MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II

Transkripsi

1 MODUL MATEMATIKA KELAS X SEMESTER II Muhammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel

2 TRIGONOMETRI Standar Kompetensi : Menggunakan perbandingan fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri, dan penafsirannya.

3 BAB I PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari perbandingan trigonometri (sinus, cosinus, tangen), penggunaan perbandingan trigonometri, penentuan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, pengertian konsep koordinat cartesius dan kutub, pengkonversian koordinat cartesius dan kutub, aturan sinus dan cosinus, penggunaan aturan sinus dan aturan cosinus, rumus luas segitiga, penentuan luas segitiga. Di samping itu anda juga mempelajari identitas trigonometri, dan bentukbentuk persamaan trigonometri. B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari bentuk akar dan pangkat, persamaan dan kesebangunan dua segitiga. C. Petunjuk Penggunaan Modul Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut.. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.

4 4. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:. Menemukan nilai perbandingan trigonometri untuk suatu sudut,. Menggunakan perbandingan trigonometri,. Menentukan nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran, 4. Mengkonversikan koordinat cartesius dan kutub, 5. Menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus, 6. Menentukan luas segitiga, 7. Menyelesaikan persamaan trigonometri,

5 BAB II PEMBELAJARAN A. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI A. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Panjang sisi-sisi suatu segitiga A c b B a C Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan a Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan b Panjang sisi dihadapan sudut dinamakan c Panjang sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai hubungan c = a + b. Besar sudut pada segitiga Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 8. Perbandingan pada sisi-sisi segitiga depan b a. sin = = miring c b. cos c. tan d. cotg e. sec f. csc samping miring depan a c b samping a samping a depan b miring c samping a miring c depan b

6 Dari perbandingan diatas diperoleh hubungan rumus : Cotg tan Sec cos Csc sin Contoh : Diketahui segitiga siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4, b =. a. Tentukan panjang sisi c b. Tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut B c 4 A C Jawab : c a sin cos tan b a c b c a b A. Perbandingan trigonometri untuk sudut khusus (,, 45, 6, 9 )

7 Berdasarkan gambar diatas dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut khusus tersebut dalam tabel berikut ( lengkapi nilai-nilai yang lainnya) Sin Cos Tan Csc t.t Sec Cotg t.t Contoh : 8 Tentukan nilai dari :. Sin + Csc 45 = + sec cotg. 6 = tan A. Nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran. Dikuadran I Titik A(x,Y) dikuadran I Absis positif Ordinat positif A(x,y) y r Sin positif r y x Cos positif x r y Tan positif x

8 . Dikuadran II Titik A(-x,y) dikuadran II Absis negatif Ordinat positif y Sin positif r x Cos negatif r y Tan negatif x A(-x,y) y r -x Diskusikan dengan teman anda, untuk tanda-tanda perbandingan trigonometri dikuadran yang lain yang ditulis dalam tabel berikut. I II III IV Sin Cos Tan Csc Sec Cotg Kuadran II Sin & Csc + Kuadran I Semua + Kuadran III Tan & Cotg + Kuadran IV Cos & Csc + Contoh : Diketahui Sin =, 5 Sec, Csc, Cotg dikuadran II (sudut tumpul). Tentukan nilai Jawab : Sin, y =, r = 5, x = Karena dikuadran II, nilai x = -4 5 Sehingga : Sec = 4 5 4, Cotg

9 TUGAS I. Tentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut pada tiap gambar berikut : a. b Jika p sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri sudut p yang lain, jika salah satu nilai perbandingan trigonometri sudut diketahui. a. Cos p =,8 b. Cotg p =. Tentukan nilai dari : a. Sin 6 cotg 6 + sec 45 cos 45 b. Tan + cos c. sin 6 cos Dani ingin menentukan tinggi pohon, pada jarak m dari pohondengan sudut pandang 6, seperti gambar berikut. Tentukan tinggi pohon tersebut. ( tinggi dani 55 cm) Tinggi dani 6 m Tinggi pohon A.4 Rumus perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di semua kuadran a. Rumus di kuadran I Sin(9 ) cos Cos(9 ) sin Tan(9 ) Cotg b. Rumus di kuadran II Sin(9 ) Cos Cos(9 ) Sin Tan(9 ) Cotg atau Sin(8 ) Sin Cos(8 ) Cos Tan(8 ) Tan

10 c. Rumus di kuadran III Sin(7) Cos Cos(7) Sin atau Tan(7) Cotg d. Rumus di kuadran IV Sin(7 ) Cos Cos(7 ) Sin atau Tan(7 ) Cotg e Rumus sudut negatif Sin( ) Sin Cos( ) Cos Tan( ) Tan f.rumus sudut lebih dari 6 Sin( k.6 ) Sin Cos( k.6 ) Cos Tan( k.6 ) Tan Sin(8 ) Sin Cos(8 ) Cos Tan(8 ) Tan Sin(6 ) Sin Cos(6 ) Cos Tan(6 ) Tan Contoh : Ubah ke sudut lancip, dan tentukan nilainya : a. Sin = Sin (9 + ) = Sin = Atau Sin = Sin (8 6 ) = Sin 6 = b. Cos 5 = Cos (7 45 ) = -Sin 45 = Atau Cos 5 = Cos ( ) = -Cos 45 = c. Sin 75 = Sin (.6 + ) = Sin =

11 d. Sin (-5 ) = - Sin 5 = - Sin( ) = - (-sin 45 ) = TUGAS II. Ubahlah ke sudut lancip, kemudian tentukan nilainya : a. Cos b. Tan (- ) c. Sin 45. Tentukan nilai dari : a. Sin + Cos 545 b. Cos 9 + Sec 57 c. Cotg 75 + Tan (-6 ). Sederhanakan cos(7 p) a. Sin(6 p) cos(9 p) b. Sin(8 p) cos. Tan5. Cosec4 c. Cos. Sec 4. Buktikan bahwa Sin(7 p). Sin(8 p) a. Cos(9 p). Cos(8 p) Cos(8 p). Sec(6 p) b. Cotg(8 p). Cotg(9 p) B. PERSAMAAN TRIGONOMETRI. Sin x = Sin p X = p + k.6 atau x = p + k. X = (8 p) + k.6 x = ( - p) + k.. Cos x = Cos p X = p + k.6 atau x = p + k. X = -p + k.6 atau x = -p + k.. Tan x = Tan p X = p + k.8 atau x = p + k.

12 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian : a. Sin x = Sin ; x 6 x = + k.6, untuk k = x = k = x = + 6 = 8 (tidak memenuhi) X = (8 ) + k.6, untuk k = x = 6 Jadi HP = {, 6} b. Cos x = ; x 6 Cos x = Cos x = Cos X = + k.6, untuk k = x = X = - + k.6, untuk k = x = - (tidak memenuhi) K = x = HP = {, } TUGAS III. Selesaikan persamaan berikut untuk x 6 a. Cos x = Cos 5 b. Sin x ½ = c. tan x + = d. cos x.sin x = sin x. Tentukan himpunan penyelesaian untuk x a. sin x = - b. tan x + = c. cos ½ x = C. IDENTITAS TRIGONOMETRI Identitas trigonometri adalah persamaan trigonometri yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya. Beberapa rumus dasar :. Sin x + Cos x = Sin x = Cos x Cos x = Sin x. + tan x = sec x = sec x tan x Tan x = sec x. + cotg x = cosec x = cosec x cotg x Cotg x = cosec x

13 Contoh :. Buktikan bahwa 5 tan x + 4 = 5 sec x Jawab : 5 tan x + 4 = 5 (sec x ) + 4 = 5 sec x = 5 sec x (terbukti). Buktikan bahwa cos x + sin x = Jawab : cos x + sin x = (cos x + sin x) =. = (terbukti) D. RUMUS SINUS DAN COSINUS. Aturan Sinus Perhatikan segitiga ABC berikut. C b a A c B Berdasarkan segitiga ABC diatas, berlaku aturan sinus sebagai berikut: a SinA b SinB c SinC Contoh :. Pada segitiga ABC, b =, Jawab : b c SinB SinC bsinc c SinB Sin5, = Sin.,8 =,5 9,6 =,5 = 9, B, C 5,. Hitunglah c.

14 . Pada segitiga ABC diketahui sisi b = 65, sisi c = 46. B 68,. Hitunglah C b SinB c Sin C = SinC csinb b 46x,98 = 65 4,7 = 65 =, 657 C = 4, 46Sin68, 65. Aturan Cosinus Perhatikan segitiga ABC berikut ini : C A B Berdasarkan segitiga tersebut berlaku : a = b + c bc cos b = a + c ac cos c = a + b ab cos Contoh :. Diketahui segitiga ABC, AB = 8 cm, AC = 5 cm, A = 6. Hitung panjang BC Jawab : a = b + c bc cos A = cos 6 = ½ = 89 4 = 49 a = 7 cm

15 E. LUAS SEGITIGA.Luas segitiga dengan besar dua sisi dan satu sudut apit diketahui C b a A D c B L = ½ b.c. sin A L = ½ a.b. sin C L = ½ a.c. sin B. Luas segitiga dengan dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut yang diketahui. L a.sin B.sin C sin A b.sin A.sin C L sin B c.sin A.sin B L sin C. Luas segitiga dengan ketiga sisinya diketahui L s.( s a).( s b).( s c) s = ½. Keliling Segitiga = ½ (a + b + c)

16 Contoh :. Hitunglah luas segitiga, dengan a = 5 cm, b = 8 cm. Sudut C = 45 Jawab : L = ½ a.b.sin C = ½ 5.8.sin 45 =. ½ =. Diketahui segitiga ABC dengan c = 5 cm, A 65, B 6. Tentukan luasnya. Jawab : C c.sin A.sin B L sin C 5.sin 65.sin 6 L sin 55 5.,45.,87 L,8 L,7. Hitung luas segitiga ABC, jika diketahui a = cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jawab : s = ½ (a + b + c) = ½ ( ) = 6 L s.( s a).( s b).( s c) L L 6.(6 ).(6 4).(6 5) 6... L 6 6 cm

17 TUGAS IV. Hitunglah luas segitiga PQR, Jika diketahui p = 9 cm, r = 6 cm, P 46. ABCD merupakan jajaran genjang dengan AB = cm, AD = 6 cm, dan AC = 4 cm. Hitung besar sudut B. Dua buah kapal meninggalkan pelabuhan dalam waktu yang bersamaan. Kapal petama berlayar dengan arah 4 dan kecepatan 8 km/jam, sedangkan kapal kedua berlayar dengan arah dengan kecepatan 9 km/jam. Berapa jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 5 jam. 4. Hitunglah luas segienam beraturan yang dilukiskan pada sebuah lingkaran yang jari-jarinya cm dan berpusat di O. 5. Dalam jajaran genjang ABCD diketahui AB = cm, AD = 8 cm, BD = cm. Hitunglah luas jajaran genjang tersebut.

18 BAB III PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya.

19 DAFTAR PUSTAKA Tim Matematika SMA, 4. Matematika Untuk SMA Kelas X, Jakarta : PT. Galaxy Puspa Mega. Sartono Wirodikromo, 6. Matematika untuk SMA Kelas X, Jakarta : Penerbit Erlangga. MGMP Matematika Kota Semarang, 7. LKS Matematika SMA / MA, Semarang : CV. Jabbaar Setia.