Pengantar Proses Stokastik

Transkripsi

1 Bab 1: Dasar-Dasar Probabilitas Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparan sebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasa dinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnya bilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.

3 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Gabungan Kejadian A B = {a S : a A atau a B} Irisan Kejadian A B = {a S : a A dan a B}

4 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Kejadian A dan B bersifat mutually exclusive (saling asing) jika A B = φ. Komplemen A c = Ā = {a S : a / A}

5 Ruang Sampel dan Kejadian Ruang Sampel dan Kejadian Partisi Ruang Sampel Sebuah himpunan kejadian {A 1, A 2,...} merupakan partisi dari ruang sampel S jika 1 Kejadian-kejadian tersebut bersifat mutually exclusive, A i A j = φ jika i j. 2 i A i = S

6 Peluang Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Peluang kejadian A adalah n(a) P(A) = lim n n n(a) : banyaknya keluaran A n : banyaknya percobaan atau P(A) = n(a) n(s) n(a) : banyaknya keluaran A n(s) : banyaknya anggota ruang sampel S

7 Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Sifat-sifat peluang 1 0 P(A) 1 2 P(S) = 1 P(φ) = 0 3 Untuk himpunan kejadian A 1, A 2,... yang mutually exclusive, ( ) P A n = P(A n ) n=1 4 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5 P(A c ) = 1 P(A) 6 Jika A B maka P(A) P(B) n=1

8 Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Misalkan P(A B) = P(A B c ) = 0.6. Hitung P(A)!

9 Ruang Sampel dan Kejadian Peluang Jawab: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0.6 P(A B c ) = P(A) + P(B c ) P(A B c ) = 0.6 Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh 2P(A) + P(B) + P(B c ) (P(A B) + P(A B c )) = 1.2 2P(A) + 1 P(A) = 1.2 P(A) = 0.2 Note: P(B) + P(B c ) = 1 P(A B) + P(A B c ) = P(A)

10 Peubah Acak Peubah Acak Peubah Acak Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampel S ke bilangan real. Contoh: Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acak yang bernilai 0, 1, dan2 dengan peluang munculnya P(X = 0) = P(BB) = 1 4 P(X = 1) = P(MB, BM) = 1 2 P(X = 2) = P(MM) = 1 4

11 Peubah Acak Diskrit Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi pada barisan terhitung dari bilangan {x i, i = 1, 2,...} sedemikian hingga ( ) P {X = x i } = P(X = x i ) = 1 i i

12 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Fungsi peluang { p i, jika x = x i p(x) = P(X = x) = 0, lainnya. Fungsi distribusi F X (x) = i p(x i )

13 Distribusi Binomial Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuah sukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses dan X = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya p(0) = P(X = 0) = 1 p p(1) = P(X = 1) = p di mana p merupakan peluang sukses dan 0 p 1. Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.

14 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupa sukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p) dan fungsi peluangnya ( ) n p(x) = p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2,... x

15 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannya dengan peluang 1 p, saling bebas antara mesin satu dengan lainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jika setidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin?

16 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) ( ) ( ) ( ) 4 = p 2 (1 p) p 3 4 (1 p) + p 4 (1 p) = 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengan sukses adalah P(X 1) = P(X = 1) + P(X = 2) ( ) ( ) 2 2 = p(1 p) + p 2 (1 p) = 2p(1 p) + p 2

17 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripada pesawat dengan 2 mesin adalah 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 2p(1 p) + p 2 6p(1 p) 2 + 4p 2 (1 p) + p 3 2 p 3p 3 8p 2 + 7p 2 0 (p 1) 2 (3p 2) 0 p 2 3

18 Distribusi Geometrik Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masing memiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh sukses pertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakan sebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsi peluangnya P(X = n) = (1 p) n 1 p, n = 1, 2,...

19 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesar p, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwa masing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. Tentukan P(N)!

20 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yang dibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka P(N = 1) = P(M) = p, P(N = 2) = P(B, M) = (1 p)p, P(N = 3) = P(B, B, M) = (1 p) 2 p,. P(N = n) = P(B, B,..., B, M) = (1 p) n 1 p, n 1 Note: muncul B sebanyak n 1 kali

21 Distribusi Poisson Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2,... dikatakan peubah acak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0, P(X = x) = e λ λx, x = 0, 1, 2,... x! Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu selang waktu atau area tertentu.

22 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit Misalkan banyaknya kesalahan penulisan dalam sebuah halaman dari suatu buku berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 1. Hitung peluang bahwa terdapat setidaknya satu kesalahan pada halaman 5!

23 Peubah Acak Peubah Acak Diskrit P(X 1) = 1 P(X = 0) = 1 e

24 Peubah Acak Kontinu Peubah Acak Peubah Acak Kontinu X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatif f (x), terdefinisi untuk semua bilangan real x (, ) sehingga F X (x) = x f X (t)dt atau f X (x) = d dx F X (x)

25 Distribusi Uniform Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform sepanjang interval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan f X (x) = { 1 b a, a < x < b 0, x lainnya.

26 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Jika X U( 1, 1). Tentukan P ( X > 1 2)!

27 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Maka P f X (x) = 1 1 ( 1) = 1 2, 1 < x < 1 ( X > 1 ) ( = P X < 1 ) ( + P X > 1 ) = = 1/2 1 [ 1 2 x 1 2 dx + ] 1/ / dx [ 1 2 x ] 1 1/2 = = 1 2

28 Distribusi Eksponensial Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagai berikut, untuk suatu λ > 0, { λe λx, jika x 0 f X (x) =. 0, jika x < 0 disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.

29 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?

30 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu P(X > 15) = 1 P(X 15) = 1 (1 e 15λ ) = e 15( 1 10) = e 3 2

31 Distribusi Gamma Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang f X (x) = 1 Γ(α)β α x α 1 e x β, x 0 untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter (α, β)

32 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Definisi fungsi Gamma: Γ(α) = e x x α 1 dx 0 Note: Γ(n) = (n 1)! Γ(n + 1) = nγ(n), n > 0

33 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Apa yang dapat kita katakan tentang disribusi Gamma jika α = 1?

34 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Misalkan X Gamma(α = 1, β) maka f (x) = 1 Γ(1) β 1 x 1 1 e x β = 1 β e x β ( ) Maka X Eksp λ = 1 β

35 Distribusi Normal Peubah Acak Peubah Acak Kontinu X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang X diberikan f X (x) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2, < x <

36 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal dengan mean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILO disyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan 16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?

37 Peubah Acak Peubah Acak Kontinu P ( Z X N(16.5, σ 2 ) P(X 16) 0.9 ) ( = 1 P σ Z P ) σ ( Z 0.5 ) 0.1 σ Z σ σ

38 Ekspektasi Parameter Distribusi Ekspektasi Distribusi Kontinu Distribusi Diskrit E(X ) = x f X (x)dx E(X ) = x i p i i

39 Parameter Distribusi Ekspektasi Karakteristik ekspektasi: E(g(X )) = g(x)f (x) (untuk distribusi kontinu) E(cX ) = ce(x ), c konstan E(aX + b) = ae(x ) + b E(X 1 + X X n ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) E(X n ) E(X Y ) = E(X ) E(Y ), hanya jika X dan Y saling bebas

40 Parameter Distribusi Ekspektasi Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut: { x 2, 2 x < 3 f (x) = 1 4, 4 < x < 6 Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar Proses Stokastik?

41 Parameter Distribusi Ekspektasi E(X ) = = = 2 x f (x) dx 3 x (0)dx + [ 1 3 x 3 x 2 2 ] x (x 2) dx + [ ] x 2 4 = x (0)dx + 4 x ( ) 1 dx 4

42 Variansi Parameter Distribusi Variansi Variansi: Karakteristik variansi: Var(X ) = E[(X X ) 2 ] = E(X 2 ) [E(X )] 2 Var(cX ) = c 2 Var(X ), Var(X 1 + X X n ) = c konstan n i,j=1 Cov[X i, X j ] Var(X 1 + X X n ) = Var(X 1 ) + Var(X 2 ) Var(X n ), hanya jika X i saling bebas

43 Kovariansi Parameter Distribusi Kovariansi Kovariansi: Cov(X, Y ) = E[(X X )(Y Ȳ )] = E(XY ) E(X )E(Y ) Karakteristik kovariansi: Cov(X, X ) = Var(X ) Cov(X, Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas Cov(X, Y ) = Cov(Y, X ) Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)

44 Diskusi Diskusi Diskusi 1. Diketahui Tentukan: a. P ( ) X > 1 4 b. Tentukan F (x) 2. Diketahui fungsi peluang: 2x, 0 x 1 2 f (x) = 3 4, 2 < x < 3 0, x yang lain. f (x) = c(4x 2x 2 ), 0 < x < 2 Hitung E(X ) pada P ( 1 2 < X < 3 2).

45 Diskusi Diskusi 3. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesan tiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang?

46 Diskusi Diskusi 4. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar di Australia, memiliki polis yang menanggung 100% biaya kesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahui total tagihan kesehatan X /th memiliki fungsi peluang: f X (x) = x(4 x), 0 < x < 3 9 Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y! Tentukan ekspektasi dari Y!

47 Penyelesaian Diskusi Diskusi 1. Pertama, cek apakah fungsi tsb merupakan fungsi peluang 1/2 0 2x dx dx = [ x 2] [ ] 1/ x 2 = = 1 a. Nilai P ( X > 1 4) adalah ( P X > 1 ) ( = 1 P X 1 ) 1/4 = 1 2x dx 4 4 = 1 [ x 2] 1/4 = =

48 Diskusi Diskusi b. F (x) nya adalah Untuk x < 0 dan 0 x 1 2 F (x) = Untuk 1 2 < x < 2 x F (x) = f (t)dt = dt + 1/2 0 x 0 dt + 0 2t dt + = 0 + [ x 2] 1/ = 1 4 2t dt = x 2 x 1/2 0 dt

49 Diskusi Diskusi Untuk 2 x 3 F (x) = Untuk x > 3 F (x) = 0 0 dt + 1/2 0 2t dt + = 0 + [ t 2] 1/ dt + 1/2 0 [ 3 4 t 2t dt + = 0 + [ x 2] 1/ /2 ] x x 0 dt dt 2 = x 3 2 = 3 4 x /2 ] 3 [ 3 4 t dt x 4 dt dt + 0 = = 1

50 Diskusi Diskusi x 2, 0 x Jadi, F (x) = 4, 1 2 < x < x 5 4, 2 x 3 1, x > 3

51 Diskusi Diskusi 2. Pertama, tentukan c berdasarkan sifat x f (x) dx = c(4x 2x 2 )dx = [ 2cx cx 3 ] 2 0 = 1 8c 16 3 c = c = 1 c = 3 8 Jadi, kita mempunyai f (x) = 3 8 (4x 2x 2 ) = 3 2 x 3 4 x 2

52 Diskusi Diskusi E(X ) = = 3/2 1/2 x ( 3 2 x 3 ) 4 x 2 dx = [ 1 2 x x 4 ] 3/2 1/2 = /2 1/2 3 2 x x 3 dx

53 Diskusi Diskusi 3. Misalkan X merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang (peluang sukses), maka X B(52, 0.05) Banyaknya yang tidak datang adalah 5%x52 = 2.6 sehingga peluang ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang adalah jika paling sedikit ada 2 orang yang tidak datang yaitu P(X 2) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1)] ( ) ( ) 52 = 1 (0.05) 0 (0.95) (0.05) 1 (0.95) = 0.74

54 Diskusi Diskusi 4. Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukan Medibank, maka nilai yang mungkin untuk Y adalah dan ekspektasi Y adalah E(Y ) =. = Y = min{x, 1} 3 x f X (x) dx + x = x(4 x) 9 1 dx + 1.f X (x) dx 3 1 x(4 x) 1. dx 9

55 Pustaka Pustaka Pustaka Ross, Sheldon M Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J Queueing Theory/ Probability Theory.