Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 Vektor Kendal Permanan Dnams LQ Non-Kooperatf Wakt ak Berhngga Nlwan Andraja UIN Sltan Syarf Kasm Ra Pekanbar Jl. H.R Soebrantas No 55 Km. 8 telp : 76-8359937 e-mal: nlwanandraja@n-sska.ac.d Abstrak Pada tlsan n dbahas mengena membentk vektor kendal krtera Nash pada kass permanan dnams lner kadratk non-kooperatf da peman wakt tak berhngga. Pembahasan dawal dar persamaan mm ntk permanan dnams non-koopertaf N peman ntk wakt berhngga beberapa asms. Kemdan asms yang sama dbentk persamaan ntk pemanan dnams non-kooperatf da peman ntk wakt tak berhngga. Kemdan dbentk persamaan aljabar Rccat yang sesa persamaan dferensal dan fngs objektf ntk peman pertama dan ntk peman keda yang dgnakan ntk memperoleh vektor kendal Nash. Akhrnya danalsa kestablan fngs dnamk berdasarkan vektor kendal peman pertama dan vektor kendal peman keda yang dperoleh. Kata knc: permanan lner kadratk non-kooperatf kendal Abstract In ths paper dscss abot control vector wth Nash crteron n lner qadratc non-cooperatve dynamc game two player case wth nfnte tme. Dscss was started from general eqatons for noncooperatve dynamc game N player for nfnte tme wth several assmpton. hen wth same assmpton to made general eqaton for non-cooperatve dynamc game two player for nfnte tme. Based on dfferental eqaton and objectve fncton for each player algebrac Rccat eqaton was formed for frst player and second player to made control vector wth Nash crteron. nally control vector wth Nash for frst player and second player sed to analyss abot stablty of dynamc fncton. Keywords: game lnear qadratc non-cooperatve control. Introdcton eor Permanan dnams telah banyak dgnakan dalam berbaga bdang sepert bdang ekonom bdang poltk bdang ekolog dan bdang kehdpan lannya. Permanan dalam matematka merpakan sat nteraks mnmal oleh da peman yang terdapat sebah sstem dnamk permanan masng-masng peman memlk fngs objektf. Sebah permanan dkatakan permanan dnams jka strateg yang dambl oleh seorang peman dlakkan mempertmbangkan strateg peman lan. Permanan dnams yang dkaj d peneltan n adalah permanan dnams nonkooperatf kontn mpan balk Nash da peman wakt tak berhngga. Hal yang menark dalam permanan dnams non-kooperatf bahwa ntk mencapa sat tjan masng-masng peman akan salng berkompets. Agar tjan yang dngnkan tercapa bak maka dapat dpaham dalam berkompets tent masng-masng peman tdak salng bekerjasama (non-kooperatf). Pada permanan dnams non-kooperatf kontn mpan balk Nash para peman akan mengoptmalkan dalam art Nash fngs objektf ntk mengoptmalkan fngs objektf maka para peman memerlkan strateg sehngga strateg tersebt hasl fngs objektf yang dperoleh oleh seorang peman tdak akan lebh brk dar pada hasl yang dperoleh oleh peman lan. Mencar strateg yang mengoptmalkan fngs objektf dalam art Nash dapat dbawa menjad mencar penyelesaan persamaan dferensal Rccat. Beberapa peneltan yang telah dlakkan dantaranya mengena teor permanan salah satnya yang djelaskan oleh Jacob Engwerda () yang menjelaskan tentang ttk eklbrm permanan dnams non-kooperatf wakt tak hngga namn tdak 76
Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 menjelaskan tentang kestablan ntk masng-masng peman dan Weeren (999) yang menjelaskan ttk eklbrm persoalan permanan dnams non-kooperatf wakt tak hngga kass non skalar dan skalar. Berdasarkan raan tersebt maka dalam peneltan n yang akan dbahas adalah vektor kendal mpan balk Nash permanan dnams lner kadratk da peman non-kooperatf wakt tak berhngga.. Metode Peneltan Peneltan n menggnakan std lteratr dan langkah-langkah yang dlakkan pada peneltan n adalah sebaga berkt :. Membentkan persamaan dferensal dnamk permanan non-kooperatf da peman berdasarkan persamaan mm x() x x( t) Ax( t) B ( t) B ( t) BN N( t). Membentk fngs tjan peman pertama dan peman keda ntk wakt tak berhngga berdasarkan persamaan mm fngs tjan yat x x x j j j J ( ) { ( t) Q ( t) ( t) R ( t) ( t) R ( t)} dt j Dengan dpenh J( x ) lm J( x ) Kemdan ddefnskan S B R B dan S B R R R B ntk j j j. Membentk persamaan aljabar Rccat ntk peman pertama dan peman keda berdasarkan langkah dan. 3. Membentk vektor kendal Nash ntk peman pertama dan peman keda berdasarkan sols persamaan aljabar Rccat d langkah. 4. Analsa kestablan permanan dnams non-kooperatf ntk wakt tak berhngga berdasarkan vektor kendal yang dperoleh dar langkah 3.. 3. Hasl dan Pembahasan 3.. Permanan Dnams Non-Kooperatf Untk Wakt ak Berhngga Pembahasan mengena kass permanan dnams non-kooperatf ntk wakt tak berhngga dawal ddefnskan persamaan dferensal dnamk permanan ntk da peman yat x( t) Ax( t) B ( t) B ( t) x() x () peman pertama dan peman keda akan memnmalkan dalam art Nash fngs objektf yat J ( x ) { x ( t) Q x( t) ( t) R ( t) ( t) R ( t)} dt j () j j j Dketah bahwa fngs tjan () ntk keda peman maka persamaan () memenh. Selanjtnya pada bagan n dbahas ntk kass wakt tak berhngga maka fngs tjan memenh krtera J( x ) lm J( x ). Matrks-matrks pada fngs tjan permanan pada persamaan () memenh asms keda matrks Q dan matrks R 77
Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 adalah matrks smetrs dan ntk matrks R memenh matrks postf defnt ntk. Pada pembahasan n dasmskan jga bahwa ( A[ B B]) dapat dstablkan. Selanjtnya setap peman akan memberkan vektor kendal ( t) ( t) x ( t) t R B K t ntk kepada persamaan dferensal dnamk pada ( ) ( ) persamaan (). Vektor kendal yang akan dberkan sebaga berkt vektor kendal peman pertama ( t) ( t) x ( t) ( t) R B K ( t) vektor kendal peman keda ( t) ( t) x ( t) ( t) R B K ( t). Sementara t dketah bahwa model permanan pada peneltan n merpakan permanan mpan balk. Oleh karena t peman pertama akan mengetah vektor kendal yang dberkan oleh peman keda. Jka peman pertama mengetah vektor kendal peman keda yat x maka ( t) ( t) x ( t) () t R B K sehngga jka x. Selanjtnya dketah sstem dnamk x Ax B B maka sstem dnamk setelah dber kendal mpan balk adalah x ( A SK) x B fngs tjan yang akan dmnmalkan peman pertama yat x() x (3) x = x x + + J ( ) { Q R R } dt x = x + x+ (4) J ( ) { ( Q R ) R } dt Dengan melhat persamaan (3) dan (4) maka persoalan n dapat dpandang sebaga masalah sat peman. Maka dapat dbentk persamaan aljabar Rccat sebaga berkt A K K A K B R B K Q ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K (5) persamaan alajabar Rccat (5) memlk sols K maka dperoleh vektor kendal peman pertama yat R B K x. 78
Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 Selanjtnya ntk kass peman keda vektor kendal Nash dapat dperoleh terlebh dahl dketah bahwa =-R B K sehngga - sstem dnamk ntk kass peman keda menjad x maka x ( A SK) x B fngs tjan yang akan dmnmalkan peman keda yat x. Maka x() x (6) x = x x+ + J ( ) { Q R R } dt x = x + x+ (7) J ( ) { ( Q R ) R } dt melhat persamaan (6) dan (7) maka dapat dberkan persamaan aljabar Rccat sebaga berkt A K K A K B R B K Q ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K (8) persamaan (8) memlk sols K maka dapat dperoleh vektor kendal ntk peman keda yat x. 3.. Analsa Kestablan Permanan Dnams Non-Kooperatf Untk Wakt ak Berhngga Berdasarkan pembahasan pada bagan 3. dketah vektor kendal ntk peman pertama yat x dketah vektor kendal peman keda yat berkt x. Maka kestablan persamaan dferensal dnamk ntk peman pertama sebaga x Ax B B x Ax B ( R B K ) x B x ( A B S K ) x (9) Sehngga A B S K menjad stabl. Sementara t ntk peman keda dketah bahwa vektor kendal peman keda yat x dketah vektor kendal pertama yat x. Sehngga kestablan persmaan dferensal dnamk ntk peman keda yat x Ax B B x Ax B ( R B K ) x B x ( A B S K ) x () Sehngga A B S K menjad stabl. 79
Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 Selanjtnya mensbsttskan R B K K B R dan R B K K B R ke sstem persamaan (9) dan () maka dapat dperoleh persamaan aljabar Rccat sebaga berkt Dan ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K () ( A S K ) K K ( A S K ) K S K Q K S K () Dapat dlhat bahwa persamaan (5) dan (8) sama persamaan () dan (). Sehngga persamaan () dan () akan memlk sols K dan K Selanjtnya dketah Ax B ( R B K ) x B x ( A B S K ) x mensbsttskan R B K dperoleh Ax B ( R B K ) x B x ( A B ( R B K ) S K ) x ( A S K S K ) x Kemdan dketah Ax B x B ( R B K ) x ( A B S K ) x mensbsttskan dperoleh Ax B x B ( R B K ) x ( A B ( R B K ) S K ) x ( A S K S K ) x Karena ( A[ B B ]) dapat dstablkan maka persamaan dferensal dnamk () vektor kendal peman pertama x dan vektor kendal peman keda x maka dapat dperoleh A S K x S K x x Ax B R B Kx B R B Kx = ( A S K S K ) x = Sehngga matrks A SK SK stabl. 4. Kesmplan Berdasarkan raan pada hasl dan pembahasan yang telah dberkan maka dperoleh kesmplan bahwa berdasarkan persamaan dferensal sstem dnamk permanan nonkooperatf dperoleh persamaan ntk da peman yat x( t) Ax( t) B ( t) B ( t) x() x masng-masng peman memnmalkan fngs objektf x x x j j j J ( ) = { ( t) Q ( t) + ( t) R ( t) + ( t) R ( t)} dt j ¹ = 8
Semnar Nasonal eknolog Informas Komnkas dan Indstr (SNIKI) 8 ISSN : 85-99 Pekanbar 9 November 6 dapat dperoleh vektor kendal ntk peman pertama yat peman keda yat menstablkan sstem x( t) Ax( t) B ( t) B ( t). x dan ntk x. Vektor-vektor kendal dar keda peman tersebt dapat Referens Jrnal: [] Engwerda J. eedback Nash eqlbra n the scalar nfnte horzon LQ-game. Atomatca. ; 36 : 35-39. [] Weeren AJM Schmacher JM Engwerda J. Asymptotc analyss of lnear feedback Nash eqlbra n nonzero-sm lnear-qadratc dfferental games. Jornal of Optmzaton heory and Applcatons.999: : p693 73. exbooks: []. Basar. Dynamc noncooperatve game theory. Phladelpha: SIAM. 999. [] Bellman R. Introdcton to Matrx Analyss. Phladelpha: SIAM. 997 [3] Engwerda J. LQ Dynamc Optmzaton and Dfferental Games. Chchester: John Wley & Sons. 5. [4] Lews L. Appled Optmal Control and Estmaton. New Jersey: Prentce-Hall Inc. 99. [5] Olsder GJ. Mathematcal System heory. Delft: Unversty of echnology. 994. [6] Perko L. Dfferental Eqatons and Dynamcal System. New York: Sprnger-Verlag. 99. 8