Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Transkripsi

1 Volume Nomor 2 Desemer 27

2 Barekeng Desemer 27 hal3-35 Vol No 2 TITIK-ANTARA DI DALAM RUANG METRIK DAN RUANG INTERVAL METRIK (Between-Points In Metric Space And Metric Interval Space MOZART W TALAKUA Jurusan Matematik FMIPAUNPATTI Jl Ir M Putuhenam Kampus Unpatti Poka-Amon E~Mail: ocat_8@yahoocom A point p in metric space ( d d ( d( p + d( p ABSTRACT is called a etween-point of if = This concept was formulated y Menger in 928 If all the etween-points of a and is collected in a set then a and are that set automaticlly In the metric space ( d and if there are operator in hence this interval operator is called metric interval operator The couple of ( called metric interval space is Keywords: Between-points Metric Space Metric Interval Space PENDAHULUAN Pada tahun 96 Maurice Frechet yang adalah seorang ahli matematika erkeangasaan Perancis memperkenalkan konsep jarak pada himpunan yang tidak kosong Jarak ini selanjutnya diseut metrik pada himpunan tadi Himpunan yang tidak kosong d dilengkapi metrik d ditulis ( diseut ruang metrik sedangkan anggota-anggota himpunan diseut titik-titik pada ruang metrik yang termuat dalam ilangan riil d( x y ( d adalah jarak titik x dan y didalam Di dalam lingkup analisis memicarakan tentang ruang metrik merupakan suatu hal yang sangat penting sea ruang metrik anyak digunakan di dalam memicarakan kekonvergenan suatu arisan atau kekontinuan suatu fungsi kekonvergenan suatu arisan atau kekontinuan suatu fungsi merupakan salah satu ahasan utama dalam analisis Perhatikan kemali pengertian titik-antara di dalam sistem ilangan riil Bilangan riil p erada diantara dua ilangan riil a dan jika a p dan p yang selanjutnya ditulis a p Dengan menggunakan interval p yang erada diantara a dan dapat ditulis p a [ ] Leih lanjut konsep titik diantara dua titik pada suatu sistem ilangan riil R ukanlah suatu hal yang aneh dalam analisis Akan tetapi titik-antara dua uah titik pada d ruang metrik ( merupakan suatu hal yang menarik untuk diicarakan dan diteliti Menurut definisiny jika a dan dua uah titik di dalam ruang metrik ( d maka tidak ada titik yang terletak diantaranya Berawal dari kondisi inilah munculnya permasalahan yang akan diahas dalam karya tulis ini Pemicaraan titik-antara di dalam ruang metrik menjadi leih menarik setelah pada tahun 928 Menger pertama kali memperkenalkan definisi titik-antara dua uah titik di dalam ruang metrik ( d Definisi dimaksud adalah : Titik p di dalam ruang metrik ( d erada diantara titik a dan didalam jika d( = d ( p + d ( p Dalam definisi terseut terdapat dua kelompok titikantar yaitu titik-antara sejati dan titik-antara tidak sejati Hal terseut diedakan erdasarkan apakah p sama atau tidak dengan a dan Dengan demikian yang dimaksud dengan titik-antara sejati dalam ruang metrik ( d didefinisikan seagai erikut : Titik p di dalam ruang metrik ( jika p p dan d( = d ( p + d ( p d erada diantara titik a dan di dalam Berdasarkan definisi itu maka munculah eerapa pertanyaan sehuungan dengan titik-antara p terseut diantaranya : Bagaimanakah huungan antara p dengan a dan? Sifat-sifat apakah yang mencirikan keeradaan titik p Jika merupakan interval metrik yang memuat semua titik p sifat-sifat apakah yang erlaku di dalam interval terseut? Hal-hal itulah yang merupakan permasalahan yang akan diahas dalam karya tulis ini Sistem pemahasannya akan diutamakan dalam mencari teorema-teorema (sifat-sifat yang merupakan sifat-sifat titik-antara di dalam ruang metrik ( d TINJAUAN PUSTAKA Sistem ilangan riil pada dasarnya mempunyai dua sifat yaitu : pertam sifat aljaar Sifat ini secara singkat dikatakan ahwa himpunan ilangan riil R ersama-sama dengan operasi iner penjumlahan dan perkalian mementuk suatu lapangan (field Kedu sifat yang memahas tentang jarak antara dua uah titik dan

3 32 TALAKUA TITIK-ANTARA pemahasan tentang konsep limit Sifat ini diseut sifat metrik atau topologis Sifat metrik yang awalnya diperkenalkan oleh Maurice Frechet sekitar tahun 96 dalam tesisnya yang erjudul sur quelques points du calcul functionnel memicarakan tentang fungsi-fungsi pada kalkulus Disini Frechet erusaha memperkenalkan konsep dari suatu d Kemudian oleh Menger pada tahun ruang metrik ( 928 dengan erpatokan pada pengertian ruang metrik d serta sifat-sifat yang erkaitan denganny maka ( diperkenalkan pengertian titik-antara didalam ruang metrik dan ruang interval metrik Selanjutnya didukung oleh eerapa literatur lain maka penulis mencoa menyusun seuah penulisan tentang titik-antara didalam ruang metrik dan ruang interval metrik melalui definisi contoh serta eerapa teorema yang erkaitan Definisi Suatu himpunan yang tidak kosong didefinisikan seagai erikut : (i Fungsi d : R yang memenuhi empat sifat yaitu: d x y untuk setiap x y a ( d( x y = jika dan hanya jika c d( x y d ( y x x = y = untuk setiap x y d d( x y d ( x z + d( z y untuk setiap x y z diseut metrik (metri atau jarak (distance pada (ii Himpunan yang dilengkapi dengan suatu metrik d dituliskan dengan ( d diseut ruang metrik (metric space Selanjutny jika metriknya telah diketahui (tertentu maka ruang metrik cukup ditulis saja (iii Anggota ruang metrik ( d diseut titik (point dan untuk setiap x y ilangan nonnegatif d( x y diseut jarak (distance titik x dengan titik y Teorema (i M atas atas terkecil (suprimum himpunan A jika dan hanya jika a M atas atas A untuk setiap a A erakiat a M dan (ii Untuk setiap ilangan ε > terdapat sehingga M ε < a' M m atas awah teresar ( infimum A jika dan hanya jika a' A himpunan a m atas awah A untuk setiap a A erakiat m dan Untuk setiap ilangan ε > terdapat sehingga m a'' < m + ε a '' A Teorema 2 Jika AB R dan teratas maka : (i sup( A + B sup( A + sup( B sup( A + B inf ( A + inf ( B Definisi 2 (Titik-antara Sistem Bilangan Riil Suatu ilangan riil p erada diantara dua ilangan riil a dan jika a p dan p yang selanjutnya ditulis a p Dengan menggunakan interval p yang erada diantara a dan dapat ditulis p [ a ] Definisi 3 (Operator fungsi Fungsi f : A B jika himpunan A = B maka f : A iseut operator atau tranformasi pada A HASIL DAN PEMBAHASAN Titik-antara di Dalam Ruang Metrik Pada agian ini akan disajikan pengertian titik-antara di dalam ruang metrik serta sifat-sifat yang erkaitan dengannya Definisi titik-antara didalam ruang metrik ( d pertama kali diperkenalkan oleh Menger pada tahun 928 Definisi yang dimaksud adalah seagai erikut : Definisi 2 Diketahui ( d ruang metrik p diseut titikantara dua titik a jika erlaku ( ( ( d a = d a p + d p Definisi diatas mengandung dua pengertian titik-antara yaitu titik-antara sejati dan titik-antara tidak sejati Titik p adalah titik-antara dua titik a dan di dalam dengan p a dan p dengan ( ( ( d a p + d p = d maka titik p diseut titik-antara sejati Sedangkan jika p = a dan p = atau salah satunya ered misalnya p = a dan p dan sealiknya maka p diseut titik-antara tidak sejati Contoh Titik p adalah titik-antara dalam ruang metrik d x y = x y ( Rd dengan ( x y R maka : p = αx+ α y dengan α ( ( ( + ( = ( α + ( α + ( α + ( α = x ( αx + ( α y + ( αx + ( α y y d x p d p y d x x y d x y y ( α x ( α y + ( αx + y y y = α = α x y + α x y

4 Barekeng Vol 27 TITIK ANTARA 33 ( α + x y = α = x y ( = d x y Contoh 2 h α f α g Titik = + ( dengan α ( adalah titik-antara dalam ruang metrik (C[ ] d dengan C[ ] adalah koleksi semua fungsi kontinu pada [ a ] dan d( f g = sup { f ( x g ( x ; x [ ] sea : { f ( x α f ( x ( α g ( x x [ a ] = sup ; { α f ( x ( α g ( x g ( x x [ a ] + sup + ; { f ( x g ( x x [ a ] = sup ; ( f g = d Contoh 3 Titik h = α f + α g dengan α adalah titik-antara { x x i ( ( = dan { y y i = dalam ruang metrik ( C[ ] d dan d ( f g = f ( x g ( x C [] adalah koleksi semua fungsi kontinu pada [ ] sea : dx ( α ( ( α ( α ( ( α ( ( ( α ( ( ( α( ( ( ( ( α ( ( = α f x g x dx + f x g x dx ( α α f ( x ( = α+ α f x g x dx dengan = f x f x g x dx + f x + g x g x dx = f x g x dx + f x g x dx = + g x dx ( ( ( ( d( f g = f x g x dx = Jika p merupakan titik-antara a dan dalam ruang metrik ( d Apakah keantaraan titik p dipertahankan oleh suatu metrik invarian atau suatu fungsi kontraktif? Sifat-sifat erikut ini merupakan sifat titik-antara dalam ruang metrik invarian fungsi kontraktif Definisi 2 (Ruang Metrik Invarian diseut ruang metrik invarian untuk setiap az jika erlaku : d( a+ z + z = d ( Ruang metrik ( d Teorema 3 Jika ( d ruang metrik invarian dan p titik-antara dengan a maka p+ z titik-antara a+ z + z untuk setiap z ( d ruang metrik invarian erarti untuk setiap az erlaku : ( + + = ( d a z z d a Titik p merupakan titik-antara a maka ( ( ( d a = d a p + d p dan karena d metrik invarian padanya maka diperoleh : ( = ( + + = ( ( + + = ( + ( d a d a z z d a z p z d p z z d a p d p Jadi p+ z titik-antara a+ z + z Definisi 3 (Fungsi Kontraktif Fungsi f : dengan ( d ruang metrik dikatakan kontraktif jika ada ilangan α dengan α sehingga erlaku d f x f y = αd x y untuk setiap x y ( ( ( ( Perhatikan kemali fungsi kontraktif f : dengan d ruang metrik ( Jika titik p merupakan titik-antara a dan f fungsi kontraktif pada ruang metrik ( d Apakah ( ( ( f p adalah titik-antara f a dan f? Teorema erikut akan menunjukan ahwa titik-antara dalam ruang metrik juga erlaku pada fungsi kontraktif Teorema 4 Diketahui ( d ruang metrik dan f : adalah fungsi kontraktif Jika p titikantara a maka ( ( ( f p titik-antara f a dan f Amil searang

5 34 TALAKUA TITIK-ANTARA a Titik p adalah titik-antara a maka : Karena ( = ( + ( d a d a p d p ( ( f : dan maka f a f Selanjutnya karena f kontraktif maka terdapat ilangan riil α dengan α dan erlaku : d f a f = αd ( ( ( ( diperoleh : d( f ( f ( = α d ( p + d ( p ( αd ( p = αd a p + = d( f ( f ( p + d ( f ( p f ( Jadi f ( p adalah titik-antara f ( dan f ( Teorema 5 d Diketahui ruang metrik ( f : dan g : adalah fungsi-fungsi kontraktif Jika p titik-antara a maka ( f ο g( p titik-antara ( f ο g ( dan ( f ο g ( Diketahui g: kontraktif erarti ada ilangan α dengan α ( α ( sehingga ( ( Akiatnya : d g a = d ( ( ο ( ο ( = ( ( ( ( = β d ( g ( a g ( d f g a f g d f g a f g = β { α d ( = β { α ( d( p + d ( p = β αd ( p + α d ( p { { d ( g( a g ( p d ( g ( p g ( = β + = = d ( f ( g( f ( g( p + d( f ( g( p f ( g( d ( fο g( fοg( p + d( fοg( p fοg( Jadi ( f ο g( p titik-antara ( f g( ( f ο g ( ο dan Ruang Interval Metrik Operator A: 2 2 dengan diseut operator interval jika A ( = { a a A( dan A( = A( untuk setiap Oleh karena itu jika A merupakan operator interval pada maka koleksi semua A dengan ( ( A { 2345 diseut ruang interval dan dituliskan dengan = Seagai contoh diketahui Didefinisikan A( = { x: x dan a x atau x untuk setiap Dapat ditunjukan a ahwa A operator interval pada Jadi ( adalah ruang interval Pada agian ini akan diahas tentang ruang interval metrik (metric interval space Operator interval yang akan diahas dikhususkan pada d Definisi erikut menyatakan ahwa ruang metrik ( didalam ruang metrik ( d A terdapat suatu operator Operator interval ini akan diicarakan leih lanjut Definisi 4 (Ruang Interval Metrik Jika ada operator Diketahui ruang metrik ( d pada maka operator interval ini diseut operator interval metrik (metric interval operator Selanjutnya pasangan ( diseut ruang interval metrik (metric interval space Definisi 5 (Mixing Operator Operator M : 3 2 yang didefinisikan M ( = A( A( A( untuk setiap c diseut mixing operator atau operator-m yang diangkitkan oleh operator interval A pada Teorema 6 Jika M adalah mixing-operator pada ruang interval A maka : ( ( M ( = M ( = { a (2 Jika σ adalah permutasi c maka ( σ ( = M ( M M a a = M a = Karena ( ( { a M ( A( A( ( A( a maka ( a A( = A( { a A A = M ( a = M ( = { a Jadi = Terukti ( Untuk memuktikan (2 diamil searang c Pertam perlihatkan ahwa M ( = M ( = M ( Dengan menggunakan definisi mixing operator M dan sifat irisan himpunan diperoleh : M ( = A( A( = A( = {a

6 Barekeng Vol 27 TITIK ANTARA 35 M ( = A( A( A( = A( = { a M ( = A( A( = A( = {a Jadi M ( = M ( = M ( Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan M ( = M ( = M ( M a = M = M ( ( ( ( = M ( = M ( ( = M ( = M ( c ( = M ( = M ( c M M dan M Kedu diperlihatkan M c = M = M = M a = M a ( ( ( ( ( M ( = Dengan menggunakan definisi mixing-operator M dan sifat irisan himpunan diperoleh M ( = A( A( A( = A c A A = M ( ( ( ( = A( A( A( = A( A( A( = M ( = A( A( A( = A( A( A( = M ( = A( A( A( = A( A( A( = M ( = A( A( A( = A( A( A( = M ( maka M ( ( = M ( permutasi c σ dengan σ adalah definisi titik-antara di dalam ruang metrik titik p di dalam ruang metrik erada di antara a dan di dalam jika jika d ( = d( p + d( p Apaila semua titik-antara dua titik a dan di dalam dikumpulkan maka akan terentuk suatu himpunan dengan a dan menjadi anggotanya Himpunan ini diseut interval dengan ujung-ujung a dan yang selanjutnya dinotasikan ( Interval ini diseut interval metrik DAFTAR PUSTAKA Bartle R G & Shertert D R (994 Introduction to Real Analysis Second Edition John Wiley & Sons In New York Conway JB (99 A Course in Functional Analysis Springer-Verlag New York Kreyszig E (978 Intrduction Functional Analysis with Applications John Wiley and Sons New York Soeparn D (26 Pengantar Analisis Real Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mad Yogyakarta Soeparn D (27 Pengantar Analisis Astrak Jurusan Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mad Yogyakarta KESIMPULAN Berdasarkan pemahasan maka kesimpulan dalam penelitian ini adalah: Di dalam ruang metrik ( d jika p merupakan titik-antara maka erlaku sifat-sifat : a Jika d metrik invarian maka p + z titik-antara a + z dan + z untuk setiap z Jika f fungsi kontraktif dari ke maka f ( p titik-antara f ( dan f ( c Jika f dan g fungsi-fungsi kontraktif dari ke fο g a dan maka ( fο g(p titik-antara ( ( ( f ο g( ( 2 Interval merupakan himpunan semua titikantara dua titik a dan di dalam ruang metrik ( d maka ( = { p d( p + d( p = d ( diseut interval metrik Karena interval metrik merupakan operator interval metrik maka ( diseut ruang interval metrik Selanjutnya sesuai