PEMBUKTIAN TEOREMA PYTHAGORAS DARI EUCLID

Transkripsi

1 1 MKIN OM YHGO I LI {{ umardyono, M.d. }} NHLN eorema apa yang pertama kali dikenal siswa di sekolah? Ya, eorema ythagoras. Walaupun anyak dalil yang dikenal siswa di sekolah namun dalil dengan nama khusus yang pertama kali dipelajari adalah alil ythagoras. egitu terkenalnya teorema ini sehingga anyak pula uku-uku serta portal-portal di internet yang mengulas mengenai teorema ini eserta pemuktiannya. uku he ythagorean roposition, karya lisha ott Loomis, merupakan salah satu uku yang mengulas teorema ythagoras dengan memuat 256 ukti teorema ythagoras. Walaupun teorema ini sesungguhnya telah dikenal jauh seelum yhagoras, misalnya di Mesir Kuno lewat tali yang dipergunakan untuk menentukan sudut siku-siku, namun pemerian nama ythagoras karena diketahui ahwa ia-lah (atau pengikutnya yang mengatas namakan ythagoras) yang pertama kali memeri ukti teorema terseut. alah satu pemuktian eorema ythagoras yang kali ini akan diahas adalah pemuktian dari ulid. ukti dari ulid ini termasuk ukti yang unik dan menarik. KM MKIN I LI andang segitiga siku-siku, dengan sudut siku-siku. arik garis dari titik sejajar atau sehingga memotong di dan di, maka jika = a dan = dapat ditunjukkan ahwa: Luas = a 2 dan Luas = 2

2 2 pa yang menarik dari pemuktian yhagoras di atas? ernyata kita dapat menentukan dua partisi persegi erentuk persegipanjang pada hipotenusa, yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku dari segitiga siku-siku yang dierikan. Jika kita dapat memuktikan ahwa luas = a 2 dan luas = 2 maka diperoleh a = luas + luas = luas = 2 KI LNGK NK KM I LI ekarang, agaimana memuktikan ahwa luas = a 2 dan luas = 2? da anyak ara untuk memuktikannya, eerapa di antaranya dierikan di awah ini. (1) ukti I erhatikan gamar di awah ini. ( ii ) a ( i ) x erdasarkan keseangunan segitiga, maka diperoleh: 2 ehingga diperoleh x = x = engan demikian 2 Luas (i) = x = = 2 engan ara yang sama, dapat ditunjukkan ehingga, Luas (ii) = a 2 a = luas (i) + luas (ii) = 2

3 3 (2) ukti II K N M L Mudah ditunjukkan jika = a dan a = maka diperoleh Luas = luas NK = luas MK= luas = a 2 Luas = luas LN = luas LM = luas = 2 adahal, 2 = luas + luas = 2 + a 2 Jadi, a = 2. elain seara aljaar di atas, ukti serupa di atas dapat dilakukan menggunakan prinsip kesamaan luas angun, sehingga tampak seperti pergeseran ayangan (transformasi angun datar), seperti gamar di awah ini. ukti ayangan di atas, menggunaakan peruahan entuk angun datar karena strain ( peregangan) dan translasi yang keduanya tidak menguah luas angun datar. erturut-turut peruahan yang terjadi adalah strain-translasi-strain.

4 4 (3) ukti III strain strain ranslasi/refleksi Gr. 1 Gr. 2 Gr. 3 Gr. 4 ukti pada gamar di atas, mirip dengan ukti seelumnya, namun tanpa antuan gamar tamahan selain ke-3 persegi dan segitiga siku-sikunya. elain itu, transformasi yang terjadi erturut-turut strain-strain-translasi/refleksi. erhatikan ahwa jajargenjang pada gamar ke-2 sama luasnya dengan persegipanjang yang ersesuaian pada gamar ke-1. Lalu, persegi pada gamar ke-3 sama luasnya dengan jajargenjang yang ersesuaian pada gamar ke-2. erakhir persegi pada gamar ke-4 sama luasnya dengan persegi yang ersesuaian pada gamar ke-3. Ini dikarenakan transformasi strain, translasi, dan refleksi tidak menguah luas angun datar. emuktian yang leih sederhana dapat pula dengan menunjukkan luas yang sama lewat rumus luas angun datar persegipanjang, jajargenjang, dan persegi. Misalnya, alas a pada jajargenjang sama dengan panjang p pada persegipanjang, serta tinggi t pada jajargenjang sama dengan lear l pada persegipanjang, sehingga luas kedua angun sama. (4) ukti IV erhatikan gamar di awah ini.

5 5 Karena alas dan tingginya sama, maka Luas segitiga = 1/2 Luas persegipanjang. engan teorema -d-, dapat ditunjukkan ahwa segitiga kongruen dengan segitiga, sehingga Luas segitiga = luas segitiga elanjutnya dengan alas dan tinggi yang sama, maka Luas segitiga = 1/2 ersegi. Jadi, 1/2 Luas persegipanjang = 1/2 ersegi, atau Luas persegipanjang = Luas persegi... (i) engan ara yang sama, dapat ditunjukkan ahwa: Luas persegipanjang = Luas persegi... (ii) ari (i) dan (ii), diperoleh Luas persegi + luas persegi = Luas + luas a = luas persegi a = 2. ZZL KI OM YHGO Menariknya ukti teorema ythagoras dari skema ulid di atas, mendorong penulis untuk memuat ranangan seuah alat peraga erupa puzzle pemuktian eorema ythagoras erdasarkan ukti dar ulid terseut. erikut puzzle yang erhasil diuat. a

6 6 iswa diminta memindah keping-keping dari diagram gamar seelah kiri ke diagram gamar seelah kanan, atau seaiknya. engan dapat dipindahkannya keping-keping yang menutupi kedua persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga siku-siku ke persegi pada hipotenusa, maka terukti eorema ythagoras. erikut ini ara memuat diagram permainan puzzle di atas. andang segitiga siku-siku searang dengan siku-siku di. ersegi-persegi penyiku adalah dan, sedang persegi hipotenusa adalah. G H F Y I J K W M L N ntuk persegi. Mula-mula tarik garis dari tegak lurus (yaitu W). Lalu tarik garis dari sejajar (yaituf). ntuk persegi. arik garis dari tegak lurus (yaitu ). arik garis sejajar (yaitu ). Lalu tarik garis tegak lurus dan erjarak F terhadap (yaitugh). ntuk persegi. arik garis-garis dari sejajar, dari sejajar, dan dari sejajar. Ketiga garis erpotongan di dua titik yaitu I dank. arik garis tegak lurus melalui K (yaituyl). Lalu, tarik garis dari sejajar (yaituj). an akhirnya, tarik garis MN sejajar dan erjarak (atau a) terhadapj. pakah diagram potongan ketiga persegi terseut erlaku umum untuk setiap segitiga siku-siku? Jawanya, ya. Namun dalam paper ini, pemuktiannya tidak diahas. ilakan pemaa untuk memuktikan sendiri, keenaran diagram puzzle pada pemuktian eorema ythagoras di atas. Gunakan konsep perandingan segitiga (similar dan kongruen), dan sifat sudut pada segitiga.

7 7 ahan aaan: anonim. -. he ythagorean roposition: heorem for ll ges. ogomolny, lexander ythagorean heorem. dalam diakses 16 Juni 2012 Jimloy he ythagorean heorem. dalam pythagz.htm diakses 16 Juni 2012 osamentier, lfred Math Wonders to Inspire eahers and tudents. Virginia:. park, John he ythagorean heorem, rown Jewel of Mathematis. Indiana: uthorhouse.