BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Transkripsi

1 BAB II FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Standar kompetensi:. Memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat Kompetensi Dasar:. Memahami konsep fungsi. Menggamar grafik fungsi aljaar sederhana dan fungsi kuadrat.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.4 Melakukan manipulasi aljaar dalam perhitungan yang erkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.5 Merancang model matematika dari masalah yang erkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang erkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya 3. Menyelesaikan pertidaksamaan satu variael yang meliatkan entuk pecahan aljaar 3. Merancang model matematika dari masalah yang erkaitan dengan pertidaksamaan satu variael 3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang erkaitan dengan pertidaksamaan satu variael dan penafsirannya. Jematan: Verrazano-Narrowsridge Sumer: Bentuk paraola merupakan salah satu entuk kurva yang sering Anda jumpai dalam kehidupan. Salah satunya tampak pada tali menggantung menghuungkan tiang jematan pada gamar di atas. Kurva paraola dapat diwakili oleh suatu fungsi yang diseut fungsi kuadrat. Pada a ini Anda akan mempelajari pengertian fungsi dan cara menggamar grafiknya, termasuk grafik fungsi kuadrat.

2 A. Fungsi Kuadrat. Relasi dan Fungsi A p q r s f B 3 4 C a c d f D 3 (i) (ii) Fungsi merupakan relasi khusus. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B diseut fungsi jika setiap unsur (anggota) himpunan A dipasangkan tepat satu dengan unsur himpunan B gamar (i). Sedangkan gamar (ii) yang menunjukan relasi dari C ke D ukan fungsi karena ada anggota himpunan A (yaitu ) tidak memiliki pasangan dengan satu unsur himpunan B. Jika fungsi itu dieri nama f maka fungsi terseut dapat ditulis dengan lamang: f: A B diaca f memetakan A ke B atau B adalah peta dari A. Peta dari x sering ditulis f(x) dan entuk f(x) diseut rumus untuk f. Contoh: ) f : x x 5, rumusnya ditulis f(x) = x - 5 ) f : x x x + 3, rumusnya ditulis f(x) = x x + 3. Domain, Kodomain dan Range Misalkan f seuah fungsi yang memetakan tiap anggota A ke B (f : A B) maka: Himpunan A diseut domain Hinpunan B diseut kodomain Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A atau semua anggota yang merupakan peta dari himpunan A diseut range Seagai contoh, perhatikan gamar (i) a. Domainnya ditulis D f = {p, q, r, s}. Kodomainnya ditulis K f = {,, 3, 4} c. Rangenya ditulis R f = {,, 3} Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page

3 Contoh : Diketahui fungsi f : x x + dengan daerah asal {x x 3, xr} a. Carilah nilai fungsi f untuk x =, x = dan x = 3. Gamarlah grafik f pada idang cartesius c. Tentukan wilayah hasilnya (range). Penyelesaian f : x x +, rumusnya f(x) = x + a. Nilai fungsi f(x) = x + Untuk x = f() = () + = 3 Untuk x = f() = () + = 5 Untuk x = 3 f(3) = (3) + = 7. Grafik f(x) = x + 7 Y y = f(x) = x O 3 domain X c. Berdasrkan gamar di atas, jelas ahwa daerah hasil/wilayah hasil adalah {y 3 y 7, y R} Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 3

4 Uji Kompetensi Kerjakan soal-soal erikut!. Dari relasi-relasi pada gamar erikut ini manakah yang merupakan fungsi. Daerah asal fungsi f : x x 3 adalah D f = {x 0 x 4, xr} a. Tentukan nilai fungsi f untuk x = 0, x =, x =, x = 3 dan x = 4. Gamarlah grafik fungsi pada idang cartesius c. Tentukan wilayah hasil fungsi f (R f) 3. Diketahui fungsi f : x (ax + ) dengan a, B. Jika f() = dan f() = - a. Carilah nilai a dan. Hitunglah nilai f(-), f(-), f(0), f(3) dan f(4) c. Gamarlah grafik terseut pada idang cartesius. 4. Diketahui fungsi f : x x + dengan daerah asal D f = {-, -, 0,, }. Tentukan wilayah hasilnya. 3. Beerapa Macam Fungsi Khusus Fungsi yang termasuk fungsi khusus antara lain: fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat dan fungsi modulus. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 4

5 ) Fungsi konstan Suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan seuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dala daerah asalnya. Artinya untuk semua nilai x dalam D f hanya erpasagan dengan seuah nilai dalam R f atau dengan kata lain fungsi f memasangkan setiap ilangan real k. Fungsi konstan ditulis seagai: f : x k, dengan rumus f(x) = k, dengan k konstanta dan xr. Contoh : 3 Y f(x) = O 3 X 3 f(x) = 3 ) Fungsi Identitas Fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai dalam daerah asalnya. Artinya untuk seuah nilai x dalam D f erpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam R f. Fungsi identitas ditulis seagai: I : x x atau I(x) = x, dengan I menyatakan identitas grafiknya Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 5

6 3) Fungsi Modulus (Fungsi Nilai Mutlak) Fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah asalnya atau fungsi yang memasangkan ilangan eal dengan nilai mutlaknya. Bentuk x diaca nilai mutlak x didefinisikan: Untuk xr, maka nilai mutlak x dientukan oleh aturan x, x x, jika x0 jika x0 Oleh karena nilai mutlak suatu ilangan real x tidak pernah negatif, maka grafik y = f(x) = x tidak pernah erada di awah sumu x. Contoh 3: f : x x atau f(x) = x 4) Fungsi Linear Fungsi y = f)x) dengan f(x) = ax +, a, R dan a 0 untuk semua x dala daera asalnya Fungsi linear dikenal dengan fungsi polinom (suku anyak) erderajat satu dengan variael x. Contoh 4: f : x x + atau f(x) = x + Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 6

7 5) Fungsi Kuadrat Fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + x + c. a, dan c R dan a 0 untuk semua nilai x dalam daerah aalnya. Fungsi kuadrat dikenal dengan fungsi polinom erderajat dua dengan variael x. Grafik fungsi kuadrat erenytuk paraola dan pada kesempatan ini grafik fungsi kuadrat kita akan ahas leih lanjut. 4. Sifat-sifat Fungsi Telah dikenal eerapa fungsi khusus, fungsi terseut mempunyai sifatsifat khas seagi erikut: ) Fungsi Into Fungsi f : A B dikatakan fungsi Into jika ada B yang ukan peta dari a A.. Range: R f B. Ada B ukan peta dari a A yaitu Contoh 5: Misalkan A himpunan ilangan ulat dan B himpunan ilanga cacah. f suatu fungsi dri A ke B yang disajikan denga rumus f : x x. Apakah f suatu ungsi into? Penyelesaian A = {..., -3, -, -, 0,,, 3...} B = {0,,, 3, 4,...} A B Dari diagram di samping ternyata ada anggota B yang tidak mempunyai prapeta dari anggota A, sehingga f : x x adalah fungsi into. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 7

8 ) Fungsi Onto/Pada/Surjektif Fungsi f : A B dikatakan surjektif (onto) jika setiap anggota B mempunyai prapeta di A atau R f = B. R f = B Contoh 6: Misalkan A = {-4, -3, -, -, 0,,, 3, 4} dan B = {-, -, 0,, }. f suatu fungsi A ke B yang disajikan dengan aturan o, jika f ( n) n, jika Apakah fungsi f surjektif/onto? Penyelesaian n ganjil n genap. Terlihat setiap anggota B memunyai prapeta di A. R f = B Sehingga f : A B adalah fungsi surjektif 3) Fungsi Satu-satu/Injektif/one to one Fungsi f : A B dikatakan fungsi satu-satu jika setiap anggota A yang ereda mempunya peta ereda di B. A f B a a a 3 a Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 8

9 Contoh 7: Misalkan A himpunan ilangan cacah, B himpunan ilangan ulat, f suatu fungsi yang disajikan dengan rumus f : x x +. Apakah f suatu fungsi injektif. Penyelesaian A = {0,,, 3,...} B = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} Pada diagram di samping terlihat setiap anggota A yang ereda mempunyai peta di B yang ereda juga. Sehingga f : A B adalah fungsi injektif 4) Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Fungsi f : A B diseut fungsi ijektif apaila fungsi terseut injektif sekaligus surjektif (satu-satu dan pada). Contoh 8: Diketahui A = {,, 3, 4, 5,...} dan B = {, 4, 6, 8, 0,...}. suatu fungsi disajikan f : x x. Apakah fungsi f suatu fungsi ijektif? Penyelesaian A f B Terlihat R f = B erarti f fungsi pada. Setiap anggota A yang ereda mempunyai peta yang ereda dengan anggota B, erarti f fungsi satu-satu. Jadi, karena f pada dan satu-satu maka f merupakan fungsi ijektif. di samping terlihat setiap anggota A yang ereda mempunyai peta di Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 9

10 Note : Fungsi kepada B diseut pula fungsi surjektif (onto) Fungsi kedalam B diseut pula fungsi into Uji Kompetensi Kerjakan soal-soal erikut!. Diantara fungsi erikut, manakah yang merupakan fungsi into, fungsi pada, fungsi satu-satu dan fungsi yang merupakn korespondensi satusatu!. Manakah yang merupakan fungsi into, fungsi pada, fungsi satu-satu dan fungsi ijektif dari fungsi dengan D = {,, 3, 4} yang didefinisikan seagai erikut: a. R = {(, ), (, 3), (3, 5), (4, 7)}; jika K = {,, 3, 4, 5, 6, 7}. R = {(, ), (, ), (3, 3), (4, )}; jika K = {,, 3} c. R = {(, 4), (, 3), (3, ), (4, )}; jika K = {,, 3, 4} 3. Misalkan A = [-, ] = {x - x, x R}. Apakah fungsi-fungsi erikut surjektif untuk a. f : A A didefinisikan f(x) = x. f : A A didefinisikan f(x) = x - c. f : A A didefinisikan f(x) = x d. f : A A didefinisikan f(x) = x 3 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 0

11 5. Grafik Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi dimana pangkat tertinggi dari varaiel x pada tiap fungsi sama dengan dua. Bentuk aku: f(x) = ax + x + c, a 0 dengan a,, c R a = koefisien x = koefisien x c = konstanta Grafik fungsi kuadrat erupa paraola. a. Menggamar grafik fungsi kuadrat yang sederhana Seelum kita memahas cara-cara menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat, marilah kita ingat at kemali mengenai entuk umum fungsi kuadrat yaitu: f(x) = ax + x + c (a 0), a,, c R. Fungsi kuadrat terseut merupakan fungsi kuadrat dalam peuah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = f(x) = ax + x + c, dan grafik fungsi kuadrat diseut paraola. Langkah-langkah menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah : Tentukan eerapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik-titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik-titik ini dapat kita tentukan dengan memilih eerapa nilai x ilangan ulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian kita hitung nilai fungsi f. Titik-titik pada fungsi f itu iasanya akan leih mudah jika kita sajikan dengan menggunakan tael atau daftar. Langkah : Gamarkan koordinat titik-titik yang telah kita peroleh pada Langkah pada seuah idang Cartecius. Langkah 3: Huungkan titik-titik yang telah digamarkan pada idang Cartecius pada Langkah dengan menggunakan kurva mulus. Agar Anda leih memahami dan terampil menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana dengan menggunakan langkahlangkah di atas, perhatikanlah eerapa contoh di awah ini. Contoh 9:. Gamarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = x + x, jika daerah asalnya adalah D = {x -4 x, x R} Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = x + x adalah seuah paraola dengan persamaan: y = x + x. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page

12 Langkah : Kita uat tael atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f. x y = x + x Langkah : Gamarkan titik-titik (-4,8), (-3,3), (-,0), (-,-), (0,0), (,3), dan (,8) pada idang Cartecius seperti Gamar 3-4. Langkah 3: Huungkan titik-titik pada Langkah terseut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = x + x. seperti ditunjukkan pada Gamar di awah ini. Grafik fungsi kuadrat ini erentuk paraola. Dari grafik fungsi, dapat kita ketahui eerapa istilah seagai erikut: ) Daerah Asal Daerah asal fungsi f adalah {x -4 x, x R} ) Daerah Hasil Daerah hasil fungsi f adalah {y - y 8. y R} 3) Pemuat Nol Untuk nilai x = 0 diperoleh f(0) = 0 dan x = - diperoleh f(-) = 0. Dalam hal ini x = 0 dan x = - diseut pemuat nol fungsi f, dan pemuat nol itu merupakan akar-akar persamaan f(x) = 0. Perhatikan ahwa grafik fungsi f memotong sumu x di (-,0) dan (0,0) sehingga pemuat nol seuah fungsi dapat ditafsirkan seagai asis titik potong grafik fungsi f dengan sumu x. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page

13 4) Persamaan Sumu Simetri Paraola dengan persamaan y = x + x mempunyai sumu simetri yang persamaannya adalah x = -. 5) Koordinat Titik Balik atau Titik Puncak Dari Gamar 3-4, koordinat titik alik atau titik pusat paraola adalah P(-, -). Pada titik P(-, -), nilai ordinat y = - merupakan nilai terkecil (minimum) dari fungsi f, maka titik P (-, -) diseut titik alik minimum. 6) Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi Untuk x = - diperoleh f(-) = -. Nilai f(-) = - ini diseut nilai minimum fungsi karena nilai itu adalah nilai yang terkecil dari fungsi f.. Gamarkan grafik fungsi kuadrat yang ditentukan dengan persamaan f(x) = -x + 4x + 5, jika aderah asalnya adalah D = {x - x 6, x R} Penyelesaian Grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x + 5 adalah seuah paraola dengan persamaan: y = -x + 4x + 5. Langkah : Kita uat tael atau daftar untuk menentukan titik-titik yang terletak pada fungsi f. x y = -x + 4x Langkah : Gamarkan titik-titik (...,...), (...,...), (...,...), (...,...), (...,...), (...,...), (...,...), (...,...), dan (...,...). Langkah 3: Huungkan titik-titik pada langkah terseut dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + 4x + 5 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 3

14 Dari grafik fungsi pada Gamar 3-5, dapat kita tentukan hal-hal seagai erikut: ) Daerah asal fungsi f adalah {x - x 6, x R} ) Daerah hasil fungsi f adalah {y -7 y 9. y R} 3) Pemuat nol fungsi f adalah x = - dan x = 5, karena f(-) = 0 dan f(5) = 0 Persamaan sumu simetri adalah garis x =. Koordinat titik-titik maksimum adalah (, 9) 4) Nilai maksimum fungsi f adalah 9, karena nilai itu adalah nilai yang teresar dari fungsi f.. Menggamar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat Secara Umum Pada agian a, Anda telah mempelajari cara menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana. Kali ini Anda akan mempelajari materi tentang menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Untuk leih jelasnya, marilah kita perhatikan penjelasan erikut. Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan persamaan f(x)= ax + x + c (a 0), a,, c, R. Grafik fungsi kuadrat itu adalah seuah paraola dengan persamaan y = ax + x + c. Untuk menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, dapat Anda gunakan langkah-langkah seagai erikut: i. titik potong grafik dengan sumu x dan sumu y. ii. titik alik atau titik puncak paraola. iii. Persamaan sumu simetri. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 4

15 Untuk leih jelasnya, marilah kita pelajari materi di awah ini.. Titik Potong Grafik dengan Sumu X dan Sumu Y a. Titik Potong Grafik dengan Sumu X Titik potong grafik dengan sumu X diperoleh jika y = 0, sehingga ax + x + c = 0 merupakan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan asis titik-titik potongnya dengan sumu x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat ax + x + c = 0, yaitu D = - 4ac menentukan anyak titik potong grafik dengan sumu x Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumu x di dua titik yang erlainan. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumu x di dua titik yang erimpit. Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumu x. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumu x.. Titik Potong Grafik dengan Sumu Y Titik potong grafik dengan sumu y diperoleh jika x = 0, sehingga y = a(0) + (0) + c = c. Jadi, titik potong grafik dengan sumu y adalah (0,c). Titik Balik atau Titik Puncak dan Persamaan Sumu Simetri Titik alik atau titik puncak suatu paraola dapat ditentukan dengan menguah entuk kuadrat pada ruas kanan persamaan paraola menjadi entuk kuadrat sempurna. Dari entuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan sumu simetrinya. Seagai contoh, perhatikan kemali paraola-paraola pada contoh 9. Untuk paraola pada contoh 9 nomor y = x + x y = x + x + - y = (x + ) - Oleh karena itu entuk (x+) selalu ernilai positif atau sama dengan nol untuk x R, maka nilai terkecil (minimum) dari (x+) adalah 0. Dengan demikian, y = (x+) - mempunyai nilai minimum -, dan nilai itu dicapai jika (x+) = 0 atau x = -. Jadi, titik alik atau titik puncak minimum paraola y = (x+) - adalah (-,-) dan persamaan sumu simetrinya adalah x = -. Untuk paraola pada contoh 9 nomor : y = -x + 4x + 5 y = -(x - 4x) + 5 y = -(x - 4x + 4) y = -(x - ) + 9 Oleh karena itu entuk -(x-) selalu ernilai negatif atau sama dengan nol untuk x R, maka nilai teresar (maksimum) dari -(x-) adalah 0. Dengan demikian, y = -(x-) + 9 mempunyai nilai maksimum 9, dan nilai itu dicapai jika -(x-) = 0 atau x =. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 5

16 Jadi, titik alik atau titik puncak maksimum paraola y = -(x-) + 9 adalah (, 9) dan persamaan sumu simetrinya adalah x =. Selanjutnya, marilah kita tinjau persamaan paraola dalam entuk umum: y = ax + x +c seagai erikut: y = ax + x +c y = a(x + a x) + c y = a(x + x + ) - a 4a y = a(x + y = a(x + a ) - a ) - + 4a + c 4a 4ac 4a 4ac 4a Untuk a > 0: Maka entuk a(x + a ) selalu ernilai positif atau sama dengan nol untuk semua x R, sehingga nilai terkecil (minimum) dari a(x + a ) adalah 0. 4ac Dengan demikian, y = a(x + a ) - mempunyai nilai minimum 4a 4ac -, dan nilai itu dicapai jika a(x + 4a a ) = 0 atau x + a = 0 atau x = - a. 4ac Jadi titik alik minimum paraola y = a(x+ a ) - adalah 4a (- a, - 4ac ). 4a Untuk a < 0: Maka entuk a(x + a ) selalu ernilai negatif atau sama dengan nol untuk semua x R, sehingga nilai teresar (maksimum) dari a(x + a ) adalah 0. 4ac Dengan demikian, y = a(x+ a ) - mempunyai nilai maksimum 4a 4ac -, dan nilai itu dicapai jika a(x + 4a x = - a. a ) = 0 atau x + a = 0 atau Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 6

17 4ac Jadi titik alik maksimum paraola y = a(x+ a ) - adalah 4a (- a,- 4ac ). 4a Dari penjelasan di atas, maka dapat kita amil kesimpulan seagai erikut:. Paraola y = ax + x +c (a 0), a,, c, R mempunyai titik alik (- a, - 4ac ) 4a (i). Jika a > 0, maka titik aliknya adalah titik alik minimum atau paraola teruka ke atas. (ii). Jika a < 0, maka titik aliknya adalah titik alik maksimum atau paraola teruka ke awah.. Persamaan sumu simetri paraola y = ax + x + c adalah garis x = - a Selanjutnya, erdasarkan penjelasan di atas ada eerapa kemungkinan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax + x + c jika ditinjau dari nilai a dan nilai diskriminan D = - 4ac yaitu: jika a > 0 maka paraola teruka ke atas atau mempunyai titik alik minimum jika a < 0 maka paraola teruka ke awah atau mempunyai titik alik maksimum jika D > 0 maka paraola memotong sumu x di dua titik yang erlainan jika D = 0 maka paraola memotong sumu x di dua titik yang erimpit atau paraola menyinggung sumu x jika D < 0 maka paraola tidak memotong dan tidak menyinggung sumu x Secara geometris seperti diperlihatkan pada gamar awah ini. Untuk leih memahami dan terampil menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum, marilah kita simak eerapa contoh di awah ini. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 7

18 Contoh 0:. Gamarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 4x - 5. Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 4x - 5 adalah seuah paraola dengan persamaan y = x - 4x - 5, erarti a =, = -4, dan c = -5. (i) Titik potong grafik dengan sumu x, dan sumu y. a). Titik potong grafik dengan sumu x, diperoleh jika y = 0. Ini erarti: x - 4x - 5 = 0 (x + )(x - 5) = 0 x + = 0 atau x - 5 = 0 x = 0 - atau x = x = - atau x = 5 Jadi, titik potongnya dengan sumu x adalah (-,0) dan (5,0). ). Titik potong grafik dengan sumu y, diperoleh jika x = 0. Ini erarti: y = (0) 4(0) - 5 y = y = -5 Jadi, titik potongnya dengan sumu y adalah (0,-5) (ii) Koordinat titik alik p(- a, - 4ac ) 4a (4) p(, - () ( 4) p(, - ) 4 p(,-9) 4()( 5) ) 4() Oleh karena a = > 0, maka p merupakan titik alik minimum sehingga paraolanya teruka ke atas (iii) Persamaan sumu simetri adalah x = - a (4) x = - () 4 x = x = (iv) Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x - 4x - 5 seperti Gamar di awah ini. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 8

19 Setelah mempelajari contoh di atas, apakah Anda sudah paham? Baiklah, agar Anda leih paham simaklah contoh di awah ini.. Gamarkan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + x Penyelesaian: Grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + x - adalah seuah paraola dengan persamaan y = -x + x -, erarti a = -, =, dan c = -. (i) Titik potong grafik dengan sumu x, dan sumu y. a). Titik potong grafik dengan sumu x, diperoleh jika y = 0. Ini erarti: -x + x - = 0 (kedua ruas dikalikan -) x - x + = 0 (x -...)(x -...) = 0 x -... = 0 atau x -... = 0 x = atau x = x =... atau x =... Jadi, titik potongnya dengan sumu x adalah (...,...) atau grafik menyinggung sumu x di titik (...,...). ). Titik potong grafik dengan sumu y, diperoleh jika x = 0. Ini erarti: y = -(...) + (...) - y = y =... Jadi, titik potongnya dengan sumu y adalah (...,...) (ii) Koordinat titik alik p(- a, - 4ac ) 4a p(-... (...), (...)(...) ) 4(...) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 9

20 ... p(-, ) 4 p(...,...) Oleh karena a = - < 0, maka p merupakan titik alik... sehingga paraolanya teruka ke... (iii) Persamaan sumu simetri adalah x = - a... x = - (...) x = - x =... (iv) Dari uraian di atas, maka sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = -x + x - seperti Gamar di awah ini.... Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 0

21 Diskusi dengan teman seangku! Gamarlah grafik fungsi kuadrat erikut! a. f(x) = x x. f(x) = x x c. apakah syarat paraola teruka ke atas dan paraola teruka ke awah? 3. Menggamar Sketsa Grafik Fungsi Dengan Translasi Selain dengan cara di atas untuk menggamar grafik fungsi kuadrat dapat pula memanfaatkan sifat pergeseran (translasi). Fungsi f(x) = ax + x + c dapat dientuk f(x) = a(x p) + q, dengan p = - a, dan q = - 4ac. 4a Peranan p dan q pada fungsi f(x) = a(x p) + q: p adalah arah pergeseran horizontal, untuk p < 0 paraola geser kekanan sumu x sejauh p satuan dan p > 0 paraola geser kekiri sumu x sejauh p satuan. q adalah arah pergeseran vertikal, untuk q > 0 paraola geser ke atas sumu y sejauh q satuandan q < 0 paraola geser ke awah sumu y sejauh q satuan. Agar leih jelas, lakukan kegiatan erikut! Kegiatan. Berapakah nilai q untuk x. Isilah tael erikut untuk nilai x yang dierikan. x y = x y = x y = x Gunakan data pada tael di atas untuk melukis y = x, y = x dan y = x + Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page

22 4. Amati ke-3 grafik terseut dan andingkan setiap grafik dengan grafik y = x. Dapatkah Anda menemukan agaimana cara memperoleh grafik y = x - dan y = x + 5. Jelaskan hal-hal apa saja yang tidak eruah dan yang eruah jika kita menguah nilai q pada grafik y = y = x + q Kesimpulan! Kegiatan. Isilah tael erikut untuk nilai yang dierikan x y = (x ) y = x y = (x + ) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page

23 . Gunakan data pada tael di atas untuk melukis y = (x ), y = x dan y = (x + ) 3. Amati ketiga gamar denganm saksama. Dapatkah anda menemukan cara memperoleh grafik y = (x ), y = x dan y = (x + )? Kesimpulan! Kegiatan 3 Menggamar grafik y = a(x p) + q Gamarlah grafik y = -(x + 4), kemudian tentukan daerah asal dan daerah hasilnya! Penyelesaian. Isilah tael di awah ini x y = -x x y = -(x + 4) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 3

24 . Gunakan data di atas untuk melukis grafik y = -x dan y = -(x + 4) 3. Amati kedua grfik di atas, dapatkahanda menenmukan cara memperoleh grafik y = -(x + 4) dan grafik y = -x dengan translasi? Kesimpulan: 6. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan definit Negatif Untuk memahami definit positif dan definit negatif suatu fungsi kuadrat. Lakukan kegiatan erikut!. Gamarlah grafik fungsi kuadrat erikut: a. f(x) = x 8x + c. h(x) = x 8x + 0. g(x) = x 8x + 6 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 4

25 . Tentukan nilai diskriminan yaitu D = 4ac dari masing-masing fungsi kuadrat pada nomor. 3. Lakukan lagi kegiatan seperti nomor dan untuk fungsi kuadrat erikut! a. p(x) = -x + 6x 5 c. r(x) = -x + 6x - 3. q(x) = -x + 6x 9 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 5

26 4. Amatilah huungan antara nilai diskriminan (D) dan perpotongan grafik fungsi kuadrat dengan sumu x. Kesimpulan apa yang Anda peroleh? Grafik memotong sumu x di dua titik ereda ila... Grafik memotong (menyinggung) sumu x di satu titik ila... Grafik tidak memotong/menyinggung sumu x ila... Dari hasil kesimpulan di atas. Isilah tael diawah ini! Tanda a dan D Bentuk grafik Titik potong dengan sumu x Jenis titik alik D > 0 x a > 0 D = 0 x D < 0 x D > 0 x a < 0 D = 0 x D < 0 x Perhatikan tael di atas, tampak ahwa untuk x ilangan real maka. Khusus D < 0, grafik seluruhnya erada di atas sumu x (teruka ke atas) atau grafik seluruhnya di awah sumu x (terka ke awah). a > 0 dan D < 0, fungsi kuadrat selalu ernilai positif diseut definit positif (seluruh grafiknya erada di atas sumu x). a < 0 dan D < 0, fungsi kuadrat selalu ernilai negatif diseut definit negatif (seluruh grafiknya erada di awah sumu x) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 6

27 Contoh 7:. Tentukan apakah fungsi kuadrat erikut ini definit positif, definit negatif atau tidak keduanya! a. f(x) = x 4x + 5. f(x) = -x + 0x 30 c. f(x) = x 4x 5 Penyelesaian a. f(x) D D = x 4x + 5 a = > 0; = -4 dan c = 5 = 4ac = (-4) 4()(5) = 6 0 = - 4 < 0 Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat f(x) = x 4x + 5 definit positif Untuk dan c silakan dicoa seagai latihan!. Tentukan atas-atas nilai p agar fungsi f(x) = px + 4x + definit positif: Penyelesaian f(x) = px + 4x + a = p; = 4 dan c = Syarat definit positif: (i) a > 0 p > 0 (ii) D < 0 4ac < 0 4 4(p)() < 0 6 4p < 0 4p > 6 P > 4 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 7

28 Batas nilai p adalah irisan dari kedua garis ilangan (i) (ii) Jadi agar f(x) = px + 4x + definit positif maka atas nilai p adalah p > 4 3. Tentukan atas nilai k, agar fungsi f(x) = (k-)x - kx + (k-) definit negatif! Penyelesaian: Fungsi kuadrat f(x) = (k-)x - kx + (k-), erarti a = (k-), = -k, dan c = (k-). Syarat agar fungsi kuadrat f definit negatif adalah a < 0 dan D < 0. (i) (ii) a < 0, maka (k-) < 0 k- < 0 k < 0 + k < D < 0, maka: - 4ac < 0 (-k) - 4(k-)(k-) < 0 4k - 4(k -k-k+) < 0 4k - 4(k - 3k + ) < 0 4k - 4k + k - 8 < 0 k 8 < 0 k < k < 8 8 k < k < 3 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 8

29 Dengan menyatukan syarat (i) dan (ii) atau mencari irisannya, maka atas nilai k seperti diperlihatkan pada di awah ini. (i) (ii) 3 hasilnya 3 Berdasarkan Gamar di atas atas nilai k yang memenuhi adalah k < 3. Jadi, agar fungsi kuadrat f(x) = (k-)x - kx + (k-) definit negatif adalah k < 3. Diskusikan!. Selidiki masing-masing fungsi kuadrat di awah ini, apakah definit positif, definit negatif atau tidak kedua-duanya. a). f(x) = x + 3x + 4. ). f(x) = -x + x 5. c). f(x) = x - x.. Tentukan atas-atas nilai m, agar fungsi kuadrat f(x) = -x - 8x + m definit negatif! 3. Tentukan atas-atas nilai k, agar fungsi kuadrat: f(x) = (k + )x + (k+)x + (k+) definit positif. 7. Pengaruh Koefisien-koefisien a, dan c pada Grafik Fungsi Kuadrat Pada pemahasan seelumnya telah kita ahas pengaruh koefisien a terhadap entuk grafik fungsi kuadrat, yaitu. a. a > 0 maka grafik teruka ke atas. a < 0 maka grafik teruka ke awah sekarang agaimana pengaruh dan c? Untuk leih jelasnya lakukan kegiatan erikut!. Gamarlah grafik fungsi kuadrat y = x 4x, y = x + 4x, y = -x + 8x dan y = -x - 8x pada satu idang koordinat. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 9

30 . Dengan memperhatikan grafik di atas isilah tael erikut! Note! Paraola diseut erat kekiri jika titik puncaknya erada diseelah kiri sumu y Paraola diseut erat kekanan jika titik puncaknya erada diseelah kanan sumu y No Fungsi Kuadrat Koefisien Tanda a x a Paraola erat kekiri/kekanan 3. Amati dengan seksama nilai a x erat kekiri atau kekanan. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 30

31 4. Simpulkan pengaruh koefisien a x pada grafik fungsi kuadrat Titik potong grafik dengan sumu y diperoleh jika x = 0 sehingga y = a(0) + (0) + c y = c titik potong grafik dengan sumu y adalah (0, c) sedang untuk letak titik (0, c) tergantung nilaic. pengaruh nilai c terhadap grafik fungsi kuadrat seagai erikut: Pengaruh koefisien-koefisien a, dan pada grsgik y = ax + x + c. Tanda a > 0 menyatakan paraola teruka ke atas Tanda a < 0 menyatakan paraola teruka ke awah. Tanda a x > 0 menyatakan paraola erat kekiri (puncak erada di seelah kiri sumu y) Tanda a x < 0 menyatakan paraola erat kekanan (puncak erada di seelah kanan sumu y) 3. Tanda c > 0 menyatakan paraola memotong sumu y di atas titik (0, 0) Tanda c = 0 menyatakan paraola melalui titik (0, 0) Tanda c < 0 menyatakan paraola memotong sumu y di awah titik (0, 0) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 3

32 4. Tanda D > 0 menyatakan paraola memotong sumu x di dua titik Tanda D = 0 menyatakan paraola memotong sumu x di satu titik (menyinggung sumu x) Tanda D < 0 menyatakan paraola tidak memotong sumu x Contoh :. Jika paraola y = ax + x + c, grafiknya seperti pada gamar erikut ini maka (i) a < 0 (ii) > 0 (iii) D > 0 (iv) c > 0 Penyelesaian Paraola teruka ke awah erarti a < 0 Paraola memotong sumu x di dua titik erarti D > 0 Paraola erat kekanan erarti a x < 0, karena sudah diketahui a < 0, maka > 0 Paraola memotong sumu y di atas titik O(0, 0) erarti c > 0 Jadi semua Penyelesaianan enar. Perhatikan gamar erikut! grrafik dari y = 4 + 3x x ditunjukan oleh gamar! Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 3

33 Penyelesaian y = 4 + 3x x a = -; = 3 dan c = 4 a = - < 0 erarti paraola teruka keawah a x = -3 < 0 paraola erat kekanan jadi yang tepat gamar. Uji Kompetensi 3 Kerjakan soal-soal erikut.. Gamarlah grafik fungsi kuadrat erikut! a. f(x) = x x 8 dengan D f = {x - x 4}. f(x) = x dengan D f = {x - x 5}. dengan menentukan titik potong denga sumu koordinat, titik puncak dan titik antu lainnya, gamarlah grafik fungsi kuadrat erikut! a. f(x) = x x c. f(x) = -x + 3. f(x) = x 6x 9 d. f(x) = -x + 4x dengan memanfaatkan translasi gamarlah sketsa grafik fungsi kuadrat erikut! a. y = (x + 4) c. y = (x ) +. y = x 3 d. y = -(x 3) Grafik fungsi kuadrat f(x) = (a + 3)x + (a + )x + a melalui titik (, -) a. Carilah nilai a. Gamarlah grafik fungsi kuadrat c. Gamar grafik fungsi kuadrat terseut dalam daerah asala (D f) {x -3 x 3}, x R} 5. Diketahui fungsi kuadrat f(x) = ax + x + 5. Nilai maksimum fungsi f dicapai untuk x = 4 a. Tentukan nilai a dan. Gamarlah sketsa frafik fungsi kuadrat terseut. 6. Fungsi kuadrat f(x) = (p + 3)x (p )x + (p 5). Asis titik alik grafik adalah p a. Tentukan nilai p dan koordinat titik alik fungsi kuadrat terseut.. Gamarlah sketas grafik fungsi kuadrat terseut. 7. Tentukan apakah entuk erikut ini definit positif, definit negatif atau tidak keduanya. a. f(x) = x + 6x + d. f(x) = -3x + x - 4. f(x) = 3x + 5 e. f(x) = -x - x + c. f(x) = (x 3) -4 f. f(x) = -3(x + ) 8. Tentukan nilai m agar grafik f(x) = -x + 4x + m definit negatif 9. Tentukan nilai k agar f(x) = x + 6x + k definit positif 0. Tentukan nilai p agar grafik f(x) = (p - )x + px + (p 3) seluruhnya erada di awah sumu x. Tentukan nilai q yang manakah paraola y = (q )x qx + q + 6 seluruhnya erada di atas sumu x. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 33

34 8. Menyusun Fungsi Kuadrat Telah Anda pelajari cara-cara menggamar sketsa grafik fungsi kuadrat atau paraola apaila persamaan atau rumus fungsi kuadrat terseut diketahui. Kali ini Anda akan mempelajari cara menentukan persamaan fungsi kuadrat apaila sketsa grafik fungsi kuadrat terseut diketahui atau apaila fungsi kuadrat terseut melalui tiga titik yang tidak segaris. Untuk leih jelasnya, pelajarilah materi erikut. a. Grafik Fungsi Kuadrat Memotong Sumu X di A (x,0) dan B (x,0), serta Melalui Seuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat terseut dapat dinyatakan seagai: y = f(x) = a( x x ) ( x x ) dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di awah ini. Contoh 3:. Suatu fungsi kuadrat memotong sumu x di A(, 0) dan B(5, 0). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik (0, 0), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat terseut! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x x ) ( x x ), sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a ( x ) ( x 5 )....() karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,0 ) erarti jika x = 0, maka diperoleh y = 0. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: 0 = a ( 0 ) ( 0 5 ) 0 = a (-) (-5) 0 = 5a 0 a = 5 a = Susitusikan a = ke persamaan (), diperoleh: y = f (x) = ( x ) ( x 5 ) y = f (x) = ( x 5x x + 5 ) y = f (x) = ( x 6x + 5 ) y = f (x) = x x + 0 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = x x + 0. Suatu fungsi kuadrat memotong sumu x di A (-,0 ) dan B (3,0). Jika fungsi kuadrat itu melalui titik (4,-5), tentukanlah persamaan fungsi kuadrat itu! Penyelesaian: Anda gunakan rumus y = f (x) = a ( x - x ) ( x - x ), sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a ( x (-) ) ( x 3 ) y = a ( x + ) ( x 3 ) () Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 34

35 karena fungsi kuadrat melalui titik ( 4,-5 ) erarti jika x = 4, maka diperoleh y = -5. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: -5 = a ( 4 + ) ( 4 3 ) -5 = a (5) () -5 = 5a 5 a = 5 a = - Susitusikan a = - ke persamaan (), diperoleh: y = (-) ( x + ) ( x 3 ) y = -( x 3x + x 3 ) y = -( x x 3 ) y = -x + x + 3 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x + x + 3. Grafik Fungsi Kuadrat Menyinggung Sumu X di A(x, 0) dan Melalui Seuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat terseut dapat dinyatakan seagai erikut: y = f (x) = a (x x ) dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di awah ini. Contoh 4:. Perhatikan gamar di awah, diperlihatkan sketsa grafik dari suatu fungsi kuadrat. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat terseut! Penyelesaian: Berdasarkan grafik fungsi dapat ditentukan ahwa fungsi kuadrat itu menyinggung sumu x di titik (,0) dan melalui titik (0,3). Gunakan rumus y = f (x) = a ( x x ), sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a (x )....() karena fungsi kuadrat melalui titik (0, 3) erarti nilai x = 0, sehingga diperoleh y = 3. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 35

36 3 = a ( 0 ) 3 = a (-) 3 = 4a a = 4 3 Susitusikan a = 3 4 ke persamaan (), diperoleh: y = 4 3 (x ) y = 4 3 (x 4x + 4) y = 4 3 x 3x + 3 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = 4 3 x 3x + 3. Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang menyinggung sumu x di titik (,0) dan melalui titik (-, -4) Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a (x x ), sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a (x )....() Karena fungsi kuadrat melalui titik ( -,-4 ) erarti jika x = -, maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: -4 = a (- ) -4 = a (-) -4 = 4a 4 a = 4 a = - Susitusikan a = - ke persamaan (), diperoleh: y = (-) ( x ) y = (-)( x x + ) y = -x + x Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x + x Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 36

37 c. Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik Puncak atau Titik Balik P(x p, y p), dan Melalui Seuah Titik Tertentu. Persamaan fungsi kuadrat terseut dapat dinyatakan seagai: y = f(x) = a(x x p) + y p dengan nilai a ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di awah ini. Contoh 5: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik alik di P (3, -) dan melalui titik (0, 8)! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x x p ) + y p, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a (x 3) + (-) y = a (x 3) -....() Karena fungsi kuadrat melalui titik ( 0,8 ) erarti jika x = 0, maka diperoleh y = 8. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: 8 = a ( 0 3 ) 8 = a (-3) 8 = 9a 8 + = 9a 9 = 9a a = 9 9 a = Susitusikan a = ke persamaan (), diperoleh: y =. (x 3) y =.(x 6x + 9) y = x 6x + 9 y = x 6x + 8 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f(x) = x 6x + 8 Contoh 6: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik puncak atau titik alik di P (-, -) dan melalui titik (-, -4)! Penyelesaian: Gunakan rumus y = f (x) = a ( x x p ) + y p, sehingga persamaan fungsi kuadrat itu dapat dinyatakan seagai: y = a(x (-)) + (-) y = a(x + ) -....() Karena fungsi kuadrat melalui titik (-,-4) erarti jika x = -, maka diperoleh y = -4. Selanjutnya Anda tentukan nilai a seagai erikut: Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 37

38 -4 = a(- + ) -4 = a(-) -4 = a -4 + = A - = A a = - Susitusikan a = - ke persamaan (I), diperoleh: y = - ( x + ) y = - ( x + x + ) y = -x 4x y = -x 4x 4 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah y = f (x) = -x 4x -4 d. Grafik Fungsi Kuadrat Melalui Titik-titik A(x, y ), B(x, y ), dan C(x 3,y 3) Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan seagai: y = f(x) = ax + x + c dengan nilai a,, dan c ditentukan kemudian. Agar Anda memahami dan terampil menggunakan rumus di atas, perhatikan contoh-contoh di awah ini. Contoh 7: Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik A(0, -0), B(, -6), dan C(3, 8)! Penyelesaian: Misalkan persamaan fungsi kuadrat itu adalah : y = f (x) = ax + x + c Melalui titik A ( 0,-0 ), erarti: -0 = a(0) + (0) + c -0 = c -0 = c c = -0 Melalui titik B (,-6 ), erarti: -6 = a () + () + c -6 = a + + c karena c = -0, maka: -6 = a + + (-0) -6 = a = a + 4 = a + a + = 4... () Melalui titik C (3, 8), erarti: 8 = a (3) + (3) + c Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 38

39 8 = 9a c karena c = -0, maka: 8 = 9a (-0) 8 = 9a = 9a = 9a + 3 9a + 3 = 8 (kedua ruas diagi 3) 3a + =6... () Eliminasi dari persamaan () dan (), erarti: a + = 4 3a + = 6 -a = - a = a = Susitusikan a = ke persamaan () atau () (pilih salah satu) Misalkan kita pilih ke persamaan (), maka: a + = 4 a + = 4 = 4 = 3 Susitusikan a =, = 3, dan c = -0 ke persamaan y = f (x) = ax + x + c, diperoleh: y = f(x) = () x + (3) x + (-0) y = f(x) = x + 3x 0 Jadi persamaan fungsi kuadratnya adalah: y = f (x) = x + 3x 0 Uji Kompetensi 4 Kerjakan soal-soal erikut. Kerjakan soal-soal di awah ini dengan singkat, jelas, dan enar!. Susunlah seuah fungsi kuadrat yang grafiknya: a. Melalui titik (0, 3), (, -5), dan (-4, 3). Melalui titik (-3, 0), (, 0), dan (-, 6) c. Menyinggung sumu x di (-, 0) dan titik (, -8) d. Menyinggung sumu x di (, 0) dan titik (0, 3) e. Melalui titik (-, 0), (4, 0), dan (0, -6) f. Memiliki titik puncak (-, ) dan melalui (-, 4) g. h. Memiliki nilai minimum untuk x = dan melalui titik (, 3) Memiliki nilai maksimum -3 untuk x = dan nilai f(-) = - Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 39

40 . Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang mempunytai grafik seperti gamar di awah ini! 9. Penerapan Fungsi Kuadrat pada Masalah maksimum dan Minimum Grafik fungsi kuadrat y = ax + x + c erentuk paraola dengan D koordinat titik puncak (x, y) =,. Puncak paraola merupakan a 4a titik terendah (minimum) atau titik tertinggi (maksimum). Untuk a < 0: D Terdapat nilai maksimum yang dicapai untuk 4a x = a Untuk a > 0: D Terdapat nilai minimum yang dicapai untuk 4a x = a Dalam kehidupan sehari-hari tentunya Anda sering menjumpai suatu permasalahan yang erkaitan dengan fungsi kuadrat. Oleh karena itu nilai ekstrim (maksimum atau minimum) erperan penting dalam memecahkan masalah yang erkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai maksimum atau minimum diungkapkan dengan menggunakan kata-kata yang ereda, misalnya: a) teresar, terjauh, tertinggi, terpanjang, terluas, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat. ) terkecil, terdekat, terendah, terpendek, tersempit, atau yang sama artinya dengan kata-kata itu, dapat dikaitkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat. Apaila dalam suatu masalah terdapat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan petunjuk ahwa masalah terseut dapat diselesaikan dengan menggunakan model matematika yang erentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui ahwa karakteristik masalahnya erkaitan dengan model matematika yang erentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah pemecahan masalahnya selanjutnya adalah seagai erikut: Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 40

41 ) Nyatakan esaran yang ada dalam masalah seagai variael (dilamangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan huungan atau ekspresi matematikanya. ) Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. 3) Tentukan penyelesaian dari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh pada langkah. 4) Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula. Contoh 8:. Ekonomi. Biaya untuk memuat x satuan arang adalah x 35 x 5 (dalam jutaan rupiah). Sedangkan harga jual untuk x 4 satuan arang (50 x)x (dalam jutaan rupiah). Berapa anyak satuan arang yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan maksimum? Berapakah keuntungan maksimum terseut? Penyelesaian: Biaya total = x 35 x 5 (dalam jutaan rupiah) 4 Harga jual = (50 x)x (dalam jutaan rupiah) = 50x - x Keuntungan diperoleh dari selisih harga jual dan iaya total untuk x satuan arang, sehingga Keuntungan (K(x)) = harga jual iaya total = (50x - x ) ( x 35 x 5 ) 4 = x x 50x 35x 5 4 = x x 50x 35x 5 4 = 3 x 5 x a = < 0 nilai maksimum 4 = 5 c = -5 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 4

42 5 5 x = 0 a D 4ac Jadi keuntungan masimum (K) = 4a 4a ( 5) = = 3 3 = 50 atau Sutitusi x = 0 pada K = 3 x 5 x = (0) 5(0) 5 4 = = 50 Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum harus diproduksi 0 satuan arang dan keuntungan maksimumnya adalah Rp ,00. Geometri.Kawat ram yang panjangnya 00 m akan digunakan untuk memagari kandang ayam seperti gamar di awah ini. Kandang ayam terseut erentuk persegi panjang yang salah satu sisinya adalah temok. Tentukan ukuran kandang terseut agar luas kandang maksimum dan erikan penjelasan tafsiran dari solusi masalahnya! Penyelesaian: ) Anda uat sketsa kandang ayam seperti gamar erikut: ) Misalkan x = panjang dan y = lear Berdasarkan gamar di atas, keliling pagar ayam = panjang kawat ram y + x + y = 00 x + y = 00 Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 4

43 y = 00 x y = 50 - x ) Luas kandang ayam = panjang x lear L = x. y L = x. (50 - x) L = 50x x ) L merupakan fungsi kuadrat dalam x yaitu: L(x) = 50x x erarti a = -, = 50, dan c = 0. Agar L maksimum maka x = a 50 x = x =50 Untuk x = 50 maka: y = y = 50 5 y = 5 ) Penafsiran solusi masalahnya: Agar diperoleh luas kandang maksimum maka kawat ram terseut harus digunakan untuk memagari kandang ayam yang erentuk persegi panjang dengan salah satu sisinya temok dengan ukuran panjang = 50 meter dan lear = 5 meter. Uji Kompetensi 5 Kerjakan soal-soal erikut.. Jumlah dua uah ilangan adalah 30. Jika hasil kali kedua ilangan itu maksimum maka tentukan ilanganilangan terseut dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya!. Selisih dua uah ilangan adalah 0 Tentukan hasil kali minimum kedua ilangan itu dan jelaskan penafsiran solusi masalahnya! Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 43

44 3. Seuah peluru ditemakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h (dalam meter) seagai fungsi waktu t (dalam detik) Dirumuskan dengan h (t) = 00t 5t. Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru dan waktu yang diperlukan serta jelaskan penafsiran solusi masalahnya! 4. Perhatikan gamar di samping. Persegi ABCD memiliki panjang sisi 8 cm, sedangkan AK = x cm, dan DL = x cm. Jika L menyatakan luas CKL, tunjukkan ahwa : L (x) = x 8x + 3, kemudian tentukan luas minimum segitiga CKL dan jelaskan penafsiran masalahnya! 5. Pada gamar erikut merupakan persegi panjang yang panjangnya 8 cm dan learnya 4 cm. Titik-titik E, F, G dan H terletak pada AB, BC, CD dan AD sehingga BE = CF = DG = AH = x cm a. Jika L (cm ) menyatakan luas daerah segi empat EFGH. Nyatakan L dalam x. Tentukan luas minimum segi empat EFGH itu 4 cm D H A x x G 8 cm E C x F x B B. Persamaan Kuadrat. Pengertian Persamaan Kuadrat Misalkan a,,c Є R dan a 0 maka persamaan yang erentuk ax x c 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peuah x. Dalam persamaan kuadrat ax x c 0, a adalah koefisien dari x, adalah koefisien dari x dan c adalah suku tetapan. Contoh:. x 4, nilai a =, = 0, c = -4. x + x = 0 nilai a =, =, c = 0 3. x 5x + = 0 nilai a =, = -5, c = 4. x + x = 0 nilai a =, =, c = - Berkaitan dengan nilai-nilai a,, dan c, dikenal eerapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah: (i) Jika a =, maka persamaan menjadi x + x + c = 0 dan persamaan seperti ini diseut persamaan kuadrat iasa. (ii) Jika = 0, maka persaman menjadi x + c = 0 dan persaman seperti ini diseut persamaan kuadrat sempurna. (iii) Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax + x = 0 dan persamaan seperti ini diseut peramaan kuadrat tak lengkap. Jika a,, dan c ilangan-ilangan rasional maka ax + x + c = 0 diseut persamaan kuadrat rasional. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 44

45 seringkali persamaan kuadrat tidak langsung erupa entuk umum tetapi dengan operasi aljaar kita dapat menguahnya keentuk umum. Contoh 9: Tuliskan persamaan kuadrat erikut ke dalam entuk umum dan tentukan nilai a, dan c?. 3x + x = 3x 5. (x x) = 5x(x ) 3. (x + 5) (4x ) = dengan x 0 dan x x x Penyelesaian. 3x + x = 3x 5 3. (x + 5) (4x ) = 4 3x + x - 3x + 5 = 0 x(4x ) + 5(4x ) = 4 3x -x + 5 = x + 0x = 0 a = 3; = - dan c = x -... = 0. (x x) = 5x(x ) a =...; = 8; c = x -... = 5x ; x 0 dan x x x x x +... = 0 4(x -) + 3x = x(x ) a =...; =... dan c =... 4x 8 + 3x = x - 4 7x x +... = 0 -x = 0 a =...; =...; c =.... Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Setelah Anda memahami eerapa entuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat ahwa untuk menetukan akarakar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan eerapa cara yaitu: a. Memfaktorkan (pemfaktoran). Menggunakan rumus kuadrat. c. Melengkapkan entuk kuadrat sempurna. Kali ini, kita akan mempelajari cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan dan menggunakan rumus kuadrat. Untuk itu, Anda pelajari aik-aik materi erikut ini. a. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan Jika suatu persamaan kuadrat ax + x + c = 0 dapat difaktorkan menjadi erentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat terseut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran). Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain: x + 3x + = 0 (x+) (x+) = 0 P Q x - x - = 0 (x+) (x-) = 0 P Q Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 45

46 Lalu agaimana menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara pemfaktoran? Baiklah, untuk leih jelasnya Anda pelajari eerapa contoh soal di awah ini. Untuk leih mudah dalam melakukan faktorisasi kita agi persamaan ax + x + c = 0 menjadi dua kasus Kasus a = x + x + c = 0 dapat difaktokan menjadi (x + m)(x + n) = 0 dengan m + n = dan m. n = c leih mudah jika Anda menggunakan agan seperti pada gamar di samping! Contoh 0:. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 5x + 6 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x + 5x + 6 = (cari pasangan ilangan hasil kalinya 6 dan erjumlah 4) Sehingga x + 5x + 6 = 0 (x + 3)(x + ) = 0 x + 3 = 0 atau x + = 0 x = - 3 atau x = - Jadi, akar-akar x + 5x + 6 = 0 adalah atau 3 Hp = {, 3}. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x x = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x x = x x 6 - (cari pasangan ilangan hasil kalinya - dan erjumlah -) Sehingga x - x - = 0 (x -...)(x + 3) = 0 x -... = 0 atau x + 3 = 0 x =... atau x =... Jadi, akar-akar x - x - = 0 adalah... atau... Hp = {...,...} m n _ x c Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 46

47 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x 4 = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x 4 = Kasus a ax + x + c = ax x c a a (cari pasangan ilangan hasil kalinya -4 dan erjumlah 0) Sehingga x 4 = 0 (x +...)(x -...) = 0 x +... = 0 atau x -... = 0 x =... atau x =... Jadi, akar-akar x - 4 = 0 adalah... atau... Hp = {...,...} = ax max n ax + x + c = 0 dapat difaktorkan menjadi a (ax + m)(ax + n) = 0 dengan m + n = dan m. n = ac leih mudah jika Anda menggunakan agan seperti pada gamar di samping! Contoh :. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: x + 3x + = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: x + 3x + = x x -4 (cari pasangan ilangan hasil kalinya dan erjumlah 3) Sehingga x + 3x + = 0 (x + )(x + ) = 0. (x + )(x + ) = 0 (x + )(x + ) = 0 x + = 0 atau x + = 0 x = - atau x = - Jadi, akar-akar x - x - = 0 adalah - atau - Hp = {-, - } m n _ x ac Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 47

48 atau x + 3x + = 0 x + x + x + = 0 x(x+) + x + = 0 x(x+) + (x + ) = 0 (x + ) (x + ) = 0 x+=0 atau x+=0 x = 0 atau x = 0- x = - atau x = - x = - Penjelasan: disini 3x kita uah menjadi x + x karena: x. x = x. x = x secara skema dapat dijelaskan s: x + x difaktorkan menjadi x(x+) x + difaktorkan menjadi (x+) Jadi akar-akar persamaan kuadrat x + 3x + = 0 adalah x = - atau x = -. Hp = {-, - }.. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat: 7 + 9x 6x = 0 dengan cara pemfaktoran! Penyelesaian: 7 + 9x 6x = 0-6x + 9x + 7 = 0 6x - 9x - 7 = 0 x (-) Sehingga... 6x - 9x - 7 = 0 x (6x...)(6x...) = (x...)(3x...) = 0... (x...)(3x...) x... = 0 atau 3x... = 0 x =... atau x =... Jadi, akar-akar 6x - 9x - 7 = 0 adalah... atau... Hp = {...,...}. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna Coalah Anda ingat kemali eerapa contoh entuk kuadrat sempurna, antara lain: 4 =, 9 = 3, 4x = (x), x + x + = (x + ), x 4x + 4 = (x ), dan seagainya. Pada prinsipnya, tiap entuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljaar menjadi entuk kuadrat sempurna. Untuk leih jelasnya marilah kita perhatikan eerapa contoh penguahan entuk kuadrat menjadi entuk kuadrat sempurna di awah ini. Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 48

49 a. Bentuk x + x + 5 dapat dimanipulasi secara aljaar seagai erikut : x + x + 5 (x + x + 4) + (-4) + 5 (x + ) + Bentuk ini memuat entuk kuadrat sempurna, yaitu : (x + ). Bentuk -x - 6x + 0 dapat dimanipulasi secara aljaar seagai erikut : -x - 6x + 0 -(x + 6x + 9) + (9) (x + 3) + 9 Bentuk ini memuat entuk kuadrat sempurna, yaitu : -(x + 3) c. Bentuk x - 8x - dapat dimanipulasi secara aljaar seagai erikut : x - 8x - (x - 8x + 6) + (-6) (x - 4) + (-7) (x - 4) - 7 Bentuk ini memuat entuk kuadrat sempurna, yaitu : (x - 4) Dari ketiga contoh terseut di atas, proses penguahan entuk kuadrat menjadi entuk kuadrat sempurna semacam itu diseut melengkapkan kuadrat sempurna. Selanjutnya, kita akan menggunakan proses melengkapkan entuk kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Apaila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan, maka dengan mudah kita dapat menentukan akar-akarnya dengan pemfaktoran. Tetapi apaila suatu persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, maka salah satu cara untuk menentukan akar-akarnya adalah dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Contoh :. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat x + 4x - = 0 Penyelesaian: x + 4x - = 0 x + 4x - + = 0 + kedua ruas ditamah ) x + 4x = x + 4x + ((.4) ) = +((.4) ) Kedua ruas ditamah 4 yang merupakan kuadrat dari kali koefisien x, yaitu ((.4 ) ) Fungsi, Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Page 49