Distribusi Probabilitas (Peluang)

Transkripsi

1 Distribusi Probabilitas (Peluag Distribusi? Probabilitas? Distribusi Probabilitas? JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2 Distribusi sebara, ecara, susua data Probabilitas: a riori, f / (f + u a Posteriori rasio outcome dega jumlah eserime, hasil dari data secara emiris Distribusi robabilitas adalah deskrisi/gambara robabilitas terjadiya setia ilai dalam sutu oulasi dari ercobaa

3 VARIABEL ACAK Suatu fugsi yag ilaiya berua bilaga yata yag ditetuka oleh setia usur dalam ruag samel Variabel acak ada 2, yaitu :. Variabel Radom Diskrit/ Cacah diguaka utuk data cacaha 2. Variabel Radom Kotiu diguaka utuk data ukur Cotoh : Pada ercobaa elemara mata uag. Misal bayakya mucul gambar diyataka, maka variabel acak

4 Ruag Samel Diskrit : Ruag samel yag megadug titik samel sebayak bilaga cacah Kotiu : Ruag samel megadug titik samel sebayak titik ada sebuah garis

5 Cotoh: Melemarka satu mata uag logam yag dilakuka tiga kali Ruag samel (samle sace? Bila yag diigika adalah yag mucul muka (dea, beraa titik samel? Aa yag termasuk variabel ideede (eubah acak? Beraa robabilitas bila yag terjadi adalah 2 kali yag mucul muka uag? Tetuka distribusi robabilitasya!

6 S {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM,MMB,MMM} {BBB, (BBM,BMB,MBB, (BMM,MBM,MMB, MMM} 0,,2,3 (emat titik samel Peubah acak (Variabel ideede, bayak bagia muka uag yag mucul bila satu mata uag di lemarka tiga kali adalah 0,, 2,3 3/8

7 Distribusi robabilitas Bayak sisi muka yag mucul (M ( Frekuesi Probabilitas 0 / /8 3/8 /8 Jumlah 8

8 Latiha : Bila dua dadu di lemarka satu kali Tetuka! Ruag samel (samle sace? Bila yag diigika adalah mata dadu yag mucul berjumlah 4 beraa titik samel? Aa yag termasuk variabel ideede (eubah acak? Beraa robabilitas bila yag terjadi adalah mata dadu berjumlah 9? Tetuka distribusi robabilitasya! Latiha 2: Carilah rumus distribusi robabilitas utuk jumlah muka yag mucul bila satu mata uag dilemarka emat kali!!!

9 Tie Distribusi Probabilitas Distribusi Diskrit, Aabila variabel yag diukur haya daat mejalai ilai-ilai tertetu, seerti bilaga bulat 0,, 2, 3,,,, (outcome yag tertetu Distribusi Biomial Distribusi Poisso Distribusi Hiergeometrik Distribusi kotiu, aabila variabel yag diukur diyataka dalam sekala kotiu, 0 k. Distribusi Normal

10 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT Sebuah tabel atau rumus yag mecatumka semua kemugkia ilai variabel acak diskrit da ilai eluagya 0 2 P( ¼ 2/4 ¼ Jumlah

11 Cotoh : Tetuka rumus distribusi eluag bayakya sisi gambar bila sebuah uag logam dilemar 3 kali. Buatlah tabelya? Ekserime : Pelemara mata uag 3, Bayakya titik samel S {AAA, AAG, AGG, GGG, AGA, GAG, GAA,GGA}

12 3 Bayakya mucul sisi gambar adalah Jadi fugsi eluag adalah : 3 f( 3 3! 8 3C (3!! Utuk 0,,2,3 Tabel distribusi eluag :

13 2 Sebuah dadu dilemarka 2 Misalka : jumlah titik dadu dalam kedua lemara itu, maka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 2 Tabel distribusi robabilitas : a P(>8 P(9+P(0+P(+ P(2 b P(4<<7 P(5 + P(6

14 3 Ekserime : 8 bit ( byte dibagkitka secara acak. Variabel radom y bayak bit dalam byte y 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 0 c(8,0 y c(8, 8 y 2 c(8,2 28 y 3 c(8,3 56 y 4 c(8,4 70 y 5 c(8,5 56 y 6 c(8,6 28

15 y 7 c(8,7 8 y 8 c(8,8 (Sbayak cara membagkitka 8 bit(0 & 256 Tabel distribusi robabilitas :

16 4 Sebuah toko mejual obral 5 radio, diatara radio tsb, terdaat 5 yag rusak. Jika seorag calo embeli melakuka tes tiga radio yag diilih secara radom. Tuliska distribusi robabilitas bayakya radio yag rusak dalam samel itu da tabelya

17 ( P ( P ( P ( P

18 Tabel distribusi robabilitasya : Harga Probabilitas 0 2 3

19 DISTRIBUSI PELUANG KONTINU Distribusi eluag utuk variabel acak kotiu tidak daat disajika dalam betuk tabel, tetai diyataka dalam sebuah fugsi yag disebut fugsi desitas Fugsi tersebut diyataka sedemikia sehigga luas daerah di bawah kurva, diatas sumbu ~ ~ f d (

20 RATA-RATA HITUNG / HARGA HARAPAN / EKSPEKTASI, VARIANSI DAN STANDAR DEVIASI Rata-rata Hitug/Harga haraa/ Eksektasi Varias Stadar Deviasi µ E(.f( σ 2 E( 2 - E( 2 2 (.f( [ (.f(] 2 σ σ 2

21 Cotoh : Tabel distribusi robabilitas : Atau : E( Σ.f( 0.(0, +.(0,2 + 2(0,4 + 3(0,3,9

22 SIFAT-SIFAT EKSPEKTASI E(a a 2 E(b b.e( 3 E(+a E( + a 4 E(b+a b.e( + a 5 E(c 2 +b+a c.e( 2 + b.e( + a

23 VARIANSI DAN DEVIASI STANDAR VARIANSI : atau DEVIASI STANDAR :

24 Sifat-sifat :

25 Cotoh. Diketahui : distribusi robabilitas sbb : Hitug : a Mea b Variasi c Deviasi stadar d Jika y 4-2, hitug : E(y, var(y & Ds(y

26 Jawab : Mea E( Σ.f( 3,30 Var ( 2,8 (3,3 2 2,8 0,89,9

27 c Ds (,38 d y 4 2 E(y E(4-2 Var (y var(4-2 4.E( 2 4.var( 4.(3,3 2 4.(,9 3,2 2 7,64,2 Ds(y Ds(4-2 4.Ds( 4.(,38 5,52

28 2 Diketahui tabel distribusi robabilitas bayak komuter yag terjual dalam hari Hitug : a Bayak komuter yag diharaka terjual rata-rata dalam hari E( b Deviasi stadar Ds(

29 Jawab : a E( Σ.f( 2,7 b Var( 9,3 (2,7 2 2,0 Ds(,42

30 Distribusi Variabel Radom Diskrit Proses Beroulli Distribusi Biomial Distribusi Geometrik Distribusi Hiergeometrik Proses & Distribusi Poisso Pedekata utuk Distribusi Biomial

31 Proses Beroulli Percobaa Beroulli adalah ercobaa yag memeuhi kodisikodisi berikut:. Satu ercobaa dega ercobaa yag lai ideede. Artiya, sebuah hasil tidak memegaruhi mucul atau tidak muculya hasil yag lai 2. Setia ercobaa memberika dua hasil yag mugki, yaitu sukses* da gagal. Kedua hasil tersbut bersifat mutually eclusive da ehaustive. 3. Probabilitas sukses, disimbolka dega, adalah teta atau kosta. Probabilitas gagal, diyataka dega q, adalah q -. * Istilah sukses da gagal adalah istilah statistik yag tidak memiliki imlikasi ositif atau egatif

32 Proses Beroulli Beberaa distribusi yag diladasi oleh roses Beroulli adalah : Distribusi biomial, Distribusi geometrik, da Distribusi hiergeometrik. (termasuk kategori tersebut adalah distribusi multiomial da egatif biomial.

33 Distribusi Biomial Sebuah variabel radom, X, meyataka jumlah sukses dari ercobaa Beroulli dega adalah robabilitas sukses utuk setia ercobaa, dikataka megikuti distribusi (diskrit robabilitas biomial dega arameter (jumlah sukses da (robabilitas sukses. Selajutya, variabel radom X disebut variabel radom biomial

34 Persyarata suatu ercobaa biomial. Percobaa/ekserime terdiri dari yag berulag 2. Setia usaha memberika hasil yag daat ditetuka dega sukses atau gagal 3. Probabilitas sukses, diyataka dega, tidak berubah dari usaha yag satu ke usaha yag berikutya 4. Tia usaha bebas dega usaha yag laiya.

35 Sebuah sistem roduksi meghasilka roduk dari dua mesi A da B dega keceata yag sama. Diambil 5 roduk dari latai roduksi da yataka X sebagai jumlah roduk yag dihasilka dari mesi A. Ada uruta yag mugki sebagai outut dari mesi A da B (sukses da gagal yag membetuk ruag samle ercobaa. Diatara hasil tersebut, ada 0 hasil yag memuat teat 2 roduk dari mesi A (X2: AABBB ABABB ABBAB ABBBA BAABB BABAB BABBA BBAAB BBABA BBBAA Probabilitas 2 roduk dari mesi A dari 5 roduk yag diambil adalah 2 q 3 (/2 2 (/2 3 (/32, robabilitas dari 0 hasil tersebut adalah : P(X 2 0 * (/32 (0/ (/32 Jumlah hasil dimaa 2 dihasilka dari mesi A Probabilitas bahwa sebuah hasil memiliki 2 roduk dari mesi A

36 P(X2 0 * (/32 (0/ Perhatika bahwa robabilitas tersebut dihasilka dari: 0 (/32 Jumlah hasil dimaa 2 dihasilka dari mesi A Probabilitas bahwa sebuah hasil memiliki 2 roduk dari mesi A Secara umum:. Probabilitas dari sukses dari ercobaa dega robabilitas sukses da robabili-tas gagal q adalah: q (- 2. Jumlah uruta dari ercobaa yag meghasilka teat sukses adalah jumlah iliha eleme dari total eleme: C!!(!

37 Distribusi robabilitas biomial : P( q!!(! q ( ( dimaa : robabilitas sukses sebuah ercobaa, q -, jumlah ercobaa, da jumlah sukses. Jumlah Probabilitas P( sukses M! 0!( 0!!!(!! 2!(! 3!( M!!( 2! 3!! 0 q 3 2 q ( 0 ( q q ( 2 ( 3 q (.00

38 Distribusi robabilitas kumulatif biomial da distribusi robabilitas variabel radom biomial A, jumlah roduk yag dihasilka oleh mesi A (0.5 dalam 5 roduk yag diambil. a F(h P(h Peetua ilai robabilitas dari robabilitas kumulatif F ( P( X P( i P(X F( - F( - Cotoh : P(3 F (3 F ( all i

39 60% dari roduk yag dihasilka adalah semura. Sebuah samle radom sebayak 5 diambil. Beraa robabilitas bahwa alig bayak ada tiga roduk yag semura? F( P( X P( i all i F( 3 P( X TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 39

40 : biomial daridistribusi Variasi ( : biomial daridistribusi Mea µ X E : dalam5roduk A mesi dari roduk jumlah adalah A TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 40 q SD(X : biomial daridistribusi stadar Deviasi ( : biomial daridistribusi Variasi 2 σ σ q X V ( 0.5 (5(.5(.5 ( 2.5 (5(.5 ( 2 : dalam5roduk A mesi SD H H V H E H H H σ σ µ

41 Distribusi Hiergeometrik Distribusi biomial diguaka ada oulasi yag tidak terbatas, sehigga roorsi sukses diasumsika diketahui. Distribusi robabilitas hiergeometrik diguaka utuk meetuka robabilitas kemucula sukses jika samlig dilakuka taa egembalia. Variabel radom hiergeometrik adalah jumlah sukses ( dalam iliha, taa egembalia, dari sebuah oulasi terbatas N, dimaa D diataraya adalah sukses da (N-D adalah gagal.

42 Peurua fugsi distribusi hiergeometrik dituruka dega meghitug kombiasi-kombiasi yag terjadi. Kombiasi yag daat dibetuk dari oulasi berukura N utuk samel berukura adalah kombiasi C(N,. Jika sebuah variabel radom (diskrit X meyataka jumlah sukses, selajutya daat dihitug kombiasi dieroleh sukses dari sejumlah D sukses dalam oulasi yag diketahui yaitu C(D,, da demikia ula halya daat dicari (- kombiasi gagal dari sisaya (N-D, yaitu kombiasi C((N- D,(-.

43 Distribusi Hiergeometrik (3 Dega demikia: sukses C(D,. C((N-D,(- atau D N D yag dieroleh dari total kombiasi yag mugki C(N, atau N TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 43

44 Distribusi Hiergeometrik (4 Sebuah variabel radom (diskrit X meyataka jumlah sukses dalam ercobaa beroulli da total jumlah sukses D diketahui dari sebuah oulasi berukura N, maka dikataka megikuti distribusi hiergeometrik dega fugsi kemugkia : D N D (, N,2, K,mi(, D 0 otherwise Distribusi kemugkia hiergeometrik serig ula disimbolka dega h(;n;;d. TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 44

45 Distribusi Hiergeometrik (4 Parameter emusata da eyebara adalahsebagai berikut : N D N D X E D, mi( 0 / ( N D / (jika N besar maka D/N Utuk kasus dimaa <D, maka eksektasi tersebut adalah D N D TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 45 N X E 0 (. Karea!!( (! ( D D D D, maka dieroleh N D N D D X E 0 (.

46 Distribusi Hiergeometrik (5 Trasformasika y-, maka betuk di atas berubah mejadi y N y D N y D D X E 0 (, karea y D N y D N ( ( da TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 46!!(! N N N N N maka dieroleh y N y D N y D N D X E 0 ( ( ( Karea ejumlaha tersebut meghasilka ilai satu (sifat distribusi kemugkia, maka N D X E (.

47 Daat dibuktika bahwa E ( X ( ( D N 2 X da (X- adalah E[ X( X ] E( X E( X. Karea da E ( X Variasi. Eksektasi erkalia E ( X ( ( D D( D (, maka E [ X( X ]. N N ( N σ E ( X µ σ [ X( X ] + µ µ, hal ii berarti D( D ( ruas kaa mejadi + 2 N( N D N kembali dieroleh variasi distribusi kemugkia hiergeometrik adalah 2 V( X σ 2 N D 2 D D N N N N (utuk N yag besar hasil ii medekati q. D N E atau. Dega egatura

48 Cotoh: Sebuah dealer otomotif meerima lot berukura 0 dimaa haya 5 diataraya yag medaat emeriksaa kelegkaa. 5 kedaraa diambil secara radom. Diketahui ada 2 kedaraa dari lot berukura 0 yag tidak legka. Beraa kemugkia sekuragya ada kedaraa dari 5 kedaraa yag dieriksa teryata tidak legka? P( P( 2 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 2 8 2! 8! 4 5!! 4! 4! 0 0! ! 5! 2! 8! 3!! 3! 5! 2 0 0! 9 5 5! 5! Sehigga, P( + P(

49 X jumlah kedaraa dalam samle berukura 5 yag teryata tidak legka Distribusi Hiergeometrik N 0, D 2, 5 X P(X P(X < Probability Pemeriksaa kedaraa # kedaraa tidak legka TI23Teori Probabilitas - Bagia 3 49

50 Distribusi Multiomial Distribusi robabilitas biomial diguaka utuk sejumlah sukses dari ercobaa yag ideede, dimaa seluruh hasil (outcomes dikategorika ke dalam dua kelomok (sukses da gagal. Distribusi robabilitas multiomial diguaka utuk eetua robabilitas hasil yag dikategorika ke dalam lebih dari dua kelomok. Fugsi distribusi robabilitas multiomial:! P... (,,.., k 2 2 2! 2!... k! k k

51 CONTOH SOAL DISTRIBUSI MULTINOM: Berdasarka laora sebuah eelitia tahu 995, diatara roduk mikrorosesor etium geerasi ertama diketahui terdaat cacat yag megakibatka kesalaha dalam oerasi aritmatika. Setia mikrorosesor daat dikategorika sebagai baik, rusak da cacat (daat diguaka dega kemugkia mucul kesalaha oerasi aritmatika. Diketahui bahwa 70% mirkorosesor dikategorika baik, 25% cacat da 5% rusak. Jika sebuah samle radom berukura 20 diambil, beraa robabilitas ditemuka 5 mikrorosesor baik, 3 cacat da 2 rusak? P( 53,, 2 20! 5! 3! 2! ( 7 ( 25 ( 05

52 Distribusi Geometrik Berkaita dega ercobaa Beroulli, dimaa terdaat ercobaa ideede yag memberika hasil dalam dua kelomok (sukses da gagal, variabel radom geometric megukur jumlah ercobaa samai dieroleh sukses yag ertama kali. Fugsi distribusi robabilitas geometrik: P( q dimaa,2,3,..., da q adalah arameter (robabili tassuksesda gagal. Rata-ratada variasi distribudirobabilit asgeometrik adalah: µ σ2 q 2

53 Pada suatu daerah, P-Cola meguasai agsa asar sebesar 33.2% (badigka dega agsa asar sebesar 40.9% oleh C-Cola. Seorag mahasiswa melakuka eelitia tetag roduk cola baru da memerluka seseorag yag terbiasa memium P-Cola. Resode diambil secara radom dari emium cola. Beraa robabilitas resode ertama adalah emium P-cola, beraa robabilitas ada resode kedua, ketiga atau keemat? ( P( (. 332 ( ( 2 P( 2 (. 332 ( ( 3 P ( 3 (. 332 ( ( P( 4 (. 332 ( Probabilitas lulus mata kuliah teori robabilitas adalah 95%, beraa robabilitas ada lulus tahu ii, tahu dea da seterusya?

54 Distribusi Biomial Negatif Variabel radom biomial X, meyataka: Jumlah sukses dari ercobaa ideede Beroulli. adalah robabilitas sukses (teta utuk setia ercobaa Jika igi diketahui: Pada ercobaa keberaa ( sejumlah sukses (c daat dicaai dalam ercobaa Beroulli.

55 Pertimbagka sebuah roses iseksi utuk meemuka roduk cacat (kategori sukses dega robabilitas 0.. Batas sebuah eolaka sebuah lot adalah jika ditemuka 4 buah cacat (D. Ditemuka bahwa sebuah lot ditolak setelah dilakuka iseksi ada 0 roduk. Sebuah kemugkia adalah DDDGGGGGGD. Dega teori multilikasi, robabilitas uruta tersebut adalah (0. 4 ( Karea 0 ercobaa tersebut ideede, taa memerhatika uruta, robabilitas dieroleh 4 cacat dari 0 ercobaa adalah (0. 4 (0.9 6.

56 Karea kriteria eolaka adalah ditemukaya 4 roduk cacat, maka osisi ke- adalah asti roduk cacat. Sehigga jumlah uruta yag mugki adalah kombiasi 3 dari 9,. Probabilitas dierluka 0 ercobaa utuk meghasilka 4 sukses adalah: 99 3 Distribusi robabilitas egatif biomial: 9! 3!6! ( 0. 4 ( c c ( c, dimaa c, c +, c + 2,...

57 Perhatika distribusi kumulatif: r c r c ( ( r c c r c dimaa ruas kaa adalah: yag daat dieroleh dari distribusi kumulatif biomial ; ; ( ( c- 0 r B c r r

58 Proses & Distribusi Poisso Percobaa beroulli meghasilka variabel radom X yag berilai umerik, yaitu jumlah sukses yag terjadi. Jika egamata dilakuka ada ada suatu retag iterval waktu, maka daat diamati bahwa variabel radom X adalah terjadiya sukses selama waktu tertetu. Jika erhatia ditujuka ada kejadia sukses yag mucul (lahir ada suatu retag yag kecil, maka terjadi sebuah roses kelahira (birth atau arrival rocess atau dikeal sebagai roses Poisso (Poisso rocess.

59 Sifat-sifat Proses Poisso: Jumlah sukses yag terjadi dalam suatu selag waktu (atau daerah tertetu tidak diegaruhi (ideedet terhada kejadia ada selag waktu atau daerah yag lai. Kemugkia terjadiya suatu sukses (tuggal dalam iterval waktu yag edek ( t medekati ol sebadig dega ajag iterval da tidak tergatug ada bayakya sukses yag terjadi di luar iterval tersebut. Kemugkia terjadiya lebih dari satu sukses dalam iterval waktu yag edek daat diabaika.

60 Distribusi Probabilitas Poisso Distribusi robabilitas Poisso bermafaat dalam eetua robabilitas dari sejumlah kemucula ada retag waktu atau luas/volume tertetu. Variabel radom Poisso meghitug kemucula ada iterval waktu yag kotiyu Fugsi distribusi robabilitas Poisso : P ( α e! α utuk,2,3,... dimaa α adalah rata-rata distribusi (yag juga meruaka variasi da e adalah bilaga logaritmik atural (e

61 Fugsi distribusi oisso daat dituruka dega memerhatika asumsi-asumsi berikut: Jumlah kedataga ada iterval yag tidak salig tumag tidih (ooverlaig iterval adalah variabel radom ideede. Ada ilai arameter λ ositif sehigga dalam sebuah iterval waktu yag kecil t aka dieroleh : i Kemugkia bahwa terjadi teat satu kedataga ada iterval waktu t adalah ( λ t. ii Kemugkia bahwa terjadi teat ol kedataga ada iterval waktu t adalah ( λ t.

62 Perhatika osisi da retag waktu berikut: 0 t t + t Utuk suatu titik waktu t yag teta (fied, kemugkia terjadi ol kedataga diformulasika sebagai berikut : 0 ( t + t [ λ t] 0 ( t. Dega melakuka eyusua ( t + t 0 0 kembali aka dieroleh 0 ( t. Jika iterval t waktu sagat kecil ( t medekati ol, maka daat diguaka ( t + t t 0 0 ' diferesial berikut : lim 0( t λ0 ( t ( t ( t t 0. λ

63 Hal yag sama daat dilakuka jika terdaat kedataga > 0, sehigga daat diformulasika kemugkia berikut [ ] ( ( ( t t t t t t + + λ λ. Dega melakuka eyusua kembali aka dieroleh. ( ( ( ( t t t t t t + λ λ Jika iterval waktu sagat kecil ( t medekati ol, maka daat diguaka diferesial berikut : ( ( ( ( ( lim ' 0 t t t t t t t t λ λ +.

64 Dari dua ersamaa diferesial yag dieroleh (utuk ol kedataga da ada kedataga 0 >, dieroleh solusi berikut! / ( ( ( e t t t λ λ. Karea titik waktu t adalah teta (fied, maka daat diguaka otasi t λ α, sehigga distribusi robabilitas oisso yag dieroleh adalah: laiya 0 0,,2,!, / ( ( K e α α Parameter emusata da eyebara adalah: 0! ( e X E α α α da ( 2 2! ( α α α e X V α.

65 CONTOH SOAL PROBABILITAS POISSON: Perusahaa teleo memberika 000 iliha esawat teleo (sebagai kombiasi wara, tye, fugsi, dll. Sebuah erusahaa membuka cabag baru da tersedia 200 sambuga telo dimaa setia karyawa boleh memilih esawat teleo sesuka hatiya. Asumsika bahwa ke- 000 iliha tersebut adalah equally likely. Beraa robabilitas bahwa sebuah iliha tidak diilih, diilih oleh seorag, dua orag atau tiga orag karyawa? 200 ; / ; α (200( e P( 0 0!. 2 e P(!. 2 e P( 2 2!. 2 e P( 3 3!

66 CONTOH SOAL 2 PROBABILITAS POISSON: Rata-rata egirima baha baku ke suatu abrik adalah 0 truk da fasilitas bogkar haya mamu meerima alig bayak 5 truk er hari. Pemasok megika agar truk asokaya daat dibogkar ada hari yag sama. Suatu hari, emasok megirimka sebuah truk ke abrik tersebut, beraa kemugkia truk tersebut harus bermalam karea tidak daat dibogkar? X adalah variabel radom bayakya truk baha baku yag tiba setia hari. Dega distribusi Poisso, kemugkia sebuah truk harus bermalam adalah P ( X > 5 P( X 5 ( ; (dari tabel, maka kemugkia sebuah truk harus bermalam karea tidak daat dibogkar adalah

67 X jumlah karyawa yag memilih esawat teleo tertetu Poisso Distributio mea 0.2 X P(X P(X < Probability Pesawat Teleo # jumlah karyawa yag memilih esawat telo tertetu

68 µ.0 µ P( 0.2 P( X X µ 4 µ P( 0. P( X X

69 Pedekata Biomial - Poisso Pada distribusi robabilitas biomial, jika sagat besar da kecil, maka erhituga kemugkiaya sulit dilakuka. Pada kodisi tersebut, erhituga ilai kemugkia utuk variabel radom biomial daat didekati dega erhituga (atau tabulasi ada distribusi oisso. Teorema : Jika X adalah variabel radom biomial dega distribusi kemugkia b(;,, da jika bila ukura samel ilai roorsi sukses 0, da diguaka edekata µ, maka ilai ( ;, ( ; µ b.,

70 Bukti : Fugsi distribusi kemugkia biomial daat ditulis sebagai berikut q b, ; ( (!!(! + (!...( (. Jika dilakuka trasformasi / µ maka dieroleh b + µ µ...( (, ; (,... b!, ; (,... da dari defiisi bilaga atural e, dieroleh hubuga berikut µ µ µ µ + e / / ( lim lim. Dega memerhatika syarat limit di atas daat dieroleh,!, ; ( e b µ µ dimaa 0,, 2, yaitu sebuah distribusi oisso utuk α µ (rata-rata jumlah suksesrata-rata kedataga.

71 Cotoh Besarya kemugkia ditemuka cacat ada hasil egelasa titik adalah Pada sebuah roduk hasil rakita terdaat 4000 titik egelasa, beraa kemugkia ditemuka lebih dari 6 cacat ada sebuah roduk hasil rakita? Variabel radom X (biomial meyataka jumlah cacat ada hasil rakita, maka kemugkia ditemuka lebih dari 6 cacat tersebut adalah P ( X Perhituga ii sulit dilakuka sehigga didekati dega erhituga utuk fugsi distribusi kemugkia Poisso (dimaa arameter adalah 4 α sebagai berikut P ( X 6 e 4 /! , maka kemugkia ditemuka lebih dari 6 cacat adalah

72 Cotoh Sebuah roses meghasilka barag-barag dari lastik yag serig kali memiliki gelembug atau cacat. Diketahui bahwa rata-rata terdaat dari 000 barag yag dihasilka memuyai satu atau lebih cacat. Beraa kemugkia bahwa dari samel acak berjumlah 8000 roduk lastik aka terdaat 7 roduk yag memiliki cacat gelembug? Pada dasarya, kasus roduk lastik cacat ii megikuti distribusi biomial dega 8000 da 0,00. Karea sagat kecil da medekati ol serta sagat besar, maka erhituga ilai kemugkia daat didekati dega distribusi Poisso dega dimaa µ (8000(0,008, sehigga kemugkia bahwa dari samel acak berjumlah 8000 roduk lastik aka terdaat 7 roduk yag memiliki cacat daat dihitug sebagai berikut P( X < b( ;8000,0, ( ;8 0,334.

73 Distribusi Probabilitas Uiform Distribusi robabilitas diskrit uiform berkaita dega variabel radom dimaa semua ilaiya memiliki kemugkia yag sama. Defiisi Jika variabel radom X memiliki ilai, 2,, k, dega kemugkia terjadi yag sama maka dikataka bahwa variabel radom X megikuti distribusi uiform diskrit dega fugsi distribusi kemugkia sebagai berikut k k f ; (, dimaa, 2,, k Parameter emusata da eyebara adalah sebagai berikut : k X E k i i ( µ da k k k X V k i i k i i k i i ( ( µ σ.

74 Distribusi Biom Suatu ekserime, atau setia usaha dega dua kemugkia hasil sukses atau gagal. Ekserime semacam ii diamaka ekserime beroulli, aabila robabilitas sukses ada setia ekserime teta, misalya, maka bayakya sukses dalam ekserime Beroulli berdistribusi Biomial ( (, (- -

75 Persyarata suatu ercobaa biomial. Percobaa/ekserime terdiri dari yag berulag 2. Setia usaha memberika hasil yag daat ditetuka dega sukses atau gagal 3. Probabilitas sukses, diyataka dega, tidak berubah dari usaha yag satu ke usaha yag berikutya 4. Tia usaha bebas dega usaha yag laiya.

76 cotoh : Melemarka uag logam tiga kali, lemara sukses bila dieroleh satu kali bagia belakag uag yag mucul S {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM} ( (, (- - P(B!/ B!(-B!. P B. (-P -b P (B (3.2./(.(2..(/2(/ ½. ¼ 3/8

77 3 f ( 0,,2,3 8 X variabel acak BINOM Nilai distribusi Biom diyataka dega b(:, cotoh sebuah koi dilemar 3 kali : 3, b 0,,2,3 P eluag sukses q eluag gagal N bayak lemara atau bayakya koi sekali lemar sukses - gagal

78 Umum ( q b, : 0,,2,3,, Cotoh: Tetuka eluag utuk medaatka mucul agka 2 sebayak 3 kali dari sebuah dadu yag dilemarka 5 kali!!! ( q b, : 0, !2! 5! : 5, b solusi

79 Besara-besara utuk distribusi Biom Rerata µ N Varias 2 σ Nq Stadar Deviasi Koefisie Kemiriga Mome Koefisie Kurtosis Mome σ a a 3 4 Nq q Nq 6 q 3+ Nq

80 Distribusi Multiom Percobaa medaatka kejadia sebayak k: E, E 2,.,E k Peluag masig-masig, 2,., k f 2 k (,,..., ;,,...,,... 2 k 2 k, 2,..., k 2 k dega k i i da k i i

81 Cotoh: Seasag dadu dilemar 6 kali. Tetuka eluag utuk medaatka: a. Jumlah 7 da b. Agka yag sama satu kali c. Kombiasi laiya 3 kali Solusi a. E: total 7 da b. E 2 : sekali berasaga c. E 3 : tidak berasaga juga tidak berjumlah 7 atau

82 Distribusi Hiergeometrik Cotoh-: Kartu Bridge : 52 kartu Hitam Club da sade 26 Merah Diamod da HEart 26 Bayak cara megambil 3 kartu merah dari 26 kartu merah Bayak cara megambil 2 kartu hitam dari 26 kartu hitam Bayak cara megambil 5 kartu merah atau hitam taa dikembalika Peluag megambil 5 kartu (3 merah & 2 hitam taa dikembalika ! 26! 3!(26 3! 2!(26 2! 52! 5!(52 5! 26! 3!23! 26! 2!24! 52! 5!47! 0,

83 Umum Sukses dari k sukses (N- gagal dari (N-k Bilaga yag meujukka X sukses dalam ekserime Hyergeometrik disebut variabel acak Hyergeometrik. Distribusi eluag hiergeometrik diyataka dega h(;n,,k bergatug ada bayakya sukses k Karakteristik ercobaa hiergeometrik: ( Samel acak berukura diseleksi dari oulasi berukura N (2 K dari N diklasifikasika sebagai SUKSES da (N-k GAGAL

84 SEKIAN... TERIMA KASIH...