KTSP & K-3 matemata K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PENYEBARAN DATA Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, amu dharapa meml emampua berut.. Memaham defs uura peyebara data da jes-jesya.. Dapat meetua jagaua data. 3. Dapat meetua smpaga uartl data. 4. Dapat meetua smpaga rata-rata data. 5. Dapat meetua smpaga bau da varas data. A. Pedahulua Dua elompo data yag meml rata-rata yag sama, meda yag sama, baha modus yag sama, belum tetu la setap dataya sama. Perhata lustras berut.
Dua elompo pema baset d atas meml rata-rata, meda, da modus yag sama, yatu masg-masg 73,8 cm, 75 cm, da 75 cm. Aa tetap, tgg bada elompo edua lebh bervaras dbadga elompo pertama. Uura data uattatf yag meujua seberapa besar varas suatu data damaa dega uura peyebara data. Salah satu jes uura peyebara data adalah jagaua. Jagaua ddefsa sebaga selsh atara data terbesar da data terecl. Ja ta badga jagaua elompo pertama da elompo edua, maa jagaua elompo pertama (7 cm) lebh ecl dbadga dega jagaua elompo edua (7 cm). Hal meujua bahwa jagaua dapat dguaa utu megetahu tgat varas data. Sema besar jagauaya, sema tgg varas dataya. Uura-uura peyebara data yag aa dbahas pada ses adalah jagaua, smpaga uartl, smpaga rata-rata, smpaga bau, da varas. B. Jagaua (Rage) Jagaua ddefsa sebaga selsh atara data terbesar da data terecl dar suatu umpula data uattatf. Secara matemats, jagaua drumusa sebaga berut. J xmas x m Keteraga: J jagaua data; x mas data terbesar; da x m data terecl. Cotoh Soal Tetua jagaua dar data berut., 45, 3, 43, 67, 84,, 90 Pembahasa: Detahu: x mas 90 x m Dega dema, jagaua dar data tersebut adalah sebaga berut. J 90 79 Jad, jagaua dar data tersebut adalah 79. Jagaua sagat mudah dhtug area haya melbata dua data saja, yatu data
terbesar da data terecl. Oleh area tu, jagaua tda dapat dadala utu megetahu tgat sebara data. C. Smpaga Kuartl Smpaga uartl adalah jes la dar uura peyebara data yag dotasa dega Q d. Smpaga uartl dapat dhtug dega cara meghlaga la-la yag terleta d bawah uartl pertama da d atas uartl etga. Secara matemats, smpaga uartl drumusa sebaga berut. ( ) Q d Q Q 3 Keteraga: Q d smpaga uartl; Q 3 uartl etga; da Q uartl pertama. Cotoh Soal Perhata data hasl us dua sswa berut. Kus 3 4 5 6 7 8 9 0 Nla Sswa A 0 0 0 0 0 30 30 30 30 50 Nla Sswa B 4 5 6 7 8 8 4 30 5 Data dua sswa d atas sama-sama meml jagaua 49. Coba aalss sebara data dega melhat smpaga uartl dar masg-masg data tersebut. Pembahasa: Oleh area bayaya data ada, maa: Kuartl pertama adalah data e- 4 + ( ) atau data e-3. Utu sswa A, la uartl pertamaya adalah 0, sedaga utu sswa B, la uartl pertamaya adalah 5. Kuartl etga adalah data e- 3 4 + ( ) atau data e-9. Utu sswa A, la uartl etgaya adalah 30, sedaga utu sswa B, la uartl etgaya adalah 4. 3
Kus 3 4 5 6 7 8 9 0 Nla Sswa A 0 0 0 0 0 30 30 30 30 50 Nla Sswa B 4 5 6 7 8 8 4 30 5 Dega dema, la smpaga uartl utu sswa A adalah sebaga berut. Q da ( 30 0) 5 Semetara tu, la smpaga uartl utu sswa B adalah sebaga berut. Q db ( ) 4 5 9, 5 Oleh area la smpaga uartl sswa B lebh besar darpada sswa A, maa la sswa B lebh bervaras darpada sswa A. Dega ata la, la sswa A lebh stabl darpada sswa B. Cotoh Soal 3 Badga besara varas data berat bada dar dua elompo data berut dega megguaa smpaga uartl. Kelompo Berat Bada Freues 30 35 4 36 4 0 4 47 5 48 53 3 54 59 60 65 66 7 4
Kelompo Berat Bada Freues 30 35 6 36 4 8 4 47 48 53 34 54 59 4 60 65 66 7 Pembahasa: Mecar la smpaga uartl elompo : Oleh area bayaya data elompo ada 68 orag, maa: Kuartl pertama terleta pada elas yag megadug data uruta e- 68 7 4, yatu elas e-3. Berat Bada Freues 30 35 4 36 4 0 4 47 5 48 53 3 54 59 60 65 66 7 Dar data tersebut, detahu: Tb 4 05, 4, 5 I 36 30 6 fum 4 f 5 Q 5
Dega dema, dperoleh: 4 f um Q Tb + I f Q 4. 68 4 Q 4, 5 + 6 5 Q 4, 5 +, Q 4, 7 Kuartl etga adalah elas yag megadug data uruta e- 3 68 5, yatu elas e-5. 4 Berat Bada Freues 30 35 4 36 4 0 4 47 5 48 53 3 54 59 60 65 66 7 f um 4 + 0 + 5 + 3 4 T b 54 0,5 53,5 Dega dema, dperoleh: 3 4 f um Q3 Tb + I f Q3 3 4. 68 4 Q3 53, 5 + 6 Q 53, 5 + 45, 3 Q 58 3 6
Oleh area la Q 4,7 da Q 3 58, maa besar smpaga uartlya adalah sebaga berut. Q Q Q d d d Q3 Q 58 4, 7 765, Mecar smpaga uartl elompo : Oleh area baya data elompo ada 68 orag, maa: Kuartl pertama adalah elas yag megadug data uruta e- 4 e-3. Berat Bada Freues 30 35 6 36 4 8 4 47 f Q 48 53 34 54 59 4 60 65 66 7 68 7, yatu elas f um 6 + 8 4 T b 4 0,5 4,5 Dega dema, dperoleh: 4 f um Q Tb + I f Q 4. 68 4 Q 4, 5 + 6 Q 43 7
Kuartl etga adalah elas yag megadug data uruta e- 3 68 5, yatu elas e-4. 4 Berat Bada Freues 30 35 6 36 4 8 4 47 48 53 34 f Q3 54 59 4 60 65 66 7 f um 6 + 8 + 6 T b 48 0,5 47,5 Dega dema, dperoleh: 3 4 f um Q3 Tb + I f Q3 3 4. 68 6 Q3 47, 5 + 6 34 Q 5, 9 3 Oleh area la Q 43 da Q 3 5,9, maa besar smpaga uartlya adalah sebaga berut. Q Q Q d d d Q3 Q 5, 9 43 445, Oleh area la smpaga uartl elompo lebh besar darpada elompo, maa dapat detahu bahwa data elompo lebh bervaras dbadga data elompo. 8
D. Smpaga Rata-Rata Rage da smpaga uartl yag haya dtetua oleh dua data saja belum cuup utu meggambara sebara data secara eseluruha. Salah satu uura peyebara data yag melbata semua data adalah smpaga rata-rata yag dotasa dega SR. Smpaga rata-rata meyataa peympaga setap la pada sampel dar ratarataya.. Data Tuggal Smpaga rata-rata utu data tuggal dapat dtetua dega lagah-lagah berut. Lagah. Tetua baya data (). Lagah. Tetua rata-rata dar data ( x ). Lagah 3. Tetua smpaga rata-rata dega rumus berut. SR x x Keteraga: SR smpaga rata-rata; x la data e-; x rata-rata data; da bayaya data. Cotoh Soal 4 Tetua smpaga rata-rata dar data berut. 3, 6, 4, 7, 8,, 6, 7, 8, 9 Pembahasa: Lagah. Tetua baya data (). Bayaya data ada 0, sehgga 0. Lagah. Tetua rata-rata dar data ( x ). Rata-rata data: 3 x + 6 + 4 + 7 + 8 + + 6 + 7 + 8 + 9 60 6 0 0 9
Lagah 3. Tetua smpaga rata-rata dega rumus berut. Smpaga rata-rata: x x SR 3 SR 6 + 6 6 + 4 6 + 7 6 + 8 6 + 6 + 6 6 + 7 6 + 8 6 + 9 6 0 3+ 0+ + + + 4+ 0+ + + 3 SR 0 SR 8, Utu lebh sgatya, dapat dtulsa dalam betu tabel berut. Data 3 6 4 7 8 6 7 8 9 x 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 x x selsh 3 0 4 0 3 3+ 0+ + + + 4+ 0+ + + 3 SR 8, 0 Jad, smpaga rata-rata dar data tersebut adalah,8.. Data dalam Betu Tabel Freues Smpaga rata-rata utu data dalam betu tabel freues dapat dtetua dega lagah-lagah berut. Lagah. Tetua rata-rata dar data ( x ). Lagah. Tetua smpaga rata-rata dega rumus berut. SR f x x Keteraga: SR smpaga rata-rata; f freues elas e-; f 0
bayaya elas; x la data e-; da x rata-rata data. Cotoh Soal 5 Tetua smpaga rata-rata dar tabel la matemata berut. Nla 3 4 5 6 7 8 9 0 Freues 5 6 5 7 0 3 Pembahasa: Lagah. Tetua rata-rata dar data x ( ). Rata-rata data: x fx f + + 3 5 + 4 6 + 55 + 6 7 + 7 0 + 8 + 9 3+ 0 + + 5+ 6+ 5 + 7 + 0 + + 3+ 486 8 6 Lagah. Tetua smpaga rata-rataya. Agar lebh sgat, guaa tabel sepert berut. x 3 4 5 6 7 8 9 0 f 5 6 5 7 0 3 f 8 x 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 x x 5 4 3 0 3 4 f x x 5 8 5 5 0 0 9 4 f x x 0
Dega dema, smpaga rata-rataya adalah sebaga berut. SR f x x 0 8, 358 f Jad, smpaga rata-rata dar tabel la matemata tersebut adalah,358. 3. Data dalam Betu Iterval Smpaga rata-rata utu data dalam betu terval dapat dtetua dega lagahlagah berut. Lagah. Tetua la tegah x dar tap elas. Lagah. Tetua rata-rata dar data berterval tersebut. Lagah 3. Tetua smpaga rata-rata dega rumus berut. SR f x x f Keteraga: SR smpaga rata-rata; f freues elas e-; bayaya elas; x la tegah elas e-; da x rata-rata data.
Cotoh Soal 6 Tabel-tabel berut meujua sebara usa para peerja d perusahaa A da B. Data sebara usa peerja d perusahaa A: Usa Freues 0 9 0 30 39 34 40 49 6 50 59 0 Data sebara usa peerja d perusahaa B: Usa Freues 0 9 5 30 39 5 40 49 9 50 59 5 Tetua smpaga rata-rata usa peerja dar edua tabel tersebut. Pembahasa: Smpaga rata-rata dapat dtetua dega batua tabel sepert berut. Perusahaa A: Usa f x f x x x x f x x 0 9 0 4,5 490 36,5 40 30 39 34 34,5 73 36,5 68 40 49 6 44,5 7 36,5 8 8 50 59 0 54,5 545 36,5 8 80 Jumlah f 80 fx. 90 f x x 66 Rata-ratadata: fx. 90 x 36, 5 80 f 3
Dega dema, smpaga rata-rataya dapat dtetua sebaga berut. SR f x x f 66 80 77, Jad, smpaga rata-rata dar perusahaa A adalah 7,7. Perusahaa B: Usa f x f x x x x f x x 0 9 5 4,5 367,5 35 0,5 57,5 30 39 5 34,5 759,5 35 0,5 5,5 40 49 9 44,5 400,5 35 9,5 85,5 50 59 5 54,5 7,5 35 9,5 97,5 Jumlah f 80 fx. 800 f x x 366 Rata-ratadata: fx. 800 x 35 80 f Dega dema, smpaga rata-rataya dapat dtetua sebaga berut. SR f x x f 366 80 4, 575 Jad, smpaga rata-rata dar perusahaa B adalah 4,575. Oleh area smpaga rata-rata perusahaa B lebh ecl dar perusahaa A, maa dapat detahu bahwa perusahaa B meml sebara data yag lebh ecl dar perusahaa A. Dega ata la, perusahaa A meml usa peerja yag lebh beragam darpada perusahaa B. 4
E. Smpaga Bau da Varas Dega megguaa smpaga rata-rata, hasl pegamata peyebara sebearya sudah memperhtuga seluruh la yag ada pada data. Namu dema, area dalam peghtuga megguaa la absolut, maa ta tda dapat megetahu arah peyebara dataya. Perhata asus berut. Kasus : 3, 3,, dega rata-rata 7 Ja dhtug smpaga rata-rataya,aa ddapata SR 4. Kasus :, 4, 9, 3 dega rata-rata 7 Ja dhtug smpaga rata-rataya, aa ddapata SR 4. Kedua asus tersebut meml smpaga rata-rata yag sama, aa tetap tampa bahwa data pada asus lebh meyebar. Kelemaha dar smpaga rata-rata dapat datas dega megguaa smpaga bau. Smpaga bau (stadard devato) merupaa uura peyebara data yag palg telt. Uura pertama al deala oleh Karl Pearso. Smpaga bau juga merupaa uura peyebara yag palg baya dguaa utu meetua batas ormal da tda ormal pada suatu data. Smpaga bau adalah aar dar varas.. Data Tuggal Varas atau ragam data tuggal drumusa sebaga berut. σ ( ) x x Dega dema, rumus smpaga bauya adalah sebaga berut. σ ( x x) Keteraga: σ varas; σ smpaga bau; x la data e-; x rata-rata data; da bayaya data. 5
Ja ta erjaa dua asus tersebut dega megguaa smpaga bau, maa dperoleh: Kasus : 3, 3,, dega rata-rata 7 Varas: ( 3 7) + ( 3 7) + ( 7) + ( 7) σ 6 + 6 + 6 + 6 4 Smpaga bau: σ 6 4 4 6 Kasus :, 4, 9, 3 dega rata-rata 7 Varas: ( 7) + ( 4 7) + ( 9 7) + 3 7 σ 4 5 + 9+ 4+ 36 8, 5 4 Smpaga bau: ( ) σ 8, 5 4, 3 Smpaga bau utu asus lebh besar darpada asus. I berart, data pada asus lebh tersebar laya darpada asus. Cotoh Soal 7 Berut merupaa hasl pembaga aa umur 5 tahu d suatu eluraha. 0 g, 8 g, 5 g, 6 g, 7 g, 4 g, 9 g Tetua bayaya aa yag meml berat tda ormal. Pembahasa: Kta aa megguaa smpaga bau utu meetua ormal atau tda ormalya berat aa. Lagah. Tetua dahulu rata-rata dataya. Rata-rata data: 0 + 8+ 5+ 6+ 7+ 4+ 9 x 7 49 7 7 6
Lagah. Tetua varas dataya. σ ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 0 7 8 7 5 7 6 7 7 7 4 7 9 7 7 9 + +4 + + 0 + 9 + 4 7 8 7 4 Lagah 3. Tetua smpaga bauya. σ 4 Utu megetahu ormal atau tda ormalya data, guaa terval x σ, x+ σ. Dega dema, data ormal adalah data yag masu pada terval 7, 7+ atau 5, 9. Jad, ada dua data yag tda ormal yatu 4 da 0. [ ] [ ]. Data dalam Betu Tabel Freues Utu data tuggal yag dyataa dalam betu tabel freues, varas atau ragam drumusa sebaga berut. σ ( ) f x x Dega dema, rumus smpaga bauya adalah sebaga berut. σ f( x x) Keteraga: σ varas; σ smpaga bau; x la data e-; x rata-rata data; bayaya elas; da bayaya data. 7
Cotoh Soal 8 Tetua smpaga bau dar data peghasla 40 orag buruh berut. Tetua pula batasa ormal dataya. Gaj Freues.000.000.50.000 8.500.000 5.750.000 6.000.000 8.50.000 Pembahasa: Lagah. Tetua rata-rata dataya. Rata-rata data dapat dtetua dega batua tabel sepert berut. Gaj (x ) Freues (f ) f x.000.000.000.000.50.000 8 0.000.000.500.000 5 7.500.000.750.000 6 0.500.000.000.000 8 6.000.000.50.000.50.000 Jumlah 40 58.50.000 Rata-rata data: fx x f 58. 50. 000 40. 456. 50 8
Lagah. Tetua varas dataya. Varas data dapat dtetua dega batua tabel sepert berut. x f x x x x x ( ) f( x x).000.000.456.50 456.50 08.64.06.500.497.968.750.000.50.000 8.456.50 06.50 4.539.06.500 340.3.500.000.500.000 5.456.50 43.750.94.06.500 9.570.3.500.750.000 6.456.50 93.750 86.89.06.500 57.734.375.000.000.000 8.456.50 543.750 95.664.06.500.365.3.500.000.50.000.456.50 793.750 630.039.06.500 630.039.06.500 Jumlah 40 6.360.937.500.000 Varas data: σ ( ) f x x 6. 360. 937. 500. 000 40 59. 03. 437. 500 Lagah 3. Tetua smpaga bauya. σ 59. 03. 437. 500 398. 777 Dega dema, batasa ormal dataya adalah x, x+. 057. 473,. 855. 07. 3. Data dalam Betu Iterval σ σ [ ] Varas atau ragam dar data berterval dapat drumusa sebaga berut. σ ( ) f x x 9
Dega dema, rumus smpaga bauya adalah sebaga berut. σ f( x x) Keteraga: σ varas; σ smpaga bau; x la tegah elas e-; x rata-rata data; bayaya elas; da bayaya data. Cotoh Soal 9 Htuglah smpaga bau dar data berut. Berat Bada Freues 30 34 3 35 39 4 40 44 8 45 49 7 50 54 5 55 59 4 60 64 4 Pembahasa: Lagah. Tetua rata-rata dataya. Rata-rata data dapat dtetua dega batua tabel sepert berut. 0
Berat Bada Freues x f 30 34 3 3 96 35 39 4 37 48 40 44 8 4 336 45 49 7 47 39 50 54 5 5 60 55 59 4 57 8 60 64 4 6 48 Jumlah 35 645 Rata-rata data: x fx f 645 35 47 Lagah e. Tetua varas dataya. Varas data dapat dtetua dega batua tabel sepert berut. Berat Bada Freues x f x x x x x ( ) f( x x) 30 34 3 3 96 47 5 5 675 35 39 4 37 48 47 0 00 400 40 44 8 4 336 47 5 5 00 45 49 7 47 39 47 0 0 0 50 54 5 5 60 47 5 5 5 55 59 4 57 8 47 0 00 400 60 64 4 6 48 47 5 5 900 Jumlah 35 700
Varas data: σ ( ) f x x 700 35 77, Lagah 3. Tetua smpaga bauya. σ σ 77, 88, Jad, smpaga bau dar data tersebut adalah 8,8.