DISTRIBUSI KONTINU Uniform Normal Gamma & Eksponensial MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar September 20 By NN 2008 DISTRIBUSI UNIFORM Distribusi kontinu yang paling sederhana Notasi: X ~ U (a,b) f.k.p: 1, f(x) = b a f(x) 0, a x b x lainnya Rataan : Variansi : a b b- a EX [ ] = 2 ( b- a) Var( X ) 12 2 2 Karl Friedrich Gauss 1777-1855 DISTRIBUSI NORMAL (GAUSS) Penting dipelajari Notasi: X ~ N (, 2 ) f.k.p: 1 f( x) e 2 = 3.14159 - Banyak digunakan - Aproksimasi Binomial - Teorema limit pusat 2 1 x 2 e = 2.71828 rataan N(0,1) disebut normal standar (baku), < x < - Simpangan baku /standar deviasi 3 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 1
KURVA NORMAL Modus tunggal Titik belok Total luas daerah di bawah kurva =1 Simetri terhadap x = Titik belok http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif Peluang X di sekitar 1, 2, dan 3 4 Pengaruh dan 1 < 2 < 3 Kurva normal dengan yang sama parameter skala 2 1 < 2 < 3 parameter lokasi Kurva normal 3 dengan yang sama 5 LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL P( X ) 1 X ~ N(,) P (z 1 < Z < z 2 ) MA2181 Analisi P(a < X < b) X ~ N(,) Z ~ N(0,1) s Data - Distribusi Kontinu a -m z1 = s 0 b-m z26 = s MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 2
MENGHITUNG PELUANG NORMAL Sulit!!! Harus dihitung secara numerik 1. Cara langsung 2 1 x 2 b 1 Pa ( Xb) e dx 2 2. Dengan tabel normal standar P (Z z) a N(0,1) 7 ARTI TABEL NORMAL Misal Z ~ N(0,1) dan z R, -3,4 z 3,4 z 1 x 2 /2 PZ ( z) e dx 2 P(Z z ) P(Z z) DITABELKAN untuk -3.4 z 3.4 8 MEMBACA TABEL NORMAL P(Z 1,24 ) 9 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 3
Hitung P (0 Z 1,24 ) P(0 Z 1,24 ) = P(Z 1,24 ) - P(Z 0) = 0,8925 0,5 = 0,3925 P(Z 0) P(Z 1,24 ) CONTOH SOAL (1) Hitunglah peluang suatu bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam Suatu perusahaan listrik menghasilkan bola lampu yang umurnya berdistribusi normal dengan rataan 800 jam dan standar deviasi 40 jam. http://www.nataliedee.com/1906/nightshift-atthe-factory-factory.jpg http://ismailfahmi.org/wp/wpcontent/uploads/2007/07/light-bulb.jpg 11 JAWAB: Misal X = umur bola lampu X ~ N (800,40) X -m Dengan transformasi Z = : s 778 800 834 800 P (778 X 834) P Z 40 40 P( 0,55 Z 0,85) PZ ( 0,85) PZ (, 0,55) 0,80230, 2912 0,5111 12 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 4
CONTOH SOAL (2) Dari 00 voltmeter yang diproduksi, berapa voltmeter yang tegangannya melebihi 43 volt? Suatu pabrik dapat memproduksi voltmeter dengan kemampuan pengukuran tegangan, rataan 40 volt dan standar deviasi 2 volt. Misalkan tegangan tersebut berdistribusi normal. 13 JAWAB: Misal X = tegangan voltmeter X ~ N (40, 2) X -m Dengan transformasi Z = s X 43 PX ( 43) P Z 2 PZ ( 1,5) 1 PZ ( 1,5),9332 0,0668 Banyaknya voltmeter yang tegangannya lebih dari 43 volt adalah 00 unit x 0,0668 69 unit 14 APROKSIMASI BINOMIAL DENGAN NORMAL Jika n maka B(n,p) N (,) dimana = np dan = np( 1 p) B (6;0,2) B (15;0,2) Semakin besar n, binomial semakin dekat ke normal 15 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 5
CONTOH SOAL (3) http://www.bratachem.com/abate/imag es/demam.jpg Misal peluang seorang pasien sembuh dari suatu penyakit demam berdarah adalah 0,4. Bila diketahui ada 0 pasien demam berdarah, berapa peluangnya bahwa yang sembuh a. tepat 30 orang b. kurang dari 30 orang 16 JAWAB: Misal X = banyaknya pasien yang sembuh X ~ B(n,p), n = 0 ; p = 0,4 Rataan: = np = 0 x 0,4 = 40 Variansi: np(1 p) 40 0, 6 4,899 a. Peluang bahwa PX ( 30) P (29,5 X 30,5) banyaknya pasien 29,5 40 30,5 40 yang sembuh tepat P Z 4,899 4,899 30 orang adalah: P( 2,14 Z 1,94) PZ ( 1,94) PZ ( 2,14) 0,0262 0,0162 0,01 17 JAWABAN LANJUTAN: b. Peluang bahwa banyaknya pasien yang sembuh akan kurang dari 30 adalah: 29,5 40 PX ( 30) PZ 4,899 PZ ( 2,14) 0,0162 18 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 6
DISTRIBUSI GAMMA Notasi X ~ Gamma(,) f.k.p 1 1 x / x e,0 x f( x) ( ) 0, x lainnya 0 dan 0 () disebut fungsi gamma 1 y ( ) y e dy 0 dimana (1) = 1 dan () = ( -1)!, jika > 1 E[X] = dan Var(X) = 2 Digunakan untuk memodelkan waktu tunggu Keluarga Gamma(,): distribusi eksponensial, 19 khi kuadrat, Weibull, dan Erlang DISTRIBUSI EKSPONENSIAL Keluarga distribusi gamma (1, 1/) Notasi: X ~ Exp () f.k.p x e,0 x f( x) 0, x lainnya E[X] = 1/ Var(X) = 1/ 2 Digunakan untuk memodelkan waktu antar kedatangan 20 CONTOH Misalkan lama pembicaraan telepon dapat dimodelkan oleh distribusi eksponensial, dengan rataan 6 detik/orang. Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu: a. lebih dari menit http://www.beritajakarta.com/images/foto/antri-pasar-muraha.jpg&imgrefurl=http://pdpjaktim.blogspot.com/2007/09/ b. antara sampai 20 menit Pag e 21 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 7
JAWAB: Misalkan X = lama pembicaraan telepon Dik. X ~ exp(1/) sehingga 1 / f( x) e x Tapi lama pembicaraan setara dengan waktu menunggu. Jadi, a. PX ( ) 1 PX ( ) b. 1 x / e dx 0 20 1 x / 22 1,368 0,632 P( X 20) e dx0, 233 REFERENSI Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. 23 MA2181 Analisis Data - U. Mukhaiyar 8