi titik pada garis. Garis-Garis Pada Segitiga Di kelas VII, kamu telah mengenal berbagai maam garis pada segitiga. Garis-garis pada segitiga tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu. Masih ingatkah kamu pengertian untuk masing-masing garis tersebut? Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan dan menghitung panjang garis-garis pada segitiga. Namun, garis-garis pada segitiga yang dibahas pada bab ini dibatasi hanya garis tinggi dan garis berat. 1. Garis Tinggi Pada Segitiga Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis tinggi pada segitiga. oba kamu pelajari uraian berikut. a. Proyeksi Untuk memahami apa yang dimaksud dengan proyeksi, oba kamu perhatikan Gambar 5.7(a). Pada gambar tersebut terlihat titik P diproyeksikan terhadap garis. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah titik P'. Sekarang, oba kamu perhatikan Gambar 5.7(b) gambar tersebut menunjukan proyeksi titik P terhadap garis dengan posisi yang berbeda. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah P'. Dari uraian ini apa yang dapat kamu ketahui? Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis hubung titik dan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut. agaimana panjang garis proyeksi tersebut? da dua maam perhitungan yang dapat kamu lakukan. erdasarkan materi persamaan garis lurus yang telah kamu pelajari, dapat diuraikan sebagai berikut. Menentukan panjang proyeksi titik P (x 1, y 1 ), jika titik hasil proyeksi P' (x, y ) diketahui. ( ) + ( - 1) Panjang proyeksi x - x1 y y Menentukan panjang proyeksi titik P (x 1, y 1 ), jika persamaan garis ax + by + 0 diketahui. 106 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

17 Panjang proyeksi ax + by a + b Untuk lebih jelasnya, oba kamu perhatikan dan pelajari ontoh Soal 5.1. ontoh Soal Sebuah titik (3, 5) di proyeksikan pada sebuah garis dan menghasilkan titik hasil proyeksi '(, 3). Tentukan panjang garis hubung dari titik ke titik '.. Garis x + y 5 0 merupakan bidang alas proyeksi titik (0, 3). Tentukan panjang garis proyeksi titik ke garis tersebut. Jawab: 1. Diketahui: (3, 5) didapat x 1 3 y 1 5 Dari titik '(, 3) didapat x 1 y 3 Panjang proyeksi ( x - x ) + ( y - y ) 1 1 (- - 3) + (- 3-5) (- 5) + ( 8) Jadi, panjang proyeksi titik tersebut adalah 89 m.. Diketahui: (0, 3) didapat x 1 0, y 1 3 x + y 5 didapat a, b 1, 5 diperoleh Panjang proyeksi ax1 + by1 + a + b Jadi, panjang proyeksi tersebut adalah 5 5 m Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 107

18 (a) ' ' k (b) ' ' k () ' ' k (d) Selain pada titik, proyeksi pun dapat dilakukan pada sebuah garis. oba kamu perhatikan Gambar 5.8. Pada gambar tersebut terlihat berbagai maam proyeksi suatu garis terhadap garis yang lain. Misalkan suatu garis diproyeksikan terhadap garis k. Hasil yang diperoleh adalah garis ''. Perhatikan kembali Gambar 5.8 seara saksama. Kedua garis yang diproyeksikan selalu tegak lurus dengan garis bidang alas. Pada Gambar 5.8.( a), garis '' merupakan hasil proyeksi dari garis. Pada Gambar 5.8.( b), garis '' merupakan hasil proyeksi dari garis namun, titik berimpit dengan hasil proyeksinya karena titik terletak di garis k. Pada Gambar 5.8.( ), garis memotong garis bidang proyeksi, sehingga titik diproyeksikan ke atas menuju garis k dan b titik diproyeksikan ke bawah terhadap garis k. Terakhir, pada Gambar 5.8.( d), garis tegak lurus terhadap garis bidang proyeksi. Sehingga garis hasil proyeksi berupa sebuah titik pada garis k. Sekarang, bagaimana menghitung panjang garis proyeksi suatu garis terhadap garis lainnya? oba kamu perhatikan Gambar 5.9 ini. b E a b a k ' ' Gambar 5.8 : Proyeksi garis terhadap garis (a) D x Gambar 5.9 : Panjang garis proyeksi (b) D x Perhatikan segitiga pada Gambar 5.9.(a) beserta ukuran-ukuran di setiap sisinya. Dari gambar terlihat bahwa D adalah hasil proyeksi terhadap. Untuk menghitungnya, misalkan panjang D adalah x. Dengan demikian panjang D menjadi x. Perhatikan Gambar 5.9.( b). Dengan menggunakan teorema Pythagoras. Kamu dapat menghitung panjang garis proyeksi terhadap, yaitu panjang D. Perhatikan D, panjang D dapat dihitung sebagai berikut. D b x Perhatikan D, panjang D dapat dihitung sebagai berikut. D a ( x) Dari kedua uraian tersebut, diperoleh persamaan: b x a ( x) b x a ( x + x ) b x a + x x b a + x b a x - + Perhatikan kembali Gambar 5.9.(a ). Panjang garis proyeksi sisi b terhadap sisi, yaitu D adalah : 108 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

19 D b - a + Dengan ara yang sama, panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi, yaitu panjang D adalah: D a + - b egitu pula dengan panjang garis proyeksi sisi a terhadap sisi b, yaitu panjang E adalah: E a b + - b ontoh Soal 5.13 Perhatikan segitiga sebarang PQR pada gambar berikut. Jika panjang PQ adalah 8 m, panjang QR adalah 9 m dan panjang PR adalah 14 m, tentukanlah panjang proyeksi PQ terhadap QR. R Perhatikan gambar berikut. Hasil proyeksi PQ terhadap QR adalah garis SQ. Untuk menghitung panjang SQ, gunakan rumus umum proyeksi suatu garis terhadap garis lain diperoleh : PR - QR - PQ R SQ QR 14 m m ( 9) 8 m P Q P Jadi, panjang proyeksi PQ terhadap QR adalah m Q b. Menghitung garis tinggi pada segitiga Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis tinggi pada segitiga? Perhatikan segitiga sebarang PQR pada Gambar 5.10 Garis PU, QT, dan RS adalah garis-garis tinggi segitiga PQR. Jadi, garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga P tersebut. Sekarang bagaimana ara menghitung garis tinggi pada suatu segitga? da rumus umum yang dapat kamu gunakan untuk menghitungnya. Untuk lebih jelasnya oba kamu pelajari uraian berikut seara saksama. S R T U Q S Gambar 5.10 : Garis tinggi segitiga Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 109

20 b D Gambar 5.1 Misalkan, diketahui segitiga sebarang dengan ukuran-ukuran sisi-sisi seperti pada gambar disamping. Perhatikan bahwa D adalah garis tinggi pada segtiga, untuk menghitung panjang D, perhatikan uraian berikut. Pada segitiga D, berlaku teorema Pythagoras: D b D...(1) Dari hasil proyeksi garis terhadap diperoleh: D b + a...() Kemudian, subtitusikan nilai D ke persamaan (1) diperoleh: D b D b + - a D b - b + - a D b - a Dari uraian ini di peroleh bahwa panjang garis tinggi segitiga, yaitu panjang D, adalah b + - a D b - Dengan ara yang sama, oba kamu tentukan sendiri panjang garis tinggi yang lain pada segitiga tersebut ontoh Soal 5.14 Perhatikan segitiga sebarang PQR pada gambar di samping. Jika ukuran sisisisi segitiga tersebut seperti pada gambar, tentukan panjang garis tinggi QS pada segitiga PQR. R 9 m S 10 m P 1 m Q Jawab: Dari gambar diketahui: p 10 m, q 9 m, dan r 1 m Dengan mengunakan rumus perhitungan garis tinggi, diperoleh: 110 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

21 Ê p + q -r ˆ QS p - Ë Á q Ê ˆ 10 - Ë Á 9 ( m) Ê ˆ Ë Á Ê 37 ˆ Ë Á 18 QS Jadi, panjang QS ontoh Soal 5.15 Perhatikan segitiga siku-siku pada gambar di samping. Dengan ukuran-ukuran seperti yang ditunjukan pada gambar, tentukan: a. panjang, b. panjang garis tinggi D, 8 m D. luas segitiga. Jawab: a. Untuk menentukan panjang, gunakan teorema Pythagoras. + (6 m) + (8 m) 36 m + 64 m 100 m 6 m 100 m 10 m b. Untuk menentukan panjang garis tinggi D, gunakan rumus perhitungan garis tinggi. D 8 Ê + ˆ - Ë Á Ê ˆ - Ë Á 10 ( ) Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 111

22 , 96 4,8 Jadi, panjang D 4,8 m.. Untuk menentukan luas segitiga sebagai berikut D Luas 10 4, Jadi, luas segitiga 4 m F G E D Gambar 5.11 : Garis erat b a e d x 1 D E x 1 Gambar 5.1 : Panjang Garis erat. Garis erat pada Segitiga Sama halnya dengan garis tinggi, garis berat pada segitiga pun telah kamu pelajari di kelas VII. Ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis berat? oba perhatikan Gambar Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga sebarang. Perhatikan bahwa E, F, dan D merupakan garis berat segitiga. Jadi, apa yang dapat kamu ketahui tentang garis berat? Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut. Titik G pada segitiga merupakan titik berat segitiga. agaimana ara menghitung panjang garis berat pada suatu segitiga? oba perhatikan segitiga sebarang pada Gambar 5.1 di samping. Garis E merupakan garis berat sedangkan garis D merupakan garis tinggi. Untuk menghitung panjang E, perhatikan uraian berikut. Dari segitiga, diperoleh proyeksi garis terhadap E, yaitu DE atau x. Jadi, 1 a - - d DE x 1 a x x a d ( 1) - d Dari segitiga E, diperoleh proyeksi garis E terhadap E, yaitu DE atau x. Jadi, 11 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

23 DE x 1 d + Ê b Ë Á ˆ - Ê 1 ˆ Ë Á 1 d + Ê b Ë Á ˆ - Ê 1 ˆ x d + Ë Á b...() Dari persamaan (1) dan () diperoleh: a - Ê Ë Á d d 1 ˆ d d + Ê Ë Á 1 ˆ + Ê Ë Á Ê Ë Á Ê d 1 ˆ Ë Á b a Ê d 1 ˆ Ë Á + b + a d b + a d b a d - + b + a 4 d a + b d a + b ˆ b 1 ˆ b a Jadi, rumus untuk menentukan panjang garis berat d pada segitiga adalah: d a + b - 4 Untuk lebih jelasnya, perhatikan ontoh soal berikut Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 113

24 ontoh Soal 5.16 Sebuah segitiga PQR memiliki ukuran panjang sisi PQ 8 m, QR 10 m, dan PR 1 m. Hitunglah panjang garis berat segitiga tersebut untuk setiap sudutnya Jawab: Perhatikan gambar di samping. Dari gambar tersebut, QS, PU, dan RT adalah garis berat segitiga PQR. Q QS PQ + QR - PR m T 10 m U P S R 1 m PQ PR + PQ - QR RT PR + RQ - PQ Jadi, diperoleh panjang garis berat segitiga PQR adalah sebagai berikut. QS 46 m F G E PU RT 79 m 106 m D Sekarang, oba kamu perhatikan segitiga sebarang pada Gambar di samping. Segitiga sebarang memiliki garis berat EF, dan D. Titik G yang merupakan perpotongan antara tiga garis berat dinamakan titik berat segitiga. erikut ini adalah perbandingan ukuran yang dimiliki oleh segitiga sebarang pada gambar 114 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

25 Untuk panjang sisi Untuk panjang sisi berat D : D 1 : 1 G : GE : 1 E : E 1 : 1 G : GF : 1 F : F 1 : 1 G : GD : 1 Dari uraian tersebut, jelas bahwa jarak titik sudut segitiga ke titik berat adalah 3 kali panjang garis berat. dapun jarak dari titik berat ke pertengahan sisi segitiga adalah 1 3 kali dari panjang garis berat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan ontoh Soal 5.19 ontoh Soal 5.17 Perhatikan segitiga siku-siku pada gambar berikut. Jika ukuran sisi segitiga tersebut adalah 8 m, 6 m, dan 10 m, tentukan: a. panjang garis berat D, b. panjang E,. panjang DE. Jawab: a. Untuk menentukan panjang D, gunakan rumus umum untuk menghitung panjang garis berat D Jadi, panjang garis berat D adalah 5 m. b. Panjang E panjang D Jadi, panjang D 10 3 m 1. Panjang DE panjang D D 10 m 8 m E 6 m 5 3 Jadi, panjang DE 5 3 m Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 115

26 Uji Kompetensi 5. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Perhatikan gambar berikut ini. Gambar tersebut menunjukkan proyeksi sebuah titik terhadap sebuah garis. Jika garis tersebut memiliki persamaan 3x + y 0 dan koordinat titik tersebut adalah (4, ), maka: a. tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik hasil penyelesaiannya, b. gambarkan posisi titik hasil proyeksi garis tersebut. (4, ) 4. a. panjang proyeksi PQ terhadap QR, b. panjang proyeksi PQ terhadap PR,. panjang proyeksi QR terhadap PQ, d. panjang proyeksi QR terhadap PR. 13 m 5 m. P (, 5) 3x + y 0 Q ( 1,3) Dari gambar tersebut, sebuah garis PQ akan diproyeksikan terhadap garis k. Diketahui koordinat P(, 5) dan Q( 1, 3) serta garis k memiliki persamaan x y 0. a. Jika hasil proyeksi titik P memiliki koordinat P' (, 6), tentukan panjang garis PP'. b. Tentukan jarak antara Q dengan Q'.. Tentukan koordinat titik Q'. 3. Perhatikan segitiga PQR pada gambar berikut. Jika panjang sisi-sisi segitiga tersebut adalah 14 m, 10 m, dan 8 m, tentukan: 8 m R k 10 m 1 m Dari gambar segitiga siku-siku tersebut, tentukan: a. panjang garis tinggi untuk, b. panjang garis tinggi untuk,. panjang garis tinggi untuk. 5. Perhatikan gambar segitiga siku-siku KLM berikut tentukan: M P 3 m Q 5 m O K 4 m N L a. panjang berat untuk garis k, b. panjang berat untuk garis L,. panjang garis berat untuk M, d. panjang MQ, e. panjang QN. P 14 m Q 116 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

27 Rangkuman 1. Teorema Pythagoras menyatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya.. Teorema Pythagoras ditulis sebagai berikut. b a b + a atau b + a 3. Garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga tersebut. 4. Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut. Pada bab Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga ini, adakah materi yang menurutmu sulit untuk kamu pahami? Setelah mempelajari bab ini, apakah kamu merasa kesulitan memahami materi tertentu? Materi apakah itu? Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada bab ini? Peta Konsep Teorema Pythagoras Pengertian dan Penulisan Penggunaan Penerapan rumus b + a atau b + a Perhitungan pada Segitiga menakup Perhitungan pada angun Datar Garis Tinggi Segitiga Garis erat Segitiga Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 117

28 Uji Kompetensi ab 5. Pilihlah satu jawaban yang benar. 1. ilangan-bilangan berikut yang memenuhi teorema Pythagoras adalah sebagai berikut, keuali... a. 3, 4, dan 5. 5, 1, dan 13 b. 6, 8, dan 10 d. 6, 8, dan 16. Sisi sebuah segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi alas 1 m dan tinggi 0 m adalah... a. 7 m. 9 m b. 8 m d. 30 m 3. Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring 1 m. Jika panjang alas segitiga adalah 8 m, maka tinggi segitga tersebut adalah... a. 0 m. 80 m b. 0 m d. 80 m 4. Perhatikan gambar dibawah ini. 13 m 10 m Nilai x pada segitiga siku-siku adalah... a b. 96 d Perhatikan gambar di bawah ini. R x 7. Keliling sebuah segitiga siku-siku yang memiliki panjang sisi miring 5 m dan tinggi 4 m adalah... a. 7 m. 3 m b. 49 m d. 56 m 8. Perhatikan gambar berikut. r m R P 180 m 4r m Dari segitiga siku-siku PQR tersebut, nilai r yang memenuhi adalah... a b. d Sebuah segitiga PQR memiliki panjang 10 m, 1 m, dan 14 m. Segitiga tersebut merupakan segitiga... a. lanip. siku-siku b. tumpul d. sama sisi 10. Luas sebuah persegi adalah 5 m. Panjang diagonal persegi tersebut adalah... a b. 5 d Perhatikan gambar berikut. D Q q t p E P r S Dari segitiga PQR tersebut berlaku hubungan berikut, keuali... a. q r + t b. t q r. t p s d. s t p 6. Sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang sisi miring 17 m. Jika panjang alasnya 15 m, maka luas segitiga adalah... a. 8 m. 30 m b. 16 m d. 60 m s Q Jika panjang adalah 10 m, luas persegi panjang D tersebut adalah... a. 5 m. 5 m b. 5m d. 50 m 1. Panjang diagonal sebuah persegi panjang adalah 10 m. Jika lebar persegi panjang tersebut adalah 6 m, maka keliling persegi panjang adalah... a. 14 m. 48 m b. 8 m d. 64 m 118 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII

29 13. Perhatikan gambar berikut. D 10 m 19. Perhatikan gambar berikut. R 10 m 6 m 40 m 16 m Dari gambar trapesium D, tinggi trapesium adalah... a. 6 m. 8 m b. 7 m d. 9 m 14. Perhatikan kembali soal nomor 13. Keliling trapesium tersebut adalah... a. 34 m. 54 m b. 44 m d. 64 m 15. Suatu segitiga siku-siku samakaki sisi miringnya 10 m, panjang kaki-kakinya adalah... m a. 13 m. 15 m b. 14 m d. 16 m 16. Sebuah kapal berlayar ke arah utara sejauh 11 km. Kemudian, kapal tersebut berbelok ke arah barat dan berlayar sejauh 9 km. Jarak dari titik awal keberangkatan ke titik akhir adalah... a. 10 km. 0 km b. 10 km d. 0 km 17. Perhatikan gambar berikut F E E P 4 m Dari gambar tersebut, panjang garis tinggi untuk R adalah... a. 3 m. 5 m b. 4 m d. 6 m 0. Perhatikan gambar berikut. F D G Dari segitiga sebarang tersebut, panjang garis berat E adalah 7 m. Panjang EG adalah... a. 6 m. 1 m b. 9 m d. 18 m. Kerjakanlah soal-soal berikut. 1. Diketahui sebuah segitiga siku-siku seperti yang digambarkan sebagai berikut. R E Q D Dari gambar tersebut, proyeksi garis terhadap ditunjukan oleh... a. D. E b. D d. F 18. Sebuah titik P (, 3) diproyeksikan pada sebuah garis sehingga menghasilkan titik hasil proyeksi P' (5, ). Jarak antara P dan P' adalah... a. 7 m b. 7 m. 74 m d. 74 m P 160 m 3r m Q 3r m Dari segitiga PQR tersebut, tentukan: a. nilai r, b. panjang PQ,. panjang QR, d. keliling segitiga PQR, e. luas segitiga PQR. Teorema Pythagoras dan Garis-Garis pada Segitiga 119

30 . Keliling suatu persegipanjang 4 m. Jika lebar persegipanjang tersebut 9 m, tentukan: a. panjang persegipanjang, b. panjang diagonalnya, 3. Salinlah gambar berikut, kemudian tentukan hasil proyeksi garis PQ terhadap garis k. a. b. k k 4. Perhatikan gambar segitiga berikut 1 m 8 m 9 m. k Dari gambar tersebut, tentukanlah: a. panjang garis tinggi untuk, b. luas segitiga,. keliling segitiga. 5. Perhatikan gambar segitiga sebarang KLM berikut. M d. P Q O e. k k K N L Jika panjang KL 10 m, LM 11 m, dan KM 8 m, tentukanlah: a. panjang garis berat KO, b. panjang KQ,. panjang MP, d. panjang OQ, e. panjang LO. 10 Mudah elajar Matematika untuk Kelas VIII