LNDSN TEORI. robabilitas robabilitas adalah suatu ilai utuk megukur tigkat kemugkia terjadiya suatu eristiwa evet aka terjadi di masa medatag yag hasilya tidak asti ucertai evet. robabilitas diyataka atara ol samai satu atau dalam ersetase. robabilitas meujukka eristiwa yag tidak mugki terjadi, sedagka robabilitas meujukka eristiwa yag asti terjadi.,99 artiya robabilitas bahwa kejadia aka terjadi sebesar 99 % da robabilitas tidak terjadi adalah sebesar %. da tiga hal etig dalam ragka membicaraka robabilitas, yaitu ercobaa eerimet, ruag samel samle sace da kejadia evet. ercobaa eerimet adalah egamata terhada beberaa aktivitas atau roses yag memugkika timbulya alig sedikit dua eristiwa taa memerhatika eristiwa maa yag aka terjadi. Cotoh : Kegiata melemar mata uag aka meghasilka eristiwa mucul gambar atau agka, kegiata jual beli saham aka meghasilka eristiwa membeli atau mejual, erubaha harga-harga aka meghasilka eristiwa iflasi atau deflasi, ertadiga seak bola aka meghasilka eristiwa meag, kalah atau seri. Kegiata-kegiata yag meimbulka eristiwa tersebut dikeal sebagai ercobaa. Uiversitas Sumatera Utara
Ruag samel samle sace atau semesta uiverse meruaka himua dari semua hasil outcome yag mugki dari suatu ercobaa eerimet. Jadi ruag samel adalah seluruh kemugkia eristiwa yag aka terjadi akibat adaya suatu ercobaa atau kegiata. Cotoh : Dari kegiata diatas daat dieroleh hasil sebagai berikut : Tabel. ercobaa da Hasil ercobaa Ruag Samel Melemar Mata Uag { Gambar, gka } erdagaga Saham erubaha harga ertadiga Seak ola { Mejual, Membeli { Iflasi, Deflasi } { Meag, Kalah, Seri} Kejadia evet adalah kumula dari satu atau lebih hasil yag terjadi ada sebuah ercobaa atau kegiata. Kejadia meujukka hasil yag terjadi dari suatu ercobaa. Dalam setia ercobaa atau kegiata haya ada satu hasil. ada kegiata jual beli saham, kalau tidak membeli berarti mejual. ada erubaha harga terjadi iflasi atau deflasi. Dua eristiwa tersebut tidak daat terjadi bersamaa. ada ertadiga seak bola juga haya terjadi satu eristiwa, aakah klub seak bola tersebut meag, kalah atau seri. Tidak mugki dalam suatu ertadiga seak bola, misalya ersiura da SM, hasilya adalah ersiura meag juga kalah. eristiwa yag mugki adalah ersiura meag, ersiura kalah, atau seri. Uruta atara ercobaa, ruag samel da eristiwa yaitu: Uiversitas Sumatera Utara
Tabel. Uruta ercobaa, Hasil da eristiwa ertadiga seak bola atara ersiura VS SM di ercobaa / Kegiata Stadio Madala, Jayaura, 7 Februari ersiura Meag Ruag Samel ersiura Kalah Seri, ersiura tidak kalah da meag Kejadia / eristiwa ersiura Meag Nilai robabilitas daat dihitug berdasarka ilai hasil observasi sifatya subyektif atau berdasarka ertimbaga embuat keutusa atau teaga ahli dalam bidagya secara subyektif. esarya ilai kemugkia bagi muculya suatu kejadia adalah selalu diataa ol da satu. eryataa ii daat ditulis sebagai, dimaa meyataka ilai kemugkia bagi muculya kejadia. Jika suatu ercobaa daat meghasilka N macam hasil yag berkemugkia sama equally likely da jika teat terdaat sebayak hasil yag berkaita dega kejadia, maka robabilitas kejadia adalah : N Cotoh: Didalam kegiata egedalia mutu roduk, ada buah barag yag dieriksa, teryata ada buah barag yag cacat atau rusak. Kalau kebetula diambil secara acak satu saja, beraa robabilitasya bahwa barag yag diambil adalah barag yag rusak. Dari soal diketahui bahwa: N buah barag buah barag yag rusak barag yag diambil secara acak Jadi, robabilitas memeroleh barag yag rusak adalah : N Uiversitas Sumatera Utara
, Jika, berarti tidak ada barag yag rusak,, kejadia ii N disebut imossible evet tidak mugki terjadi. Tetai jika N, berarti semua barag rusak,, kejadia ii disebut sure evet asti terjadi.. Oerasi-Oerasi dalam Kejadia da beberaa oerasi-oerasi dalam kejadia yaitu: gabuga uio, irisa itersectio, komleme comlemet, selisih da kejadia majemuk.. Gabuga Uio Gabuga dua kejadia da, diyataka dega, meruaka kejadia yag megadug semua eleme yag termasuk atau atau keduaya. { : atau } himua Jika digambarka ada diagram Ve maka daerah yag diarsir meruaka. Gambar. Gabuga Uiversitas Sumatera Utara
.. Irisa Itersectio Irisa dua kejadia da, diyataka dega, meruaka kejadia yag eleme-elemeya meruaka aggota dari da. { : da } himua Jika digambarka ada diagram Ve maka daerah yag diarsir meruaka. Gambar. Irisa..3 Komleme Comlamet Komleme dari kejadia, diyataka dega c, adalah kejadia dari elemeeleme yag meruaka aggota semesta tetai buka aggota. c { : S }, himua c. Jika digambarka ada diagram Ve maka daerah yag diarsir meruaka Gambar.3 Komleme Uiversitas Sumatera Utara
..4 Selisih Selisih kejadia dari kejadia diyataka dega adalah kejadia dari eleme-eleme yag meruaka aggota dari tetai buka aggota dari. { : }, Jika digambarka ada diagram Ve maka daerah yag diarsir meruaka himua -. Gambar.4 selisih..5 Kejadia Majemuk. ila ad mutually eclusive kejadia yag terisah, maka : +. ila da dua kejadia sembarag, maka : + 3. ila ada K kejadia yaitu,,, i,, k yag mutually eclusive da membetuk kejadia, maka:... i... k k i i Uiversitas Sumatera Utara
4. ila da ideedet bebas, maka : 5. ila da deedet tidak bebas, maka :, dimaa.,.3 robabilitas ersyarat eluag terjadiya suatu kejadia bila diketahui bahwa kejadia telah terjadi disebut eluag bersyarat da diyataka dega. Sama halya dega eluag terjadiya suatu kejadia bila diketaui bahwa kejadia telah terjadi da diyataka dega. Dega megkombiasika kedua ersamaa maka dieroleh : Cotoh: Dari 9 ama, terdaat 5 orag ria dega status 46 orag bekerja, sedagka 4 orag lagi tidak bekerja, da 4 orag waita dega status 4 orag bekerja sedagka 6 orag lagi tidak bekerja. eraa robabilitas terilihya ria dega status telah bekerja? Uiversitas Sumatera Utara
ria terilih orag yag terilih berstatus bekerja 6 9 3 46 9 3 45 3 3 45 3 3 Dari erhituga diatas maka dieroleh kemugkia bahwa ama yag terilih adalah ria dega status bekerja adalah sebesar,77 atau 77%..4 Titik Samel Titik samel samle oit meruaka tia aggota atau eleme dari ruag samel. Jika suatu oerasi daat dilakuka dega cara, da bila utuk setia cara ii oerasi kedua daat dilakuka dega cara, da bila utuk setia cara ii oerasi ketiga daat dilakuka dega 3 cara, dst, maka dereta k oerasi daat dilakuka dega... k cara. Cotoh: Tiga buah koi uag logam dilemarka sekali. ayakya titik samel dalam ruag samel? Koi I daat meghasilka hasil yag mugki, muka M atau belakag Koi II daat meghasilka hasil yag mugki, M atau Koi III daat meghasilka hasil yag mugki, M atau Jumlah titik samel yag dihasilka 8.4. Kombiasi Combiatio Kombiasi meruaka susua dari suatu himua obyek yag daat dibetuk taa memerhatika uruta. Kombiasi berkaita dega eetua bayakya cara Uiversitas Sumatera Utara
memilih r obyek dari sejumlah obyek taa memerhatika urutaya. Kombiasi meruaka sekata dega dua sel, sel ertama berisi r obyek yag diilih da r obyek sisaya. Jumlah kombiasi dari obyek yag berlaia jika diambil sebayak r. C r! r! r! Cotoh: Suatu kelas terdiri atas 4 ria da 3 waita ayakya aitia yag dibetuk yag beraggotaka ria da waita? 4 4! ayakya cara memilih dari 4 ria C 6!! 3 3! ayakya cara memilih dari 3 waita C 3!! ayakya aitia yag daat dibetuk 6 3 8.4. ermutasi ermutatio ermutasi meruaka susua dari suatu himua obyek yag daat dibetuk yag memerhatika uruta. ayakya ermutasi obyek berlaia adalah! ayakya ermutasi obyek berlaia bila diambil r sekaligus. ermutasi beda berlaia yag disusu meligkar adalah! r! ayakya r! ayakya ermutasi yag berlaia dari obyek bila adalah jumlah obyek jeis ertama, adalah jumlah obyek jeis kedua,..., k jumlah obyek ke-k adalah:!!!... k! ayakya cara meyekat obyek dalam r sel bila masig-masig berisi obyek ada sel ertama, obyek ada sel kedua, da seterusya adalah : dega + +... + r!!!...! r Uiversitas Sumatera Utara
.5 Distribusi robabilitas Diskrit eyajia distribusi robabilitas dalam betuk grafis, tabel atau melalui rumusa tidak masalah, yag igi dilukiska adalah erilaku kelakua erubah acak tersebut. Serig di mejumai, egamata yag dihasilka melalui ercobaa statistik yag berbeda memuyai betuk kelakua umum yag sama. Oleh karea itu erubah acak diskrit yag berkeaa dega ercobaa tersebut daat dilukiska dega distribusi robabilitas yag sama, da daat diyataka dega rumus yag sama. Dalam bayak raktek yag serig di jumai, haya memerluka beberaa distribusi robabilitas yag etig utuk meyataka bayak erubah acak diskrit..5. Distribusi Seragam Distribusi robabilitas yag alig sederhaa adalah yag semua erubah acakya memuyai robabilitas yag sama. Distribusi ii disebut distribusi robabilitas seragam diskrit. Jika erubah acak X medaat ilai,,, k dega robabilitas yag sama, maka distribusi robabilitas diskrit diberika oleh: f ; k ; utuk,,, k k Lambag f;k sebagai eggati f, yag meujuka bahwa distribusi seragam tersebut bergatug ada arameter Uiversitas Sumatera Utara
k X X X 3 X K Gambar.5 Distribusi Seragam Rata-rata da varias dari distribusi seragam diskrit adalah : µ k i k i k i µ i k Cotoh: Sebuah dadu seimbag dilemarka satu kali, maka tia usur dalam ruag samel S{,,3 4, 5, 6}. Mucul dega robabilitas /6. Jadi jika X meyataka mata dadu yag mucul, maka X terdistribusi eluag seragam uiform yaki f;6/6, utuk,, 3, 4, 5, 6.5. Distribusi iomial Suatu ercobaa yag terdiri atas beberaa usaha, tia-tia usaha, memberika hasil yag daat dikelomoka mejadi -kategori yaitu sukses atau gagal, da tia-tia ulaga ercobaa bebas satu sama laiya. robabilitas kesuksesa tidak berubah dari ercobaa satu ke ercobaa laiya. roses ii disebut roses eroulli. Jadi roses eroulli harus memeuhi ersyarata berikut:. ercobaa terdiri atas -ekserime yag berulag. Tia-tia ekserime memberika hasil yag daat dikelomoka mejadi - kategori, sukses atau gagal 3. eluag kesuksesa diyataka dega, tidak berubah dari satu ekserime ke ekserime berikutya. 4. Tia ekserime bebas dega ekserime laiya. Uiversitas Sumatera Utara
Jadi roses eroulli adalah suatu roses dega ciri-ciri ekserime berlagsug kali da tia ekserime berlagsug dalam cara da kodisi yag sama. Utuk setia ekserime haya ada dua kejadia yag mugki terjadi, dimaa dua kejadia tersebut adalah salig asig da juga ideedet satu sama lai. iasaya dua kejadia tersebut diotasika sebagai kejadia sukses da kejadia gagal. robabilitas sukses dilambagka dega, sedagka robabilitas gagal dilambagka dega q, da + q. Dari roses tersebut, yag di defiisika sebagai variabel adalah muculya kejadia sukses, yag dilambagka dega. Utuk distribusi iomial semacam itu, bisa dihitug robabilitas sukses aka mucul dalam ercobaa tersebut dega rumus : q q C F!!!, ; Dega: muculya sukses yag igi di hitug jumlah ekserime robabilitas sukses dalam tia ekserime q robabilitas gagal dalam tia ekserime - jumlah gagal dalam ekserime Distribusi biomial memuyai ilai rata-rata da ilai simaga baku q..5.3 Nilai Haraa Distribusi iomial EX q F q X!!!. q X!!!. q!!! Uiversitas Sumatera Utara
.!!! q y - > y > y. y. + q -. - y! y!! y y q.5.4 Variasi Distribusi iomial Var X E [X ] - E [X] E [X ] F { + } q q +. q 3 + 3. q 3 3 q + + - + - q - + - q -3 + + - + - q + - + - + Jadi, Var X E [X ] - E [X] - + - q Uiversitas Sumatera Utara
.6 Distribusi Normal Distribusi robailitas kotiyu yag teretig di bidag statistik adalah distribusi Normal. Grafikya disebut kurva ormal, berbetuk loceg. Distribusi ii ditemuka Karl Friedrich Gauss 777-855 yag juga disebut distribusi Gauss. erubah acak X yag betukya seerti loceg disebut erubah acak ormal dega ersamaa matematik distribusi robabilitas yag bergatug aramerter µ mea da simaga baku. Diyataka, µ, dorm....3.4-4 - 4 Gabar.6 Kurva Normal Fugsi adat erubah acak ormal X, dega rata-rata µ da simaga baku diyataka sebagai : Dega : µ mea µ ; µ, e utuk < < π simaga baku π 3,459 e, 788 Luas daerah kurva ormal atara a da b diyataka sbb: a b f d b a Uiversitas Sumatera Utara
b µ e d a π dorm....3.4-4 - 4 Gambar.7 Luas Derah a < < b Luas Daerah Diarsir.6. Nilai Haraa Variabel cak Normal E [X] f d µ e d π µ e d π µ ; + µ ; d d ; d d + µ e d π + µ e d π e d π + e µ d π Uiversitas Sumatera Utara
Utuk π e d e d + e d π y ; d dy dy ; d y y e dy + e dy π utuk e d o y dy e dy e y y [ e ] dimaa lim y e ; maka e y dy y akibatya π e d + π Utuk µ π e d µ e d + e d π y y dy d d dy µ y dy y dy e + e π µ y y y e dy + y e dy π µ π π + π µ Sehigga : E [X] e d π + e µ d π E [X] + µ µ Uiversitas Sumatera Utara
.6. Variasi Variabel cak Normal Var X E [X ] - E [X] µ E [ ] e d π µ e d π µ + µ d d d d + µ e d π + µ + µ e d π e d π + µ e d π + e d π µ e d π µ + e d π + e µ d π e d π µ + + π π e d π + µ Utuk π e d e d + e d π y y dy d d dy dy y Uiversitas Sumatera Utara
π e d y dy y dy ye + ye π y y y y y e dy + y e dy π Γ + Γ π π π + π Sehigga : E [X ] + Maka : µ X Var X E [X ] - E [X] µ X + - µ.6.3 Distribusi Normal Stadard Keluarga distribusi ormal memiliki jumlah yag bayak sekali, akibat egaruh ratarata da simaga baku. ka tetai, utuk mecari robabilitas suatu iterval dari variabel radom kotiu daat di ermudah dega megguaka batua distribusi ormal stadard. Distribusi ormal stadard adalah distribusi ormal yag memiliki rata-rata µ da simaga baku. etuk fugsiya adalah : f Z e π Uiversitas Sumatera Utara
Utuk megubah distribusi ormal umum mejadi distribusi ormal stadard di guaka ilai Z stadard uits. etuk rumusya adalah: Dega: Z X µ Z X Skor Z atau ilai ormal baku Nilai dari suatu egamata atau egukura µ Nilai rata-rata hitug suatu distribusi Stadart deviasi suatu distribusi Nilai Z stadard uits adalah agka atau ideks yag meyataka eyimaga suatu ilai variabel radom X dari rata-rata µ dihitug dalam satua simaga baku..6.4 Sifat-Sifat Normal Stadard Sifat-sifat etig dalam distribusi ormal stadard yaitu: Grafikya selalu ada di atas sumbu datar etukya simetrik terhada µ 3 Memuyai satu modus, jadi kurva uimodal, tercaai ada µ 4 Grafikya medekati berasimtutka sumbu datar di mulai dari µ + 3 ke kaa da µ 3 ke kiri 5 Luas daerah grafik selalu sama dega satu uit ersegi. Utuk tia asag µ da, sifat-sifat di atas selalu di euhi, haya betuk kurvaya saja yag berlaia. Jika maki besar, kurvaya maki redah latikurtik da utuk maki kecil, kurvaya maki tiggi letokurtik. Uiversitas Sumatera Utara
9 8 7 6 5 4 3 m Mes okurtic laty kurtic Letokurtic Gambar.8 Distribusi Kurva Normal dega µ Sama da erbeda ada Gambar.8 meujukka betuk distribusi da kurva ormal dega ilai tegah sama da stadart deviasi yag berbeda. Kurva ormal demikia memuyai µ Md Mo yag sama, amu memuyai yag berbeda. Semaki besar, maka kurva semaki edek da semaki tiggi ilai, maka semaki rucig. Oleh sebab itu, yag tiggi meujukka bahwa ilai data semaki meyebar dari ilai tegahya µ. Sebalikya aabila semaki redah, maka ilai semaki megelomok ada ilai tegahya, sehigga arameter ilai tegah mejadi idikator yag baik bagi ukura oulasi. Gambar.9 Distribusi Kurva Normal dega µ erbeda da Sama Uiversitas Sumatera Utara
ada Gambar.9 meujukka betuk distribusi robabilitas da kurva ormal dega µ berbeda da sama, memuyai jarak atara kurva yag berbeda, amu betuk kurva teta sama. Hal demikia bisa terjadi karea kemamua atar oulasi berbeda, amu setia oulasi memuyai keragama yag hamir sama. Gambar. Distribusi Kurva Normal dega µ da erbeda ada Gambar. meujukka betuk distribusi robabilitas da kurva ormal dega µ berbeda da berbeda. Kurva yag demikia memuyai titik usat yag berbeda ada sumbu medatar da betuk kurva berbeda karea memuyai setadart deviasi yag berbeda. Kurva demikia relatif bayak terjadi, karea atar-oulasi terdaat erbedaa kemamua, disamig itu di dalam setia oulasi juga terdaat erbedaa, atau setia oulasi juga memuyai keragama yag berbeda..7 Meghamiri Distribusi iomial dega Distribusi Normal Sebagaimaa distribusi oisso sebagai eghamir distribusi biomial, maka distribusi biomial daat juga dihamiri dega distribusi ormal. eghamira ii atas dasar teori asimtotik, yaitu dega megadaika bayak egamata da! teta. tas dasar eradaia ii maka : f X!! Uiversitas Sumatera Utara
edekata distribusi ormal ii daat di guaka utuk edekata distribusi biomial, dega memeuhi beberaa syarat, yaitu : a. Jumlah egamata relatif besar 3, da ilai dari 5 da - 5, dimaa jumlah data da adalah robabilitas sukses. b. Memeuhi syarat biomial yaitu memuyai eristiwa haya dua, atara ercobaa bersifat ideedet, robabilitas sukses da gagal sama utuk semua ercobaa da data meruaka hasil erhituga. c. Rumus ilai ormal utuk medekati biomial adalah : Z X q d. Faktor korelasi dierluka dari biomial yag acak diskrit mejadi ormal yag kotiu dega meambah atau megurag,5 terhada ilai X. Uiversitas Sumatera Utara